山东省青岛市2020年中考数学一轮复习试卷解析版
人教版2020年中考数学一轮复习《与圆有关的证明和计算》大题专项练习含答案解析
中考专题——与圆有关的证明和计算纵观近几年全国各地中考题，圆的有关概念以及性质等一般以填空题，选择题的形式考查并占有一定的分值；圆的有关性质，如垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形式考查；一般在10分－15分左右，以后发展中利用圆的知识与其他知识点如函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有非常重要的地位。
考查的类型：（1）线段、角以及切线的证明；（2）利用勾股定理、相似以及锐角三角函数进行线段，比值和阴影面积的求解.例题精讲：1、如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC 交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．2、如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线相交于点D．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若∠PAC=90°，AB=2，求PD的长．3、如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，（1）求证：DE=DB；（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．4、如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD=，BE=1．求阴影部分的面积．5、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF是⊙O的切线．（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．补充练习：1、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若∠C＝60°，⊙O的半径为2，求由弧DE，线段DF，EF围成的阴影部分的面积(结果保留根号和π)2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．3、如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．(1)求证：直线DF与⊙O相切；(2)若AE=7，BC=6，求AC的长．4、如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB 的延长线于点F，连接DA．（1）求证：EF为半圆O的切线；（2）若DA=DF=6，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）5、如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A=∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，过C作CE∥BD交AB的延长线于点E．（1）判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠DBA=30°，CG=8，求BE的长.6、如图，AB为⊙O的直径，C，E为⊙O上的两点，若AC平分∠EAB，CD⊥AE于点D.（1）求证：DC是⊙O的切线；3，求DE的长；（2）若AO=6，DC=33，求图中阴影部分面积.（3）过点C作CF⊥AB于F，如图2，若AD-OA=1.5，AC=3答案解析例题精讲：1、（1）证明：∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD=∠ADO，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠CAD，即AD平分∠CAB；（2）设EO与AD交于点M，连接ED．∵∠BAC=60°，OA=OE，∴∠AEO是等边三角形，∴AE=OA，∠AOE=60°，∴AE=A0=OD，又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD=60°，∴S△AEM=S△DMO，∴S阴影=S扇形EOD==．2、（1）证明：∵∵ABC=∵APC，∵BAC=∵BPC，∵APC=∵CPB=60°，∵∵ABC=∵BAC=60°，∵∵ABC是等边三角形．（2）解：∵∵ABC是等边三角形，AB=2，∵AC=BC=AB=2，∵ACB=60°．在Rt∵PAC中，∵PAC=90°，∵APC=60°，AC=2，∵AP=AC•cot∵APC=2．在Rt∵DAC中，∵DAC=90°，AC=2，∵ACD=60°，∵AD=AC•tan∵ACD=6．∵PD=AD﹣AP=6﹣2=4．3、（1）证明：∵BE平分∠BAC，AD平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，∴，∴∠DBC=∠CAD，∴∠DBC=∠BAE，∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，∴∠DBE=∠DEB，∴DE=DB；（2）解：连接CD，如图所示：由（1）得：，∴CD=BD=4，∵∠BAC=90°，∴BC是直径，∴∠BDC=90°，∴BC==4，∴△ABC外接圆的半径=×4=2．4、（1）证明：连接OD，作OF⊥AC于F，如图，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∵OF⊥AC，∴OF=OD，∴AC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△BOD中，设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，∴r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，∴OD=1，OB=2，∴∠B=30°，∠BOD=60°，∴∠AOD=30°，在Rt△AOD中，AD=OD=，∴阴影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF=2××1×﹣=﹣．5、（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°，∵点F 是ED 的中点，∴CF ＝EF ＝DF ，∴∠AEO ＝∠FEC ＝∠FCE ，∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC ，∵OD ⊥AB ，∴∠OAC+∠AEO ＝90°， ∴∠OCA+∠FCE ＝90°，即OC ⊥FC ，∴CF 与⊙O 相切；（2）解：∵OD ⊥AB ，AC ⊥BD ，∴∠AOE ＝∠ACD ＝90°，∵∠AEO ＝∠DEC ，∴∠OAE ＝∠CDE ＝22.5°， ∵AO ＝BO ，∴AD ＝BD ，∴∠ADO ＝∠BDO ＝22.5°，∴∠ADB ＝45°，∴∠CAD ＝∠ADC ＝45°，∴AC ＝CD ．补充练习：1、（1）如图，连接OD ∵AB 为⊙O 的直径∴AD ⊥BC ∵AB=AC ∴BD=CD ，D 为BC 中点∵O 为AB 中点∴OD ∥AC ∵DF ⊥AC ∴DF ⊥OD ∴DF 为⊙O 的切线（2）如图，连接OE 、OD ∵AB=AC ，∠C=60°∴△ABC 为等边三角形∴∠B=∠A=60°，AB=AC=BC=2⨯2=4∵OA=OB=OD=OE ∴△OAE ，△OBD 都是等边三角形∴∠ODB=∠BOD=∠AOE -∠OEA=∠C=60° ∴∠DOE=180°-2⨯60°=60°，OD ∥AC ，OE ∥BC ∴四边形ODCE 是平行四边形∴OD=CE=BD=CD=2∴DF=CDsin60°=3232=⨯，CF=CDcos60°=1212=⨯ ∴ππ32-323360260-3121-32--2=⨯⨯⨯⨯==∆ODE CDF S S S S 扇形平行四边形阴影2、（1）证明：连接DE 、OD ∵BC 相切⊙O 于点D ∴∠CDA=∠AED ∵AE 为直径∴∠ADE=90°∵AC ⊥BC ∴∠ACD=90°∴∠DAO=∠CAD ∴AD 平分∠BAC（3）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC ∴∠B=∠BAC=45°∵BC 相切⊙O 于点D ∴∠ODB=90°∴OD=BD ，∠BOD=45°设BD=x ，则OD=OA=x ，0B=3x ∴BC=AC=x+1∵AC 2+BC 2=AB 2∴22)2()12x x x +=+（ 所以x=2∴BD=OD=2 ∴()4-1360245-22212ππ=⨯⨯=-∆=DOE S BOD S S 扇形阴影3、（1）证明：连接OD ，∵AB=AC ，∴∠B=∠C 。
2020年中考数学一轮复习基础考点及题型专题23 圆(解析版)
专题23 圆考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一与圆有关的概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，⑶其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．⏜，读作弧AB．在同圆或等弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB圆中，能够重合的弧叫做等弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弦心距、半径、弦长的关系：（考点）圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．三角形的外接圆1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．2）三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.3）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.圆内接四边形概念：如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形。
山东省2023年中考备考数学一轮复习 相交线与平行线 练习题(含解析)
山东省2023年中考备考数学一轮复习 相交线与平行线 练习题一、单选题1．（2022·山东临沂·统考二模）如图，直线AB CD 、相交于点O ，射线OM 平分BOD ∠，若160AOM ∠=︒，则AOC ∠等于 （ ）A ．20°B ．40°C ．45°D ．50°2．（2022·山东东营·校考一模）下列说法中正确的是（ ）A ．不相交的两条直线叫平行线B ．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离C ．平面内两条直线的位置关系有相交、平行和垂直D ．同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直3．（2022·山东济南·统考一模）下列各图中，已知∠1=∠2，不能证明AB ∠CD 的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2022·山东·统考一模）下列关于过直线l 外一点P 作直线l 的平行线的尺规作图错误的是（） A ． B ．C ．D ．5．（2022·山东淄博·统考二模）下列图形中，由12∠=∠能得到AB CD ∥的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2022·山东潍坊·中考真题）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB 与CD 平行，入射光线l 与出射光线m 平行．若入射光线l 与镜面AB 的夹角14010'∠=︒，则6∠的度数为（ ）A ．10040'︒B ．9980'︒C ．9940'︒D ．9920'︒7．（2022·山东滨州·统考中考真题）如图，在弯形管道ABCD 中，若AB CD ∥，拐角122ABC ∠=︒，则BCD ∠的大小为（ ）A ．58︒B ．68︒C ．78︒D ．122︒8．（2022·山东日照·统考一模）如图，在∠ABC 中，∠A =70°，∠C =30°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ∠AB ，交BC 于点E ，则∠BDE 的度数是（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°9．（2022·山东淄博·统考一模）如图，直线//a b ，点,M N 分别在直线,a b 上，P 为两平行线间一点，那么123∠+∠+∠等于（ ）A ．360︒B ．300︒C ．270︒D ．180︒10．（2022·山东济南·统考中考真题）如图，//AB CD ，点E 在AB 上，EC 平分∠AED ，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）A ．45°B ．50°C ．57.5°D ．65°11．（2022·山东东营·统考中考真题）如图，直线a b ∥，一个三角板的直角顶点在直线a 上，两直角边均与直线b 相交，140∠=︒，则2∠=（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．65︒12．（2022·山东东营·统考三模）如图，直线//a b ，将一个含30︒角的三角尺按如图所示的位置放置，若∠的度数为（）124＝，则2∠︒A．120︒B．136︒C．144︒D．156︒13．（2022·山东枣庄·统考模拟预测）如图，将直尺与含30°角的三角尺叠放在一起，若∠1=40°，则∠2的大小是（）A．40°B．60°C．70°D．80°14．（2022·山东济南·统考一模）如图所示，已知//C∠=︒，43AC ED，20∠的度数是（）CBE∠=︒，BEDA．63︒B．83︒C．73︒D．53︒15．（2022·山东烟台·统考一模）在下列命题中，为真命题的是（）A．相等的角是对顶角B．平行于同一条直线的两条直线互相平行C．同旁内角互补D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行16．（2022·山东东营·统考一模）数学课上，老师要求同学们利用三角板画两条平行线．小明的画法如下：∠将含30︒角的三角尺的最长边与直线a重合，另一块三角尺最长边与含30︒角的三角尺的最短边紧贴；∠将含30︒角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线b，则a∠b，小明这样画图的依据是（）A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角互补，两直线平行D．两直线平行，同位角相等17．（2022·山东济宁·统考中考真题）如图，直线l1，l2，l3被直线l4所截，若l1∥l2，l2∥l3，∠1＝126°32'，则∠2的度数是___________．18．（2022·山东枣庄·统考中考真题）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线变成FH，点G在射线EF上，45,20∠=︒∠=，FED HFB ∠=__°．则GFH19．（2022·山东烟台·统考一模）设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，则AB与EF的距离等于_____cm．20．（2022·山东德州·德州市同济中学校考模拟预测）如图，将边长为6cm的正方形ABCD先向下平移2cm，再向左平移1cm，得到正方形A'B'C'D'，则这两个正方形重叠部分的面积为______cm2．21．（2022·山东枣庄·统考模拟预测）如图，将周长为10的∠ABC沿BC方向平移2个单位长度得到△DEF，则四边形ABFD的周长为________．22．（2022·山东东营·校考一模）如图，直线AB∠CD，∠C=44°，∠E为直角，求∠1的度数.参考答案：1．B【分析】根据邻补角的定义求出∠BOM ，再根据角平分线的定义求出∠BOD ，然后根据对顶角相等求解即可． 【详解】160AOM ∠=︒，18020BOM AOM ∴∠=︒-∠=︒，OM 平分BOD ∠，240BOD BOM ∴∠=∠=︒40AOC BOD ∴∠=∠=︒故选B【点睛】本题考查了本题考查了邻补角的定义，对顶角相等，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键．2．D【分析】根据平行线的判定、点到直线的距离、平面内两直线的位置关系等求解判断即可．【详解】解：A ：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，故A 说法不符合题意；B ：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故B 说法不符合题意；C ：平面内两条直线的位置关系有相交和平行，故C 说法不符合题意；D ：同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故D 说法符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理、点到直线的距离的概念、平面内两直线的位置关系等是解题的关键．3．B【分析】根据平行线的判定定理即可判断求解．【详解】：A 、∠∠1=∠2，∠AB ∠CD ，该选项不符合题意；B 、由∠1=∠2，不能判断AB ∠CD ，该选项符合题意；C 、∠∠1=∠2，∠3=∠2，∠∠1=∠3，∠AB ∠CD ，该选项不符合题意；D 、∠∠1=∠2，∠AB ∠CD ，该选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．4．C【分析】根据选项图像逐个分析，判断能否平行即可．【详解】A ．本选项作了角平分线与等腰三角形，能得到一组内错角相等，从而可证两直线平行，故本选项不符合题意；B ．本选项作了一个角等于已知角，根据同位角相等两直线平行，从而可证两直线平行，故本选项不符合题意；C ．本选项只截取了两条线段相等，无法保证两直线平行的位置关系，故本选项符合题意；D ．