运筹学——4.运输问题--例题

季度 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
生产能力(台) 25 35 30 10
单位成本(万元) 10.8 11.1 11.0 11.3
8
解 由于每个季度生产出来的柴油机不一定当季交货，所以 设xij为第i季度生产的用于第j季度交货的柴油机数。根据合 同要求，必须满足
x11 = 10 x + x = 15 12 22 x13 + x23 + x33 = 25 x14 + x24 + x34 + x44 = 20
B1 3 1 7 2 4 1 1 1 4 2
销 B2 11 9 4 8 5 8 / 1 2 1
地 B3 B4 3 2 10 4 2 2 2 4 2 3
22
10 8 5 6 7 4 6 2 1 3
销 地
解：从表3-40中看出，从A1到B2每吨产品的直接运费为 11元，如从A1经A3运往B2，每吨运价为3+4=7元，从A1 经T2运往B2只需1+5=6元，而从A1到B2运费最少的路径 是从A1经A2，B1到B2，每吨产品的运费只需1+1+1=3元。 可见这个问题中从每个产地到各销地之间的运输方案是 很多的。为了把这个问题仍当作一般的运输问题处理， 可以这样做：
E→D航程17天，在D卸货1天，总计19天。每天3航班，故该航线周转 船只需57条。各条航线周转所需船只数见表3-35。 航线 装货 航程 卸货 小计 航班数 需周转 天数 天数 天数 船只数 17 1 19 3 57 1 1 10 1 3 1 5 2 2 1 9 7 1 9 3 1 15 1 13 1 15 1 4 •以上累计共需周转船只数91条 .
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产 项 产 地
中 间 转 运 站
目 A1 A2 A3 T1 T2 T3 T4 B1 B2 B3 B4
A1 1 3 2 1 4 3 3 11 3 10
地 A2 A3 1 / 3 5 / 2 1 9 2 8 3 / 1 / 2 3 7 4 10 5
中 间 转 运 站 T1 T2 T3 T4 2 3 1 1 3 2 2 8 4 6 1 5 / 1 1 1 4 5 2 7 4 / 2 3 1 2 1 8 2 4 1 / 2 6 3 2 3 2 1 2
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设用ai表示该厂第i季度的生产能力，bj表示第i季度的合同供 应量，则问题可写成：
min z = ∑ ∑ cij xij
i =1 j =1
4
4
4 ∑ xij ≤ ai j =1 4 ∑ xij = b j i =1 xij ≥ 0
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显然，这是一个产大于销 产大于销的运输问题模型。注意到这个问 产大于销 题中当i＞j时，xij=0，所以应令对应的 ij=M，再加上一个假 令对应的c 令对应的 ， 想的需求D，就可以把这个问题变成产销平衡的运输模型， 想的需求 ，就可以把这个问题变成产销平衡的运输模型 并写出产销平衡表和单位运价表(合在一起，见表3-31)。 销地 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ D 产量
Ⅳ
’’
A B C D
16 14 19 M
16 14 19 0
17 15 M M
17 15 M 0
4
根据表上作业法计算，可以求得这个问题的最优方案如表328所示)
需求地区 化工厂
Ⅰ
’
Ⅰ
’’
Ⅱ 50 20 0 70
Ⅲ
Ⅳ
’
Ⅳ
’’
A B C D 销量(万吨)
10 30 30
30 20 50
30 30
20 20
产地
Ⅰ 11 Ⅲ Ⅳ 销量
10.8 M M M 10
10.95 11.10 M M 15
11.10 11.25 11.00 M 25
11.25 11.40 11.15 11.30 20
0 0 0 0 30
25 35 30 10 100
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经用表上作业法求解，可得多个最优方案，表3-32中列出 最优方案之一。即第Ⅰ季度生产25台，10台当季交货，15 台Ⅱ季度交货；Ⅱ季度生产5台，用于Ⅲ季度交货；Ⅲ季度 生产30台，其中20台于当季交货，10台于Ⅳ季度交货。Ⅳ 季度生产10台，于当季交货。按此方案生产，该厂总的生 产(包括储存、维护)的费用为773万元。
销售季度 生产季度 Ⅰ 11 Ⅲ Ⅳ 销量 Ⅰ 10 Ⅱ 15 Ⅲ 0 5 20 25 Ⅳ D 产量 25 35 30 10 100
10 10 10 20
10
15
30
14
