最新杨辉三角的规律以及推导公式
杨辉三角的规律以及推导公式
杨辉三角的规律以及定理李博洋摘要杨辉三角中的一些规律关键词杨辉三角幂二项式引言杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。
在他所着的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是世界的一大重要研究成果。
我们则来对“杨辉三角”的规律进行探讨和研究。
内容1二项式定理与杨辉三角与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即。
杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。
由上式得出：(a+b)2＝a2+2ab+b2此代数式的系数为：121则(a+b)3的展开式是什么呢？答案为：a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现，此代数式的系数为：1331但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)4的展开式。
展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为：14641似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1(110)11(111)121(112)1331(113)14641(114)15101051(115)1615201561(116)因此可得出二项式定理的公式为：(a+b)n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n 因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把带进了。
求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。
用系数来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。
2杨辉三角的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：1(1)11(1+1=2)121(1+2+1=4)1331(1+3+3+1=8)14641(1+4+6+4+1=16)15101051(1+5+10+10+5+1=32)1615201561(1+6+15+20+15+6+1=64)……相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂3杨辉三角中斜行和水平行之间的关系(1)1(2)n=111(3)n=2121(4)n=31331(5)n=414641(6)n=515101051n=61615201561把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。
杨辉三角的规律总结
杨辉三角的规律总结一、规律总结： 1、《杨辉三角》定理：两个互为补角的三角形的重心，它们的连线平分第三边。
应用定理：将三角形的一个角用内部的点和一条直线段分别与另外两个角的两边分别相连，这三条线段交于一点，则该点就是这个三角形的重心。
2、《杨辉三角》性质：等腰三角形的两底角的平方和等于第三个角的平方。
二、注意事项： 1、在解决具体问题时，需要结合图形中已知的一些关键信息或特征来推导出杨辉三角定理。
基本思路：利用重心计算两底边上的高。
一般地，由于一个角的顶点在另一个角的底边上，所以可以采用内心法来确定其重心。
也可以利用其他方法来确定重心。
比较常用的方法有：（ 1）利用内部的两条线段或内部的三条线段构造三角形。
（ 2）将重心分别向顶点延长，做出所要求的三角形。
2、做题时要灵活运用杨辉三角定理及性质，不要拘泥于杨辉三角定理。
3、在解题过程中，只要遇到角，总可以联想到三角形，但是，这时候我们应先找出其重心再判断出是不是在三角形内部，否则会把角放错位置。
例如：等腰三角形的性质与杨辉三角有什么关系呢？答案：因为任何等腰三角形的两底角的平方和等于第三个角的平方。
《杨辉三角》公式：两个互为补角的三角形的重心，它们的连线平分第三边。
1、例如：△abc是等腰直角三角形，∠a=∠b=90°， ad=dc=1，bc=ca=3，∠c=90°，则△abc的重心在（ a） b（ c） d（ e） e或e（ c） d（ b） e（ d） e或b（ c） d（ a） b例如：△abc是等腰直角三角形，∠abc=180°，∠ab=90°，∠ad=∠dc=1，∠bc=ca=3，∠a=∠b=90°，则△abc的重心在（ a）b（ c） d（ e） e或e（ c） d（ b） e（ d） e或b（ c） d（ a）b（ d） c的解析：第1步：由∠acb=180°可得∠abc=180°，即△abc的三边长均为整厘米数。
计算杨辉三角形的规律与应用
计算杨辉三角形的规律与应用杨辉三角形是一种数学图形，它的形状像一个等边三角形，由数字构成。
它以中国古代数学家杨辉的名字命名，他在13世纪时首次提出了这个概念。
杨辉三角形具有许多有趣的规律和应用，本文将对这些内容进行探讨。
一、杨辉三角形的构造方法杨辉三角形可以通过以下规律来构造：1. 第一行只有一个数字1。
2. 第二行有两个数字，均为1。
3. 从第三行开始，每行的首尾元素都是1。
4. 从第三行开始，中间的元素等于上一行中相邻两个元素的和。
例如，下面是一个由6行组成的杨辉三角形：```11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1```二、杨辉三角形的规律杨辉三角形具有一些有趣的规律，可以通过观察和计算得出：1. 每一行的数字之和等于2的n次方，其中n为行数。
例如，第三行的数字之和为2^3=8。
2. 每一行的首尾数字都是1。
3. 从第三行开始，除了首尾数字外，每个数字等于上一行对应位置的左上方和右上方两个数字之和。
三、杨辉三角形的应用杨辉三角形在数学和其他领域中有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用：1. 组合数学：杨辉三角形中的数字可以表示组合数，即从n个元素中取k个元素的组合数。