本选项作了一个角与已知角相等，根据内错角相等两直线平行，从而可证两直线平行，故本选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了尺规作图和平行线的判定定理，熟练掌握尺规作图的操作是解题的关键．5．B【分析】根据平行线的判定定理逐项分析即可．【详解】A.∠1＝∠2，不能判断//AB CD ，故A 不符合题意；B.∠∠1＝∠2，∠AB CD ∥（内错角相等，两直线平行），故B 符合题意；C.12∠=∠，//AC BD ∴，故C 不符合题意；D.∠1＝∠2，不能判断//AB CD ，故D 不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行，是解题的关键．6．C【分析】由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得∠1=∠2，可求出∠5，由l //m 可得∠6=∠5【详解】解：由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得∠1=∠2，∠14010'∠=︒∠24010'∠=︒∠518012180401040109940'''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒∠l //m∠659940'∠=∠=︒故选：C【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解答本题的关键．7．A【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得到180∠+∠=︒，进而计算即可．ABC BCD∥，【详解】AB CD∴∠+∠=︒，180ABC BCDABC∠=︒，122∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，BCD ABC180********故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补，熟练掌握知识点是解题的关键．8．B【分析】由三角形的内角和可求∠ABC，根据角平分线可以求得∠ABD，由DE//AB，可得∠BDE=∠ABD即可．【详解】解：∠∠A+∠C=100°∠∠ABC=80°，∠BD平分∠BAC，∠∠ABD=40°，∠DE∠AB，∠∠BDE=∠ABD=40°，故答案为B．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的意义、平行线的性质，灵活应用所学知识是解答本题的关键．9．A【分析】过点P作PE∠a．则可得出PE∠a∠b，结合“两直线平行，内错角相等”可得出∠2=∠AMP+∠BNP，再结合邻补角的即可得出结论．【详解】解：过点P作PE∠a，如图所示．∠PE∠a，a∠b，∠PE∠a∠b，∠∠AMP=∠MPE，∠BNP=∠NPE，∠∠2=∠MPE+∠NPE=∠AMP+∠BNP．∠∠1+∠AMP=180°，∠3+∠BNP=180°，∠∠1+∠2+∠3=180°+180°=360°．故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是找出∠2=∠AMP+∠BNP．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键．10．B【分析】根据平行线及角平分线的性质即可求解．AB CD，【详解】解：∠//∠∠AEC=∠1（两直线平行，内错角相等），∠EC平分∠AED，∠∠A EC=∠CED=∠1，∠∠1=65°，∠∠CED =∠1=65°，∠∠2=180°-∠CED-∠1=180°-65°-65°=50°．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题关键根据直线平行和角平分线的性质得出角度之间的关系即可得出答案．11．B【分析】先根据平角的定义求出∠3的度数，再根据平行线的性质即可求出∠2的度数．【详解】解：由题意得∠ABC=90°，∠∠1=40°，∠∠3=180°-∠1-∠ABC=50°，∥，∠a b∠∠2=∠3=50°，故选B．【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，平行线的性质，三角板中角度的计算，熟知平行线的性质是解题的关键．12．C【分析】根据平行线的性质求解，找出图中1424∠=∠=︒，进而求出∠3，再根据平行线性质求出∠2即可．c a，【详解】解：如图，作//三角尺是含30︒角的三角尺，3460∴∠+∠=︒，a c，//∴∠=∠=︒，14243602436∴∠=︒-︒=︒，a b，//a c，//b c∴，//∴∠=︒-︒=︒，218036144故选：C．【点睛】此题考查平行线的性质，利用平行线性质求角，涉及到直角三角形两个余角的关系．13．D【分析】根据平行线的性质即可解答．【详解】如图，由已知得∠3=60°，∥，因为AB CD所以∠2＋∠1+∠3=180°，∠2＝180°-（40°+60°）=80°；故选D．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题关键是熟练运用平行线的性质进行推理解题．14．A【分析】过点B 作BM ∠AC ，求出∠EBM 即可．【详解】过点B 作BM ∠AC ，∠//AC ED ，∠////AC ED BM ，∠20CBM C ∠=∠=︒，EBM E ∠=∠，∠43CBE ∠=︒，∠63EBM CBE CBM ∠=∠+∠=︒，∠63E EBM ∠=∠=︒．故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题关键是熟练添加辅助线，利用平行线的性质求角．15．B【分析】根据对顶角、平行公理的推论、平行线的判定、同旁内角逐项判断即可得．【详解】A 、相等的角不一定是对顶角，此项是假命题；B 、平行于同一条直线的两条直线互相平行，此项是真命题；C 、两直线平行，同旁内角互补，此项是假命题；D 、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，此项是假命题；故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理、平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．16．A【分析】先利用平移的性质得到∠1=∠2=60°，然后根据同位角线段两直线平行可判断a ∠b ．【详解】利用平移的性质得到∠1=∠2=60°，所以a ∠b ．故选：A ．【点睛】此题考查作图-平移变换，平行线的判定，解题关键在于确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．17．5328'︒【分析】根据平行线的性质得23,34∠=∠∠=∠，根据等量等量代换得34∠∠=，进而根据邻补角性质即可求解．【详解】解：如图l1∥l 2，l 2∥l 3，23∴∠=∠，34∠∠=，24∴∠=∠，∠1＝12632'︒，2418012632∴∠=∠=-︒'︒17960126325328'''=︒-︒=︒，故答案为：5328'︒．【点睛】本题考查了邻补角，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．18．25【分析】根据平行线的性质知45GFB FED ∠=∠=︒，结合图形求得GFH ∠的度数．【详解】解：∠//AB CD ，∠45GFB FED ∠=∠=︒．∠20HFB ∠=︒，∠452025GFH GFB HFB ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：25．【点睛】本题考查了平行线的性质，属于基础题，熟练掌握平行线的性质是解决本类题的关键． 19．7或17．【分析】分两种情况讨论，EF 在AB ，CD 之间或EF 在AB ，CD 同侧，进而得出结论．【详解】解：分两种情况：∠当EF 在AB ，CD 之间时，如图：∠AB 与CD 的距离是12cm ，EF 与CD 的距离是5cm ，∠EF 与AB 的距离为12﹣5＝7（cm ）．∠当EF 在AB ，CD 同侧时，如图：∠AB 与CD 的距离是12cm ，EF 与CD 的距离是5cm ，∠EF 与AB 的距离为12+5＝17（cm ）．综上所述，EF 与AB 的距离为7cm 或17cm ．故答案为：7或17．【点睛】此题主要考查线段之间的距离，解题的关键是根据题意分情况作图进行求解．20．20【分析】如图，向下平移2cm ，即AE=2，再向左平移1cm ，即CF=1，由重叠部分为矩形的面积为DE•DF ，即可求两个正方形重叠部分的面积【详解】解：如图，向下平移2cm，即AE=2，则DE=AD-AE=6-2=4cm向左平移1cm，即CF=1，则DF=DC-CF=6-1=5cm则S矩形DEB'F=DE•DF=4×5=20cm2故答案为20【点睛】此题主要考查正方形的性质，平移的性质，关键在理解平移后，图形的位置变化．21．14【分析】利用平移的性质求解即可．【详解】∠△ABC沿BC方向平移2个单位得到△DEF，∠AD=CF=2，∠四边形ABFD的周长=AB+BC+DF+CF+AD=△ABC的周长+AD+CF=10+2+2=14．故答案为：14．【点睛】本题考查了平移的性质，抓住平移后对应线段相等是解题的关键．22．134°.【分析】过E作EF∠AB，可得AB∠CD∠EF，根据平行线的性质得出∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，求出∠BAE，即可求出答案．【详解】过E作EF∠AB，∠AB∠CD，∠AB∠CD∠EF，（平行于同一直线的两直线平行）∠∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，（两直线平行，内错角相等）∠∠C=44°，∠AEC为直角，∠∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°，∠∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°.【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．。
2020年中考数学第一轮复习暨2019年全国中考试题分类汇编 专题10 平面直角坐标系与点的坐标(含解析)(002)
平面直角坐标系与点的坐标一.选择题1. （2019·贵州安顺·3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，m2+1）关于原点对称点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵m2+1＞0，∴点P（﹣3，m2+1）在第二象限，∴点P（﹣3，m2+1）关于原点对称点在第四象限，故选：D．2.（2019•海南省•3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，﹣1），平移线段AB，使点A落在点A1（﹣2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为（）A．（﹣1，﹣1）B．（1，0）C．（﹣1，0）D．（3，0）【分析】由点A（2，1）平移后A1（﹣2，2）可得坐标的变化规律，由此可得点B的对应点B1的坐标．【解答】解：由点A（2，1）平移后A1（﹣2，2）可得坐标的变化规律是：左移4个单位，上移1个单位，∴点B的对应点B1的坐标（﹣1，0）．故选：C．【点评】本题运用了点的平移的坐标变化规律，关键是由点A（2，1）平移后A1（﹣2，2）可得坐标的变化规律，由此可得点B的对应点B1的坐标．3．(2019•浙江丽水•3分)如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标A的位置表述正确的是()A．在南偏东75°方向处B．在5km处C．在南偏东15°方向5km处D．在南偏东75°方向5km处【考点】用方向角+距离表示地理位置．【分析】根据方向角的定义即可得到结论．【解答】解：由图可得，目标A在南偏东75°方向5km处故选D．【点评】此题主要考查了方向角，正确理解方向角的意义是解题关键．4.．（2019湖南常德3分）点（﹣1，2）关于原点的对称点坐标是（）A．（﹣1，﹣2）B．（1，﹣2）C．（1，2）D．（2，﹣1）【分析】坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．【解答】解：根据中心对称的性质，得点（﹣1，2）关于原点的对称点的坐标为（1，﹣2）．故选：B．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．5．（2019•山东青岛•3分）如图，将线段AB先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，则点B的对应点B′的坐标是（）A．（﹣4，1）B．（﹣1，2）C．（4，﹣1）D．（1，﹣2）【分析】在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度；图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．【解答】解：将线段AB先向右平移5个单位，点B（2，1），连接OB，顺时针旋转90°，则B'对应坐标为（1，﹣2），故选：D．【点评】本题考查了图形的平移与旋转，熟练运用平移与旋转的性质是解题的关键．二.填空题1.（2019•四川省广安市•3分）点M（x﹣1，﹣3）在第四象限，则x的取值范围是x＞1．【分析】根据第四象限的点的横坐标是正数列出不等式求解即可．【解答】解：∵点M（x﹣1，﹣3）在第四象限，∴x﹣1＞0解得x＞1，即x的取值范围是x＞1．故答案为x＞1．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．2. （2019•甘肃庆阳•4分）中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点（﹣1，1）．【分析】直接利用“帅”位于点（0，﹣2），可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标．【解答】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置．3. （2019•黑龙江省绥化市•33x的取值范围是．答案：x≠4考点：分式的意义。
2020年中考数学一轮复习之圆的综合(切线证明、面积、动点问题)(解析版)
2020年中考数学一轮复习之圆的综合（切线证明、面积、动点问题）1．如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，AD＝DB，AC与BD交于点E，且AE＝BC．（1）求证：AB＝CB；（2）如图2，△ABC绕点C逆时针旋转35°得到△FGC，点A经过的路径为弧AF，若AC＝4，求图中阴影部分的面积．（1）证明：∵AD＝BD，∠DAE＝∠DBC，AE＝BC，∴△ADE≌△BDC（SAS），∴∠ADE＝∠BDC，∴＝．∴AB＝BC．（2）解：S阴＝S扇形CAF+S△CFG﹣S△ABC＝S扇形CAF＝＝．2．如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：CG＝3：2，AB＝16．（1）求⊙O的半径；（2）点E为圆上一点，∠ECD＝30°，将沿弦CE翻折，交CB于点F，求图中阴影部分的面积．解：（1）连接AO，如右图所示，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝16，∴AG＝＝8，∵OG：CG＝3：2，∴OG：OC＝3：5，AB⊥CD，垂足为G，∴设⊙O的半径为5k，则OG＝3k，∴（3k）2+82＝（5k）2，解得，k＝2或k＝﹣2（舍去），∴5k＝10，即⊙O的半径是10；（2）如图所示，将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，∵∠ECD＝30°，由对称性可知，∠DCM＝60°，S阴影＝S弓形CBM，连接OM，则∠MOD＝120°，∴∠MOC＝60°，过点M作MN⊥CD于点N，∴MN＝MO•sin60°＝10×＝5，∴S阴影＝S扇形OMC﹣S△OMC＝﹣×10×5＝﹣25．3．如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接CB，过C作CD⊥AB于点D，过点C作∠BCE，使∠BCE＝∠BCD，其中CE交AB的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）如图2，点F在⊙O上，且满足∠FCE＝2∠ABC，连接AF井延长交EC的延长线于点G．①试探究线段CF与CD之间满足的数量关系；②若CD＝4，BD＝2，求线段FG的长．（1）证明：如图1，连接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵CD⊥AB，∴∠OBC+∠BCD＝90°，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠OCB+∠BCE＝90°，即OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）解：①线段CF与CD之间满足的数量关系是：CF＝2CD，理由如下：如图2，过O作OH⊥CF于点H，∴CF＝2CH，∵∠FCE＝2∠ABC＝2∠OCB，且∠BCD＝∠BCE，∴∠OCH＝∠OCD，∵OC为公共边，∴△COH≌△COD（AAS），∴CH＝CD，∴CF＝2CD；②∵CD＝4，BD＝2，∴BC＝＝2，由①得：CF＝2CD＝8，设OC＝OB＝x，则OD＝x﹣2，在Rt△ODC中，OC2＝OD2+CD2，∴x2＝（x﹣2）2+42，解得：x＝5，即OB＝5，∵OC⊥GE，∴∠OCF+∠FCG＝90°，∵∠OCD+∠COD＝90°，∠FCO＝∠OCD，∴∠GCF＝∠COB，∵四边形ABCF为⊙O的内接四边形，∴∠GFC＝∠ABC，∴△GFC∽△CBO，∴＝，∴＝，∴FG＝．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s 的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．设运动时间为t秒．（1）当t＝2时，△DPQ的面积为28 cm2；（2）在运动过程中△DPQ的面积能否为26cm2？