响应面方法
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• ������������������ො������=31.63-2.28N=0； N=13.87（kg） • ������������������ො������=8.21-0.38P=0；P=21.61（kg） • 因而由回归方程估计得尿素施用量为13.87kg，
过磷酸钙施用量为21.61kg时产量最高。
295.9 363.3 361.7
325.3 336.3 381.0
320.5 353.7 369.5
286.9 322.5 345.9
219.9 278.0 319.1
15 301.4 368.4 345.4 362.4 388.2 344.6 290.5
18 270.3 335.1 351.5 382.2 355.3 353.5 281.2
76.70 31.63
8.21 -1.14 -0.19
标准误
6.06 1.17 0.50 0.06 0.01
t
12.66** 27.02** 16.37** -18.22** -16.45**
图1 大麦产量 对于氮、磷肥 的响应面图
• 分别对回归方程求对 N 和 P 的偏导数，并令偏 导数等于0，可求得极值：
• 正交试验设计所得到的优方案只能限制在已定的水平上，而不是一定试 验范围内的最优方案；回归分析可以对结果进行预测和优化，但只能被 动的处理和分析。两者的优势结合起来，有合理的试验设计和较少的试 验次数，建立有效的数学模型。
• 许多试验设计与优化方法，特别是在做回归分析过程中，都未能给出直 观的图形，因而也不能凭直觉观察其最优化点，虽然能找出最优值，但 难以直观地判别优化区域。
• 建模最常用和最有效的方法之一就是多元线性回归方法。对于非线性体系 可作适当处理化为线性形式。
• 设有ｍ个因素影响指标取值，通过试验测量，得到ｎ组试验数据。假设指 标与因素之间的关系可用线性模型表示，则可将各系数写成矩阵式。
• 应用最小二乘法即可求出模型参数矩阵，将矩阵代入原假设的回归方程， 就可得到响应关于各因素水平的数学模型，进而可以图形方式绘出响应与 因素的关系图。
响应面设计与实验数据处理
响应面优化法
• 响应面优化法（相应曲面法； Response Surface Methodology， RSM ），是20世纪90年代初西方所兴起的一种实验统计方法。 响应曲面等值线的分析寻求最优工艺参数，将复杂的未知的 函数关系，在小区域内用简单的一次或二次多项式模型来拟 合因素与响应值之间函数关系的一种统计方法。适宜于解决 非线性数据处理的相关问题。
误差
44 8180.37 185.92
总变异 48 340172.32
• 该模型的回归变异占总变异的98%，因此可以较好地 说明施用N、P对产量的影响。
• 二元二次多项式回归系数及其显著性检验见表4
表 4 二元二次多项式回归的回归系数及其显著性测验(缩减模型)
参数
b0 b1 b2 b4 b5
回归系数估计值
• 囊括了试验设计、建模、检验模型适合性、寻求最佳组合条 件等众多实验和统计技术；通过对过程的回归拟合和响应曲 面与等高线的绘制、可方便地求出响应于各因素水平的响应 值。在各因素水平的响应值的基础上，找出预测的响应最优 值以及相应的实验条件。
• 前提：设计的实验点应包括最佳的实验条件，如果实验点的 选取不当，使用响应面优化法是不能得到很好的优化结果的。 因而，在使用响应面优化法之前，应当确立合理的实验的各 因素与水平。
方法。
• 以BBD为例说明Design-Expert的使用，CCD，PB与此类 似。
打开design expert软件， 进入主界面，然后点击 file，点击new design选 项卡创建一个新的试验 设计工程文件。
组合设计，结合过程变量，混合各组成和分类的因素
配方设计，找到最佳配方
RSM，找到理想过程，达到最佳性能，点击 Response Surface选项卡，进入响应面试验设计。
• 一个简单实用的方法就是以响应的计算值与试验值之间的相关系数是否接近于 １或观察其相关图是否所有的点都基本接近直线进行判别。
Design-Expert?Software
持水力（g/g） Design points above predicted value Design points below predicted value 9.2
• 例如农作物产量与N、P、K的施肥量有关，可以 通过回归分析建立产量与施肥要素间的回归关系， 从而求得最佳施肥配方。
• 例1、有一个大麦氮磷肥配比试验，施氮肥量为每亩 尿素0，3，6，9，12，15，18kg 7个水平，施磷肥 量为每亩过磷酸钙0，7，14，21，28，35，42kg 7 个水平，共49个处理组合，试验结果见表1，试作产 量对于氮、磷施肥量的响应面分析。
