第2章 流变学的基本概念讲解

2.1.1 拉伸和单向膨胀
ε称为应变，或拉伸应力方向上的应变。 显然， 拉伸时λ＞1，μ＜1，则有ε和δ均＞0； 压缩时λ＜1，μ＞1，则有ε和δ均＜0； 流体元的体积变化率： ΔV/V=(1+ε)(1- δ)2 -1≈ε-2δ
2.1.2 各向同性的压缩和膨胀
（2）各向同性的压缩和膨胀 若压缩比 则压缩应变ε= α-1 (ε<<1) 压缩时，ε<0；膨胀时，ε>0。 流体元的体积变化率： ΔV/V= α3-1=(1+ε)2 -1≈3ε
第2章 流变学的基本概念
主要内容
2.1 流体形变的基本类型 2.2 标量、矢量和笛卡尔张量的定义 2.3 应力张量和应变张量 2.4 本构方程和材料函数
第2章 流变学的基本概念
流变现象
力学行为 应力-应变(速率)的关系
理想化模型
应力 应变 应变速率
流体均匀各项同性 应力-应变亦如此
2.1 流体形变的基本类型
定义：由具有确定质量的、连续地充满空间 的众多微小质点(微团)所组成的，微团之间无 孔洞，在流体的流动形变过程中相邻微团永 远连接，既不能超越也不能落后。
2.2 标量、矢量和笛卡尔张量的定义
2.2.1 标量、矢量、张量的物理定义
（a）标量
在选定了测量单位后，仅由数值大小所决定 的物理量，与事件发生、发展的方向无关。 如温度T、能量E、体积V、时间t等。
1
0

0 0 1
2.2.3.1 几个特殊张量
2）对称张量 张量的分量满足 ij ji ，则称这样的张量为对称 张量。
11 12 13 11 12 13




21
22

23




22

23
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31 32 33 33
1、物体受力的三种类型： （1）外力 ——也称为长程力，指作用于物体上的非接 触力，如重力、电场力、磁场力等； （2）表面力 ——指施加在物体外表面的接触力。是物体 内的一部分通过假想的分离面作用在相邻部 分上的力，即外力向物体内传递，常作为边 界条件处理；
2.2.3.1 几个特殊张量
3）并矢张量
将矢量A和矢量B按以下形式排成数组：
A1B1



A2
B1
A3B1
A1B2 A2 B2 A3 B2
A1B3
A2
B3

A3B3
并矢张量或两矢量的矢并积是二阶张量的特
殊形式，数组内的各元素是矢量的分量之积。 注意：两个矢量之间没有任何乘号，一般情况 下，AB≠BA
2.2 标量、矢量和张量的定义
3.数学定义
不同坐标变换，不同的集合满足不同转换关 系：
标量： 矢量：
张量：

(
x1
,
x2
,
x3
)


(
x' 1
,
x' 2
,
x' 3
)
Fi
(x1,
x2 ,
x3 )

Fk'
(x' 1
,
x' 2
,
x' 3
)ki
Fi
'
(
x' 1
,
x' 2
,
x' 3
)

Fk
( x1 ,
x2 ,
x3 )ik
tij
( x1 ,
x2
,
x3
)

t' m
(x' 1
,
x' 2
,
x' 3
)mi
nj
t' ij
(x' 1
,
x' 2
,
x' 3
)

tmn
(x1,
x2
,
x3
) im
jn
2.2.3 张量的运算
2.2.3.1 几个特殊张量
1）单位张量（克罗内克算子）
1 0 0
I
ij


0
三种最基本的形变类型： （1）拉伸和单向膨胀
（2）各向同性的压缩和膨胀
（3）简单剪切和简单剪切流
2.1.1 拉伸和单向膨胀
（1）拉伸和单向膨胀 在拉伸实验中，流体元在拉伸方向上的长度 增加，而在两位两个方向上长度则缩短。
若L’=λL，M’=μM，N’=μN 且ε=(L’-L)/L,δ=(M-M’)/M=(N-N’)/N 则有λ=1+ ε，μ=1-δ（ε、δ<<1）
2.1.3 简单剪切与简单剪切流
简单剪切中，顶面相对于底面发生位移w，高 度l 保持不变，则变形γ可表示如下：
γ=ω/l=tanθ==1 若γ<<1,则γ≈θ
γ表示剪切应变（shear strain）

剪切应变速率(剪切速率)：（shear rate）
一个假设：

d
dt
在模型推导和计算中，一般将流场中的流体 都当作连续介质来处理。
（b）矢量
在选定了测量单位后，由数值大小和空间的 方向决定的物理量。如位置p、速度u、加速 度a、动量mv、力F等。
2.2.1 标量、矢量、张量的物理定义
（c）张量 在笛卡尔坐标系中，在一点处不同方向上、 具有不同量值的物理量，称为张量或笛卡尔 张量。 张量是矢量的推广，是比矢量更为复杂的物 理量，如应力张量、应变张量、应变速率张 量、取向张量等 什么是笛卡尔坐标系？
T PQ
2.2.4 张量的重要性
①在一个坐标系中，笛卡尔张量所有分量都等于零， 在所有笛卡尔坐标系中也为零。
②两个同阶笛卡尔儿张量的和或差仍是同阶张量，于 是同阶张量的任何线性组合仍是同阶张量。
③如果某个张量方程在一个坐标系中能够立，那么对 于允许变换所能得到的所有坐标系，也一定成立。
2.3 应力张量和应变张量
T

P



P21
P22
P23




P21
P22

P23

P31 P32 P33 P31 P32 P33
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
4）向量和张量的乘积
向量与张量点乘，其积均为一个矢量。
5）张量与张量乘积（单点积）
张量与张量单点积得一张量：
2.2.3.2 张量的代数运算
1）张量相等
在同一坐标系中，如两张量的各个分量全部 对应相等，则两张量相等。
PQ
2）张量的加减
按矩阵方法，两张量对应分量相加减。
T PQ
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
3）张量与标量的乘（除）
即把张量的各个分量分别乘以标量
P11 P12 P13 P11 P12 P13
笛卡尔坐标系 是直角坐标系和斜角坐标系的
统称。.
斜角坐标系通常把x轴和y轴配置在水平面上 ，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右 手规则，即以右手握住z轴，当右手的四指从 正向x轴以π/2角度转向正向y轴时，大拇指的 指向就是z轴的正向，这样的三条坐标轴就组 成了一个空间直角坐标系，点O叫做坐标原 点。这样就构成了一个笛卡尔坐标。