数值计算课后规范标准答案2

习 题 二 解 答
1．用二分法求方程x 3-2x 2-4x-7=0在区间[3，4]内的根，精确到10-3，即
误差不超过31
102
-⨯。

分析：精确到10-3与误差不超过10-3不同。

解：因为f(3)＝-10＜0，f(4)=9＞0，所以，方程在区间［3，4］上有根。

由
34311
*1022222
n n n n n n b a b a x x -----≤
===<⨯ 有2n-1＞1000，又为210＝1024＞1000， 所以n ＝11，即只需要二分11次即可。

x *≈x 11=3.632。

指出：
（1）注意精确度的不同表述。

精确到10-3和误差不超过10-3是不同的。

（2）在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。

如果计算过程中取4位小数，结果取3位，则如下表：
（3）用秦九韶算法计算f(x n )比较简单。

1*．求方程x 3-2x 2-4x-7=0的隔根区间。

解：令32247y x x x =---， 则2344322()()y x x x x '=--=+-
当23443220()()y x x x x '=--=+-=时，有122
23
,x x =-=。

函数单调区间列表分析如下：
因为214902150327(),()y y -=-
<=-<，所以方程在区间2
23(,)-上无根； 因为21490327()y -=-
<，而函数在2
3
(,)-∞-上单调增，函数值不可能变号，所以方程在该区间上无根；
因为2150()y =-<，函数在(2,+∞)上单调增，所以方程在该区间上最多有一个根，
而(3)=-10<0,y(4)=9>0，所以方程在区间(3,4)有一个根。

所以，该方程有一个根，隔根区间是(3.4)。

2．证明1sin 0x x --=在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于4
1
102-⨯的根，需要迭代多少次？
分析：证明方程在指定区间内有一个根，就是证明相应的函数在指定区间有至少一个零点。

解：令()1sin f x x x =--，
因为(0)10sin 010,(1)11sin1sin10f f =--=>=--=-<， 则(0)(1)0f f <，
由零点定理，函数f(x)在[0,1]区间有一个根。

由
41011
*1022222
n n n n n n b a b a x x -----≤
===<⨯ 有2n-1＞10000，又为210＝1024，213＝8192<10000，214＝16384>10000
所以n ＝15，即需要二分15次。

指出：
要证明的是有一个解而不是唯一解，因此不必讨论单调性。

3．试用迭代公式102
20
,1210
k k k x x x x +==++，求方程32210200x x x ++-=的根，要求精确到510-。

分析：精确到510-即误差不超过51
102-⨯
解：令32()21020f x x x x =++- 列表进行迭代如下：
指出：
精确到510-可以从两个方面判定。

第一，计算过程中取小数到510-位，最后两个计算结果相同，终止计算。

第二，计算过程中取小数到610-，当
511
102
k k x x -+-<⨯终止计算。

本题采用第一种方法。

4．将一元非线性方程20cos x x e -=写成收敛的迭代公式，并求其在005.x =附近的根，要求精确到210-。

解：20cos x x e -=改写为222110cos cos cos x x x
x x
x e e e
=⇒
=⇒-=，则 21cos x
x
x x e =+-，设 21cos ()x
x
g x x e =+- 有
22224111)
sin cos (sin cos )
()()x
x
x x
x
x xe xe x x g x e e e π
+
--+'=+=-=-
在005.x =处，因为
05
054051096151..)
(.).g e
π
+
'=-
=<
所以迭代法121cos ()k
k
k k x x g x x e +=+-在005.x =的邻域内收敛。

列表迭代如下：
此时0692069000614.cos ..e -=。

5．为求方程3210x x --=在015.x =附近的一个根，设将方程改为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：
1221
3
2
231211
2
1111121111
31
1(),;(),();(),.()k k
k k
k k x x x x x x x x x x x x +++=+
=+=+=+==--迭代公式迭代公式迭代公式
试分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有4位有效数字的近似值。

解：（1）因为211x x =+
，所以迭代函数为21
1()g x x
=+，则 23212()()()g x x x x --'''===-，3322
152151153375
(.)...g -'=-⨯==<满足局部
收敛性条件，所以迭代公式12
1
1k k x x +=+
具有局部收敛性。

（2）因为123
1()x x =+,所以迭代函数为123
1()()g x x =+,则
1212233
2
23
12212133
31()()()()
x g x x x x x x --'=+=+=
+,
223
21515045613115.(.).(.)
g ⨯'=
=<+满足局部收敛性条件,所以迭代公式
12311()k k
x x +=+具有收敛性。