• 模型中如果只有一个因素（自变量），响应（曲）面是二维空间中的一条 曲线；当有两个因素时，响应面是三维空间中的曲面。
• 在回归分析中，观察值y可以表述为：
• y=f（x1，x2，···，xl）+ε
• 其中 f（x1，，···，xl）是 x1，x2，···，xl 自变量
的函数， ε 是误差项。
• 在响应面分析中，首先要得到回归方程：
b1
1 219217.93 219217.93 1179.11** F = 0.05(1,44) 4.06;F0.01(1,44)=7.24
b2
1
754.29 754.29
4.06*
b4
1 61688.63 61688.63 331.81**
b5
1 50331.10 50331.10 270.72**
• 响应面即回归的正交试验设计，考虑了实验随机误差；可以在因素的试 验范围内选择适当的试验点，用较少的试验建立一个精度高，统计性质 好的回归方程，并能解决试验优化问题。
• 所获得的预测模型是连续的，与正交实验相比，其优势是：在实验条件 寻优过程中，可以连续的对实验的各个水平进行分析，而正交实验只能 对一个个孤立的试验点进行分析。
• 响应面分析是将体系的响应（如萃取化学中的萃取率）作为一个或多个 因素（如萃取剂浓度、酸度等）的函数，运用图形技术将这种函数关系 显示出来，以供我们凭借直觉的观察来选择试验设计中的最优化条件。
响应面设计模型种类
中心组合设计（Central Composite，包括通用旋转组合设计、二次组合设 计等）
• 使用该模型分析的结果为表3，从表3中可以看出b1、 b4、b5达到极显著水平，b2接近达到显著性，只有b3 达不到显著水平。
表 3 二元二次多项式回归的方差分析(缩减模型)
变异来源 DF
SS
MS
F
回归平方和 4 331991.95 82997.99 446.42** F = 0.05(5,44) 2.58;F0.01(5,44)=3.78
• Design-Expert 是全球顶尖级的实验设计软件，最容易 使用、功能最完整、界面最具亲和力的软件。在已经 发表的有关响应曲面（RSM）优化试验的论文中， Design-Expert是最广泛使用的软件。
• Plackett–Burman(PB)、Central Composite Design • (CCD)、Box-Behnken Design(BBD)是最常用的实验设计
磷肥
0 7 14 21 28 35 42
0 86.9 110.4 134.3 162.5 158.2 144.3 88.7
表1
3 162.5 204.4 238.9 275.1 237.9 204.5 192.5
大麦氮磷肥配比试验结果
氮肥
6
9
12
216.4 274.7 274.3
276.7 342.8 343.4
• 响应面分析中通过回归方程进行预测时一般不能 超过自变量的取值范围，例如氮肥的取值范围为 0至18 kg/亩，而磷肥的取值范围为0至42kg/亩。
用于响应面设计和分析的软件
仅可以处理 实验数据， 不可以进行 方案设计
SAS SPSS
Design- MiniExpert Tab
Design-Expert
• ���ො��� = f（x1，x2，···，xl）
• 然后通过对自变量x1，x2，···，xl 的合理取值， 求得最优的值���ො��� = f（x1，x2，···，xl），这就是
响应面分析的目的。
响应面分析实例
• 在多因素数量处理试验的分析中，可以分析试验 指标(依变量)与多个试验因素(自变量)间的回归 关系，这种回归可能是曲线或曲面的关系，因而 称为响应面分析。
9.2
7.27
X1 = A: 发酵时间 /h
8.8
X2 = B: 发酵温度 /℃
Actual Factor
8.4
C: 接种量 /% = 3.0
8
7.6
42.0
30.0
41.5
27.0
41.0
24.0
发酵温度 /℃
40.5
21.0
40.0 18.0
发酵时间 /h
响应面分析过程
• 要构造响应面并进行分析以确定最优条件或寻找最优区域，首先必须通过 试验获取大量的测量数据，并建立一个合适的数学模型（建模），然后再 用此数学模型作图。
1
754.29
754.29
4.00
1
69.31
69.31
0.37
1
61688.63 61688.63 327.04**
1
50331.10 50331.10 266.83**
43
8111.07 188.63
48 340172.32
• 从表2结果看，b2和b3这两个偏回归系数不显著，应该将模型 缩减，逐步去掉不显著的回归系数，结果见表3。得到的模型 为：yij=b0+b1Ni+b2Pj+b4Ni2+b5Pj2+ εij
