七年级数学竞赛第17讲 不等式的应用

3× 10 <3，4× 10 >3，即每辆车只能运走 3 只箱子，4 辆汽车只能运走 12 只箱子，还剩一只箱子，故至
13
13
少需 5 辆汽车。
例 6．在边防沙漠地带，巡逻车每天行驶 200 千米，每辆巡逻车可装载供行驶 14 天的汽油，现有 5 辆巡逻 车同时从驻地 A 出发，完成任务后再沿原路返回驻地，为了让其中 3 辆尽可能向更远的地方巡逻，然后一 起返回，甲、乙两车行至途中 B 处后，仅留足自己返回驻地所必需的汽油，将多余的汽油留给另外 3 辆使 用，问其他 3 辆车可行进的最远距离是多少千米?
（2）有 A，B，C、D 四个排球队进行单循环赛，记分规则是：两队比分为 3 : 0 或 3 : 1 时，胜队积 3 分，负队积 0 分；比分为 3 : 2 时，胜队积 2 分，负队积 1 分。比赛结果是 A 队和 B 队并列第一，C 队和 D 队分别获得第三和第四问：四个队的总积分有几种不同的情况?并对每种情况，列出各队每场的积分。
箱子总重量为 a1+a2+…+an=10，将各个不等式相加，得到
2 + 2 + + 2 a1 + a2 + + an 3 + 3 + + 3
n个2
n个3
即 2n10≤3n，解得 10 ≤n≤5，正整数 n=4 或 5， 3
但是 4 辆汽车是不够的，比如，有 13 只箱子，每只箱子的重量为 10 吨， 13
那么，M，N 的大小关系是( )。
A．M>N
B．M=N
C．M<N
D．不能确定
8．要使方程组
3x 2x
+ +
2y 3y
= =
a, 2,
的解是一对异号的数，则 a 的取值范围是(
)。
A． 4 a 3 3
B． a 4 3
C． a 3
D． a 4 或 a 3 3
(浙江省竞赛题)
9．已知 a，b，c，d 都是整数，且 a<2b，b<3c，c<4d，d<50，那么，a 的最大值是（ ）。
问题解决：
例 1．若 a，b 满足 3a2+5|b|=7，s=2a2−3|b|，则 s 的取值范围是
。
解题思路：用 s 的代数式表示 a2，|b|，由 a2≥0，|b|≥0 建立关于 s 的不等式组。
(广西竞赛题)
例 2．设 a，b 是正整数，且满足 56≤a+b≤59，0.9< a ≤0.91，则 b2−a2 等于（ ） b
刻意练习
1．已知方程组
x − y = 2, mx + y = 6,
若方程组有非负整数解，那么正整数
m
的值为
。 (天津市竞赛题)
2．已知 a+b+c=0，a>b>c，则 c 的取值范围是
。
a
(江苏省竞赛题)
3．按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值 x”到“结果是否>487”为一次操作。如
求“相等”的策略和思想。
例 8．求最小的正整数 n，使得存在 n 个不同的正整数与 s1，s2，…，sn 满足 (1− 1 )(1− 1 ) (1− 1 ) = 51 .
s1
s2
sn 2010
(国际数学奥林匹克试题)
解题思路：面对多元不定方程，要求“最小的正整数 n”，考虑连续正整数，通过放缩化相等为不等。
5x + 3y = 35
从面问题即是在约束条件
x4
下，求 y 的最大值，解得 y=5。
y 0
∴其他 3 辆车可行进的最远距离是：200×(4+5)=1800(千米)。
例 7．已知甲、乙丙三种食物的维生素含量和成本如下表：
甲种食物
乙种食物
维生素 A(单位/千克)
300
600
维生素 B(单位/千克)
(“宗沪杯”竞赛题)
18．数学与体育： 400 米跑道是怎样划分的? 如何用数学来证明足球比赛对上场人数的规定? 在多数人眼里，体育与数学
往往只能擦肩而过，但数学与体育实际上却联系密切。 （1）在一次球类比赛中有八个队参赛，每两队要进行一场比赛，胜一场得 2 分，平一场得 1 分，负场
得 0 分。若一个队要确保进入前四名(即积分至少要超过其他四个队)，问该队的积分最少是多少？ (四川省竞赛题)
式，这里要用到整数的如下性质。设 a，b 为整数，若 a<b，则 a+1≤b。
例 4．有甲，乙两台计算机，甲计算机完成一项计算任务需要 8 个小时，乙计算机完成同样计算任务需要 16 个小时，如果甲和乙同时计算，由于存在数据交换方面的原因：它们的计算速度都会降低九分之一。已知甲 计算机工作每小时耗电 3 度，乙计算机工作每小时耗电 1 度。而电表中仅有 20 度电，完成该项计算任务最 少需要多少小时?