（3）因为12
11()
x x =
-，所以迭代函数为12
11()()
g x x =
-，则
1312211
1122
()()()g x x x ---'=--=--，
3
232
1
115151141412
205
(.)(.)..g -'=-=
=>⨯不满足收敛性条件，所以迭代公式
112
11()
k k x x +=
-不具有收敛性。

用迭代公式12
1
1k k x x +=+列表计算如下：
所以，方程的近似根为1465*.x ≈。

6．设23()()x x C x ϕ=+-，应如何取C 才能使迭代公式1()k k x x ϕ+=具有局部收敛性？
解：设C 为常数，因为23()()x x C x ϕ=+-，所以12()x Cx ϕ'=+，要使迭代公式具有局部收敛性，需00121()x Cx ϕ'=+<，此时即有01121Cx -<+<，也即
010Cx -<<。

即只要C 取满足如上条件的常数，就可以使得迭代公式具有局部
收敛性。

指出：
本题的一般形式为：
设()()x x Cf x ϕ=+，应如何取C 才能使迭代公式1()k k x x ϕ+=具有局部收敛性？
显然，()()x x Cf x ϕ=+是迭代格式1()k k x x ϕ+=相应的迭代函数，因此该迭代格式要求解的方程是()()()0x x x x Cf x f x ϕ=⇒=+⇒=。

也就是说，这是如何选择C ，构造一个求解方程f(x)=0的收敛的迭代格式的问题。

因为()()x x Cf x ϕ=+，所以()1()x Cf x ϕ''=+， 要使迭代格式收敛，需()1()1x Cf x ϕ''=+< 解之得2()0Cf x '-<<，
即C 与()f x '异号，且()2Cf x '<。

下面的讨论利用了本题的特殊条件，求出了具体的结果：
因为23()()x x C x ϕ=+-，所以当2(3)x x C x =+-时，有2(3)0C x -=，则
x =23()()x x C x ϕ=+-的不动点为*x =。

而12()x Cx ϕ'=+， 根据局部收敛性定理，
当
1210
c ϕ'=+<⇒<<； 当
(12(10
C c ϕ'=+<⇒<<
时，迭代格式收敛到 7．用牛顿法求方程3310x x --=在初始值02x =邻近的一个正根，要求
3110k k x x -+-<。

解: 因为3310x x --=
所以有3()31f x x x =--，相应的迭代公式为
33122
3121
3333
k k k k k k k x x x x x x x +--+=-=-- 取x 0=2为迭代的初始近似值。

迭代的结果列表如下：
因为3321
0.0001102
x x --=<⨯,符合计算的精度要求,所以
*3 1.8794x x ≈=。

8．用牛顿法解方程1
0c x -=，导出计算数c 的倒数而不用除法的一种简单
的迭代公式。

用此公式求0.324的倒数，设初始值03x =，要求计算有5位有效数字。

解：对于方程10c x -=，有1
()f x c x =-，相应的迭代公式为
212121k
k k k k k
c x x x x cx x +-=-=--。

应用该迭代公式求0.324的倒数，列表计算如下
所以
1
308640324..≈。

指出：
如果将方程1
0c x
-=改写为等价的10cx -=，则有1()f x cx =-，相应的迭代公式为
111
k k k cx x x c c
+-=-
= 无法展开迭代。

9．设a
lim
k 。

解：设a 为正实数，n 为自然数，由牛顿法，方程0()n f x x a =-=的解为
111
11()()
(1)1[(1)]k k k k n n n k k k k n n k k
n k n k
k n k
f x x x f x x a nx x a x nx nx n x a nx
a n x n x +----=-
'--+=-=-+=
=-+
由此，则
1111
11[(1)][(1)]lim 1[(1)(1)]1[(1)(1)]1
[((1)()lim n k n k k k k k n k k n
k k n k k a n x n x ax n a n x n a n x a n n x n --→∞----→∞-+-+==--+-=--+-=---
=111]2(1)
(1)(1)lim 22lim n n k k
k k a n a n x x -++→∞→∞
-⨯---====
指出：
本题中，表面上是k →∞的问题，
但实际上却是k x 1,k k x x +才是极限过程中实际的变量。

本质上。

本题实际上是求极限
11111[(1)][(1)]lim 1
[(1)]
n k n k k k k k n x a n x n x ax n x ax ----+-+==-+=
由于讨论的是0
型不定式，且不定式的分母上有2次的“0”因子，因此两
次应用罗必塔法则。