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由；（3）运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值；（4）运动过程中，当以Q为圆心，QP为半径的圆，与矩形ABCD的边共有4个交点时，直接写出t的取值范围．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝12，CD＝AB＝6，∠A＝∠B＝∠C＝90°，由题意得：AP＝t，BQ＝2t，∴BP＝AB﹣AP＝6﹣t，CQ＝BC﹣BQ＝12﹣2t，当t＝2时，AP＝2，BQ＝4，BP＝AB﹣AP＝4，CQ＝BC﹣BQ＝8，∴△DPQ的面积＝12×6﹣×12×2﹣×4×4﹣×6×8＝28（cm2），故答案为：28；（2）不能；理由如下：根据题意得：△DPQ的面积＝，整理得：t2﹣6t+10＝0，∵b2﹣4ac＝﹣4＜0，∴方程无实数根，∴△DPQ的面积不可能为26cm2；（3）∵∠A＝90°，∴A、P、D三点在以DP为直径的圆上，若点Q也在圆上，则∠PQD＝90°，∵PQ2＝（6﹣t）2+（2t）2，DQ2＝62+（12﹣2t）2，DP2＝t2+122，PQ2+DQ2＝DP2，∴（6﹣t）2+（2t）2+62+（12﹣2t）2＝t2+122；解得t1＝6，t2＝，∴t＝6或时A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上．（4）如图1，⊙Q与边AD相切时，过点Q作QE⊥AD，∵⊙Q与边AD相切，∴QE＝QP，由勾股定理得：62＝（6﹣t）2+（2t）2；解得t1＝0（舍去），t2＝，如图2，⊙Q过点D时，则QD＝QP，由勾股定理得：（6﹣t）2+（2t）2＝62+（12﹣2t）2；解得：（舍去）∴当＜t＜时，⊙Q与矩形ABCD的边共有四个交点．5．如图，已知直线l的函数表达式为y＝x+3，它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点．（1）若⊙O的半径为2，说明直线AB与⊙O的位置关系；（2）若△ABO的内切圆圆心是点M，外接圆圆心是点N，则MN的长度是；（直接填空）（3）设F是x轴上一动点，⊙P的半径为2，⊙P经过点B且与x轴相切于点F，求圆心P的坐标．解：（1）∵直线l的函数表达式为y＝x+3，它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，∴当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝4；∴A（﹣4，0），B（0，3），∴OB＝3，OA＝4，AB＝＝＝5，过点O作OC⊥AB于C，如图1所示：∵sin∠BAO＝＝，∴＝，∴OC＝＞2，∴直线AB与⊙O的位置关系是相离；（2）设⊙M分别与OA、OB、AB相切于C、D、E，连接MC、MD、ME、BM，如图2所示：则四边形OCMD是正方形，DE⊥AB，BE＝BD，∴MC＝MD＝ME＝OD＝（OA+OB﹣AB）＝×（4+3﹣5）＝1，∴BE＝BD＝OB﹣OD＝3﹣1＝2，∵∠AOB＝90°，∴△ABO外接圆圆心N在AB上，∴AN＝BN＝AB＝，∴NE＝BN﹣BE＝﹣2＝，在Rt△MEN中，MN＝＝＝；故答案为：；（3）连接PB、PF，作PC⊥OB于C，如图3所示：则四边形OCPF是矩形，∴OC＝PF＝BP＝2，BC＝OB﹣OC＝3﹣2＝1，∴PC＝＝＝，∴圆心P的坐标为：（，2）．6．联想我们曾经学习过的三角形外心的概念，我们可引入准外心的定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．请回答下面的三个问题：（1）如图1，若PB＝PC，则点P为△ABC的准外心，而且我们知道满足此条件的准外心有无数多个，你能否用尺规作出另外一个准外心Q呢？请尝试完成；（2）如图2，已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心P在AC边上，试探究PA的长；（3）如图3，点B既是△EDC又是△ADC的准外心，BD＝BA＝BC＝2AD，BD∥AC，CD＝，求AD的值．解：（1）能用尺规作出另外一个准外心Q，作AB的垂直平分线MN，在MN上取点Q，如图1所示：则QA＝QB，点Q为△ABC的准外心；（2）连接BP，如图2所示：∵△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，∴AC＝＝＝4，∵准外心P在AC边上，①当PB＝PC时，设PB＝PC＝x，则PA＝4﹣x，在Rt△ABP中，由勾股定理得：32+（4﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴PA＝4﹣＝；②当PA＝PC时，PA＝AC＝2；③当PA＝PB时，∵△ABC是直角三角形，此情况不存在；综上所述，准外心P在AC边上，PA的长为或2；（3）∵BD＝BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，点D、A、C在以B为圆心，AB长为半径的圆上，如图3所示：则∠ABD＝2∠ACD，作BE⊥CD于E，BF⊥AD于F，则DE＝CE＝CD＝，DF＝AF＝AD，∠ABD＝2∠DBF，∠BEC＝∠DFB＝90°，∵BD∥AC，∴∠ABD＝∠BAC＝∠BCA＝2∠ACD＝2∠DBF＝2∠BCE，∴∠DBF＝∠BCE，在△BDF和△CBE中，，∴△BDF≌△CBE（ASA），∴DF＝BE，设DF＝BE＝x，则AD＝2x，BD＝2AD＝4x，在Rt△BDE中，由勾股定理得：x2+（）2＝（4x）2，解得：x＝，∴AD＝2x＝．7．如图，在平面直角坐标系中，AB＝AC＝10，线段BC在x轴上，BC＝12，点B的坐标为（﹣3，0），线段AB交y轴于点E，过A作AD⊥BC于D，动点P从原点出发，以每秒3个单位的速度沿x轴向右运动，设运动的时间为t秒．（1）当△BP E是等腰三角形时，求t的值；（2）若点P运动的同时，△ABC以B为位似中心向右放大，且点C向右运动的速度为每秒2个单位．△ABC放大的同时高AD也随之放大，当以EP为直径的圆与动线段AD 所在直线相切时，求t的值和此时点C的坐标．解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝6，∴AD＝＝＝8，∵点B的坐标为（﹣3，0），∴OB＝3，∴OD＝BD﹣OB＝6﹣3＝3，∴A（3，8），设直线AB的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x+4，∴E（0，4），∴OE＝4，BE＝＝＝5，当△BPE是等腰三角形有三种情况：①当BE＝BP时，则3+3t＝5，解得：t＝；②当BE＝EP时，则3t＝3，解得：t＝1；③当BP＝PE时，∵BP＝PE，AB＝AC，∠ABC＝∠PBE，∴∠PEB＝∠ACB＝∠ABC，∴△PBE∽△ABC，∴＝，即＝，解得：t＝；综上所述，当△BPE是等腰三角形时，t的值为或1或；（2）由题意得：C（9+2t，0），∴BC＝12+2t，BD＝CD＝6+t，OD＝3+t，设F为EP的中点，连接OF，作FH⊥AD于H，FG⊥OP于G，如图所示：则四边形FGDH是矩形，FG∥EO，∴FG是△POE的中位线，∴PG＝OG＝OP＝t，FG＝OE＝2，∴F（t，2），∵四边形FGDH是矩形，∴FH＝GD＝OD﹣OG＝3+t﹣t＝3﹣t，∵以EP为直径的圆与动线段AD所在直线相切，∴FH＝EP＝3﹣t，在Rt△POE中，EP2＝OP2+OE2，即：4（3﹣t）2＝（3t）2+42，解得：t＝1或t＝﹣（不合题意舍去），∴C（11，0），∴以EP为直径的圆与动线段AD所在直线相切时，t的值为1，此时点C的坐标为（11，0）．8．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的角平分线交AC上点E，过点E作BE 的垂线交AB于点F，△BEF的外接圆⊙O与CB交于点D．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BC＝9，EH＝3，求⊙O的半径长；（3）如图2，在（2）的条件下，过C作CP⊥AB于P，求CP的长．（1）证明：连接OE．如图1所示：∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°，∴BF是圆O的直径，∴OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴AC⊥OE，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵∠ACB＝90°，∴EC⊥BC，∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，∴EH＝EC，∠BHE＝90°，在Rt△BHE和Rt△BCE中，，∴Rt△BHE≌Rt△BCE（HL），∴BH＝BC＝9，∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°＝∠BHE，BF是圆O的直径，∴BE＝＝＝3，∵∠EBH＝∠FBE，∴△BEH∽△BFE，∴＝，即＝，解得：BF＝10，∴⊙O的半径长＝BF＝5；（3）解：连接OE，如图2所示：由（2）得：OE＝OF＝5，EC＝EH＝3，∵EH⊥AB，∴OH＝＝＝4，在Rt△OHE中，cos∠EOA＝＝，在Rt△EOA中，cos∠EOA＝＝，∴OA＝OE＝，∴AE＝＝＝，∴AC＝AE+EC＝+3＝，，∵AB＝OB+OA＝5+＝，∠ACB＝90°，∴△ABC的面积＝AB×CP＝BC×AC，∴CP＝＝＝．9．【操作体验】如图①，已知线段AB和直线1，用直尺和圆规在1上作出所有的点P，使得∠APB＝30°，如图②，小明的作图方法：第一步：分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧在AB上方交于点O第二步：连接OA，OB；第三步：以O为圆心，OA长为半径作⊙O，交l于P1，P2；所以图中P1，P2即为所求的点（1）在图②中，连接P1A，P1B，说明∠AP1B＝30°【方法迁移】（2）如图③，用直尺和圆规在矩形ABCD内作出所有的点P，使得∠BPC＝45°（不写作法，保留作图痕迹）；【深入探究】（3）已知矩形ABCD，BC＝2，AB＝m，P为AD边上的点，若满足∠BPC＝45°的点P恰有两个，求m的取值范围；（4）已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝2，P为矩形ABCD内一点，且∠BPC＝120°，若点P绕点A逆时针旋转60°到点Q，求PQ的最小值．解：（1）如图②，连接AP1，BP1，∵OA＝OB＝AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠AP1B＝∠AOB＝30°；（2）如图③，①以B、C为圆心，以BC为半径作圆，交AB、DC于E、F，②作BC的中垂线，连接EC，交于O，③以O为圆心，OE为半径作圆，则上所有的点（不包括E、F两点）即为所求；（3）如图④，同理作⊙O，∵BE＝BC＝2，∴CE＝4，∴⊙O的半径为2，即OE＝OG＝2，∵OG⊥EF，∴EH＝，∴OH＝，∴GH＝2﹣，∴BE≤AB＜MB，∴3≤m＜2+，故答案为：3≤m＜2+；（4）如图⑤，构建⊙O，使∠COB＝120°，在优弧上取一点H，则∠CHB＝60°∴∠CPB＝120°，由旋转得：△APQ是等边三角形，∴PQ＝AP，∴PQ取最小值时，就是AP取最小值，当P与E重合时，即A、P、O在同一直线上时，AP最小，则PQ的值最小，在Rt△AFO中，AF＝，OF＝3+1＝4，∴AO＝＝，∴AE＝﹣2＝AP，∴PQ＝AP＝﹣2．10．如图，线段AB是⊙O的直径，C、D是半圆的三等分点，过点C的直线与AD的延长线垂直，垂足为点E，与AB的延长线相交于点F，连接OE，交AC于点G．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）连接DC、CO，判断四边形ADCO的形状，并证明；（3）求OG与GE的比值．（1）证明：连接OC，∵C、D是半圆的三等分点，∴＝＝，∴∠DAC＝∠CAB，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AE，∴∠OCF＝∠AEC＝90°，∴OC⊥EF，∴FC是⊙O的切线；（2）解：四边形ADCO是菱形，理由如下：连接DC、DO，由（1）知＝＝，∴∠AOD＝∠DOC＝COB＝×180°＝60°，又∵OA＝OD＝OC，∴△OAD与△OCD是等边三角形，∴OA＝OD＝AD，OD＝OC＝DC，∴OA＝AD＝DC＝OC，∴四边形ADCO是菱形；（3）解：由（1）知，OC∥AE，∴△OCG∽△EAG，△FCO∽△FEA，∠COF＝∠EAF＝60°，∴＝，＝，∴＝，在Rt△OCF中，∠F＝30°，设OC＝r，则OF＝2r，∴＝＝，∴＝，∴OG与GE的比值为．11．已知：CD为△ABC的外角平分线，交△ABC的外接圆O于D．（1）如图1，连接0A，OD，求证：∠AOD＝2∠BCD；（2）如图2．连接BC，若CB平分∠ACD，求证：AB＝BD；（3）如图3，在（2）的条件下，在AB上取一点E，BD上取一点F．连接DE、AF交于点M，连接EF，若∠DMF＝60°，AC＝EF＝7，CD＝8（DF＞BF），求AE的长．解：（1）如图1，连接BD，∵CD为△ABC的外角平分线，∴∠HCD＝∠BCD，∵∠HCD＝∠ABD，∴∠ABD＝∠BCD，∵∠AOD＝2∠ABD，∴∠AOD＝2∠BCD；（2）∵CB平分∠ACD，∴∠ACB＝∠DCB，∴＝，∴AB＝BD；（3）如图3，作FG⊥AB于G，EP⊥AF于P，CN⊥AC交AC的延长线于N．在Rt△CDN中，∵∠DCN＝60°，CD＝8，∴∠CDN＝30°，∴CN＝CD＝4，DN＝4，∴AD＝＝＝13，∵AB＝BD，∠B＝60°，∴∠ABC是等边三角形，∴AD＝DB＝BD＝13，∠DAB＝60°，∵∠DMF＝∠ADM+∠MAD＝60°，∠MAE+∠MAD＝60°，∴∠ADE＝∠BAF，∵∠DAE＝∠B，∴△ADE≌△BAF（ASA），∴AE＝BF，设AE＝BF＝x，则BE＝13﹣x，BG＝x，EG＝13﹣x，FG＝x，在Rt△EFG中，72＝（13﹣x）2+（x）2，解得x＝5或8（舍弃），∴AE＝BF＝5．12．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长A0与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）证明：OA2＝OD•OP；（3）若BC＝6，tan∠F＝，求cos∠ACB的值．（1）证明：连接OB，如图1所示：∵PB为⊙O的切线，∴OB⊥PB，∴∠OBP＝90°，∵BA⊥PF，∴AD＝BD，即OP垂直平分AB，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠PAB+∠OAB＝∠PBA+∠OBA＝90°，即∠OAP＝90°，∴OA⊥PA，∴直线PA为⊙O的切线；（2）∵∠ADO＝∠OAP＝90°，∠AOD＝∠POA，∴△OAD∽△OPA，∴＝，∴OA2＝OD•OP；（3）解：连接AE，如图2所示：∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∵OD垂直平分AB，∴OD∥BC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD＝BC＝3，设DE＝x，则OE＝OA＝OF＝3+x，∵OD垂直平分AB，∴＝，∴∠F＝∠DAE，∴tan∠DAE＝tan∠F＝，∴AD＝2DE＝2x，在Rt△ADF中，tan∠F＝＝，∴＝，解得：x＝2，∴AD＝4，BC＝6，OA＝OE＝5，在Rt△ABC中，AC＝2OA＝10，∴cos∠ACB＝＝＝．13．如图1，在矩形ABCD中，AB＝18cm，BC＝24cm．在Rt△GEF中，∠GFE＝90°．EF ＝12cm，GF＝16cm．E，F两点在BC边上，GE，GF两边分别与矩形ABCD对角线BD交于M，N两点．现矩形ABCD固定不动，△GEF从点F与点B重合的位置出发，沿BC以2cm/s的速度向点C运动，点P从点F出发，在折线FG﹣GE上以4cm/s的速度向点E运动．⊙G是以G为圆心．GP的长为半径的圆．△GEF与点P同时出发，当点E到达点C 时，△GEF和点P同时停止运动．设运动的时间是t（单位：s）．（1）当t＝2s时，PN＝ 5 cm，GM＝cm；（2）当△PGE为等腰三角形时，求t的值；（3）当⊙G与BD相切时，求t的值．解：（1）当t＝2时，BF＝2×2＝4（cm），FP＝2×4＝8（cm），∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD＝18cm，tan∠DBC＝＝＝，∵∠GFE＝90°，∴∠BFN＝90°＝∠C，∴GF∥CD，∴△BFN∽△BCD，∴＝，即＝，解得：FN＝3cm，∴PN＝FP﹣FN＝5cm；GN＝GF﹣FN＝16﹣3＝13（cm），∵Rt△GEF中，∠GFE＝90°．EF＝12cm，GF＝16cm，∴GE＝＝20cm，tan∠G＝＝＝，∴∠DBC＝∠G，∵∠BFN＝180°﹣90°＝90°，∴∠DBC+∠BNF＝90°，∵∠GNM＝∠BNF，∴∠G+∠GNM＝90°，∴∠GMN＝90°，∴△GNM∽△GEF，∴＝，即＝，∴GM＝cm，故答案为：5，；（2）由题意得：当△PGE为等腰三角形时，PG＝PE，如图2所示：设PF＝x，则PE＝PG＝（16﹣x）cm，在Rt△PEF中，由勾股定理得：122+x2＝（16﹣x）2，解得：x＝，∴PF＝，∴t＝÷4＝（s）；（3）由勾股定理得：BD＝＝30cm，由（1）得：∠GMN＝90°，∴GM⊥BD，∵GP是⊙G的半径，∴当⊙G与BD相切时，GM＝GP，∵∠BME＝∠C＝90°，∠DBC＝∠EBM，∴△BME∽△BCD，∴＝，即＝，解得：ME＝（2t+12），∴GM＝GE﹣ME＝20﹣（2t+12）＝，分两种情况：①当0＜t≤4时，∵GP＝16﹣4t，∴＝16﹣4t，解得：t＝；②当4＜t≤6时，P与M重合，GP＝4t﹣16，∴＝4t﹣16，解得：t＝；综上所述，当⊙G与BD相切时，t的值为s或s．14．如图1，已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，∠是⊙O的半圆弧上一动点（不与A，B重合），过点E的直线分别交射线AM、BN于D、C两点，且CB＝CE．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）求证：AB2＝4AD•BC；（3）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．