一轮复习：空间几何体的三视图和直观图

授课主题空间几何体的三视图的直观图

教学目标

1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简

单物体的结构．

2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别

上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．

3．会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．

教学内容

1．多面体的结构特征

2．旋转体的结构特征

3．直观图

(1)画法：常用斜二测画法．

(2)规则：

①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴与y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴(或y′轴)垂直．

②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段的长度在直观图中变为原来的一半．

4．三视图

(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．

(2)三视图的画法

①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．

②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线．

题型一空间几何体的结构特征

例1、下列结论正确的个数是________．

(1)有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；

(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；

(3)有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台；

(4)直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；

(5)若在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线．

方法点拨：举反例法．

答案0个

解析(1)(2)(3)(4)的反例见下面四个图．

(5)平行于轴的连线才是母线．

方法技巧

空间几何体结构特征有关问题的解题策略

1．关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可．

2．圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．

3．既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意应用“还台为锥”的解题策略．

【冲关针对训练】

下列结论正确的是________．

①各个面都是三角形的几何体是三棱锥．

②若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．

③四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形．

④一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．

答案③

解析①错误，如图1；②错误，若两个垂直于底面的侧面平行，则可为斜棱柱；③正确，如图2，底面ABCD 为矩形，PD⊥平面ABCD，那么四棱锥P－ABCD四个侧面都是直角三角形；④错误，当截面与底面不平行时，不正确．

题型二空间几何体的直观图

例2、(2018·桂林模拟)已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()

A.

3

4a

2 B.

3

8a

2

C.

6

8a

2 D.

6

16a

2

方法点拨：根据平面图形的原图形与直观图的关系求解．

答案 D

解析如图(1)所示的是△ABC的实际图形，图(2)是△ABC的直观图．

由图(2)可知A′B′＝AB＝a，O′C′＝1

2OC＝

3

4a，在图(2)中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝

2

2O′C′＝

6

8a.∴S△A′B′C′

＝

1

2

A′B′·C′D′＝1

2×a×

6

8a＝

6

16a

2.故选D.

[条件探究]若将典例条件变为“△ABC的直观图△A1B1C1是边长为a的正三角形”，则△ABC的面积是多少？

解

在△A1D1C1中，由正弦定理

a

sin45°＝

x

sin120°，得x＝

6

2a，∴S△ABC

＝

1

2×a×6a＝

6

2a

2.

方法技巧

用斜二测画法画直观图的技巧

1．在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中仍然与x′轴或y′轴平行．

2．原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线．

3．原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点，然后用平滑曲线连接．

【冲关针对训练】用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为22cm2，则原平面图形的面积为()

A．4 cm2B．4 2 cm2

C．8 cm2D．8 2 cm2

答案 C

解析依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.故选C.

题型三空间几何体的三视图[多角度探究]

角度1已知几何体识别三视图

例3、(2018·湖南长沙三校一模)已知点E，F，G分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1，DD1的中点，点M，N，Q，P分别在线段DF，AG，BE，C1B1上．以M，N，Q，P为顶点的三棱锥P－MNQ的俯视图不可能是()

答案 C

解析当M与F重合、N与G重合、Q与E重合、P与B1重合时，三棱锥P－MNQ的俯视图为A；当M，N，Q，P是所在线段的中点时，三棱锥P－MNQ的俯视图为B；当M，N，Q，P位于所在线段的非端点位置时，存在三棱锥P－MNQ，使其俯视图为D.不管M，N，P，Q在什么位置，三棱锥P－MNQ的俯视图都不可能是正三角形．故选C.

角度2已知三视图还原几何体

例4、(2018·河北名师俱乐部模拟)某几何体的三视图如图所示，记A为此几何体所有棱的长度构成的集合，则()

A．3∈A B．5∈A

C．26∈A D．43∈A

答案 D