数模

数学模型A实验指导书朱宁编桂林电子科技大学计算科学与数学系2011年3月目录第一章数学软件的介绍（1） Mathematica的概述（2） Mathematica的基础（3） Mathematica数学软件的使用第二章曲线拟合与机翼加工（1）一元函数作图（2）曲线拟合（3）本次实验（4）练习第三章线性规划与有价证券投资（1）线性代数基础知识（2）多元线性方程组﹑超越函数方程﹑常微分方程（3）本次实验（4）练习第四章积分与国土面积（1）函数极限﹑导数﹑定积分﹑重积分的计算（2）三维图形（3）本次实验（4）练习第一章数学软件的介绍1.1 Mathematica概述1.1.1 启动Mathematica是美国Wolfram研究公司生产的一种数学分析型的软件，以符号计算见长，也具有高精度的数值计算功能和强大的图形功能。

在Windows环境下已安装好Mathematica ，启动Windows后，在“开始”菜单的“程序”中单击Mathemiatica4.0 ，或者双击桌面上的快捷方式，就启动了Mathematica4.0，在屏幕上显示Notebook窗口，系统暂时取名Untitled-1，直到保存时重新命名为止。

1.1.2 运行输入要计算的表达式，然后按下Shif+Enter键，这时系统开始计算并输出计算结果，并给输入和输出附上次序标识In[1]和Out[1]，注意In[1]是计算后才出现的；再输入第二个表达式，按 Shift+Enter输出计算结果后，系统分别将其标识为In[2]和Out[2].Mathematica的基本语法特征1.Mathematica中大写小写是有区别的，如Name、name、NAME等是不同的变量名或函数名。

2.系统所提供的功能大部分以系统函数的形式给出，内部函数一般写全称，而且一定是以大写英文字母开头，如Sin[x], Conjugate[z]等。

3.乘法即可以用*，又可以用空格表示，如2 3＝2*3＝6 , x y, 2 Sin[x]等；乘幂可以用“^”表示，如x^0.5, Tan[x]^y。

4.自定义的变量可以取几乎任意的名称，长度不限，但不可以数字开头。

5.当你赋予变量任何一个值，除非你明显地改变该值或使用Clear[变量名]或“变量名=.”取消该值为止，它将始终保持原值不变。

6.一定要注意四种括号的用法：()圆括号表示项的结合顺序，如(x+(y^x+1/(2x))); [ ]方括号表示函数，如Log[x],BesselJ[x,1]；{ }大括号表示一个“表”(一组数字、任意表达式、函数等的集合)，如{2x,Sin[12 Pi],{1+A,y*x}}；[[ ]]双方括号表示“表”或“表达式”的下标，如a[[2,3]]、{1,2,3}[[1]]=1。

7.Mathematica的语句书写十分方便，一个语句可以分为多行写，同一行可以写多个语句（但要以分号间隔）。

当语句以分号结束时，语句计算后不做输出（输出语句除外），否则将输出计算的结果。

数学表达式二维格式的输入Mathematic担提供了两种格式的数学表达式。

形如x/(2+3x)+y/(x-w)的称为一维格式，形如 x/2+y/(x-w) 的称为二维格式。

你可以使用快捷方式输入二维格式，也可用基本输入工具栏输入二维格式。

另外也可从FILE 菜单中激活Plaettes->Basic Input。

工具栏，也可输入，并且使用工具栏可输入更复杂的数学表达式。

1.2 Mathematica基础1.2.1 数据类型和常数1.数据类型在Mathematica中，基本的数值类型有四种：整数，有理数、实数和复数。

在Mathematica的不同应用中，通常对数字的类型要求是不同的。

就要进行数据类型转换。

在Mathematica中的提供以下几个函数达到转换的目的：N[x]……………………………………………………………将x转换成实数N[x,n]…………………………………………………………将x转换成近似实数，精度为n Rationalize[x]………………………………………………给出x的有理数近似值Rationalize[x,dx]………………………………………… 给出x的有理数近似值误差小于dx 举例：ln[1]=N[5/3,20]Out[1]=1.66666666666666666667ln[2]:=N[%,10]Out[2]=1.66666667二行输出是把上面计算的结果变为10位精度的数字。