（1）证明：如图1，连接OE，OC，在△BCO与△ECO中，，∴△BCO≌△ECO（SSS），∴∠OEC＝∠OBC，∵BN是⊙O的切线，∴AB是⊙O的直径，∴AB⊥BN，∴∠ABC＝90°，∴∠OEC＝90°，∴CD为⊙O的切线；（2）证明：连接OC、OD，如图1所示：∵AM和BN是它的两条切线，∴AM⊥AB，BN⊥AB，∴AM∥BN，∴∠ADE+∠BCE＝180°∵DC切⊙O于E，∴∠ODE＝∠ADE，∠OCE＝∠BCE，∴∠ODE+∠OCE＝90°，∴∠DOC＝90°，∴∠AOD+∠COB＝90°，∵∠AOD+∠ADO＝90°，∴∠AOD＝∠OCB，∵∠OAD＝∠OBC＝90°，∴△AOD∽△BCO，∴＝，∴OA2＝AD•BC，∴（AB）2＝AD•BC，∴AB2＝4AD•BC；（2）解：连接OD，OC，如图2所示：∵∠ADE＝2∠OFC，∴∠ADO＝∠OFC，∵∠ADO＝∠BOC，∠BOC＝∠FOC，∴∠OFC＝∠FOC，∴CF＝OC，∴CD垂直平分OF，∴OD＝DF，在△COD和△CFD中，，∴△COD≌△CFD（SSS），∴∠CDO＝∠CDF，∵∠ODA+∠CDO+∠CDF＝180°，∴∠ODA＝60°＝∠BOC，∴∠BOE＝120°，在Rt△DAO，AD＝OA，Rt△BOC中，BC＝OB，∴AD：BC＝1：3，∵AD＝1，∴BC＝3，OB＝，∴图中阴影部分的面积＝2S△OBC﹣S扇形OBE＝2×××3﹣＝3﹣π．15．如图，A（﹣5，0），B（﹣3，0）点C在y的正半轴上，∠CBO＝45°，CD∥AB．∠CDA＝90°，点P从点A出发，沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．（1）当时t＝1，求PC的长；（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；（3）以线段PC为直径的⊙Q随点P的运动而变化，当⊙Q与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．解：（1）A（﹣5，0），B（﹣3，0），∴OA＝5，OB＝3，当t＝1时，AP＝1，∴OP＝OA﹣AP＝4，∵∠CBO＝45°，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠OCB＝45°，OC＝OB＝3，∴PC＝＝＝5；（2）分两种情况：如图1所示：①当P在点B的左侧时，∵∠CBO＝45°，∠BCP＝15°∴∠OCP＝∠OCB+∠BCP＝45°+15°＝60°，∴∠OPC＝30°，∴OP＝OC＝3，∴AP＝OA﹣OP＝5﹣3，∵点P沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动，∴t＝5﹣3，②当P在点B的右侧时，∵∠OCB＝45°，∠BCP＝15°∴∠OCP＝∠OCB﹣∠BCP＝45°﹣15°＝30°，∴OP＝OC＝，∴AP＝OA﹣OP＝5﹣，∵点P沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动，∴t＝5﹣；综上所述，当∠BCP＝15°时，t的值为（5﹣3）秒或（5﹣）秒；（3）如图2中，由题意知，若该圆与四边形ABCD的边相切，有以下三种情况：①当该圆与BC相切于点C时，有∠BCP＝90°，从而∠OCP＝45°，得到OP1＝OC＝3，此时AP1Q＝5+3＝8，∴t＝8；②当该圆与CD相切于点C时，有P2C⊥CD，即点P2与点O重合，此时AP2＝5，∴t＝5；③当该圆与AD相切时，设P3（5﹣t，0），则Q（，），半径r2＝（）2+（）2，作QH⊥AD于点H，则QH＝，∵QH2＝r2，∴（）2＝（）2+（）2，解得t＝，综上所述，t的值为8秒或5秒或秒．。
2020年中考数学第一轮复习 第十七讲 三角形与全等三角形 知识点+真题 学生版(后含答案)
2020年中考数学第一轮复习教案第三章图形的认识与三角形第十七讲三角形与全等三角形【中考真题考点例析】考点一：三角形三边关系例1 （温州）下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，11对应练习1－1（长沙）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（）A．2 B．4 C．6 D．8考点二：三角形内角、外角的应用例2 （2019青岛中考）如图，BD 是△ABC 的角平分线，AE⊥ BD ，垂足为F ．若∠ABC＝35°，∠ C＝50°，则∠CDE 的度数为（）A. 35°B. 40°C. 45°D. 50°对应练习2－1（2019年威海）把一块含有45°角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上），若∠1＝23°，则∠2＝°对应练习2－2（2019年枣庄）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）.A.45°B. 60°C. 75°D. 85°考点三：三角形全等的判定和性质例3 （2019年山东滨州）如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC ，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1对应练习3－1 （天门）如图，已知△ABC ≌△ADE ，AB 与ED 交于点M ，BC 与ED ，AD 分别交于点F ，N ．请写出图中两对全等三角形（△ABC ≌△ADE 除外），并选择其中的一对加以证明．对应练习3－2 （宜宾）如图：已知D 、E 分别在AB 、AC 上，AB=AC ，∠B=∠C ，求证：BE=CD ． 考点四：全等三角形开放性问题例4 （云南）如图，点B 在AE 上，点D 在AC 上，AB=AD ．请你添加一个适当的条件，使△ABC ≌△ADE （只能添加一个）．（1）你添加的条件是 ．（2）添加条件后，请说明△ABC ≌△ADE 的理由．对应练习4－1 （昭通）如图，AF=DC ，BC ∥EF ，只需补充一个条件 ，就得△ABC ≌△DEF ．第十七讲 三角形与全等三角形 参考答案【中考真题考点例析】考点一：三角形三边关系例1答案：C 对应练习1－1答案：B 考点二：三角形内角、外角的应用例2答案：C 对应练习2－1答案：68 对应练习2－2 答案：C 考点三：三角形全等的判定和性质MOCD B例3 答案：B 对应练习3－1 答案：△AEM ≌△ACN ，△BMF ≌△DNF ，△ABN ≌△ADM ．选择△AEM ≌△ACN ，证明：∵△ADE ≌△ABC ，∴AE=AC ，∠E=∠C ，∠EAD=∠CAB ，∴∠EAM=∠CAN ，∵在△AEM 和△ACN 中，∠E ＝∠CAE ＝AC∠EAM ＝∠CAN∴△AEM ≌△ACN （ASA ）．对应练习3－2 答案：证明：在△ABE 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧)公共角A(＝∠A ∠)已知AC(＝ AB )已知C(＝∠B ∠ ∴△ABE ≌△ACD （ASA ），∴BE=CD （全等三角形的对应边相等）．考点四：全等三角形开放性问题例4 答案：解：（1）∵AB=AD ，∠A=∠A ，∴若利用“AAS ”，可以添加∠C=∠E ，若利用“ASA ”，可以添加∠ABC=∠ADE ，或∠EBC=∠CDE ，若利用“SAS ”，可以添加AC=AE ，或BE=DC ，综上所述，可以添加的条件为∠C=∠E （或∠ABC=∠ADE 或∠EBC=∠CDE 或AC=AE 或BE=DC ）；故答案为：∠C=∠E ；（2）选∠C=∠E 为条件．理由如下：∵在△ABC 和△ADE 中，⎪⎩⎪⎨⎧AD ＝AB E＝∠C ∠A ＝∠A ∠ ∴△ABC ≌△ADE （AAS ）．对应练习4－1 答案：BC=EF ，解析：∵AF=DC ，∴AF+FC=CD+FC ，即AC=DF ，∵BC ∥EF ，∴∠EFC=∠BCF ，∵在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧DF ＝AC BCF＝∠EFC ∠BC ＝EF ∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．故答案为：BC=EF ．【聚焦中考真题】 一、选择题 1.（湘西州）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD 的度数是（ ）A ．15°B ．25°C ．30°D ．10°2．（鄂州）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ）A ．165°B ．120°C ．150°D ．135°3．（泉州）在△ABC 中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC 的形状是（ ）A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形4．（宜昌）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）A ．1，2，6B ．2，2，4C ．1，2，3D ．2，3，45．（衡阳）如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A 的大小是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．80°6．（河北）如图1，M 是铁丝AD 的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC ，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．则下列说法正确的是（ ）A ．点M 在AB 上B ．点M 在BC 的中点处C ．点M 在BC 上，且距点B 较近，距点C 较远D ．点M 在BC 上，且距点C 较近，距点B 较远7．（铁岭）如图，在△ABC 和△DEC 中，已知AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC ，不能添加的一组条件是（ ）A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DCC．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D8．（台州）已知△A1B1C1△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（）A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①，②都错误D．①，②都正确9．（邵阳）如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD 于点O，连结AO，下列结论不正确的是（）A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC10．（河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130°D．180°11．（陕西）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对二、填空题12.（威海）将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC．∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF= ．13．（黔东南州）在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B-∠A=∠C-∠B，则∠B= 度．14．（柳州）如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x= ．15．（巴中）如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是．（只需写出一个）16．（郴州）如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是（只写一个条件即可）．17.（达州）如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013= 度．三、解答题18．（聊城）如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．19．（菏泽）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．（1）求证：△ABE≌△CBD；（2）若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．20．（临沂）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．21．（东营）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．22．（烟台）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF 的数量关系式；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．23．（玉林）如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：△ABC≌△AED．24．（湛江）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．25.（荆州）如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．26．（十堰）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．27.（佛山）课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需要通过推理的方法证实．（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS；（2）证明推论AAS．要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据．28．（内江）已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．29．（舟山）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：△ABE≌DCE；（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？30．（荆门）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．31．（随州）如图，点F 、B 、E 、C 在同一直线上，并且BF=CE ，∠ABC=∠DEF ．能否由上面的已知条件证明△ABC ≌△DEF ？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC ≌△DEF ，并给出证明．提供的三个条件是：①AB=DE ；②AC=DF ；③AC ∥DF ．第十七讲 三角形与全等三角形 参考答案【聚焦中考真题】一、选择题1-5 AADDC 6-10 CCDAB 11 C二、填空题12答案：25°13答案：6014答案：2015答案：CA=FD16答案：∠B=∠C17答案：20152m解：∵A1B 平分∠ABC ，A1C 平分∠ACD ，∴∠A1=21∠A ，∠A2=21∠A1=221∠A ，… ∴∠A2 015=201521∠A=20152m 。
2020年中考数学一轮复习 第十二单元《全等三角形》检测试卷(附答案)