BOX设计（Box-Behnken设计） 二次饱和和D-最优设计（D-optimal设计） 均匀设计 田口设计 ...... • 可以进行响应面分析的实验设计有多种，比如Plackett-Burman（PB）、
Central Composite Design（CCD）、Box-Behnken Design（BBD）。最常见 的是CCD与BBD。 • 主要以BBD为例说明Design-Expert的使用 • 注：选用的模型不同，设计方案也不同，所需做实验的次数也就不同的
因子设计，屏蔽无关 因素，指出重要因素
• 1.1 Response Surface Methods（RSM） 响应曲面
Central Composite：中心组合设计
Box-Behnken：Box-Behnken 设计
One Factor 单因子设计
Miscellaneous 混杂设计
Optimal 最优设计
误差
总变异
DF
SS
MS
F
5
332061.25 66412.25 352.08** F F = 0.05(5,43) 2.44; =3.49 0.01(5,43)
1
219217.93 219217.93 1162.16** F F = 0.05(1,43) 4.07; =7.27 0.01(1,43)
二因素响应面分析
• 在化学量测实践中，一般不考虑三因素及三因素以上间的交互作用。因此假设 二因素响应（曲）面的数学模型为二次多项式模型。
• 通过ｎ次测量试验（试验次数应大于参数个数，一般认为至少应是它的３倍）， 以最小二乘法估计模型各参数，从而建立模型；
• 求出模型后，以两因素水平为Ｘ坐标和ｙ坐标，以相应的响应为Ｚ坐标作出三 维空间的曲面（这就是２因素响应曲面）。
• 对于表1的数据可以采用二元二次多项式拟合，那么产量可表 示为：yij=b0+b1Ni+b2Pj+b3NiPj+b4Ni2+b5Pj2+ εij
其中Ni、Pj、εij 分别表示N、P施用量和误差，按此模型的方差 分析见表2。
表 2 二元二次多项式回归分析的方差分析(全模型)
变异来源回归ຫໍສະໝຸດ b1 b2 b3 b4 b5
• 应当指出，上述求出的模型只是最小二乘解，不一定与实际体系相符，也即， 计算值与试验值之间的差异不一定符合要求。因此，求出系数的最小二乘估计 后，应进行检验。
• 一个简单实用的方法就是以响应的计算值与试验值之间的相关系数是否接近于 １或观察其相关图是否所有的点都基本接近直线进行判别。
• 应当指出，上述求出的模型只是最小二乘解，不一定与实际体系相符，也即， 计算值与试验值之间的差异不一定符合要求。因此，求出系数的最小二乘估计 后，应进行检验。
过磷酸钙施用量为21.61kg时产量最高。
295.9 363.3 361.7
325.3 336.3 381.0
320.5 353.7 369.5
286.9 322.5 345.9
219.9 278.0 319.1
15 301.4 368.4 345.4 362.4 388.2 344.6 290.5
18 270.3 335.1 351.5 382.2 355.3 353.5 281.2
76.70 31.63
8.21 -1.14 -0.19
标准误
6.06 1.17 0.50 0.06 0.01
t
12.66** 27.02** 16.37** -18.22** -16.45**
图1 大麦产量 对于氮、磷肥 的响应面图
• 分别对回归方程求对 N 和 P 的偏导数，并令偏 导数等于0，可求得极值：
• 正交试验设计所得到的优方案只能限制在已定的水平上，而不是一定试 验范围内的最优方案；回归分析可以对结果进行预测和优化，但只能被 动的处理和分析。两者的优势结合起来，有合理的试验设计和较少的试 验次数，建立有效的数学模型。
• 许多试验设计与优化方法，特别是在做回归分析过程中，都未能给出直 观的图形，因而也不能凭直觉观察其最优化点，虽然能找出最优值，但 难以直观地判别优化区域。
• 建模最常用和最有效的方法之一就是多元线性回归方法。对于非线性体系 可作适当处理化为线性形式。
• 设有ｍ个因素影响指标取值，通过试验测量，得到ｎ组试验数据。假设指 标与因素之间的关系可用线性模型表示，则可将各系数写成矩阵式。
• 应用最小二乘法即可求出模型参数矩阵，将矩阵代入原假设的回归方程， 就可得到响应关于各因素水平的数学模型，进而可以图形方式绘出响应与 因素的关系图。
响应面设计与实验数据处理
响应面优化法
• 响应面优化法（相应曲面法； Response Surface Methodology， RSM ），是20世纪90年代初西方所兴起的一种实验统计方法。 响应曲面等值线的分析寻求最优工艺参数，将复杂的未知的 函数关系，在小区域内用简单的一次或二次多项式模型来拟 合因素与响应值之间函数关系的一种统计方法。适宜于解决 非线性数据处理的相关问题。