例4 某航运公司承担六个港口城市A、B、C、D、E、F的四 条固定航线的物资运输任务。已知各条航线的起点、终点 城市及每天航班数见表3-33。
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用表上作业法求出空船的最优调度方案见表3-39。
港 口 C D F 每天缺少船只 A 1 B 1 1 1 E 1 1 1 3 每天多余船只 2 2 1 5
由表3-39知最少需周转的空船数为 2×1+13×1+5×1+17×1+3×1=40条。 这样在不考虑维修、储备等情况下，该公司至少应配备 40+91=131条船。
航线 1 2 3 4 起点城市 E B A D 终点城市 D C F B 每天航班数 3 2 1 1
15
假定各条航线使用相同型号的船只，又各城市间的航程天 数见表3-34。
到 从
A 0 1 2 14 7 7
B 1 0 3 13 8 8
C 2 3 0 15 5 5
D 14 13 15 0 17 20
D1 D2 D3
…
P 2T
Dj
…
DT
P 12 P 11
P 13 P 22
P 33 P jT PTT
P1
P2
P3
…
Pj
…
PT
图 5-4
集结计划模型的逻辑关系
例3 某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供 ，15， 当年每个季度末分别提供10， ， 当年每个季度末分别提供 25，20台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力 ， 台 及生产每台柴油机的成本如表3-29所示。又如果生产出来 的柴油机当季不交货的，每台每积压一个季度需储存、维 护等费用0.15万元 0.15万元 0.15万元。要求在完成合同的情况下，作出使该 厂全年生产(包括储存、维护)费用最小的决策。
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为使配备船只数最少，应做到周转的空船数为最少。因此 建立以下运输问题，其产销平衡表见表3-37。
港 口 A B E C D F 每天缺少船只 每天多余船只 2 2 1
1
1
3
单位运价表应为相应各港口之间的船只航程天数，见表3-38。 单位运价表应为相应各港口之间的船只航程天数
港 C D F 口 A 2 14 7 B 3 13 8 E 5 17 3
10
产量 （万吨） 50 60 50 50 210
5
由于在变量个数相等的情况下，表上作业法的计算远比单 纯形法简单得多。所以在解决实际问题时，人们常常尽可 能把某些线性规划的问题化为运输问题的数学模型。
6
单一产品的主生产计划模型
Bowman发现生产计划的制订问题类似运输问题，因此他将用 发现生产计划的制订问题类似运输问题， 发现生产计划的制订问题类似运输问题 于运输问题中的网络模型，移植到生产计划制订的工作中。 于运输问题中的网络模型，移植到生产计划制订的工作中。“第 i周期生产的产品可供第 ，i+1，i+2，…，T周期使用”，犹如 周期生产的产品可供第i， ， ， ， 周期使用 周期使用” 周期生产的产品可供第 处的物资运送到第i， ， ， ， 处使用 一样。 处使用” “第i处的物资运送到第 ，i+1，i+2，…，T处使用”一样。 处的物资运送到第
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又每季度生产的用于当季和以后各季交货的柴油机数不可 能超过该季度的生产能力，故又有：
x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 25 x22 + x23 + x24 ≤ 35 x33 + x34 ≤ 30 x44 ≤ 10
10
第i季度生产的用于j季度交货的每台柴油机的实际成本cij应 该是该季度单位成本加上储存、维护等费用。cij的具体数值 见表3-30。 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ j i Ⅰ 10.8 10.95 11.10 11.25 11 11.10 11.25 11.40 Ⅲ 11.00 11.15 Ⅳ 11.30
上机实验时间： 上机实验时间：第8、11、13周 、 、 周 周五5、 节 周五 、6节 地点： 地点：7A204，205 ，
1
第3节 产销不平衡的运输问题及其求解方法
例2 设有三个化肥厂(A，B，C)供应四个地区(Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ， Ⅳ)的农用化肥。假定等量的化肥在这些地区使用效果相同。 各化肥厂年产量，各地区年需要量及从各化肥厂到各地区运 送单位化肥的运价如表3-25所示。试求出总的运费最节省的 化肥调拨方案。