2020年中考数学一轮复习单元检测试卷第十二单元《全等三角形》考试时间：120分钟；满分：150分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．下列图形是全等图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，点F，C在BE上，△ABC≌△DEF，AB和DE，AC和DF是对应边，AC，DF 交于点M，则∠AMF等于（）A．2∠B B．2∠ACB C．∠A+∠D D．∠B+∠ACB第2题第3题第4题第5题3．如图，已知∠1＝∠2，添加下列某条件，未必能判定△ABC≌BAD的是（）A．AC＝BD B．AD＝BC C．∠l＝∠2D．∠C＝∠D4．如图，△ABC中，AD⊥BC，D为BC的中点，以下结论：（1）△ABD≌△ACD；（2）AB＝AC；（3）∠B＝∠C；（4）AD是△ABC的一条角平分线．其中正确的有（）5．如图，在△PAB中，PA＝PB，D、E、F分别是边PA，PB，AB上的点，且AD＝BF，BE＝AF，若∠DFE＝34°，则∠P的度数为（）A．112°B．120°C．146°D．150°6．已知AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则边BC及中线AD的取值范围得分评卷人分别是（）A．4＜BC＜20，2＜AD＜10B．4＜BC＜20，4＜AD＜20C．2＜BC＜10，2＜AD＜10D．2＜BC＜10，4＜AD＜207．如图，AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE＝BF，下列结论错误的是（）A．∠C＝∠B B．DF∥AE C．∠A+∠D＝90°D．CF＝BE8．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（）去．A．第1块B．第2块C．第3块D．第4块第7题第8题第9题第10题9．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD ＝CD，AB＝CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD 的面积＝AC•BD，其中正确的结论有（）A．①②B．①③C．②③D．①②③10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④若AC＝4BE，则S△ABC＝8S△BDE．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC边上的中线AD的长是整数，则AD＝．得分评卷人第11题第12题第13题第14题12．如图，△ABC≌△ADE，线段BC的延长线过点E，与线段AD交于点F，∠ACB＝∠AED＝108°，∠CAD＝12°，∠B＝48°，则∠DEF的度数．13．如图，AB＝AC，要说明△ADC≌△AEB，添加的条件可以是（填写序号即可）①∠B＝∠C②DC＝BE③AD＝AE④∠ADC＝∠AEB14．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A（8，0），B（2，6），C（4，0），点P，Q是△ABO边上的两个动点（点P不与点C重合），以P，O，Q为顶点的三角形与△COQ全等，则满足条件的点P的坐标为．三、解答题（本大题共9小题，满分90分,其中第15,16,17,18题每题8分，19,20题每题10分，21,22题每题12分，23题14分）15．如图，△ACE≌△DBF，AC＝6，BC＝4．（1）求证：AE∥DF；（2）求AD的长度．16．如图，已知AB∥CF，D是AB上一点，DF交AC于点E，若AB＝BD+CF，求证：△ADE≌△CFE．得分评卷人17．已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB 上的点，且PF＝PG，DF＝EG．求证：OC是∠AOB的平分线．18．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，BE＝CF，AC∥DE，∠A＝∠D．（1）求证：△ABC≌△DFE；（2）若BF＝14，EC＝4，求BC的长．19．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝25°，则∠DCE＝．（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．20．如图1，点A是线段DE上一点，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD⊥DE，CE⊥DE，（1）求证：DE＝BD+CE．（2）如果是如图2这个图形，BD、CE、DE有什么数量关系？并证明．21．在△ABC中，D为BC上一点，连接AD，过点B作BE垂直于CA的延长线于点E，BE与DA的延长线相交于点F．（1）如图1，若AB平分∠CBE，∠ADB＝30°，AE＝3，AC＝7，求CD的长；（2）如图2，若AB＝AC，∠ADB＝45°，求证；BC＝DF．22．在△ABC中，AC＝BC，D，E，F分别是直线AC，AB，BC上的点，且AD＝BE，AE ＝BF．（1）如图1，若∠DEF＝30°，求∠ACB的度数；（2）设∠ACB＝x°，∠DEF＝y°，∠AED＝z°．①求y与x之间的数量关系；②如图2，E为AB的中点，求y与z之间的数量关系；③如图2，E为AB的中点，若DF与AB之间的距离为8，AC＝16，求△ABC的面积．23．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BE与∠ACB外角的平分线CE交于点E．（1）如图1，若∠BAC＝40°，求∠BEC的度数；（2）如图2，将∠BAC变为60°，则∠BEC＝°．并直接写出∠BAC与∠BEC 的关系；（3）在图1的基础上过点E分别作EN⊥BA于N，EQ⊥AC于Q，EM⊥BD于M，如图3，求证：△ANE≌AQE，并直接写出∠NAE的度数．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．解：A、两个图形相似，错误；B、两个图形全等，正确；C、两个图形相似，错误；D、两个图形不全等，错误；故选：B．2．解：∵△ABC≌△DEF，∴∠ACB＝∠DFE，∵∠AMF＝∠ACB+∠DFE，∴∠AMF＝2∠ACB，故选：B．3．解：A、∵AC＝BD，∠1＝∠2，AB＝AB，∴根据SAS能推出△ABC≌△BAD，故本选项错误；B、根据AD＝BC和已知不能推出△ABC≌△BAD，故本选项正确；C、∵∠1＝∠2，AB＝AB，∠1＝∠2，∴根据ASA能推出△ABC≌△BAD，故本选项错误；D、∵∠C＝∠D，∠1＝∠2，AB＝AB，∴根据AAS能推出△ABC≌△BAD，故本选项错误；故选：B．4．解：∵AD＝AD、∠ADB＝∠ADC、BD＝CD∴（1）△ABD≌△ACD正确；∴（2）AB＝AC正确；（3）∠B＝∠C正确；∠BAD＝∠CAD∴（4）AD是△ABC的角平分线．故选：D．5．解：∵PA＝PB，∴∠A＝∠B，在△ADF和△BFE中，，∴△ADF≌△BFE（SAS），∴∠ADF＝∠BFE，∵∠DFB＝∠DFE+∠EFB＝∠A+∠ADF，∴∠A＝∠DFE＝34°，∴∠P＝180°﹣∠A﹣∠B＝112°，故选：A．6．解：如图所示，在△ABC中，则AB﹣AC＜BC＜AB+AC，即12﹣8＜BC＜12+8，4＜BC＜20，延长AD至点E，使AD＝DE，连接BE，∵AD是△ABC的边BC上的中线，∴BD＝CD，又∠ADC＝∠BDE，AD＝DE∴△ACD≌△EBD（SAS），∴BE＝AC，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即AB﹣AC＜AE＜AB+AC，12﹣8＜AE＜12+8，即4＜AE＜20，∴2＜AD＜10．故选：A．7．解：∵CE＝BF，∴CE﹣EF＝BF＝EF，∴CF＝BE，∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠CFD＝∠AEB＝90°，在Rt△CFD和Rt△BEA中，，∴Rt△CFD≌Rt△BEA（HL），∴∠C＝∠B，∠D＝∠A，∴CD∥AB，故A，B，D正确，∵∠C+∠D＝90°，∴∠A+∠C＝90°，故C错误，故选：C．8．解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．故选：B．9．解：在△ABD与△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），故①正确；∴∠ADB＝∠CDB，在△AOD与△COD中，，∴△AOD≌△COD（SAS），∴∠AOD＝∠COD＝90°，AO＝OC，∴AC⊥DB，故②正确；四边形ABCD的面积＝，故③正确；故选：D ．10．解：∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAC ＝∠DAE ，∵∠C ＝90°，DE ⊥AB ，∴∠C ＝∠E ＝90°，∵AD ＝AD ，∴△DAC ≌△DAE （AAS ），∴∠CDA ＝∠EDA ，∴①AD 平分∠CDE 正确；无法证明∠BDE ＝60°，∴③DE 平分∠ADB 错误；∵BE +AE ＝AB ，AE ＝AC ，∵AC ＝4BE ，∴AB ＝5BE ，AE ＝4BE ，∴S △ADB ＝5S △BDE ，S △ADC ＝4S △BDE ，∴S △ABC ＝9S △BDE ，∴④错误；∵∠BDE ＝90°﹣∠B ，∠BAC ＝90°﹣∠B ，∴∠BDE ＝∠BAC ，∴②∠BAC ＝∠BDE 正确．故选：B ．二．填空题（共4小题）11．解：如右图，AB ＝3，AC ＝2，AD 是BC 上的中线，延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE ，∵AD ＝DE ，∠ADC ＝∠EDB ，BD ＝CD ，∴△ADC ≌△EDB （SAS ），∴BE ＝AC ＝2，在△ABE 中，BE ﹣AB ＜AE ＜AB +BE ，即1＜2AD ＜5，解得＜AD＜，又∵AD是整数，∴AD＝1或2，故答案为：1或2．12．解：∵∠ACB＝108°，∠B＝48°，∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣48°﹣108°＝24°．又∵△ABC≌△ADE，∴∠EAD＝∠CAB＝24°．又∵∠EAB＝∠EAD+∠CAD+∠CAB，∠CAD＝12°，∴∠EAB＝24°+12°+24°＝60°，∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠B＝180°﹣60°﹣48°＝72°，∴∠DEF＝∠AED﹣∠AEB＝108°﹣72°＝36°．故答案为：36°13．解：在△ADC和△AEB中，∵AC＝AB，∠A＝∠A，如果根据SAS证明△ADC≌△AEB，需要添加AD＝AE，如果根据AAS证明△ADC≌△AEB，需要添加∠ADC＝∠AEB，如果根据ASA证明△ADC≌△AEB，需要添加∠C＝∠B，故答案为①③④．14．解：以P，O，Q为顶点的三角形与△COQ全等，①如图1所示，当△POQ≌△COQ时，即OP＝OC＝1，过P作PE⊥OA于E，过B作BF⊥OA于F，则PE∥BF，∵B（2，6），∴OF＝2，BF＝6，∴OB＝＝2，∵PE∥BF，∴△POE∽△BOF，∴，∴＝＝，∴PE＝，OE＝，∴点P的坐标为（，）；②如图2，当△POQ≌△CQO时，即QP＝OC＝4，OP＝CQ，∴四边形PQCO是平行四边形，∴PQ∥OA，过P作PE⊥OA于E，过B作BF⊥OA于F，则PE∥BF，∵B（2，6），∴OF＝2，BF＝6，∴OB＝＝2，∵PQ∥OA，∴＝，∴PB＝，∴PE＝，∴点P是OB的中点，∵PE∥BF，∴PE＝BF＝3，OE＝EF＝1，∴点P的坐标为（1，3），综上所述，点P的坐标为（，）或（1，3）．故答案为：（，）或（1，3）．三．解答题（共9小题）15．证明：（1）∵△ACE≌△DBF，∴∠A＝∠D，∴AE∥DF．（2）∵△ACE≌△DBF，∴AC＝DB，∴AB＝DC＝AC﹣BC＝6﹣4＝2，∴AD＝AC+CD＝6+2＝8．16．证明：∵AB＝BD+CF，又∵AB＝BD+AD，∴CF＝AD∵AB∥CF，∴∠A＝∠ACF，∠ADF＝∠F在△ADE与△CFE中，∴△ADE≌△CFE（ASA）．17．证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，，∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），∴PD＝PE，∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，∴OC是∠AOB的平分线．18．（1）证明：∵AC∥DE，∴∠ACB＝∠DEF，∵BE＝CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（AAS）．（2）解：∵BF＝14，EC＝4，∴BE+CF＝14﹣4＝10，∵BE＝CF，∴BE＝CF＝5，∴BC＝BE+EC＝5+4＝9．19．（1）解：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中∵，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B＝∠ACE，∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝25°，∴∠DCE＝25°，故答案为：25°；（2）解：当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α＝β，理由是：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中∵，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B＝∠ACE，∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，∴α＝β；（3）解：当D在线段BC上时，α+β＝180°，当点D在线段BC延长线或反向延长线上时，α＝β．20．证明：（1）∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠D＝∠E＝90°，∴∠DBA+∠DAB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAB+∠CAE＝90°，∴∠DBA＝∠CAE，且AB＝AC，∠D＝∠E＝90°，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，∴DE＝AD+AE＝CE+BD；（2）BD＝DE+CE，理由如下：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABD+∠EAC＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，且AB＝AC，∠ADB＝∠AEC＝90°，∴△ADB≌△CEA（AAS）∴BD＝AE，CE＝AD，∵AE＝AD+DE，∴BD＝CE+DE．21．解：（1）作AH⊥BC于H．∵AB平分∠EBC，AE⊥BF，AH⊥BC，∴AE＝AH＝3，在Rt△AHD中，∵∠ADH＝30°，∴AD＝2AH＝6，DH＝＝3，在Rt△ACH中，CH＝＝2，∴CD＝CH﹣DH＝2﹣3．（2）如图，作FM⊥BC于M．AN⊥BC于N，设AE交FM于点O．∵CE⊥BF，FM⊥BC，∴∠OEF＝∠OMC，∵∠EOF＝∠MOC，∴∠OFE＝∠C，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∴∠OFE＝∠B，∵∠FDM＝∠MFD＝45°，∴FM＝DM，DF＝FM，∵∠BFA＝45°+∠BFM，∠BAF＝∠ABC+∠ADB＝45°+∠ABD，∴∠BFA＝∠BAF，∴BF＝BA，∵∠BFA＝∠ABN，BF＝BA，∠FMB＝∠ANB＝90°，∴△FMB≌△BNA（AAS），∴FM＝BN，∴BC＝2BN＝2FM＝DF．22．（1）解：∵AC＝CB，∴∠A＝∠B，∵AD＝BE，AE＝BF，∴△DAE≌△EBF（SAS），∴∠ADE＝∠BEF，∵∠ADE+∠AED+∠A＝180°，∠BEF+∠DEF+∠AED＝180°，∴∠A＝∠DEF＝30°，∴∠A＝∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣30°＝120°．（2）①证明：如图1中，由（1）可知△DAE≌△EBF，∴∠ADE＝∠BEF，∵∠ADE+∠AED+∠A＝180°，∠BEF+∠DEF+∠AED＝180°，∴∠A＝∠DEF＝y°，∴∠A＝∠B＝y°，∴x+2y＝180°，∴y＝90°﹣0.5x．②如图2中，连接EC，作EM⊥AC与M，DN⊥AB与N．∵△DAE≌△EBF，∴AD＝EB，∵EA＝EB，∴AE＝EB＝BF＝AD，∴∠ADE＝∠AED＝z°，∴y＝180﹣2z．（3）如图2﹣1中，连接CE，作DN⊥AB于N，EM⊥AC于M．∵•AD•EM＝•AE•DN，AD＝AE，∴EM＝DN＝8，∵AE＝EB，∴S△ABC ＝2S△ACE＝2וAC•EM＝128．23．解：（1）依据三角形外角性质∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∠E＝∠ECD﹣∠EBD ∵∠ABC的平分线与∠ACB外角的平分线交于点E，∴∠EBD＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝∠ACD﹣∠ABC＝∠A＝20°．（2）由（1）可知∠E＝∠A，∴∠BEC＝∠A＝30°，故答案为30．（3）连接AE．∵CE平分∠ACD，EQ⊥AC，EM⊥BD，∴EQ＝EM，同理EN＝EM∴EN＝EQ，在Rt△ANE和Rt△AQE中，，∴Rt△ANE≌Rt△AQE（HL），∴∠EAQ＝∠EAN，∵∠BAC＝40°，∴∠NAQ＝140°，∴∠NAE＝×140°＝70°．。
2020年中考数学第一轮复习 第四节 因式分解 知识点+真题(后含答案)
2020年中考数学第一轮复习第一章 数与式第四节 因式分解【基础知识回顾】一、因式分解的定义：1、把一个 式化为几个整式 的形式，叫做把一个多项式因式分解。
2、因式分解与整式乘法是运算，即：多项式 整式的积 【注意：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为 的形式。
】二、因式分解常用方法：1、提公因式法：公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。
提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。
【注意：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是 ，都遵循一个原则：取系数的 ，相同字母的 。
2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为 ，不能漏掉。
3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要 。
】2、运用公式法：将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。
①平方差公式：a 2-b 2= ,②完全平方公式：a 2±2ab+b 2= 。
【注意：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面的a 与b 。
如：x 2-x+14符合完全平方公式形式，而x 2- x+12就不符合该公式的形式。
】 三、因式分解的一般步骤1、 一提：如果多项式的各项有公因式，那么要先 。
2、 二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用 法来分解。
3、 三查：分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止。