误差
44 8180.37 185.92
总变异 48 340172.32
• 该模型的回归变异占总变异的98%，因此可以较好地 说明施用N、P对产量的影响。
• 二元二次多项式回归系数及其显著性检验见表4
表 4 二元二次多项式回归的回归系数及其显著性测验(缩减模型)
参数
b0 b1 b2 b4 b5
回归系数估计值
• 囊括了试验设计、建模、检验模型适合性、寻求最佳组合条 件等众多实验和统计技术；通过对过程的回归拟合和响应曲 面与等高线的绘制、可方便地求出响应于各因素水平的响应 值。在各因素水平的响应值的基础上，找出预测的响应最优 值以及相应的实验条件。
• 前提：设计的实验点应包括最佳的实验条件，如果实验点的 选取不当，使用响应面优化法是不能得到很好的优化结果的。 因而，在使用响应面优化法之前，应当确立合理的实验的各 因素与水平。
方法。
• 以BBD为例说明Design-Expert的使用，CCD，PB与此类 似。
打开design expert软件， 进入主界面，然后点击 file，点击new design选 项卡创建一个新的试验 设计工程文件。
组合设计，结合过程变量，混合各组成和分类的因素
配方设计，找到最佳配方
RSM，找到理想过程，达到最佳性能，点击 Response Surface选项卡，进入响应面试验设计。
• 一个简单实用的方法就是以响应的计算值与试验值之间的相关系数是否接近于 １或观察其相关图是否所有的点都基本接近直线进行判别。
Design-Expert?Software
持水力（g/g） Design points above predicted value Design points below predicted value 9.2
• 例如农作物产量与N、P、K的施肥量有关，可以 通过回归分析建立产量与施肥要素间的回归关系， 从而求得最佳施肥配方。
• 例1、有一个大麦氮磷肥配比试验，施氮肥量为每亩 尿素0，3，6，9，12，15，18kg 7个水平，施磷肥 量为每亩过磷酸钙0，7，14，21，28，35，42kg 7 个水平，共49个处理组合，试验结果见表1，试作产 量对于氮、磷施肥量的响应面分析。
• 模型中如果只有一个因素（自变量），响应（曲）面是二维空间中的一条 曲线；当有两个因素时，响应面是三维空间中的曲面。
• 在回归分析中，观察值y可以表述为：
• y=f（x1，x2，···，xl）+ε
• 其中 f（x1，，···，xl）是 x1，x2，···，xl 自变量
的函数， ε 是误差项。
• 在响应面分析中，首先要得到回归方程：
b1
1 219217.93 219217.93 1179.11** F = 0.05(1,44) 4.06;F0.01(1,44)=7.24
b2
1
754.29 754.29
4.06*
b4
1 61688.63 61688.63 331.81**
b5
1 50331.10 50331.10 270.72**
• 响应面即回归的正交试验设计，考虑了实验随机误差；可以在因素的试 验范围内选择适当的试验点，用较少的试验建立一个精度高，统计性质 好的回归方程，并能解决试验优化问题。
• 所获得的预测模型是连续的，与正交实验相比，其优势是：在实验条件 寻优过程中，可以连续的对实验的各个水平进行分析，而正交实验只能 对一个个孤立的试验点进行分析。
• 响应面分析是将体系的响应（如萃取化学中的萃取率）作为一个或多个 因素（如萃取剂浓度、酸度等）的函数，运用图形技术将这种函数关系 显示出来，以供我们凭借直觉的观察来选择试验设计中的最优化条件。
响应面设计模型种类
中心组合设计（Central Composite，包括通用旋转组合设计、二次组合设 计等）
• 使用该模型分析的结果为表3，从表3中可以看出b1、 b4、b5达到极显著水平，b2接近达到显著性，只有b3 达不到显著水平。
表 3 二元二次多项式回归的方差分析(缩减模型)
变异来源 DF
SS
MS
F
回归平方和 4 331991.95 82997.99 446.42** F = 0.05(5,44) 2.58;F0.01(5,44)=3.78
• Design-Expert 是全球顶尖级的实验设计软件，最容易 使用、功能最完整、界面最具亲和力的软件。在已经 发表的有关响应曲面（RSM）优化试验的论文中， Design-Expert是最广泛使用的软件。
• Plackett–Burman(PB)、Central Composite Design • (CCD)、Box-Behnken Design(BBD)是最常用的实验设计
磷肥
0 7 14 21 28 35 42
0 86.9 110.4 134.3 162.5 158.2 144.3 88.7
表1