每一行的数字依次对应组合数的值，例如第三行的数字1 2 1对应组合数C(3,0)、C(3,1)、C(3,2)、C(3,3)。
2. 概率论：杨辉三角形可以用于计算二项式分布的概率。
每一行的数字可以表示在n次独立重复试验中，获得k次成功的概率。
3. 数列与数学函数：杨辉三角形中的数字可以形成一些有趣的数列，如斐波那契数列、素数数列等。
此外，杨辉三角形中的数字还与二项式定理、多项式展开等数学函数有关。
四、杨辉三角形的扩展除了基本的杨辉三角形构造方法外，还可以通过一些扩展规则来生成更多的图形和规律：1. 帕斯卡三角形：将杨辉三角形的每个数字乘以2再减去1，可以得到帕斯卡三角形。
帕斯卡三角形在概率论、组合数学和数学函数等领域有广泛的应用。
杨辉三角的规律以及推导公式
杨辉三角的规律以及推导公式是：
1、每个数等于它上方两数之和。
2、每行数字左右对称，由 1 开始逐渐变大。
3、第n 行的数字有n+1 项。
4、第n 行数字和为2(n-1) （2 的(n-1) 次方）。
5 (a+b) n 的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1) 行中的每一项。
6、第n 行的第m个数和第n-m 个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m) 。
数在杨辉三角中的出现次数。
由1开始，正整数在杨辉三角形出现的次数为∞,1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4。
除了1之外，所有正整数都出现有限次，只有2出现刚好一次，6,20,70等出现三次；出现两次和四次的数很多，还未能找到出现刚好五次的数。
120,210,1540等出现刚好六次。
杨辉三角的规律以及推导公式
杨辉三角的规律以及定理1二项式定理与杨辉三角杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。
由上式得出：(a+b)2＝a2+2ab+b2此代数式的系数为： 1 2 1则(a+b)3的展开式是什么呢？答案为：a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现，此代数式的系数为： 1 3 3 1 但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)4的展开式。
展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为：1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1 (110)1 1 (111)1 2 1 (112)1 3 3 1 (113)1 4 6 4 1 (114)1 5 10 10 5 1 (115)1 6 15 20 15 6 1 (116)杨辉三角形的系数分别为：1,（1,1）,（1,2,1）,（1,3,3,1）,（1,4,6,4,1）（1,5,10,10,5,1）,（1,6,15,20,15,6,1）,（1,7,21,35,35,21,7,1）所以：(a+b)7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7。
由上式可以看出，(a+b)n等于a的次数依次下降n、n-1、n-2…n-n，b的次数依次上升，0、1、2…n次方。
系数是杨辉三角里的系数。
2杨辉三角的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：1 ( 1 )1 1 ( 1+1=2 )1 2 1 (1+2+1=4 )1 3 3 1 (1+3+3+1=8 )1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=32 )1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 )……相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…n次幂，即杨辉三角第n 行中n个数之和等于2的n-1次幂3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系(1)1 (2) n=11 1 (3) n=21 2 1 (4) n=31 3 3 1 (5) n=41 4 6 4 1 (6) n=51 5 10 10 5 1 n=61 6 15 20 15 6 1把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。
杨辉三角的规律以及推导公式word版本
杨辉三角的规律以及定理李博洋摘要杨辉三角中的一些规律关键词杨辉三角幂二项式引言杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。
在他所著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是世界的一大重要研究成果。
我们则来对“杨辉三角”的规律进行探讨和研究。
内容1二项式定理与杨辉三角杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。
由上式得出：(a+b)2＝a2+2ab+b2此代数式的系数为： 1 2 1则(a+b)3的展开式是什么呢？答案为：a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现，此代数式的系数为： 1 3 3 1 但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)4的展开式。
展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为：1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1 (110)1 1 (111)1 2 1 (112)1 3 3 1 (113)1 4 6 4 1 (114)1 5 10 10 5 1 (115)1 6 15 20 15 6 1 (116)因此可得出二项式定理的公式为：(a+b)n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+ C(n,n)a^0*b^n因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。
