04混合策略与随机行动

于是，《三国演义》中的这一情节就应作 如下改写： 诸葛亮抛出一枚硬币，决定关羽是守华 容道呢还是另一条道……，而曹操也掷出一枚 硬币，决定是走华容道呢还是走另一条路。平 均看来，曹操有1/2的概率逃脱，而关羽也只 有1/2的概率抓住曹操。如果说关羽在华容道 上抓住了曹操，则纯属偶然、并非孔明比曹操 计高一筹所致！
混合策略
法则
在纯冲突博弈（零和博弈）中，如果让你的对手事先看清 楚你的真实选择对你不利，那么你可以通过随机选择自己 备选的纯策略而获益。你的混合比例应该是这样的：对手 采取任何特定的备选纯策略，都不可能利用你的选择， 即，当你以混合策略对付他的混合策略中任一纯策略时， 你得到的平均赢利都相等。
怎样随机行动？
商业与其他对抗中的混合策略
• 商界、政界和战争 • 非零和博弈
商业与其他对抗中的混合策略
• 例如：折扣券博弈问题
商业与其他对抗中的混合策略
• • • • • 例1：折扣券博弈问题 目的？ 1、都不发行 2、都发行 3、一个发行，另一个不发行
如何占得先机？
商业与其他对抗中的混合策略
如何占得先机？
• 例2：飞机折扣票博弈 • 航空公司告诉你折扣，不告诉你剩余的空 位 • 你随机选择时点进行订票
• 例3：飞机折扣票博弈 • 航空公司告诉你折扣，不告诉你剩余的空 位 • 你随机选择时点进行订票
例4 监督博弈
守卫
睡Leabharlann Baidu
小 偷
不睡
偷
不偷
V，-D -P，0 0，S 0，0
混合战略： 守卫以n概率选择睡觉，以1－m的概率选择不睡 小偷以m概率选择偷，以1－n概率选择不偷
激励悖论
S
守卫 得益((睡)
S m 0 1 -D - D’
小偷 偷的概率
加重对守卫的处罚：短期中的效果是使守卫真正尽职 在长期中并不能使守卫更尽职，但会降低盗窃发生的概率
激励悖论
小偷 得益(偷)
V n
0
-P
1
守卫 睡的概率
- P’
加重对小偷的处罚：短期内能抑制盗窃发生率 长期并不能降低盗窃发生率，但会使得守卫更多的偷懒
两人只能玩混合战略博弈，齐威王
分别以1/6随机的概率选择出上、中、下
马的任一排列，田忌也如此。由于齐威
王存在绝对优势，他平均看来仍然会赢
田忌一千斤铜。
例子2 如果曹操与诸葛亮一样聪明： 三国演义中的华容道博弈
在《三国演义》中，曹操在赤壁大 战中一败涂地，率残兵败将向许都方向 逃窜。诸葛亮命关羽率兵在途中阻截曹 军。当时，第一批拦截大军是赵云率领 的，第二批拦截大军是张飞带队的，第 三批才是关羽率部伏击。由于曹军兵多 将广，前二批伏击军不能逮住曹操，只 是抢劫一些军械马匹之类。
(1)以50:50（抛硬币）的比例随机地选择左边或右边。 如果守门员选择左边，你混合策略成功的概率： ½ *58%+ ½ * 93%= 75.5% 如果守门员选择右边，你混合策略成功的概率： ½ *95%+ ½ * 70%= 82.5%
混合策略
50：50是你最佳混合策略吗?