【注意：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两步，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】【中考真题考点例析】考点一：因式分解的概念A ．a （x-y ）=ax-ayB ．x +2x+1=x （x+2）+1C ．（x+1）（x+3）=x 2+4x+3D ．x 3-x=x （x+1）（x-1）考点二：因式分解例2. （2019山东东营）因式分解：x(x-3)-x+3= ．对应练习2－1．（2019年济南）分解因式：244m m -+=_____．（ ） （ ）对应练习2－2．（2019年莱芜）分解因式：a 3﹣4ab 2= ．考点三：因式分解的应用例1. 答案：6，1对应练习1－1． 答案：D考点二：因式分解例2. 答案：B对应练习2－1． 答案：2(2)m -对应练习2－2． 答案：a （a+2b ）（a ﹣2b ）考点三：因式分解的应用例3. 答案：4对应练习3－1． 答案：18【聚焦中考真题】一、选择题：1．（2019年山东临沂）将a 3b －ab 进行因式分解，正确的是（ ）A ．a(a 2b －b)B ．ab(a －1)2C ．ab(a+1)(a －1)D ．ab(a 2－1)2．（2019潍坊）下列因式分解正确的是（ ）A ．3ax 2－6ax=3(ax 2－2ax)B ．x 2+y 2=(－x+y)(－x －y)C ．a 2+2ab －4b 2=(a+2b)2D ．－ax 2+2ax －a=－a(x －1)23.（南昌）下列因式分解正确的是（ ） A ．x 2-xy+x=x （x -y ） B ．a 3-2a 2b+ab 2=a （a -b ）2C ．x 2-2x+4=（x -1）2+3D ．ax 2-9=a （x+3）（x -3）4．（张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）A ．x 2+x+1B ．x 2+2x-1C ．x 2-1D ．x 2-6x+95．（佛山）分解因式a 3-a 的结果是（ ）A ．a （a 2-1）B ．a （a-1）2C ．a （a+1）（a-1）D ．（a 2+a ）（a-1）6．（恩施州）把x 2y-2y 2x+y 3分解因式正确的是（ ）A ．y （x 2-2xy+y 2）B ．x 2y-y 2（2x-y ）C ．y （x-y ）2D ．y （x+y ）2二、填空题：7.（2019年威海）分解因式:2x 2－2x ＋＝ .8．（2019年淄博）分解因式：=++x x x 6523 ．A ．3x -6x=x （3x-6）B ．-a +b =（b+a ）（b-a ）C．4x2-y2=（4x+y）（4x-y）D．4x2-2xy+y2=（2x-y）233．（内江）若m-n=6，且m-n=2，则m+n= ．参考答案一、选择题：1-5 CDBDC 6 C二、填空题：6.答案：()221 12x-7.答案：()()32++xxx8.答案：m(x+y)(x-y)9.答案：m(m-5)10.答案：B11.答案：2)2 (-ba12.答案：x(2-x)(2+x)13. 答案：5(x+2)(x -2)14. 答案：m(m+2)(m -2)15. 答案：b(a+2b)(a -2b)17. 答案：-91(3x+1)(3x -1)16. 答案：3(a+2b)(a -2b)17. 答案：2x(x -2)18. 答案：2m(m+2)(m -2)19. 答案：2（a+2b ）(a -2b)20. 答案：22）（-x21. 答案：a(b+1)(b -1)22. 答案：(x -1)23. 答案：a(a -2)24. 答案：x(x+y)25. 答案：(a+3)(a -3)26. 答案：x -227. 答案：(x+y)(x -y)28. 答案：(x+3y)(x -3y)29. 答案：a(m+2n)(m -2n)30. 答案：))((22x y x y y x -+ 31. 答案：332. 答案：2433. 答案：x(x+1)(x -1)34. 答案：-31。
2020届人教版中考数学一轮复习-第17讲 尺规作图(有答案)
第十七节尺规作图【知识点梳理】一）尺规作图1．定义只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图．2．步骤①根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；②分析作图的方法和过程；③用直尺和圆规进行作图；④写出作法步骤，即作法．二）五种基本作图1．作一条线段等于已知线段；2．作一个角等于已知角；3．作已知角的平分线；4．过一点作已知直线的垂线；5．作已知线段的垂直平分线．三）基本作图的应用1．利用基本作图作三角形(1)已知三边作三角形；(2)已知两边及其夹角作三角形；(3)已知两角及其夹边作三角形；(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．2．与圆有关的尺规作图(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)．(2)作三角形的内切圆．【课堂练习】一．选择题（共8小题）1．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD=5，DE=6，则AG的长是（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】N2：作图—基本作图；L5：平行四边形的性质．【分析】连接EG，由作图可知AD=AE，根据等腰三角形的性质可知AG是DE的垂直平分线，由平行四边形的性质可得出CD∥AB，故可得出∠2=∠3，据此可知AD=DG，由等腰三角形的性质可知OA=AG，利用勾股定理求出OA的长即可．【解答】解：连接EG，∵由作图可知AD=AE，AG是∠BAD的平分线，∴∠1=∠2，∴AG⊥DE，OD=DE=3．∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴AD=DG．∵AG⊥DE，∴OA=AG．在Rt△AOD中，OA===4，∴AG=2AO=8．故选B．2．如图，在△AEF中，尺规作图如下：分别以点E，点F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，交EF于点O，连接AO，则下列结论正确的是（）A．AO平分∠EAF B．AO垂直平分EF C．GH垂直平分EF D．GH平分AF 【考点】N2：作图—基本作图；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】直接根据线段垂直平分线的作法即可得出结论．【解答】解：由题意可得，GH垂直平分线段EF．故选C．3．如图，已知线段AB，分别以A、B为圆心，大于12AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB=25°，延长AC至M，求∠BCM的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【考点】N2：作图—基本作图；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】根据作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，故可得出AC=BC，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵由作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=25°，∴∠BCM=∠CAB+∠CBA=25°+25°=50°．故选B．4．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（）A．①B．②C．③D．④【考点】N2：作图—基本作图．【分析】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案．【解答】解：①作一个角等于已知角的方法正确；②作一个角的平分线的作法正确；③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．故选：C．5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】N2：作图—基本作图；KO：含30度角的直角三角形．【分析】连接CD，根据在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4可知AB=2BC=8，再由作法可知BC=CD=4，CE 是线段BD的垂直平分线，故CD是斜边AB的中线，据此可得出BD的长，进而可得出结论．【解答】解：连接CD，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，∴AB=2BC=8．∵作法可知BC=CD=4，CE是线段BD的垂直平分线，∴CD是斜边AB的中线，∴BD=AD=4，∴BF=DF=2，∴AF=AD+DF=4+2=6．故选B．6．如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（）A．以点F为圆心，OE长为半径画弧B．以点F为圆心，EF长为半径画弧C．以点E为圆心，OE长为半径画弧D．以点E为圆心，EF长为半径画弧【考点】N2：作图—基本作图．【分析】根据作一个角等于一直角的作法即可得出结论．【解答】解：用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧．故选D．7．如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；步骤3：连接AD，交BC延长线于点H．下列叙述正确的是（）A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BADC．S△ABC=BC•AH D．AB=AD【考点】N2：作图—基本作图；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】根据已知条件可知直线BC是线段AD的垂直平分线，由此一一判定即可．【解答】解：A、正确．如图连接CD、BD，∵CA=CD，BA=BD，∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，∴直线BC是线段AD的垂直平分线，故A正确．B、错误．CA不一定平分∠BDA．C、错误．应该是S△ABC=•BC•AH．D、错误．根据条件AB不一定等于AD．故选A．8．下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（）A．B．C．D．【考点】N2：作图—基本作图．【分析】过点A作BC的垂线，垂足为D，则AD即为所求．【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为D，故选B．二．填空题（共5小题）9．如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ=2QC，BC=3，则平行四边形ABCD周长为．【考点】N2：作图—基本作图；L5：平行四边形的性质．【分析】根据角平分线的性质可知∠DAQ=∠BAQ，再由平行四边形的性质得出CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，故可得出△AQD是等腰三角形，据此可得出DQ=AD，进而可得出结论．【解答】解：∵由题意可知，AQ是∠DAB的平分线，∴∠DAQ=∠BAQ．∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，∴∠DAQ=∠DQA，∴△AQD是等腰三角形，∴DQ=AD=3．∵DQ=2QC，∴QC=DQ=，∴CD=DQ+CQ=3+=，∴平行四边形ABCD周长=2（DC+AD）=2×（+3）=15．故答案为：15．10．如图所示，已知∠AOB=40°，现按照以下步骤作图：①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD=OE；②分别以D，E为圆心，以大于12DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③作射线OC．则∠AOC的大小为．【考点】N2：作图—基本作图．【分析】直接根据角平分线的作法即可得出结论．【解答】解：∵由作法可知，OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC=∠AOB=20°．故答案为：20°．11．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=°．【考点】N2：作图—基本作图．【分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF 是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=68°．∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，∴∠EAF=∠DAC=34°．∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，∴∠AEF=90°，∴∠AFE=90°﹣34°=56°，∴∠α=56°．故答案为：56．12．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点P（a，b），则a与b的数量关系是．【考点】N2：作图—基本作图；D5：坐标与图形性质；J5：点到直线的距离．【分析】根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号，可得a与b的数量关系为互为相反数．【解答】解：根据作图方法可得，点P在第二象限角平分线上，∴点P到x轴、y轴的距离相等，即|b|=|a|，又∵点P（a，b）第二象限内，∴b=﹣a，即a+b=0，故答案为：a+b=0．13．图1是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程已知：Rt△ABC，∠C=90°，求作Rt△ABC的外接圆．作法：如图2．（1）分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；（2）作直线PQ，交AB于点O；（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆．请回答：该尺规作图的依据是．【考点】N3：作图—复杂作图；MA：三角形的外接圆与外心．【分析】由于90°的圆周角所对的弦是直径，所以Rt△ABC的外接圆的圆心为AB的中点，然后作AB的中垂线得到圆心后即可得到Rt△ABC的外接圆．【解答】解：该尺规作图的依据是到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；90°的圆周角所对的弦是直径．故答案为到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一直线；90°的圆周角所对的弦是直径；圆的定义．三．解答题（共8小题）14．如图，△ABC中，∠ACB＞∠ABC．（1）用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM=∠ABC（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）若（1）中的射线CM交AB于点D，AB=9，AC=6，求AD的长．【考点】N2：作图—基本作图；S9：相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据尺规作图的方法，以AC为一边，在∠ACB的内部作∠ACM=∠ABC即可；（2）根据△ACD与△ABC相似，运用相似三角形的对应边成比例进行计算即可．【解答】解：（1）如图所示，射线CM即为所求；（2）∵∠ACD=∠ABC，∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴=，即=，∴AD=4．15．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=2．（1）利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D，（保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ADE的周长为a，先化简T=（a+1）2﹣a（a﹣1），再求T的值．【考点】N2：作图—基本作图；KO：含30度角的直角三角形．【分析】（1）根据作已知线段的垂直平分线的方法，即可得到线段AC的垂直平分线DE；（2）根据Rt△ADE中，∠A=30°，AE=，即可求得a的值，最后化简T=（a+1）2﹣a（a﹣1），再求T的值．【解答】解：（1）如图所示，DE即为所求；（2）由题可得，AE=AC=，∠A=30°，∴Rt△ADE中，DE=AD，设DE=x，则AD=2x，∴Rt△ADE中，x2+（）2=（2x）2，解得x=1，∴△ADE的周长a=1+2+=3+，∵T=（a+1）2﹣a（a﹣1）=3a+1，∴当a=3+时，T=3（3+）+1=10+3．16．如图，已知△ABC，请用圆规和直尺作出△ABC的一条中位线EF（不写作法，保留作图痕迹）．【考点】N3：作图—复杂作图；KX：三角形中位线定理．【分析】作线段AB的垂直平分线得到AB的中点E，作AC的垂直平分线得到线段AC的中点F．线段EF即为所求．【解答】解：如图，△ABC的一条中位线EF如图所示，方法：作线段AB的垂直平分线得到AB的中点E，作AC的垂直平分线得到线段AC的中点F．线段EF即为所求．17．如图，已知△ABC，∠B=40°．（1）在图中，用尺规作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点D，E，F（保留痕迹，不必写作法）；（2）连接EF，DF，求∠EFD的度数．【考点】N3：作图—复杂作图；MI：三角形的内切圆与内心．【分析】（1）直接利用基本作图即可得出结论；（2）利用四边形的性质，三角形的内切圆的性质即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，⊙O即为所求．（2）如图2，连接OD，OE，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∴∠ODB=∠OEB=90°，∵∠B=40°，∴∠DOE=140°，∴∠EFD=70°．18．在数学课本上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线“的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图：（1）在直线l上任取两点A、B；（2）分别以点A、B为圆心，AP，BP长为半径画弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．参考以上材料作图的方法，解决以下问题：（1）以上材料作图的依据是：（3）已知，直线l和l外一点P，求作：⊙P，使它与直线l相切．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）【考点】N3：作图—复杂作图；MD：切线的判定．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得答案；（2）根据线段垂直平分线的性质，切线的性质，可得答案．【解答】解：（1）以上材料作图的依据是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；（2）如图．19．“直角”在初中几何学习中无处不在．如图，已知∠AOB，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠AOB是否为直角（仅限用直尺和圆规）．【考点】N3：作图—复杂作图；KS：勾股定理的逆定理；M5：圆周角定理．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，可得答案；（2）根据圆周角定理，可得答案．【解答】解：（1）如图1，在OA，OB上分别，截取OC=4，OD=3，若CD的长为5，则∠AOB=90°（2）如图2，在OA，OB上分别取点C，D，以CD为直径画圆，若点O在圆上，则∠AOB=90°．20．如图，已知正七边形ABCDEFG，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．（1）在图1中，画出一个以AB为边的平行四边形；（2）在图2中，画出一个以AF为边的菱形．【考点】N3：作图—复杂作图；L5：平行四边形的性质；L8：菱形的性质．【分析】（1）连接AF、BE、CG，CG交AF于M，交BE于N．四边形ABNM是平行四边形．（2）连接AF、DF，延长DC交AB的延长线于M，四边形AFDM是菱形．【解答】解：（1）连接AF、BE、CG，CG交AF于M，交BE于N．四边形ABNM是平行四边形．（2）连接AF、DF，∠延长DC交AB的延长线于M，四边形AFDM是菱形．21．图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点．线段AB的端点在格点上．（1）在图①、图2中，以AB为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点上；（所画图形不全等）（2）在图③中，以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．【考点】N4：作图—应用与设计作图；KI：等腰三角形的判定；KK：等边三角形的性质；L6：平行四边形的判定．【分析】（1）根据等腰三角形的定义作图可得；（2）根据平行四边形的判定作图可得．【解答】解：（1）如图①、②所示，△ABC和△ABD即为所求；（2）如图③所示，▱ABCD即为所求．。