求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。
用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。
2杨辉三角的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：1 ( 1 )1 1 ( 1+1=2 )1 2 1 (1+2+1=4 )1 3 3 1 (1+3+3+1=8 )1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=32 )1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 )……相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系(1)1 (2) n=11 1 (3) n=21 2 1 (4) n=31 3 3 1 (5) n=41 4 6 4 1 (6) n=51 5 10 10 5 1 n=61 6 15 20 15 6 1把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。
杨辉三角的规律以及推导公式doc资料
杨辉三角的规律以及定理李博洋摘要杨辉三角中的一些规律关键词杨辉三角幂二项式引言杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。
在他所著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是世界的一大重要研究成果。
我们则来对“杨辉三角”的规律进行探讨和研究。
内容1二项式定理与杨辉三角杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。
由上式得出：(a+b)2＝a2+2ab+b2此代数式的系数为： 1 2 1则(a+b)3的展开式是什么呢？答案为：a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现，此代数式的系数为： 1 3 3 1 但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)4的展开式。
展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为：1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1 (110)1 1 (111)1 2 1 (112)1 3 3 1 (113)1 4 6 4 1 (114)1 5 10 10 5 1 (115)1 6 15 20 15 6 1 (116)因此可得出二项式定理的公式为：(a+b)n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+ C(n,n)a^0*b^n因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。
求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。
用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。
2杨辉三角的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：1 ( 1 )1 1 ( 1+1=2 )1 2 1 (1+2+1=4 )1 3 3 1 (1+3+3+1=8 )1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=32 )1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 )……相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系(1)1 (2) n=11 1 (3) n=21 2 1 (4) n=31 3 3 1 (5) n=41 4 6 4 1 (6) n=51 5 10 10 5 1 n=61 6 15 20 15 6 1把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。
杨辉三角解题公式
杨辉三角解题公式
杨辉三角（也被称为帕斯卡三角）是一个数字三角形，它的第n行（从1开始计数）包含n 个数，其生成规则如下：
1. 第一行只包含一个数字：1。
2. 从第二行开始，每一行的首尾数字都是1。
3. 从第二行开始，每个内部数字都是上一行中与其相邻的两个数字之和。
杨辉三角的前几行如下所示：
```
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
```
为了计算杨辉三角中的特定行和位置的数字，你可以使用组合公式（组合数）来计算。
第n 行的第k个数字可以表示为组合数C(n-1, k-1)，其中C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
组合数C(n, k)的计算公式为：
C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)
其中，n表示总共的元素数，k表示要选择的元素数，"!"表示阶乘。
例如，如果你想要计算杨辉三角的第5行（从0开始计数）的第2个数字，你可以使用组合数公式：
C(4, 1) = 4! / (1! * (4 - 1)!) = 4! / (1! * 3!) = (4 * 3 * 2 * 1) / (1 * 3 * 2 * 1) = 4
因此，第5行的第2个数字为4。
这个方法可以用来计算杨辉三角中的任何数字，只需替换n和k为你想要的行数和位置即可。
杨辉三角的规律
杨辉三角形的规律