％表示上一输出结果。

In[3]=Rationalize[%]Out[3]=5/32.数学常数Mathematica 中定义了一些常见的数学常数，这些数学常数都是精确数，例如表示圆周率。

Pi表示＝3.14159，E表示自然对数的底，e=2.71828…….i表示虚数单位Infinity表示无穷大，－infinity表示负的无穷大，GondenRatio表示黄金分割数0.618031.2.2变量1．变量的命名Mathematica中内部函数和命令都是以大写字母开始的标示符。

为了不会与它门混淆，我们自定义的变量应该是以小写字母开始，后跟数字和字母的组合，长度不限。

例如：a12,ast,aST 都是合法的，而12a，z*a是非法的。

另外在Mathematica中的变量是区分大小写，Mathematica 中，变量不仅可以存放一个数值，还可以存放表达式或复杂的算式。

2．给变量赋值在Mathmatica中用等号＝为变量赋值。

同一个变量可以表示一个数值，一个数组，一个表达式，甚至一个图形。

例如:In[1]:=x=3Out[1]=3In[2]:=x^2+2xOut[2]=15对不同的变量可同时赋不同的值例如：In[3]:={u,v,w}={1,2,3}Out[3]={1,2,3}In[4]:=2u+3v+wOut[4]=113.变量的替换在给定一个表达式时其中的变量可能取不同的值，这是可用变量替换来计算表达式的不同值。

方法为用expr/.例如：In[1]:=f=x/2+1Out[1]=In[2]:=f/.x->1Out[2]=如果表达式中有多个变量也可以同时替换,方法为：expr/.{x->xval,y->val}例如：In[4]:=(x+y)(x-y)^2/.{x->3,y->1-a}Out[4]=1.2.3 函数1．系统函数Floor[x]………………………………………………………不比x大的最大整数Ce iling[x]……………………………………………………不比x小的最小整数Sign[x]…………………………………………………………符号函数Round[x]………………………………………………………接近x的整数Abs[x]…………………………………………………………x绝对值Max[x1,x2,x3……]……………………………………………x1 ,x2,x3……中的最大值Min[x1,x2,x3………]…………………………………………x1,x2,x3……中的最小值Random[]…………………………………………………………0~1之间的随机函数Random[Real,xmax]………………………………………………0~xmax之间的随机函数Random[Real,{xmin,xmax}]……………………………………xmin~xmax之间的随机函数Exp[x]……………………………………………………………指数函数Log[x]……………………………………………………………自然对数函数lnxLog[b,x]…………………………………………………………以b为底的对数函数Sin[x], Cos[x], Tan[x], Csc[x], Sec[x], Cot[x]………三角函数（以弧度为单位）Sinh[x], Cosh[x], Tanhx[x], Csch[x], Sech[x], Coth[x]…双曲函数ArcSech[x], ArcCoth[x]………………………………………反双曲函数Mod[m,n]………………………………………………………m被n整除的余数，余数与n的符相同Quotient[m,n]…………………………………………………m/n的整数部分GCD[n1,n2,n3……] GC D[s]……………………………………………………n1,n2,…的最大公约数，s为一数集合LCM[n1,n2……]或LCM[s]………………………………n1,n2…….的最大公倍数，s为数据集合N!………………………………………………………………n的阶乘N!!………………………………………………………………n的双阶乘2．函数的定义定义函数的语法如下：f[x_]:=expr函数名为f,自变量为x，expr是表达式。