(2)以40:60（在你的口袋里放一本书，如果页眉最后一位 数是1到4选左，0到5则选右）的比例随机地选择左边 或右边。 如果守门员选择左边，你混合策略成功的概率： 0.4*58%+ 0.6* 93%= 79% 如果守门员选择右边，你混合策略成功的概率： 0.4*95%+ 0.6* 70%= 80%
(3)以x:1－x的比例随机地选择左边或右边。 如果守门员选择左边，你混合策略成功的概率： x*58%+ （1－x）* 93% 如果守门员选择右边，你混合策略成功的概率： x*95%+ （1－x） * 70% 两者相等，求得选x＝0.383
混合策略
不管守门员选择他的左边还是右边，你的最佳混合比 例都会使你得到相等的成功率
混合策略—案例
• 混合战略NE • 随着人数n的增加，p减小，即人越多，每 个人选择报案的概率就会越小，如果n＝1， 则p＝1 • 社会心理学与博弈分析
混合策略—案例
小孩玩的游戏“石头，剪子，布”， 也是一种博弈。但是，这个博弈有一种 有趣的特征，即给定一方的任何选择， 另一方都有制胜对方的战略，所以，给 定一方任何一个战略，对方都有制胜这 个战略的战略，因而这个战略不是最优 的。任何“纯战略”都不是最优的，纯 战略是“石头，剪子，布”中的任何一 个。
但是，依《三国演义》作者罗贯中 的逻辑，孔明总是比曹操计高一筹，按 博弈论的术语来说，就是孔明的理性程 度要比曹操高上一阶。孔明也知道曹操 知道孔明的打算，于是令关羽正好在点 火的华容道上等着曹操。《三国演义》 中的这个故事很可能是作者编造的，因 为在《三国志》中并无这一情节。这里， 罗贯中假设了曹操在智力上比孔明差一 些，才有华容道上被关羽抓住，要不是 关羽旧情难忘，曹操就死无葬身之地了。
混合策略—案例
– 分析：
• 参与人：n个 • 每个参与人的战略集：{打电话，不打电话} • 效用：没有任何人打，所有人0支付； 打，v-c； 不打，但其他人至少有一个人打，v
混合策略—案例
– 纯战略NE
• 当只有两个参与人的时候（公共产品提供的斗 鸡博弈）——两个NE • n个人的时候： 假设有m个人提供，m>1 or m=1 n个NE
零和博弈
实 验 办法是将行动随机化。
混合策略
混合策略：
参与人在每一个给定信息的情况下以某种概率分布随机地 选择不同的行动。 例如：乒乓球员以60％的概率选择正手发球，40％的概
率选择反手发球。
什么是纯策略？
混合策略
如果你是踢球人,这两个纯策略中你更喜欢哪一种? （70％） 你能不能做得更好?
例5 为什么一般人总是小错不断，大错 不犯；偷税漏税的一般是中小企业，大 企业会老老实实地交税？
税务部门不会对所有企业的交税情 况每一次都去检查，因为这样做的成本 太高，得不偿失。所以，税务部门总是 随机地对企业的交税情况进行检查。
企业也是随机地在交税与偷漏税之 间进行选择。税收部门与企业间进行的 是混合战略博弈。因为如果企业总是交 税，税务部门就最好不检查；但给定不 检查，企业就会偷漏税。所以，两者只 有在随机地检查与不检查，企业随机地 在偷漏税与交税之间选择，才会达成均 衡。
(4)以0.383:0.617的比例随机地选择左边或右边。 如果守门员选择左边，你混合策略成功的概率： 0.383*58%+ 0.617* 93%＝79.6％ 如果守门员选择右边，你混合策略成功的概率： 0.383*95%+ 0.617 * 70% ＝79.6％
混合策略
那么守门员的策略怎样？
守门员的最佳策略是使踢球者选择左边和选择右边的成功 率相等的策略。 守门员应当分别以41.7％和58.3％的比例选择自己的左边 和右边，使踢球者成功的概率为79.6%. 混合策略纳什均衡?
避免他人占得先机，唯一的途径就是保持出 人意料的元素。 －－这一元素源于随机化策略的应用 但是：独立随机选择有“出错”的危险。
进行合作！
商业与其他对抗中的混合策略
• 可口可乐和百事可乐 • 52个星期，分别发放26周优惠券 • 没有出现两家同时的情况
• 计算：如果两家独立以50％概率随机选择 任何一周发放优惠券，那么他们各自发放 26周而不会出现同时发放的概率是 • 1/10005(10亿的10亿次方)
待曹军冲过赵云、张飞两道关后， 进入关羽的伏击地带。但是，当时关羽 与曹操相遇的地方有两条道，一条是华 容道，除此外还有另一条道。诸葛亮令 关羽伏兵于华容道，并且要求关羽在华 容道上点燃树枝冒出烟雾引曹操到来。 当时关羽不解，问诸葛亮，“如果在伏 兵之处点火，岂不令曹兵看见而改走另 一条道逃脱？”诸荀亮叫关羽不要再问， 只如此照办即可。
实验抛硬币
抛硬币翻出正面之后再抛一次，这时出正面的可能性与抛 出反面的可能性相等。
