高等代数

多元多项式环
全体字符 x1 , x2 , …, xn 的系数在 K 中的
多项式, 在多元多项式加法、乘法运算下,
构成交换幺环, 记作 K[ x1 , x2 , …, xn ]. 可逆元? 满足消去律 (整环) ? 带余除法? 唯一分解性质 ?
字典排序法
f ( x1 , x2 , …, xn ) 的单项式
次数公式
推论: f , g K[ x1 , x2 , …, xn ], 有
deg( f + g ) max { deg( f ) , deg( g ) } ;
deg( f g ) = deg( f ) + deg( g ) .
约定: 零多项式的全次数为 – ∞, 且
(–∞)+(–∞) =–∞
可唯一地写成不可约多项式的乘积.
第七章 多项式环
1 2 3 4 5 6 7 8 一元多项式环 整除性与最大公因式 不可约多项式与唯一分解性质 重因式 C , R 与 Q 上的不可约多项式 多元多项式 对称多项式 有限域
n 元多项式
字符 x1 , x2 , x3 的多项式 :
f ( x1 , x2 , x3 ) = 1 + x1 – 3 x23 + x1 x2 x3 + x17 g ( x1 , x2 , x3 ) = x13 + x23 + x33 – 3 x1 x2 x3
乘积的首项等于多项式首项的乘积.
证: 设在字典排序法下 f = a x1p1 x2p2 xnpn + g = b x1q1 x2q2 xnqn + 则 a0 b0
f g = a b x1p1+q1 x2p2+q2 xnpn+qn +
deg( f g ) = deg( f ) + deg( g )
定理:
设幺环 R 是数域 K 的扩环 , t1 , , tn R ,
则 : K[ x1 , x2 , …, xn ] → R f ( x1 , x2 , …, xn ) f ( t1 , t2 , , tn ) 是映射, 且保持加法与乘法运算 , 即 ( f + g ) = ( f ) + ( g ) ,
s + t = m + r s = m, t = r
唯一分解性质
定理: n 元多项式环 K[ x1 , x2 , …, xn ] 是
唯一分解整环 ( UFD ) , 即
每个次数 1 的 n 元多项式都能唯一地 写成不可约多项式的乘积. 推论: K[ x1 , x2 , …, xn ] 中任意多个多项式 都有最大公因式.
则规定
( i1 , i2 , … , in ) > ( j1 , j2 , … , jn ) 全体 n 元指数向量被排成一条队
传递性
若有
( i1 , i2 , … , in )
则
> ( j1 , j2 , … , jn )
( j1 , j2 , … , jn ) > ( k1 , k2 , … , kn ) ( i1 , i2 , … , in ) > ( k1 , k2 , … , kn )
高等代数 II Advanced Linear Algebra
主讲教师: 高 峡
理科楼1478S
gao_m_xia@
助 教： 胡志 恽彦坚
• 大课
周二 6, 7 节 周四 3, 4 节
二教 205 二教 205
• 习题课
周四 10,11 节 理教 211, 307
• 教材: 《高等代数 (第二版) 下册》，丘维声著 • 参考书： 《高等代数 (下册) ---大学高等代数课程 创新教材》, 丘维声著, 清华大学出版社 《高等代数学习指导书 下册》, 丘维声著
f = f 0 + f1 + f2 + … + fm
其中 f i 是 i 次齐次多项式, 称为 f 的 i 次
齐次部分.
按齐次成分排序
f ( x1 , x2 ) =
1 次部分 2 次部分
a0 + a10 x1 + a11 x2 + a20 x12 + a21 x1x2 + a22 x22 + + an0 x1n + an1 x1 n-1 x2 + + ann x2n
齐次多项式
若多项式 f 所有单项式的全次数都为 m ,
则称 f 是 m 次齐次多项式.
例:
a0 0 0 次齐次
a1 x1 + a2 x2 + … + an x n
x13 + x23 + x33 – 3 x1 x2 x3
1 次齐次
3 次齐次
n 元多项式的齐次成分
m 次多项式 f 都可唯一地写成
例: 齐次多项式 f ( x1 , x2 , … , xn ) 的因式 也是齐次多项式 . 证: 设 f = h g = ( hs + hs +1 + … + hm ) ( gt + gt +1 + … + gr ) = hs gt + ( hs gt +1 + hs +1 gt ) + … + hm gr hs 0 , gt 0 hm 0 , gr 0 f 齐次 hs gt 0 hm gr 0
n 次部分
n 元多项式的加法
若
f
i1 ,, i n

a i 1 i n x 1 x 2 x n
j1 j2
i1
i2
in
g
则
j 1 ,, j n

b j 1 j n x 1 x 2 x n
i1
jn
fg
i 1 ,, i n

( a i 1 i n b i 1 i n ) x 1 x 2 x n
例: 在 K[ x , y ] 中,
1) 多项式 x , y 互素( 最大公因式为 1 );
2) 不存在 u , v K[ x , y ] , 使得 ux+vy=1. 证: 比较两边常数项…
K[ x1 , x2 , … , xn ] 的通用性质
K[ x1 , x2 , …, xn ] 中的等式都是恒等式, 放在任何环上也都成立; 反过来, 其它环上 的等式, 不一定能搬到 K[ x1 , x2 , …, xn ]中来.
a i 1 i n x1 x 2 x n
与字符 x1 , x2 , …, xn 的指数向量 ( i1 , i2 , … , in )
i1
i2
in
一一对应
lexicographic ordering
若有 i1 = j1 , … , is-1 = js-1 , is > js ( 1 s n )
x2
k2
xn
kn
i 1j1k 1