1、杨辉三角左右两侧的数字都是1，而里面的数字等于它肩上的两数之和。
2、第n行的数所组成的数字为11n-1。
3、第n行的数字之和是2n-1。
4、每一斜线上的数字之和等于拐角处的数字。
5、每一斜行的数字相加，组成一个斐波那契数列。
6、每一行的数字分别是（a+b）n这一多项式展开后每一项的系数。
7、杨辉三角中的每一个数字都是组合数。
主要特征：
（1）具有对称性；
（2）每一行的首、尾都是1；
（3）中间各数都等于它们两肩上的数的和。
杨辉三角的规律是每行数字的第一列和最后一列的数字都是1，从第三行开始，除去第一列和最后一列都为数字1以外，其余每列的数字都等于它上方两个数字之和。
从规律中我们可以看出杨辉三角形是对称的，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列。
杨辉三角公式记忆口诀
杨辉三角公式记忆口诀杨辉三角可是数学里一个挺有意思的东西呢！说到杨辉三角的公式记忆口诀，那咱们可得好好唠唠。
先来讲讲杨辉三角是啥。
简单说，它就是一个三角形的数阵，每行数字都是通过特定规则生成的。
但别被这看似复杂的外表吓到，其实掌握了规律和口诀，就会发现它挺好玩的。
比如说，杨辉三角每行数字左右对称。
这就像咱们照镜子，左边和右边是一样的。
还有啊，每行数字的开头和结尾都是 1 ，就像每次跑步比赛的起点和终点，固定不变。
那记忆口诀到底是啥呢？“肩挑两数积之和，上下相加写下方”。
这口诀听起来有点玄乎，咱来细说说。
比如说，要得到杨辉三角某一行的数字，就看它上面一行。
除了开头和结尾的 1 ，中间的每个数字都是它肩膀上两个数字的和。
就像我有一次教学生的时候，有个小家伙怎么都不明白，我就拿糖果给他举例。
假设第一行有 1 颗糖，第二行是 1 、 1 ，就像 1 颗糖变成了 2 颗，那第三行是 1 、 2 、 1 ，这中间的 2 就是上面 1 + 1 得来的。
这孩子一听，眼睛一下子亮了，“哦！原来是这样！”再比如说，要快速写出好几行杨辉三角，那就用上“上下相加写下方”。
从第二行开始，每个数字都是它上方两个数字相加的结果。
这就像是搭积木，一层一层往上加。
还有哦，杨辉三角和二项式定理也有关系。
二项式展开后的系数，就是杨辉三角里对应的那一行数字。
这个知识点刚开始学的时候可能会觉得有点绕，但多练习练习，就会发现其中的妙处。
我记得之前有个学生，刚开始学杨辉三角的时候总是记不住，做题也错得一塌糊涂。
我就专门给他开小灶，每天让他默写几行杨辉三角，然后给他讲解其中的规律。
慢慢地，他找到了感觉，后来在考试中遇到相关的题目，一下子就做对了，那高兴劲儿，就像中了大奖似的。
总之，杨辉三角的公式记忆口诀虽然简单，但要真正掌握，还得多练习、多琢磨。
只要用心，相信大家都能轻松搞定这个有趣的数学小玩意儿！。
杨辉三角的规律以及推导公式
精心整理杨辉三角的规律以及定理1二项式定理与杨辉三角杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。
222则为：11(11）（1,5,10,10,5,1）,（1,6,15,20,15,6,1）,（1,7,21,35,35,21,7,1）所以：(a+b)7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7。
由上式可以看出，(a+b)n等于a的次数依次下降n、n-1、n-2…n-n，b的次数依次上升，0、1、2…n次方。
系数是杨辉三角里的系数。
2杨辉三角的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：1(1)11(1+1=2)121(1+2+1=4)1331(1+3+3+1=8)6，…n31615201561把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。
n(3)中第2、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。
3、第n行的数字有n+1项。
4、第n行数字和为2(n-1)。
（2的(n-1)次方）5 (a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。
[1]6、第n行的第m个数和第n-m个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m)，这是组合数性质。
杨辉三角的规律以及推导公式
精心整理杨辉三角的规律以及定理李博洋摘要杨辉三角中的一些规律展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为：14641似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1(110)11(111)121(112)1331(113)14641(114)15101051(115)1615201561(116)因此可得出二项式定理的公式为：(a+b)n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n。
2相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂3杨辉三角中斜行和水平行之间的关系(1)1(2)n=111(3)n=2121(4)n=31331(5)n=414641(6)n=515101051n=61615201561由上面可得：杨辉三角中n行中的第i个数是i-1中前n-1个数之和，即第n 行的数分别为1、(1)中第n行之前的数字之和、(2)中第n行之前的数字之和、(3)中第n行之前的数字之和、(4)中第n行之前的数字之和、…、(n-3)中第n行之前的数字之和、1。
总结杨辉三角对于我们好理解的规律，如下六点：杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。
在他1261年所着的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。
故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。
在我国古老的文明中，人们发现了很多有趣的规律，而杨辉三角就是其中一个。
杨辉三角知识点总结
杨辉三角知识点总结