无规律的随机行动（点名4/18=22%,不点名78％）。 例如：一个秘密的、足够复杂以致让人难以破解的规则。 举例：秘密
混合策略—案例
• 报案（reporting a crime）
– n个人目睹一桩罪行，每个人都希望报警， 但是都倾向于其他人打电话。特别的，假定 能从报警中得到v单位的收益，而打电话的 人需要付出c单位的成本，v>c>0。分析这 个问题的纯战略NE和混合战略NE。
例如：官僚作风－－连续出“布” 雪崩－－－连续出石头
排除策略－－省略一个
随机：秘密的，足够复杂以至难以让人破解的规则
例子1 田忌赛马新编
春秋战国时期，齐威王常与旗下大将田 忌赛马。规则是：每次赛三局，每一局齐威王 与田忌各出一匹马比赛奔跑速度。每一局中的 胜者赢败方一千斤铜。田忌有上、中、下三匹 马，而齐威王也有上、中、下三匹马。每次比 赛，第一局田忌出上马，齐威王也出上马；第 二局田忌出中马，齐威王也出中马；第三局， 田忌出下马，齐威王也出下马。齐威王的上马 比田忌的上马好，齐威王的中马也比田忌的中 马好，齐威王的下马还是比田忌的下马好。于 是，每次比赛的结果都是田忌连输三局。
这个故事曾经被很多人当作博弈论的例子 来演绎，但实际上这个故事与博弈论无关。博 弈论会假定所有局中人都是理性的，不能假定 一些局中人聪明而另一些局中人却是傻子。当 田忌出下马时，齐威王最好的选择是出下马而 不是上马。孙膑的计谋中假定齐威王是傻子， 当田忌出下、上、中马时，他仍然按上、中、 下马出，当然要输了。事实上，当田忌出下马 时，齐威王应出下马，但齐威王出下马时，田 忌不应出下马而是出中马，但此时齐威王又应 出中马而不是下马了，……。这样，博弈不会 有纯战略的均衡。
田忌的谋士孙膑了解了田忌的困境 后，就打听到这样一个消息：尽管齐威 王的上、中、下三匹马都要比田忌的对 应上、中、下三匹马好，但碰巧的是田 忌的上马可胜齐威王的中马，田忌的中 马可胜齐威王的下马。于是，孙膑为田 忌献计：下一次比赛中第一局时田忌出 下马对齐威王的上马输一局，第二局田 忌出上马对齐威王的中马，第三局田忌 出中马对齐威王的下马，这样可连赢两 局，最后净胜一千斤铜。田忌依计而行， 果真赢回一千斤铜。
但是，如果我们不假定曹操比孔明 要笨一些，而是相反假定曹操与孔明一 样聪明，则曹操又知道孔明知道曹操知 道孔明的打算，曹操就会知道关羽在华 容道上等着他呢？此时曹操就避开华容 道走另一条路。但是，这还没有完，因 为若孔明知道曹操知道孔明知道……。 显然，最终的结果是曹操与孔明玩混合 战略博弈，曹操随机地以1/2的概率选择 走华容道和另一条路，孔明也以1/2的概 率令关羽守华容道或另一条路。
当曹操冲破赵云、张飞的阻截后， 来到华容道前，看见华容道上静悄悄的， 但有烟火萦绕。曹操大笑道：“孔明以 为我会上他的当，故意叫人在华容道上 点火让我走另一条道，而他却伏兵于这 条道上好逮住我呢！我偏不上他的当！” 于是，曹操令大军径直上华容道上而去， 结果与关羽大军撞个正着。
曹操为何进了孔明的圈套呢？这里 的道理是这样的：孔明知道曹操是聪明 人，而聪明人见华容道上有烟火会认为 华容道上有伏兵，于是会避开华容道而 走另一条路。如果孔明令关羽在另一条 路等着，曹操就被逮住了。但是，曹操 不仅聪明，而且还聪明过人，他也知道 孔明的如此盘算来诱他上钩，他偏不上 当，知道点火的华容道上无人，孔明的 队伍在另一条道上呢！于是他选择走华 容道。
但是，我们知道，玩这个游戏是总 是以对方不易猜出的随机方式出招。事 实上，可以通过数学证明，当双方都以 每个战略按1/3的概率出招时，达成一种 双方都不愿改变这种概率分布的局面。 这被称为“混合战略纳什均衡”，而这 种以随机方式选择纯战略的博弈被称为 “混合战略博弈”。
实验显示：
“陷入无意识但仍可预测的模式”
混合策略与随机行动
赛场
混合策略提出
点球射门 攻方的策略是：攻左边，或攻右边 守方的策略是：守左边，或守右边（以守方的方向为准）
守
左边 右边
左边 攻
右边
58，42
95，5
93，7
70，30
得益：进球得分的百分比。根据1995-2000年间 意大利、西班牙和英国最高联盟的数据
严格竞争博弈
就一次游戏而言，猜测对方的策略，保密自己的策略。 在多次反复游戏中，避免任何的倾向性和规律性。
混合策略
你的连续更优的混合策略比例就是如何使自己在守门 员选择左边时和选择右边的成功概率差距缩小。
58％－－70％－－12％
75.5%－－ 82.5%－－7.3％ 79% －－80%－－1％ x－－y－－0
混合策略
不管守门员选择他的左边还是右边，你的最佳混合比 例都会使你得到相等的成功率