2020年中考数学一轮复习：二次函数综合提升训练解析版
2020年中考数学一轮复习：二次函数综合提升训练一．选择题（共12小题）1．抛物线y＝﹣3x2+6x+2的对称轴是（）A．直线x＝2B．直线x＝﹣2C．直线x＝1D．直线x＝﹣1 2．抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的顶点坐标（）A．（﹣3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（3，﹣4）D．（3，4）3．已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（）A．2＞y1＞y2B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2D．y2＞y1＞24．抛物线y＝（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y＝x2平移而得到，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度5．下列对二次函数y＝x2﹣x的图象的描述，正确的是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．经过原点D．在对称轴右侧部分是下降的6．用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+7B．y＝（x﹣4）2﹣25C．y＝（x+4）2+7D．y＝（x+4）2﹣257．将抛物线y＝x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）A．y＝（x﹣8）2+5B．y＝（x﹣4）2+5C．y＝（x﹣8）2+3D．y＝（x﹣4）2+38．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（）A．b2＜4ac B．ac＞0C．2a﹣b＝0D．a﹣b+c＝09．若抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），则2c﹣4b﹣9的值是（）A．5B．﹣1C．4D．1810．将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（）A．y＝（x+2）2+1B．y＝（x+2）2﹣1C．y＝（x﹣2）2+1D．y＝（x﹣2）2﹣1 11．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b2﹣4ac＝0；②a+b+c＞0；③2a﹣b＝0；④c﹣a＝3其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．412．函数y＝k（x﹣k）与y＝kx2，y＝（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）13．若抛物线y＝x2﹣4x+c的顶点在x轴上，则c的值是．14．已知抛物线y＝2x2﹣5x+3与y轴的交点坐标是．15．已知二次函数y＝x2﹣8x+m的最小值为1，那么m的值等于．16．将抛物线y＝x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为．17．抛物线y＝2（x+1）2﹣3的顶点坐标为．18．将y＝x2﹣2x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，则y＝．19．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．20．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是．三．解答题（共6小题）21．某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x（元）与该土特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：x（元）152030…y（袋）252010…若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2x+6的图象交x轴于点A，B（点A 在点B的左侧）（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．（2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移（n+6）个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n的值．23．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x＝﹣．24．已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴是直线x＝1．（1）求证：2a+b＝0；（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8＝0的一个根为4，求方程的另一个根．25．如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣4，﹣3），与y轴交于点B，对称轴是x＝﹣3，请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式．（2）若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x＝﹣．26．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．一．选择题（共12小题）1．抛物线y＝﹣3x2+6x+2的对称轴是（）A．直线x＝2B．直线x＝﹣2C．直线x＝1D．直线x＝﹣1【分析】将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴．【解答】解：∵y＝﹣3x2+6x+2＝﹣3（x﹣1）2+5，∴抛物线顶点坐标为（1，5），对称轴为x＝1．故选：C．2．抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的顶点坐标（）A．（﹣3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（3，﹣4）D．（3，4）【分析】根据顶点式直接可得顶点坐标．【解答】解：∵y＝﹣2（x﹣3）2﹣4是抛物线的顶点式，∴顶点坐标为（3，﹣4）．∴则答案为C故选：C．3．已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（）A．2＞y1＞y2B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2D．y2＞y1＞2【分析】分别计算自变量为1和2对应的函数值，然后对各选项进行判断．【解答】解：当x＝1时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（1+1）2+2＝﹣2；当x＝2时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（2+1）2+2＝﹣7；所以2＞y1＞y2．故选：A．4．抛物线y＝（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y＝x2平移而得到，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度【分析】抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．【解答】解：抛物线y＝x2顶点为（0，0），抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y＝x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的图象．故选：D．5．下列对二次函数y＝x2﹣x的图象的描述，正确的是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．经过原点D．在对称轴右侧部分是下降的【分析】A、由a＝1＞0，可得出抛物线开口向上，选项A不正确；B、根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线x＝，选项B不正确；C、代入x＝0求出y值，由此可得出抛物线经过原点，选项C正确；D、由a＝1＞0及抛物线对称轴为直线x＝，利用二次函数的性质，可得出当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确．综上即可得出结论．【解答】解：A、∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，选项A不正确；B、∵﹣＝，∴抛物线的对称轴为直线x＝，选项B不正确；C、当x＝0时，y＝x2﹣x＝0，∴抛物线经过原点，选项C正确；D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x＝，∴当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确．故选：C．6．用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+7B．y＝（x﹣4）2﹣25C．y＝（x+4）2+7D．y＝（x+4）2﹣25【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案．【解答】解：y＝x2﹣8x﹣9＝x2﹣8x+16﹣25＝（x﹣4）2﹣25．故选：B．7．将抛物线y＝x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）A．y＝（x﹣8）2+5B．y＝（x﹣4）2+5C．y＝（x﹣8）2+3D．y＝（x﹣4）2+3【分析】直接利用配方法将原式变形，进而利用平移规律得出答案．【解答】解：y＝x2﹣6x+21＝（x2﹣12x）+21＝[（x﹣6）2﹣36]+21＝（x﹣6）2+3，故y＝（x﹣6）2+3，向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为：y＝（x﹣4）2+3．故选：D．8．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（）A．b2＜4ac B．ac＞0C．2a﹣b＝0D．a﹣b+c＝0【分析】根据抛物线与x轴有两个交点有b2﹣4ac＞0可对A进行判断；由抛物线开口向上得a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得c＜0，则可对B进行判断；根据抛物线的对称轴是x＝1对C选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），所以a﹣b+c＝0，则可对D选项进行判断．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项错误；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴ac＜0，所以B选项错误；∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，∴2a+b＝0，所以C选项错误；∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，所以D选项正确；故选：D．9．若抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），则2c﹣4b﹣9的值是（）A．5B．﹣1C．4D．18【分析】把（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c可得﹣2b+c＝7，再将所求的式子变形，整体代入即可求出答案【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），∴﹣（﹣2）2﹣2b+c＝3，整理得，﹣2b+c＝7，∴2c﹣4b﹣9＝2（c﹣2b）﹣9＝2×7﹣9＝5，故选：A．10．将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（）A．y＝（x+2）2+1B．y＝（x+2）2﹣1C．y＝（x﹣2）2+1D．y＝（x﹣2）2﹣1【分析】由抛物线平移不改变a的值，根据平移口诀“左加右减，上加下减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式．【解答】解：将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是y＝（x﹣2）2+1．故选：C．11．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b2﹣4ac＝0；②a+b+c＞0；③2a﹣b＝0；④c﹣a＝3其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断．【解答】解：抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，∴b2﹣4ac＞0，故①错误；由于对称轴为x＝﹣1，∴x＝﹣3与x＝1关于x＝﹣1对称，∵x＝﹣3时，y＜0，∴x＝1时，y＝a+b+c＜0，故②错误；∵对称轴为x＝﹣＝﹣1，∴2a﹣b＝0，故③正确；∵顶点为B（﹣1，3），∴y＝a﹣b+c＝3，∴y＝a﹣2a+c＝3，即c﹣a＝3，故④正确；故选：B．12．函数y＝k（x﹣k）与y＝kx2，y＝（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（）A．B．C．D．【分析】将一次函数解析式展开，可得出该函数图象与y轴交于负半轴，分析四个选项可知，只有C选项符合，由此即可得出结论．【解答】解：一次函数y＝k（x﹣k）＝kx﹣k2，∵k≠0，∴﹣k2＜0，∴一次函数与y轴的交点在y轴负半轴．A、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，A不正确；B、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，B不正确；C、一次函数图象与y轴交点在y轴负半轴，C可以；D、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，D不正确．故选：C．二．填空题（共8小题）13．若抛物线y＝x2﹣4x+c的顶点在x轴上，则c的值是4．【分析】把抛物线化为顶点式可得出其顶点坐标，根据顶点在x轴上，可知顶点的纵坐标为0可求得c．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+c＝（x﹣2）2+c﹣4，∴其顶点坐标为（2，c﹣4），∵顶点在x轴上，∴c﹣4＝0，解得c＝4，故答案为：4．14．已知抛物线y＝2x2﹣5x+3与y轴的交点坐标是（0，3）．【分析】y轴上点的坐标特点为横坐标为0，纵坐标为y，把x＝0代入即可求得交点坐标为（0，3）．【解答】解：当x＝0时，y＝3，即交点坐标为（0，3）．15．已知二次函数y＝x2﹣8x+m的最小值为1，那么m的值等于17．【分析】将二次函数化为顶点式，即可建立关于m的等式，解方程求出m的值即可．【解答】解：原式可化为：y＝（x﹣4）2﹣16+m，∵函数的最小值是1，∴﹣16+m＝1，解得m＝17．故答案为：17．16．将抛物线y＝x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为y ＝（x+2）2﹣3．