杨辉三角形的规律
1、杨辉三角左右两侧的数字都是1，而里面的数字等于它肩上的两数之和。
2、第n行的数所组成的数字为11n-1。
3、第n行的数字之和是2n-1。
4、每一斜线上的数字之和等于拐角处的数字。
5、每一斜行的数字相加，组成一个斐波那契数列。
6、每一行的数字分别是（a+b）n这一多项式展开后每一项的系数。
7、杨辉三角中的每一个数字都是组合数。
主要特征：
（1）具有对称性；
（2）每一行的首、尾都是1；
（3）中间各数都等于它们两肩上的数的和。
杨辉三角的规律是每行数字的第一列和最后一列的数字都是1，从第三行开始，除去第一列和最后一列都为数字1以外，其余每列的数字都等于它上方两个数字之和。
从规律中我们可以看出杨辉三角形是对称的，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列。
杨辉三角的规律公式4种初中
杨辉三角的规律公式4种初中
杨辉三角，是一种有规律的数列，它同时具有非常丰富的结构和几何模型，在数学上有着独特的含义。
研究杨辉三角的四种规律公式可以帮助我们更好地理解它。
首先我们重点来讲一下杨辉三角第一规律，即第一和最后一个元素等于1。
它
体现在任一行的首尾都是1，而其他的元素由他的上两个支配并以此衍生出来，即任一行的元素都可由上一行的两个元素得出，即“用上一行的两个元素相加得到下
一行的元素”。
其次引入的是第二规律，即它的对角元素均为1，这个规律关系到了二项式定理，二项式定理推出杨辉三角形、杨辉三角也是由二项式定理推出来的。
它由真子集和虚子集进行组合组成，真子集和虚子集其实就是两条对角线。
紧接着是第三规律，即每行元素之和等于改行第一个元素的平方，这明确了杨辉三角是一种对称性物体，这表示任一行的元素之和等于首元素的平方，即p 1 = 1^2 、p 2 = 2^2 、p 3 = 3^2，以此类推。
最后一规律是任一行的元素的积为改行第一个元素的次方，即任一行的元素的乘积等于首元素的数量，即P 1 = 1^1 、P 2 = 2^2 、P 3 = 3^3，以此类推。
显然，杨辉三角是一种有特殊规律、有充分结构和几何模型的数列，它的四种规律公式使我们可以更加深入地理解它，从而在数学研究和想象上开阔视野，获得新的启发与收获。
杨辉三角垛列递推公式求法
杨辉三角垛列递推公式求法杨辉三角，这玩意儿在数学世界里可算是个有趣的存在。
咱今天就来聊聊怎么通过递推公式来求解杨辉三角垛列。
记得我当年读书的时候，第一次接触杨辉三角，那感觉就像是走进了一个神秘的数字迷宫。
老师在黑板上写下那一排排整齐的数字，我当时就被它的规律给吸引住了。
咱先来说说杨辉三角到底是啥。
它就是一个由数字排列成的三角形，每行的数字都是通过特定的规律生成的。
这个规律简单来说，就是每行的开头和结尾都是 1，而中间的数字则是上一行相邻两个数字的和。
那杨辉三角垛列又是什么呢？其实就是把杨辉三角的每行数字相加得到的新数列。
比如说第一行是 1，第二行是 1 + 1 = 2，第三行是 1 +2 + 1 = 4，以此类推。
接下来，咱们就进入正题，研究研究怎么通过递推公式来求这个杨辉三角垛列。
假设第 n 行的数字之和为 S(n)，那么我们来观察一下它的规律。
当 n = 1 时，S(1) = 1 ，这很明显。
当 n = 2 时，S(2) = 2 。
当 n = 3 时，S(3) = 4 。
这时候，聪明的你有没有发现点啥？没错，S(n)似乎和 2 的幂次有关系。
经过一番琢磨，我们可以得出递推公式：S(n) = 2^(n - 1) 。
这个公式是怎么来的呢？我们来仔细分析一下。
从杨辉三角的构造来看，每一行的数字之和都是上一行数字之和的2 倍。
为啥呢？因为每一行新增的数字都是由上一行相邻数字相加得到的，这就相当于把上一行的和翻了一倍。
比如说，第一行的和是 1，第二行是在第一行的基础上，左右两边各加了 1，所以和变成了 2 。
第三行呢，在第二行的基础上，又多了一些相加的部分，和就变成了 4 。
就拿我教过的一个学生来说吧，他一开始对这个递推公式怎么都理解不了。
我就给他画了好几遍杨辉三角，一个数字一个数字地给他解释相加的过程。
最后他恍然大悟，那种开心的表情，我到现在都还记得。
咱们再回到这个递推公式，有了它，要求杨辉三角垛列的任意一项，那就简单多啦。
杨辉三角的规律以及推导公式
杨辉三角的规律以及推导公式文件编码（GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968）杨辉三角的规律以及定理1二项式定理与杨辉三角与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即。
杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。
由上式得出：(a+b)2＝a2+2ab+b2此代数式的系数为：121则(a+b)3的展开式是什么呢？答案为：a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现，此代数式的系数为：1331但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)4的展开式。
展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为：14641似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1(110)11(111)121(112)1331(113)14641(114)15101051(115)1615201561(116)杨辉三角形的系数分别为：1,（1,1）,（1,2,1）,（1,3,3,1）,（1,4,6,4,1）（1,5,10,10,5,1）,（1,6,15,20,15,6,1）,（1,7,21,35,35,21,7,1）所以：(a+b)7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7。
由上式可以看出，(a+b)n等于a的次数依次下降n、n-1、n-2…n-n，b的次数依次上升，0、1、2…n次方。
系数是杨辉三角里的系数。