i n jn k n

a i 1 i n b j 1 j n
若 f = f 0 + f1 + f 2 + … + f m g = g 0 + g1 + g2 + … + gn 则 f g = f0 g 0 + ( f1 g 0 + f0 g 1 ) + ( f2 g 0 + f1 g 1 + f0 g 2 ) + … + fm g n
n 元多项式
设 K 是数域, x1 , x2 , …, xn 形式符号 (不定元)
f ( x1 , x 2 , , x n )
i 1 0

d1
dn
i n 0
a i 1 i n x x x
i1 1
i2 2
in n
第 ( i1 , i2 , …, in ) 次项 i1 + i2 + …+ in 称为单项式的全次数 , deg f = 系数非零单项式全次数的最大值
n 元多项式
设 K 是数域, x1 , x2 , …, xn 形式符号 (不定元)
f ( x1 , x 2 , , x n )
i 1 0

d1
dn
i n 0
a i 1 i n x x x
i1 1
i2 2
in n
称为字符 x1 , x2 , … , xn 的多项式 ,
a i 1 i n K 称为第 ( i 1 , i 2 , … , i n ) 次项系数
( – ∞ ) + n = – ∞ , n Z , n 0 .
次数公式
命题: f , g K[ x1 , x2 , …, xn ], 有
deg( f + g ) max { deg( f ) , deg( g ) }
deg( f g ) =
约定:
deg( f ) + deg( g ) nZ,n0
(–∞) + n = –∞,
(–∞) +(–∞) =–∞
K[ x1 , x2 , …, xn ] 是整环
推论 1. K[ x1 , x2 , …, xn ] 中无零因子, 即 非零多项式的乘积仍是非零多项式. 推论 2. K[ x1 , x2 , …, xn ] 满足消去律. h0, hf=hg f = g 推论 3. 交换幺环 K[ x1 , x2 , …, xn ] 的可逆元 为零次多项式 ( 非零常数 ).
在字典排序法下, 多项式 f ( x1 , x2 , …, xn )
第一个系数非零的单项式称为 f 的首项.
例:
2 x1 x25 x3 + x12 x32 + 3 x12 x2
在字典排序法下 3 x12 x2 + x12 x32 + 2 x1 x25 x3
定理: 在 K[ x1 , …, xn ] 中, 非零多项式
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Unique Factorization Domain
f = f 0 + f1 + f 2 + … + fm
g = g 0 + g1 + g2 + … + gn
则
f g = f0 g 0 + ( f1 g 0 + f0 g 1 )
+ ( f2 g 0 + f1 g பைடு நூலகம் + f0 g 2 ) + … + fm g n
fm 0 , g n 0 fm g n 0
i2
in
n 元多项式的乘法
若
f
i1 ,, i n

a i 1 i n x 1 x 2 x n
j1 j2
i1
i2
in
g
则
j 1 ,, j n

b j 1 j n x 1 x 2 x n
c k 1 k n x 1

k1
jn
f g
c k 1 k n
k 1 ,, k n

( f g ) = ( f ) ( g ) ,
f ,g
多元多项式函数
映射法则能用 n 元多项式表达的函数 叫做 n 元多项式函数. 例: f ( x , y ) = x + x 3 – x y 2 R[ x , y ] , 则映射 f : R2 R ( a , b ) a + a 3– a b 2 是 R2 上的一个 2 元多项式函数
则映射
f : R2
R
( a , b ) a + a 3– a b 2 是 R2 上的一个 2 元多项式函数
引理: 若 f K[ x1 , x2 , …, xn ] 满足
f ( a1 , a2 , …, an ) = 0 , a1 , …, an K
则 f 是零多项式 . 证 : 对 n 做归纳. 当 n = 1 时, 由 f(a)=0, aK 一元多项式 f ( x ) 有无穷多个根 f ( x ) 是零多项式
设引理对 n – 1 元多项式都成立,
考察 f 是 n 元多项式的情况.
向量加法保持次序
若有
( i1 , i2 , … , in )
则
> ( j1 , j2 , … , jn )
( k1 , k2 , … , kn ) ( m1 , m2 , … , mn ) > ( i1 + k1 , … , in + kn ) > ( j1+ m1 , … , jn+ mn )
设 R 是整环, a R 非零非可逆. 若由
a = b c ( b, c R ) 都能推出 b 或 c 可逆,
则称 a 是 R 的不可约元.
若 R 的每个(非零非可逆)元素都能唯一地
写成不可约元的乘积, 则称 R 是唯一分解
整环 ( UFD ).
定理: 若 R 是 UFD, 则 R [ x ] 也是 UFD. 例: K [ x ] 是 UFD K [ x1 , x2 ] 是 UFD … K [ x1 , x2 , …, xn ] 是 UFD 即 K[ x1 , x2 , …, xn ] 每个次数 1 的多项式