在执行时会把expr中的x都换为f的自变量x(不是x_)。

函数的自变量具有局部性，只对所在的函数起作用。

函数执行结束后也就没有了，不会改变其它全局定义的同名变量的值。

一元函数例：Clear[f,x] f[x_]:= x^2+4x-2多元函数例：f[x_,y_]:= x^2+y^2-3 迭代函数例：f[n_]:= f[n-1]+f[n-2];f[0]= 1;f[1]=1; 使用条件运算符定义和If 命令定义函数 例：定义如下的函数200022x x x x x <=⎧⎪<≤⎨⎪>⎩①使用/；定义：()()():0/;:/;0&&2;:2/;2f x f x x x x fx x x --∧-==><==>② 使用If 定义：f [x _]:=If[x<=0,0,If[x >2,x ^2,x ]] ③使用Which 定义：f [x _]:=Which[x<=0,0,x >2,x ^2,True,x ]1.2.4表表是存储多个数、变量或算式等对象的一种数据结构，一个表用一对花括号表示，它的成员（元素）在括号内用逗号隔开，同一个表的成员可以有不同的数据类型，表的成员还可以是一个表（子表）。

如：t={1,2 x, Sinx,{2,Cosx}}1．建表直接列表的方式列出表中的元素,如： In[1]:={1,2,3} Out[1]={1,2,3} In[2]:=1+% x+x^%Out[2]:={}2312,122,133x x x x x+++++建表函数进行建表Table[f,{I,min,max,step}] 以step 为步长给出f 的数值表，i 由min 变到max Table[f,{I,min,max}]给出f 的数值表,I 由min 变到max 步长为1 Table[f,max]给出max 个f 的表Table[f,{I,imin,imax},{j,jmin,jmax},….]生成一个多维表 TableForm[list]以表格格式显示一个表 Range[n]生成一个｛1,2,………｝的列表Range[n1,n2,d]生成｛n1,n1+d,n1+d,….,n2｝的列表 例：In[1]:=Table[x*i,{i,2,6}] Out[1]={2x,3x,4x,5x,6x} In[2]:=Range[8,20,2] Out[2]={8,10,12,14,16,18,20} In[3]:=Table[2i+j,{i,1,3},{j,3,5}] Out[3]={{5,6,7},{7,8,9},{9,10,11}} In[4]:= %//TableFormOut[4]//TableForm=5 6 7，7 8 9，9 10 112．表的元素的操作t[[n]]或Part[[t,n]]表示表t 的第n 个元素t[[{n1,n2,…}]]或Part[t,{n1,n2,…}]表示表t 的第n1,n2,…个元素 t[[I,j]]或Part[t,I,j]表示表t 的第i 个子表的第j 个元素 Take[t,n]表示提取表t 的前n 个元素Take[t,{m,n}]表示提取表t 的第m 到第n 个元素Insert[t,expr,n]表示在表t 的第n 个位置插入元素expr Sort[t]表示给出了表t 中各元素的大小顺序Length[t]表示给出了表t 第一个层次上的元素个数 Append[t,expr]表示在表t 的尾部插入元素exprPrepend[t,expr]表示在表t 的第1个元素前面插入元素exprUnion[t1，t2，......],Jion[t1,t2,......]表示把几个表合并为一个表，二者不同在于Union 在合并时删除了各表中重复的元素，而后者仅是简单的合并；3.表达式的表示形式函数Expand[expr]按幂次升高的顺序展开表达式 Factor[expr]以因子乘积的形式表示表达式Simplify[expr]进行最佳的代数运算，并给出表达式的最少项形式 关系表达式 x==y 表示相等； x!=y 表示不相等； x>y 表示大于；x>=y 表示大于或等于； x<y 表示小于；x<=y 表示小于等于； x==y==z 表示都相等； x!=y!=z 表示都不相等； x>y>z 表示严格递减；4.逻辑运算和它们的意义！ 非；&& 并；|| 或；Xor 异或；If 条件 例：In[1]:=3x^2<Y+1&&3^2==y Out[1]=falseIn[2]:=3x^2+1||3^2==y Out[2]=True5.Mathemathica 数学软件的使用用Mathemathica 数学软件计算数值：82.332123*log /cos 21oe第二章曲线拟和与机翼加工2.1一元函数作图实验目的:1．学习Mathematica的绘图语言及选项；2．从图形上认识一元函数，并会观察函数的基本特性。