解二：首先证明一个定理：
定理：设**()0,()0f x f x '=≠，又设f(x)在*x 的某个邻域内具有连续的二阶导数，则牛顿迭代法具有局部收敛性，且有。

**1*2*()
lim ()()k k k
x x f x x x f x +→∞''-='-。

证明：因为()
()()f x g x x f x =-'
所以()2
()()()
()()()f x f x f x g x x f x f x '''⎛⎫'=-= ⎪''⎝⎭
因为f(x)在邻域内具有连续的二阶导数，所以()g x '在邻域内连续，且
()
***
2
*
()()
()0()f x f x g x f x '''=
='
由局部收敛性定理，牛顿迭代法具有局部收敛性。

对()2
()()()
()()()f x f x f x g x x f x f x '''⎛⎫'=-= ⎪''⎝⎭
求导，根据条件有 **
*
()
()()
f x
g x f x ''''=' 由收敛阶定理，若*
()0f x ''≠，则**
*
()
()0()
f x
g x f x ''''=≠'，牛顿迭代法二阶收敛，若*
()0f x ''=，则***
()()0()
f x
g x f x ''''=='，牛顿迭代法有更高的收敛阶。

因为牛顿迭代法有二阶收敛性，所以
*****1*2*()
()()
()lim ()2!2!2()k k k
f x x x
g x f x f x x x f x +→∞'''''''-==='-。

显然
如果*x 是方程f(x)=0的单根，则*()()()f x x x x ϕ=-，且*()0x ϕ≠。

此时*()()()()f x x x x x ϕϕ''=+-，则**()()0f x x ϕ'=≠，
可见定理中的条件“**()0,()0f x f x '=≠”可以等价替换为“*x 是方程f(x)=0的单根”
对本题来说，
()n f x x a =-
，*x =是方程的单根，
所以
11(),0n n f x nx f n --''==≠
22()(1),(n n f x n n x f n n --''''=-=-
则
2n k k -=-===。

指出：
应用分组分解法进行因式分解，分子、分母约去“0”因子，就可以按连续函数的极限性质求解了。

10．用快速弦截求方程3310x x --=在初始值02x =邻近的实根（取1 1.9x =，要求精确到310-）。

解: 因为3310x x --=
所以有3()31f x x x =--，相应的迭代公式为
111()
()()()k k k k k k k f x x x x x f x f x +--=---
取x 0=2为迭代的初始近似值。

迭代的结果列表如下：
因为3431
0.0000102
x x --=<⨯,符合计算的精度要求,所以
*4 1.8794x x ≈=。

指出：
本教程所说快速弦截法是通常所说的弦截法（割线法），而它所说弦截法是通常的单点弦截法。

11、分别用下列方法求方程4cos x x e =在04
x π=邻近的根，要求有三位有效
数字。

（1）用牛顿法，取04
x π=；
（2）用弦截法，取01,4
2
x x π
π
=
=
；
（3）用快速弦截法，取01,4
2
x x π
π
=
=。

解：方程4cos x x e =变形为4cos 0x e x -=， 则()4cos ,()4sin x x f x e x f x e x '=-=+。

牛顿法、弦截法、快速弦截法公式分别为 （1）牛顿法
1()4cos ()4sin k k
x k k
k k k x k k f x e x x x x f x e x +-=-=-'+； （2）弦截法
1()
(0.785)() 1.81
k k k k k f x x x x f x +=-
-+；
（3）快速弦截法
111()
()()()
k k k k k k k f x x x x x f x f x +--=-
--。

取3位有效数字，分别计算得
补充题 （一）
1、确定方程x 5+x-10＝0的根的个数，找出隔根区间。

2、用二分法求方程f(x)=x 3＋2x-5=0在［2，3］的根的近似值，要求误差不超过0.005。

3、用二分法求方程f(x)=x 3－2x-5=0在［2，3］的根的近似值，要求误差不超过0.05。

4、用二分法求方程2
()sin 04
x f x x =-=的非零实近似根，使误差不超过10
－2。

5、分析方程()sin 02
x
f x x =-=的根的分布情况，并用二分法求正根的近似值，使误差不超过10－2。

6、估计用二分法求方程f(x)=x 3＋4x 2-10=0在［1，2］内的根的近似值，为使误差不超过10－5时所需要的二分次数。

分析与解答
1、令510y x x =+-,
451y x '=+,
显然0y '>,而且函数没有不可导点, 所以，函数在区间(,)-∞∞上是单调增的， 故方程最多有一个根。