3 162.5 204.4 238.9 275.1 237.9 204.5 192.5
大麦氮磷肥配比试验结果
氮肥
6
9
12
216.4 274.7 274.3
276.7 342.8 343.4
• 响应面分析中通过回归方程进行预测时一般不能 超过自变量的取值范围，例如氮肥的取值范围为 0至18 kg/亩，而磷肥的取值范围为0至42kg/亩。
用于响应面设计和分析的软件
仅可以处理 实验数据， 不可以进行 方案设计
SAS SPSS
Design- MiniExpert Tab
Design-Expert
• ���ො��� = f（x1，x2，···，xl）
• 然后通过对自变量x1，x2，···，xl 的合理取值， 求得最优的值���ො��� = f（x1，x2，···，xl），这就是
响应面分析的目的。
响应面分析实例
• 在多因素数量处理试验的分析中，可以分析试验 指标(依变量)与多个试验因素(自变量)间的回归 关系，这种回归可能是曲线或曲面的关系，因而 称为响应面分析。
9.2
7.27
X1 = A: 发酵时间 /h
8.8
X2 = B: 发酵温度 /℃
Actual Factor
8.4
C: 接种量 /% = 3.0
8
7.6
42.0
30.0
41.5
27.0
41.0
24.0
发酵温度 /℃
40.5
21.0
40.0 18.0
发酵时间 /h
响应面分析过程
• 要构造响应面并进行分析以确定最优条件或寻找最优区域，首先必须通过 试验获取大量的测量数据，并建立一个合适的数学模型（建模），然后再 用此数学模型作图。
1
754.29
754.29
4.00
1
69.31
69.31
0.37
1
61688.63 61688.63 327.04**
1
50331.10 50331.10 266.83**
43
8111.07 188.63
48 340172.32
• 从表2结果看，b2和b3这两个偏回归系数不显著，应该将模型 缩减，逐步去掉不显著的回归系数，结果见表3。得到的模型 为：yij=b0+b1Ni+b2Pj+b4Ni2+b5Pj2+ εij
BOX设计（Box-Behnken设计） 二次饱和和D-最优设计（D-optimal设计） 均匀设计 田口设计 ...... • 可以进行响应面分析的实验设计有多种，比如Plackett-Burman（PB）、
Central Composite Design（CCD）、Box-Behnken Design（BBD）。最常见 的是CCD与BBD。 • 主要以BBD为例说明Design-Expert的使用 • 注：选用的模型不同，设计方案也不同，所需做实验的次数也就不同的
因子设计，屏蔽无关 因素，指出重要因素
• 1.1 Response Surface Methods（RSM） 响应曲面
Central Composite：中心组合设计
Box-Behnken：Box-Behnken 设计
One Factor 单因子设计
Miscellaneous 混杂设计
Optimal 最优设计
误差
总变异
DF
SS
MS
F
5
332061.25 66412.25 352.08** F F = 0.05(5,43) 2.44; =3.49 0.01(5,43)
1
219217.93 219217.93 1162.16** F F = 0.05(1,43) 4.07; =7.27 0.01(1,43)
二因素响应面分析
• 在化学量测实践中，一般不考虑三因素及三因素以上间的交互作用。因此假设 二因素响应（曲）面的数学模型为二次多项式模型。
• 通过ｎ次测量试验（试验次数应大于参数个数，一般认为至少应是它的３倍）， 以最小二乘法估计模型各参数，从而建立模型；
• 求出模型后，以两因素水平为Ｘ坐标和ｙ坐标，以相应的响应为Ｚ坐标作出三 维空间的曲面（这就是２因素响应曲面）。
• 对于表1的数据可以采用二元二次多项式拟合，那么产量可表 示为：yij=b0+b1Ni+b2Pj+b3NiPj+b4Ni2+b5Pj2+ εij
其中Ni、Pj、εij 分别表示N、P施用量和误差，按此模型的方差 分析见表2。
表 2 二元二次多项式回归分析的方差分析(全模型)
变异来源回归ຫໍສະໝຸດ b1 b2 b3 b4 b5
• 应当指出，上述求出的模型只是最小二乘解，不一定与实际体系相符，也即， 计算值与试验值之间的差异不一定符合要求。因此，求出系数的最小二乘估计 后，应进行检验。
• 一个简单实用的方法就是以响应的计算值与试验值之间的相关系数是否接近于 １或观察其相关图是否所有的点都基本接近直线进行判别。
• 应当指出，上述求出的模型只是最小二乘解，不一定与实际体系相符，也即， 计算值与试验值之间的差异不一定符合要求。因此，求出系数的最小二乘估计 后，应进行检验。