2014年考研数学一真题及详细解答

2014硕士研究生入学考试

数学一

一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．

１．下列曲线有渐近线的是（ ）

（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）x x y 1sin

+= （D ）x x y 12sin +=

2．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）

（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤

（C ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≤

3．设)(x f 是连续函数，则

=⎰⎰---y y dy y x f dy 11102),(（ ） （A ）

⎰⎰⎰⎰---+210011010x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),( （B ）

⎰⎰⎰⎰----+010*******x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),( （C ）

⎰⎰⎰⎰+++θθππθθπθθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1021020dr r r f d dr r r f d （D ）

⎰⎰⎰⎰+++θθππθθπθθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1021020rdr r r f d rdr r r f d

4．若函数{}

⎰⎰-∈---=--πππ

πdx x b x a x dx x b x a x R b a 2211)sin cos (min )sin cos (,，则=+x b x a sin cos 11（ ）

（A ）x sin 2 （B ）x cos 2 （C ）x sin π2 （D ）x cos π2

5．行列式d

c d c

b a b a

000000

00等于（ ） （A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2222c b d a +-

6．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（ ）

（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）非充分非必要条件

7．设事件A ，B 想到独立，3050.)(,.)(=-=B A P B P 则=-)(A B P （ ）

（A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4

8．设连续型随机变量21X X ,相互独立，且方差均存在，21X X ,的概率密度分别为)(),(x f x f 21，随机变量1Y 的概率密度为))()(()(y f y f y f Y 21211+=，随机变量)(2122

1X X Y +=，则（ ）

（A ）2121DY DY EY EY >>, （B ）2121DY DY EY EY ==,

（C ）2121DY DY EY EY <=, （D ）2121DY DY EY EY >=,

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

9．曲面)sin ()sin (x y y x z -+-=1122在点),,(101处的切平面方程为 ．

10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ．

11．微分方程0=-+)ln (ln 'y x y xy 满足31e y =)(的解为 ．

12．设L 是柱面122=+y x 和平面0=+z y 的交线，从z 轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分⎰=+L ydz zdx ．

13．设二次型3231222132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，

则a 的取值范围是 ． 14．设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它

,,),(02322θθθθx x x f ，其中θ是未知参数，n X X X ,,,Λ21是来自总体的简单样本，若∑=n i i X C 12是2

θ的无偏估计，则常数C = ．

三、解答题

15．（本题满分10分） 求极限)ln())((lim x x dt

t e t x t x 1112112+--⎰+∞

→．

16．（本题满分10分）

设函数)(x f y =由方程062

23=+++y x xy y 确定，求)(x f 的极值．

17．（本题满分10分）

设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x =满足x x e y e z y z x z 222224)cos (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．