因为(0)100,(2)240y y =-<=>，
所以方程在（0，2）区间有一个根，（0，2）即为方程的隔根区间。

2、因为f(2)=7＞0，f(3)=28＞0，实际上本方程在指定范围内无根。

但如
3、因为f(2)=－1＜0，f(3)=16＞0321
*0.052222
n n n n n n b a b a x x ----≤===<x *≈2.10
4、画出y=sinx 和2
4
x y =的曲线，可以看出，
两条曲线除了原点外，在第一象限有且只有一个
交点。

交点的横坐标介于1.5与2之间（显然，
π／2≈1.5，sin(π／2)=1，2
()214π
<，所以在π／2f(x)＞0，而当x ＝2时，214
x
=，sinx ＜1,所以在2点，
f(x)＜0。

5、画出y=sinx 和2
x
y =
的曲线，可以看出，两条曲线除了原点外，在第一象限有且只有一个交点。

交点的横坐标介于1.8与1.9之间（根据图像，用计算
器计算估计，当sinx 的值从大于2
x
的值变为小于时，隔根区间就找到了）。

要求│x *－x n │≤0.01，可以求出用二分法计算的次数。

在区间［1.8，1.9］上，因为
1.9 1.80.1
*0.012222
n n n n n n b a b a x x ----≤===<
所以，n=4。

具体计算过程如下
*4 指出：
确定求根区间和根的初始近似值，应用MATLAB 工具，用交轨法是重要的途径，可以先确定大致范围，再缩小区间重新画图精细化。

在用普通的手工画草图的方法画交轨图的时候，可以借助于计算器使得隔根区间更短，但这种方法只对简单问题有效。

6、│x *－x n │≤10－5，即
5
2111022
n n
--=≤ ，所以 2n ≥105。

因为215＝32768，216＝65537，217＝131072，所以n=17。

（二）
1、对于方程3x 2－e x ＝0，为求最大正根与最小正根的近似值，试分别确定迭代函数g(x)及区间［a,b]，使得当x 0∈[a,b]时，相应的迭代过程x k+1=g(x k )收敛到要求的根。

2、证明：当x 0=1.5时，迭代法
1k x +=
和1k x += 都收敛于方程f(x)=x 3+4x 2-10=0在区间［1，2］内的唯一实根x *，分别用上述迭代法求满足精度│x k+1－x k │≤10－5的近似根。

3、为求方程f(x)=x 3－x 2－1＝0在x 0＝1.5附近的一个根，可将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式
［1］改写成21
1x x
=+,迭代公式为1211k k x x +=+；
［2］改写成x 3=1+x 2，迭代公式为1k x +=
［3］改写成21
1
x x =
-，迭代公式为1k x += 试分析每一种迭代公式的收敛性。

分析与解答
1、根据3x 2和e x 的图像可知，方程3x 2－e x ＝0在实数域上有三个根，分别在区间(－1,0)，(0,1)，(3,4)内。

其最大正根在［3，4］区间，最小正根在［0，1］区间。

取迭代函数g(x)=ln3x 2，可以得到最大正根，而取迭代函数
()g x =
2、两种迭代法的迭代函数分别在区间［1，2］和［1，1.5］上满足定理2（不动点原理）的条件，故当x 0=1.5时两种迭代法都收敛，且分别迭代9次和25，都可得到近似根1.36523。

我们讨论第一种迭代法，用定理2证明。

它的迭代函数为()g x =。

首先，g(x)是一个减函数，当x=1时，(1)g =x ＝2时，
(2)g =所以当x ∈[1,2]时，1＜g(2)≤g(x)≤g(1)＜2，即g(x)∈[1,2]。

其次，()g x '=，显然这是一个增函数，当x ＝2时，其函数
值为
(2)g '==，所以，g ／(x)＜ g ／(2)＜1。

指出：只给出了含根区间，就只能用定理2证明。

3、［1］给出了初始近似值，也即知道了精确根的大致位置，可以用定理4（局部收敛性定理）证明。

由题意，方程有实根。

下面证明g ／(x)连续和g ／(x *)＜1（x *是方程的精确根）。

方程2312
()1,()g x g x x x
'=+=，可见g ／(x)在1.5及其附近是连续减函数，因
为g(1.5)= －0.59，1.5又在x *的邻域内，由函数g ／(x)的连续性，g ／(x *)＜1，所以此迭代法具有局部的收敛性。

指出：
一般地说，用定理2（不动点原理）证明只要利用函数的单调性与区间上的最值就可以讨论，而用定理4（局部收敛性定理）则需要用到函数的连续性。