z
120,
解得
y
20,
700x +100y + 300z 40000,
7x + y + 3z 400, z 45,
所以至少要用甲种食物 35 千克，乙种食物 20 千克，丙种食物至多能用 45 千克； （2）由于限定甲种食物用 50 千克，则乙，丙两种食物之和为 50，
50 + y + z = 100,
由题意得： 30050 + 600y + 300z 36000,
70050 +100y + 300z 40000,
y + z = 50, 化简为 2 y + z 70,
y + 3z 50,
解得
y+ 20
z = 50, y 50，
所以当乙种食物 y=20 时，S 最小=50×6+20×4+30×3=470；
果操作进行四次才停止，那么 x 的取值范围是
。
输入 x
是
×3
−2
>487
停
否
(全国初中数学竞赛题)
4．100 名少年运动员胸前的号码分别是 1，2，3，…，99，100，选出其中的 k 名运动员，使得他们的号码
数之和等于 2008，那么 k 的最大值是
。
(两岸四地少年数学精英邀请赛试题)
5．小马在体育场卖饮料，雪碧每瓶 4 元，汽水每瓶 7 元。开始时，他有 350 瓶饮料，虽然没有全部卖完，
A．1157
B．1167
C．1191
D．1199
(“希望杯”邀请赛试题)
10．宜宾市某化工厂，现有 A 种原料 52 千克，B 种原料 64 千克，现用这些原料生产甲、乙两种产品共 20
件，已知生产 1 件甲种产品需要 A 种原料 3 千克，B 种原料 2 千克；生产 1 件乙种产品需要 A 种原料 2 千
(“时代杯”江苏省中学数学应用与创新邀请赛试题)
17．设 x1，x2…，x2008 是整数，且满足下列条件： （1）−1≤xn≤2 (n=1，2，…，2008)； （2）x1+x2+…+x2008=200； （3）x12+x22+…+x20082=2008； 求 x13+x23+…+x20083 的最小值和最大值。
当乙种食物 y=50 时，S 最大=50×6+50×4+0×30=500，
所以配制这 100 千克食品的总成本 S 的取值范围大于或等于 470 而且小于或等于 500。
放缩法： 放缩法，即将代数式的某些部分恰当地放大或缩小，从而得到相应的不等式，以达到解决问题的目的。 放缩法的实质是构造不等式，通过缩小范围逼近求解，放缩法体现了化相等”为“不等”，以“不等”
例 5．货轮上卸下若干只箱子，其总重量为 10 吨，每只箱子的重量不超过 1 吨，为了保证能把这些箱子一
次性运走，问：至少需要多少辆载重 3 吨的汽车？
(江苏省竞赛题)
分析与解：因为每只箱子的重量不超过 1 吨，所以每辆汽车一次可运走的箱子重量不会少于 2 吨，否则还
可再放一只箱子，设共需 n 辆汽车，它们运走的重量依次为 a1，a2，…，an，则 2<ai≤3 (i=1，2，…，n)且
克，B 种原料 4 千克，则生产方案的种数为( )。
A．4
B．5
C．6
D．7
(2016 年四川省宜宾市中考题)
11．某班同学参加社区公益活动——收集废旧电池，其中，甲组同学平均每人收集 17 个，乙组同学平均每
人收集 20 个，丙组同学平均每人收集 21 个。若这三个小组共收集了 233 个废旧电池，则这三个小组共有
(河北省竞赛题) 分析解答：本例的关键是列出汽车行驶路程的关系式，运用不等式分析量的取值范围，进而求出最大值。
解：设 5 辆巡逻车行到途中 B 处时用了 x 天，从 B 到最远处用 y 天，则有 2[3(x+y)+2x]=14×5，即 5x+3y=35。
又由题意，得 x>0，y>0，且 14×5−(5+2)x≤14×3，即 x≥4。
学生( )人。
A．12
B．13
C．14
D．15
(天津市竞赛题)
12．下表是小洁打算在某电信公司购买一支 MAT 手机与搭配一个门号的两种方案，此公司每个月收取通话 费与月租费的方式如下：若通话费超过月租费，只收通话费；若通话费不超过月租费，只收月租费。若小洁 每个月的通话费均为 x 元，x 为 400 到 600 之间的整数，则在不考虑其他费用并使用两年的情况下，要使得
选择乙方案的总花费比甲方案便宜，x 至少为( )。