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各港口间调度所需船只数。 (2) 各港口间调度所需船只数。有些港口每天到达船数多 于需要船数，例如港口D，每天到达3条，需求1条；而有些 港口到达数少于需求数，例如港口B。各港口每天余缺船只 数的计算见表3-36。
港口城市 A B C D E F 每天到达 0 1 2 3 0 1 每天需求 1 2 0 1 3 0 余缺数 -1 -1 2 2 -3 1
需 求 地 区 化工厂 A B C 最低需求(万吨) 最高需求(万吨) 16 14 19 30 50 13 13 20 70 70 22 19 23 0 30 17 15 / 10 不限 50 60 50 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 产量（万吨）
2
第3节 产销不平衡的运输问题及其求解方法
解：这是一个产销不平衡的运输问题，总产量为160万吨， 四个地区的最低需求为110万吨，最高需求为无限。根据现 有产量，第Ⅳ个地区每年最多能分配到60万吨，这样最高 需求为210万吨，大于产量。为了求得平衡，在产销平衡表 中增加一个假想的化肥厂D，其年产量为50万吨。由于各地 区的需要量包含两部分，如地区Ⅰ，其中30万吨是最低需 求，故不能由假想化肥厂D供给，令相应运价为M(任意大正 数)，而另一部分20万吨满足或不满足均可以，因此可以由 假想化肥厂D供给，按前面讲的，令相应运价为0。对凡是 需求分两种情况的地区，实际上可按照两个地区看待。这 样可以写出这个问题的产销平衡表(表3-26)和单位运价表 (表3-27)。
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例5 在本章的例1中，如果假定： ①每个工厂生产的产品不一定直接发运到销售点，可以 将其中几个产地集中一起运； ②运往各销地的产品可以先运给其中几个销地，再转运 给其他销地； ③除产、销地之外，中间还可以有几个转运站，在产地 之间、销地之间或产地与销地间转运。已知各产地、销 地、中间转运站及相互之间每吨产品的运价如表3-40所 示，问在考虑到产销地之间直接运输和非直接运输的各 种可能方案的情况下，如何将三个厂每天生产的产品运 往销售地，使总的运费最少。
(1) 由于问题中所有产地、中间转运站、销地都可以看作产地， 又可看作销地。因此把整个问题当作有11个产地和11个销地的 扩大的运输问题。 (2) 对扩大的运输问题建立单位运价表。方法将表3-40中不可能 的运输方案的运价用任意大的正数M代替。
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(3) 所有中间转运站的产量等于销量。由于运费最少时不可能 出现一批物资来回倒运的现象，所以每个转运站的转运数不超 过20吨。可以规定T1，T2，T3，T4的产量和销量均为20吨。由 于实际的转运量
∑ xij ≤ ai , ∑ xij ≤ b j
j =1 i =1
n
m
可以在每个约束条件中增加一个松弛变量xii，xii相当于一个虚构的 转运站，意义就是自己运给自己。(20−xii)就是每个转运站的实际转 运量，xii的对应运价cii=0。
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(4) 扩大的运输问题中原来的产地与销地因为也有转运站的 作用，所以同样在原来产量与销量的数字上加20吨，即三个 厂每天糖果产量改成27，24，29吨，销量均为20吨；四个销 售点的每天销量改为23，26，25，26吨，产量均为20吨，同 时引进xii作为松弛变量。
3
第3节 产销不平衡的运输问题及其求解方法
产销平衡表(表3-26),单位运价表(表3-27)
区 需求地 化工厂
Ⅰ’
Ⅰ”
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ’
Ⅳ”
A B C D 销量(万吨)
产量 （万 吨） 50 60 50 50
30
需求地区
20
7030Biblioteka 1050化工厂
Ⅰ
’
Ⅰ
’’
Ⅱ 13 13 20 M
Ⅲ 22 19 23 0
Ⅳ
’
E 7 8 5 17 0 3
F 7 8 5 20 3 0
A B C D E F
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又知每条船只每次装卸货的时间各需1天，则该航运公司至少应配备多 又知每条船只每次装卸货的时间各需1 少条船，才能满足所有航线的运货需求? 少条船，才能满足所有航线的运货需求? 解 该公司所需配备船只分两部分。
(1) 载货航程需要的周转船只数。例如航线1，在港口E装货1天， 载货航程需要的周转船只数。