2杨辉三角的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：1(1)11(1+1=2)121(1+2+1=4)1331(1+3+3+1=8)14641(1+4+6+4+1=16)15101051(1+5+10+10+5+1=32)1615201561(1+6+15+20+15+6+1=64)……相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…n 次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂3杨辉三角中斜行和水平行之间的关系(1)1(2)n=111(3)n=2121(4)n=31331(5)n=414641(6)n=515101051n=61615201561把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。
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杨辉三角的规律以及定理
李博洋
摘要杨辉三角中的一些规律
关键词杨辉三角幂二项式
引言
杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。
在他所著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是世界的一大重要研究成果。
我们则来对“杨辉三角”的规律进行探讨和研究。
内容
1二项式定理与杨辉三角
杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。
由上式得出：(a+b)2＝a2+2ab+b2此代数式的系数为： 1 2 1
则(a+b)3的展开式是什么呢？答案为：a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现，此代数式的系
数为： 1 3 3 1 但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)4的展开式。
展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为：
1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：
1 (110)
1 1 (111)
1 2 1 (112)
1 3 3 1 (113)
1 4 6 4 1 (114)
1 5 10 10 5 1 (115)
1 6 15 20 15 6 1 (116)
因此可得出二项式定理的公式为：
(a+b)n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+ C(n,n)a^0*b^n
因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。
求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。
用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。
2杨辉三角的幂的关系
首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：
1 ( 1 )
1 1 ( 1+1=
2 )
1 2 1 (1+2+1=4 )
1 3 3 1 (1+3+3+1=8 )
1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )
1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=3
2 )
1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 )
……
相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂
3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系
(1)
1 (2) n=1
1 1 (3) n=2
1 2 1 (4) n=3
1 3 3 1 (5) n=4
1 4 6 4 1 (6) n=5
1 5 10 10 5 1 n=6
1 6 15 20 15 6 1
把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6
把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15
把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20
把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15
把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6
把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1
将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
由上面可得：杨辉三角中n行中的第i个数是i-1中前n-1个数之和，即第n行的数分别为1、(1)中第n行之前的数字之和、(2)中第n行之前的数字之和、(3)中第n行之前的数字之和、(4)中第n行之前的数字之和、…、(n-3)中第n行之前的数字之和、1。
总结杨辉三角对于我们好理解的规律，如下六点：
1、
每个数等于它上方两数之和。
2、
每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。
3、
第n行的数字有n+1项。
4、
第n行数字和为2^(n-1)。
（2的(n-1)次方）
5
(a+b)^n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。
[1]
6、
第n行的第m个数和第n-m个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m)，这是组合数性质
上面的式子是什么意思？首先c i n＋1中的n+1，i的意思是从n+1个相同物体中选出i 个物体有多少种选法。