电磁场与电磁波第2章 静态电磁场及其边值问题解

D 0, B 0, V 0
t
t
t
– 静态场包括静电场、恒定电场及恒定磁场，它们是时变电磁
场的特例。
– 静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变化的电荷产生的 电场。
– 恒定电场是指导电媒质中，由恒定电流产生的电场。
– 恒定磁场是指由恒定电流或永久磁体产生的磁场，亦称为静 磁场。
又称狄里赫利问题。如在静电场中，已知各导
体表面的电位，求解空间的电位问题。
第二类：给定边界上每一点位函数的法向导数
值。
又称诺依曼问题。如在静电场中，已知各导体
表面的电荷密度分布，求解空间的电位问题，此
时的电荷密度分布可表达为


n
的形式。
第三类：给定一部分边界 S1 上每一点的位函数，
同时给定另一部分边界 S2 上每一点的位函数的法
(2)静电场与恒定电场 • 对偶方程 • 对偶量
静电场(无源区域) 恒定电场(电源外区域)
E 0
E
D 0
D E
2 0
q S D dS
E 0
E
Jc 0
J E
2 0
I S Jc dS
(3)静电场与恒定磁场 • 对偶方程 • 对偶量
r r r
R2 R1
由边界条件 U A ln R1 B 0 Aln R2 B
A

U ln R1
R2
B


U ln R1
ln
R2
R2
则：

U ln R2
ln
R2 r
R1
E
E

U r ln R2
aˆr
R1
在第 1 章中指出电磁场能量密度为
w(r,
t
)=
1 2
(H

B+E
E D E V
() V 2 V ——泊松方程
无源区域
0
2 0 ——拉普拉斯方程
*恒定电场的拉普拉斯方程 恒定电场基本方程
l E dl 0 S Jc dS 0
Jc E
E 0 J 0

dS

1 2
dV
S
V
对整个稳恒电场，面积分在无穷远处进行，
向导数，这类问题又称混合问题。
*问题的分类
狄利克雷问题：给定整个场域边界上的位函数值 f (s) 聂曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值 f (s)
n
混合边值问题：给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合


f1
(s)

n

f2(s)
1. 惟一性定理：在给定边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解
是惟一的。
①用反证法可以证明。
惟一性定理为某些复杂电磁问题求解方法的建立提供了理论 根据。镜像法就是惟一性定理的直接应用。
2.3.1 静态场特性 1. 静态场基本概念
2.3 稳恒电场分析
– 静态场是指电磁场中的源量和场量都不随时间发生变化的场。

D)
据此可将电场的能量表示为
We
=
1 2
E DdV
V
因 E ，所以电场的能量可表示为
We
=
1 2

(
)

DdV
=
1 2
[

(
D)


(

D)]dV
V
V
将 D= 代入并注意 (D)dV = (D) dS
V
S
得
We
=

1 2

(
D)
r
)

1 r2
2 2

2
z 2
球坐标系
2

1 R2
R
(R2
)
R
1
R2 sin


(sin
)
1
R2 sin2
2 2
**稳恒场的重要原理和定理
1. 对偶原理
(1)概念：如果描述两 种物理现象的方程 具有相同的数学形 式，并具有对应的 边界条件，那么它 们解的数学形式也 将是相同的，这就 是对偶原理，亦称 为二重性原理。具 有同样数学形式的 两个方程称为对偶 方程，在对偶方程 中，处于同等地位 的量称为对偶量。
——导电媒质中的恒定电场具有无散、无旋场的特征， 是保守场
E Jc E 0
() 0
2 0 ——拉普拉斯方程
拉普拉斯算子 2
直角坐标系
2

2
x2

2
y 2

2
z 2
圆柱坐标系
2

1 r
r
(r

2.3.2 稳恒场的麦克斯韦方程组
– 稳恒场与时变场的最本质区别：稳恒场的电场和磁场
是彼此独立存在的。
E dl 0

L
D dS = dV Q
S
V

H dl = Jf dS
L
S
B dS = 0
E 0
D =
例1: 已知无限长同轴电缆内、外半径分别为 R1 和 R2（如图所 示），电缆中填充均匀介质，内外导体间的电位差为 U，
外导体接地。求其间各点的电位和电场强度。
解：根据轴对称的特点和无限长的假设， 可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程， 采用圆柱坐标系
1 (r ) 0 积分 Aln r B
H = Jf B = 0
S
J 0 积分形式？
2.3.3 位函数及泊松方程 1. 静电场的泊松方程和拉普拉斯方程 静电场基本方程
l E dl 0
D dS S
V V dV
D E
E 0
D V
——静电场是有散(有源)无旋场，是保守场。
第2章 静态场分析
2.1 边值问题的分类 2.2 标量格林定理和唯一性定理 2.3 稳恒电场分析 2.4稳恒磁场分析 2.5 镜像法 2.6 分离变量法
2.1 边值问题的分类
我们把用微分方程及相关边界条件描述的
问题，称为边值问题。根据边界条件不同，将边
值问题分为三类：
第一类：给定整个边界S 上的位函数值。
静电场(无源区域)
E 0 D 0 D E
q S D dS
2 0
恒定磁场(无源区域)
H 0
B 0
B H
qm
B dS
S
2m 0
(4)有源情况下的对偶关系 • 对偶关系存在 • 不像上述两种情况那样一目了然
(5)应用 • 电偶极子和磁偶极子辐射的对偶关系， • 某些波导中横电波(TE波)和横磁波(TM波)间的对偶关系