小船渡河问题练习题

（1）船的实际运动是：水流的运动和船相对静水的运动的合运动。

（2）三种速度：v 1（船在静水中的速度）、v 2（水流速）、v （船的实际速度）。

（3）三种情景： ①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，1

v d

t =

短（d 为河宽）。

②过河路径最短（12v v <时）：合速度垂直于河岸，航程最短，

d s =短。

③过河路径最短（12v v >时）：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。确定方法如下：如图所示，以v 2矢量末端为圆心，以v 1矢量的大小为半径画弧，从v 2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短。

由图可知：2

1v v sin =

θ，最短航程：.d v v sin d

s 12=θ=

短

问题3：小船渡河的最值问题：

一小船渡河，河宽d=180m ，水流速度s /m 5.2v 1=。 （1）若船在静水中的速度为s /m 5v 2=，求：

①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？

②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？

（2）若船在静水中的速度s /m 5.1v 2=，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？

解析：将船实际的速度（合速度）分解为垂直河岸方向和平行河岸方向的两个分速度，垂直分速度影响渡河的时间，而平行分速度只影响平行河岸方向的位移。

（1）若s /m 5v 2=。

①欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向。

当船头垂直河岸时，如图所示，合速度为倾斜方向，垂直分速度

为s /m 5v 2=。

s 36s 5180v d t 2===

s /m 525

v v v 2221=

+=合

.m 590t v s ==合

②欲使船渡河航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与河岸

成某一角度α。

垂直河岸过河这就要求0v =水平，所以船头应向上游偏转一定角度，如图所示，有12v sin v =α得︒=α30。

所以当船头向上游偏30°时航程最短。 s=d=180m.

.

s 324s 325

180

30cos v d t 2==︒=

（2）若.s /m 5.1v 2= 与（1）中②不同，因为船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为α，则航程

α=

sin d

s ，欲使航程最

短，需α最大，如图所示，由出发点A 作出v 1矢量，以v 1矢量末端为圆心，v 2大小为半径作圆，A 点与圆周上某点的连线即为合速度方向，欲使v 合与水平方向夹角最大，应使v 合与圆相切，即2v v ⊥合。

535.25.1v v sin 12=

==

α，得α＝37°。

所以船头应向上游偏37°。

s

150s 2.1180

37cos v d t 2==︒=

。

m 300t v s .s /m 237cos v v 1=⋅==︒=合合。

变式4：

一艘小艇从河岸A 处出发渡河，小艇保持与河岸垂直方向行驶，经过10min 到达正对岸下游120m 的C 处，如图所示，如果小艇保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成α角方向行驶，则经过12.5min 恰好到达正对岸的B 处，求：河的宽度。

解析：设河宽为d ，河水流速为水v ，船速为船v ，船两次运动速度合成如图所示。

依题意有：21t sin v t v ⋅α⋅=⋅船船

① 1t v BC ⋅=水

②

α

=cos v v 船

水

由②可得min /m 12v =水

由①得8.0sin =α，故6.0cos =α，

河宽m 200m 106.012

t v d 1=⨯=

=船。

变式5：

船在静水中的航速为v 1，水流的速度为v 2。为使船行驶到河正对岸的码头，则v 1相对v 2的方向应为（ ）

答案：C