甲方案
乙方案
门号的月租费/元
400
600
MAT 手机价格/元
15000
13000
注意事项：以上方案两年内不可变更月租费
A．500
B．516
C．517
D．600
(2016 年台湾省中考题)
13．设 x1，x2，…x7 为自然数，且 x1<x2<…<x6<x7，又 x1+x2+…+x6+x7=159，求 x1+x2+x3 的最大值。 (安徽省竞赛题)
(日本数学奥林匹克试题)
16．加工某型号零件，有三道工序，要求先加工第一道工序，然后加工第二道工序、最后加工第三道工序， 其工作量分别是 2a，a，4a。甲、乙两人同时加工该型号的一批零件，单位工作时间内甲完成的工作量是 5b， 乙完成的工作量是 4b，当甲做完第 m(m>2)个零件的第二道工序时，乙在做第 n 个零件的第一道工序，问此 时乙最少加工完了多少个零件?(结果用数字表示)
(“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题) 解题思路：设乙单独工作 x 小时，甲单独工作 y 小时，甲和乙两台计算同时工作 z 小时，完成此项计算任务 需要时间为(x+y+z)小时，则 x，y 和 z 满足：
x
+
y + 8(
1
+ 1)z
=1
16 8 9 16 8
x + 3y + 4z 20
①
，
②
怎样求解混合关系式?解方程①，代入不等式②及(x+y+z)。
但是他的销售收入恰好是 2009 元，则他至少卖
瓶汽水。
(青少年国际数学城市邀请赛试题)
6．设
a，b
为正实数，m
为正整数，且满足
a ab
+ b 14, 48 + m,
，则
m
的值是
。 (四川省竞赛题)
7．a1，a2，…，a2004 都是正数，如果 M=(a1+a2+…+a2003)(a2+a3+…+a2004)，N=(a1+a2+…+a2004)(a2+a3+…+a2003)，
第 17 讲 不等式的应用
知能概述： 现实世界中不等关系是普遍存在的，通过求出或确定某个量的变化范围或变化趋势，从而对所研究的问
题有一个较清晰的估算或认识，这就是不等分析的思想。 不等式应用主要表现在：比较数的大小；求代数式的取值范围；求代数式的最值；列不等式解实际问题
等。 适当放缩、有效夹逼是运用不等式解相关问题的常用技巧。
700
100
成本(元/千克)
6
4
丙种食物 300 300 3
某食品公司欲用这三种食物wk.baidu.com合配制 100 千克食品，要求配置的商品中至少含 36000 单位的维生素 A 和 40000 单位的维生素 B。
（1）配制这 100 千克食品，至少要用甲种食物多少千克?丙种食物至多能用多少千克? （2）若限定甲种食物用 50 千克，则配制这 100 千克食品的总成本 S 的取值范围是多少？
14．请回答： 1 能否表示为 3 个互异的正整数的倒数和? 1 能否表示为 3 个互异的完全平方数的倒数和?如
8
8
果能，请给出一个例子；如果不能，请说明理由。
(“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)
15．将 38 个苹果放到一些盒子中，除去几个放有 10 个苹果的盒子外，其余每个盒子放 6 个，一共有多少 个盒子？
A．171
B．177
C．180
D．182
(全国初中数学竞赛题)
解题思路：通过放缩，化二元一次不等式组为一元一次不等式组是解本例的关键。
例 3．已知 a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7 是彼此互不相等的正整数，它们的和等于 159，求其中最小数 a1 的最 大值。
(北京市竞赛题) 解题思路：设 a1<a2<a3<…<a7，则 a1+a2+a3+…+a7=159，解题的关键是怎样把多元等式转化为只含 a1 的不等
(四川省竞赛题) 解：（1）设配制这 100 千克食品中, 至少要用甲种食物 x 千克，乙种食物 y 千克，丙种食物至多能用 z 千克.
x + y + z = 100,
x + y + z = 100,
x 35,
据题意可得 300x + 600 y + 300z 36000,
化简为
x+
2y
+