【分析】先得到抛物线y＝x2的顶点坐标（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后的对应点的坐标为（﹣2，﹣3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到对应点的坐标为（﹣2，﹣3），所以平移后的抛物线解析式为y ＝（x+2）2﹣3．故答案为y＝（x+2）2﹣3．17．抛物线y＝2（x+1）2﹣3的顶点坐标为（﹣1，﹣3）．．【分析】直接利用顶点式的特点可知顶点坐标．【解答】解：顶点坐标是（﹣1，﹣3）．故答案为：（﹣1，﹣3）．18．将y＝x2﹣2x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，则y＝（x﹣1）2+2．【分析】直接利用配方法把一般式配成顶点式即可．【解答】解：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2．故答案为（x﹣1）2+2．19．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜5．【分析】先移项，整理为一元二次方程，让根的判别式大于0求值即可．【解答】解：由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，5），∴＝5，即b2﹣4ac＝﹣20a，∵ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，∴方程ax2+bx+c﹣k＝0的判别式△＞0，即b2﹣4a（c﹣k）＝b2﹣4ac+4ak＝﹣20a+4ak ＝﹣4a（5﹣k）＞0∵抛物线开口向下∴a＜0∴5﹣k＞0∴k＜5．故答案为：k＜5．20．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是①②④．【分析】根据图象分别求出a、b、c的符号，即可判断①；根据对称轴求出b＝2a，代入2a﹣b即可判断②；把x＝2代入二次函数的解析式，再根据二次函数的性质即可判断③；求出点（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标，根据对称轴判断y1和y2的大小，即可判断④．【解答】解：①∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0，∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，∴c＜0，∵对称轴是直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，∴abc＜0，故①正确；②∵b＝2a，∴2a﹣b＝0，故②正确；③∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0），∴抛物线与x轴另一交点为（1，0）．∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∴当x＝2时y＞0，即4a+2b+c＞0，故③错误；④∵（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标是（3，y1），又∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，3＞，∴y1＞y2，故④正确；故答案为：①②④．三．解答题（共6小题）21．某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x（元）与该土特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：x（元）152030…y（袋）252010…若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式即可（2）利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可．【解答】解：（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为y ＝kx+b得，解得故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：y＝﹣x+40（2）依题意，设利润为w元，得w＝（x﹣10）（﹣x+40）＝﹣x2+50x﹣400整理得w＝﹣（x﹣25）2+225∵﹣1＜0∴当x＝25时，w取得最大值，最大值为225故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2x+6的图象交x轴于点A，B（点A 在点B的左侧）（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．（2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移（n+6）个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n的值．【分析】（1）把y＝0代入二次函数的解析式中，求得一元二次方程的解便可得A、B两点的坐标，再根据函数图象不在x轴下方的x的取值范围得y≥0时x的取值范围；（2）根据题意写出B2，B3的坐标，再由对称轴方程列出n的方程，求得n，进而求得m 的值．【解答】解：（1）令y＝0，则﹣，解得，x1＝﹣2，x2＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），由函数图象得，当y≥0时，﹣2≤x≤6；（2）由题意得，B1（6，m），B2（6﹣n，m），B3（﹣n，m），函数图象的对称轴为直线，∵点B2，B3在二次函数图象上且纵坐标相同，∴，∴n＝1，∴，∴m，n的值分别为，1．23．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x＝﹣．【分析】（1）由于抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，根据待定系数法可求抛物线的解析式；（2）先得到点E（2，﹣3），根据勾股定理可求BE，再根据直角三角形的性质可求线段HF的长；【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），∴解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵点E（2，m）在抛物线上，∴m＝4﹣4﹣3＝﹣3，∴E（2，﹣3），∴BE＝＝，∵点F是AE中点，抛物线的对称轴与x轴交于点H，即H为AB的中点，∴FH是三角形ABE的中位线，∴FH＝BE＝×＝．24．已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴是直线x＝1．（1）求证：2a+b＝0；（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8＝0的一个根为4，求方程的另一个根．【分析】（1）直接利用对称轴公式代入求出即可；（2）根据（1）中所求，再将x＝4代入方程求出a，b的值，进而解方程得出即可．【解答】（1）证明：∵对称轴是直线x＝1＝﹣，∴2a+b＝0；（2）解：∵ax2+bx﹣8＝0的一个根为4，∴16a+4b﹣8＝0，∵2a+b＝0，∴b＝﹣2a，∴16a﹣8a﹣8＝0，解得：a＝1，则b＝﹣2，∴ax2+bx﹣8＝0为：x2﹣2x﹣8＝0，则（x﹣4）（x+2）＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣2，故方程的另一个根为：﹣2．25．如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣4，﹣3），与y轴交于点B，对称轴是x＝﹣3，请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式．（2）若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x＝﹣．【分析】（1）把点A（﹣4，﹣3）代入y＝x2+bx+c得16﹣4b+c＝﹣3，根据对称轴是x ＝﹣3，求出b＝6，即可得出答案，（2）根据CD∥x轴，得出点C与点D关于x＝﹣3对称，根据点C在对称轴左侧，且CD＝8，求出点C的横坐标和纵坐标，再根据点B的坐标为（0，5），求出△BCD中CD边上的高，即可求出△BCD的面积．【解答】解：（1）把点A（﹣4，﹣3）代入y＝x2+bx+c得：16﹣4b+c＝﹣3，c﹣4b＝﹣19，∵对称轴是x＝﹣3，∴﹣＝﹣3，∴b＝6，∴c＝5，∴抛物线的解析式是y＝x2+6x+5；（2）∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝﹣3对称，∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，∴点C的横坐标为﹣7，∴点C的纵坐标为（﹣7）2+6×（﹣7）+5＝12，∵点B的坐标为（0，5），∴△BCD中CD边上的高为12﹣5＝7，∴△BCD的面积＝×8×7＝28．26．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．【分析】（1）利用待定系数法把A（1，0），C（0，﹣3）代入二次函数y＝x2+bx+c中，即可算出b、c的值，进而得到函数解析式是y＝x2+2x﹣3；（2）首先求出A、B两点坐标，再算出AB的长，再设P（m，n），根据△ABP的面积为10可以计算出n的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标．【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3），∴，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）∵当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1；∴A（1，0），B（﹣3，0），∴AB＝4，设P（m，n），∵△ABP的面积为10，∴AB•|n|＝10，解得：n＝±5，当n＝5时，m2+2m﹣3＝5，解得：m＝﹣4或2，∴P（﹣4，5）（2，5）；当n＝﹣5时，m2+2m﹣3＝﹣5，方程无解，故P（﹣4，5）（2，5）；。
2020年中考数学一轮复习《第14讲：三角形及其性质》精练(含答案).docx
第14讲三角形及其性质A组基础题组一、选择题1.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,则∠C等于( )A.45°B.60°C.75°D.90°2.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( )A.三条高的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点D.三条边的垂直平分线的交点3.下列说法错误的是( )A.三角形三条中线交于三角形内一点B.三角形三条角平分线交于三角形内一点C.三角形三条高交于三角形内一点D.三角形的中线、角平分线、高都是线段4.在△ABC中,AB=4a,BC=14,AC=3a,则a的取值范围是( )A.a>2B.2<a<14C.7<a<14D.a<145.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E,若点P 使得S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P( )A.有且只有1个B.有且只有2个C.组成∠E的角平分线D.组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外)6.在△ABC中,AB=13,AC=15,高AD=12,则BC的长是( )A.14B.4C.14或4D.以上都不对二、填空题7.(2018滨州)在△ABC中,若∠A=30°,∠B=50°,则∠C=.8.(2018枣庄)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中,给出了著名的秦九韶公式,也叫三斜求积公式,即如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,则该三角形的面积为S=--.现已知△ABC的三边长分别为1,2,,则△ABC的面积为.9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E,F分别为AB,AC,BC的中点.若CD=5,则EF的长为.10.已知:a、b、c是△ABC的三边长,且M=(a+b+c)(a+b-c)(a-b-c),那么M 0.(填“>”“<”或“=”)三、解答题11.一个飞机零件的形状如图所示,按规定∠A应等于90°,∠B,∠D 应分别是20°和30°,康师傅量得∠BCD=143°,就能断定这个零件不合格,你能说出其中的道理吗?12.已知∠ABC=90°,D是直线AB上的点,AD=BC.(1)如图1,过点A作AF⊥AB,并截取AF=BD,连接DC、DF、CF,判断△CDF 的形状并证明;(2)如图2,E是直线BC上一点,且CE=BD,直线AE、CD相交于点P,∠APD 的度数是一个固定的值吗?若是,请求出它的度数;若不是,请说明理由.B组提升题组一、选择题1.已知锐角三角形的边长分别是2,3,x,那么x的取值范围是( )A.1<x<B.C.<x<5D.<x<2.(2017浙江湖州)如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=6,点P是Rt△ABC的重心,则点P到AB所在直线的距离等于( )A.1B.C.D.2二、填空题3.如图,平面上直线a,b分别经过线段OK的两个端点(如图),则a,b 相交所成的锐角是.4.如图所示,AB=BC=CD=DE=EF=FG,∠1=130°,则∠A=°.5.如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线,已知AC=5,AD=4,则AB的取值范围是.对比训练上题中若作修改“AC=5,AB=4,求AD的取值范围”,怎样计算?三、解答题6.已知∠MON=40°,OE平分∠MON,点A、B、C分别是射线OM、OE、ON 上的动点(A、B、C不与点O重合),连接AC交射线OE于点D.设∠OAC=x°.(1)如图1,若AB∥ON,则①∠ABO的度数是;②当∠BAD=∠ABD时,x= ;③当∠BAD=∠BDA时,x= ;(2)如图2,若AB⊥OM,则是否存在这样的x值,使得△ADB中有两个相等的角?若存在,求出x的值;若不存在,说明理由.第14讲三角形及其性质A组基础题组一、选择题1.C 180°×=180°×=75°,即∠C=75°.故选C.2.D3.C4.B5.D6.C二、填空题7.答案100°解析∵在△ABC中,∠A=30°,∠B=50°,∴∠C=180°-30°-50°=100°.故答案为100°.8.答案 1解析∵S=--,△ABC的三边长分别为1,2,,则△ABC的面积为:∴S△ABC=--)=1,故答案为1.9.答案 5解析∵△ABC是直角三角形,CD是斜边的中线,∴CD=AB,∴AB=2CD=2×5=10,又∵EF是△ABC的中位线,∴EF=×10=5.10.答案<解析根据三角形的三边关系可得,a+b+c>0,a+b-c>0,a-b-c<0,由实数运算得M<0.三、解答题11.解析能.理由如下:延长DC与AB相交于点E.易知∠BED=∠D+∠A=120°,∵∠BCD=∠B+∠BED=130°≠143°.∴这个零件不合格.12.解析 1)△CDF是等腰直角三角形.证明如下: ∵AF⊥AD,∠ABC=90°,∴∠FAD=∠DBC.在△FAD与△DBC中,,,,∴△FAD≌△DBC SAS),∴FD=DC,∴△CDF是等腰三角形.易知∠BDC+∠DCB=90°,∠FDA=∠DCB.∴∠BDC+∠FDA=90°,即∠FDC=90°,∴△CDF是等腰直角三角形.2)∠APD的度数是一个固定的值.理由如下:如图,作AF⊥AB于A,且AF=BD,连接DF,CF.由(1)得△CDF是等腰直角三角形,∴∠FCD=45°.由题意得AF∥CE,且AF=BD=CE,∴四边形AFCE是平行四边形,∴AE∥CF,∴∠APD=∠FCD=45°.B组提升题组一、选择题1.B 因为32-22=5,32+22=13,所以5<x2<13,即<x<.故选B.2.A 连接CP并延长,交AB于点D.∵P是Rt△ABC的重心,∴CD是Rt△ABC的中线,∴PD=CD.∵∠ACB=90°,∴CD=AB=3,∴PD=CD=1,∵AC=BC,CD是Rt△ABC的中线,∴CD⊥AB.∴点P到AB所在直线的距离等于1.故选A.二、填空题3.答案30°解析由三角形的外角性质得,a,b相交所成的锐角的度数是100°-70°=30°,故答案为30°.4.答案10解析设∠A=x°,根据三角形两内角之和等于第三个角的外角、等腰三角形的性质,知∠ACB为x°,∴∠CBD=∠CDB=2x°,∴∠DCE=∠DEC=3x°,同理可得:∠EDF=∠EFD=4x°,∠FEG=∠FGE=5x°,∵∠1+∠FGE=180°,∴∠FGE=50°,∠A=10°.5.答案3<AB<13解析如图,过点B作平行于AC的直线,与AD的延长线交于点E,则△ACD≌△EBD,∴AD=ED,AC=EB,∵AC=5,AD=4,∴在△ABE中,AE=8,BE=AC=5,∴3<AB<13.对比训练<AD<三、解答题6.解析 1)①∵∠MON=40°,OE平分∠MON,∴∠AOB=∠BON=20°.∵AB∥ON,∴∠ABO=∠BON=20°.②∵∠BAD=∠ABD,∴∠BAD=20°.∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°,∴∠OAC=120°.③∵∠BAD=∠BDA,∠ABO=20°.∴∠BAD=80°.∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°,∴∠OAC=60°.故答案为①20°;②120;③60.(2)存在.理由如下:①当点D在线段OB上时,若∠BAD=∠ABD,则x=20;若∠BAD=∠BDA,则x=35;若∠ADB=∠ABD,则x=50;②当点D在射线BE上时,因为∠ABE=110°,且三角形的内角和为180°,所以只有∠BAD=∠BDA,此时x=125.综上可知,当x=20、35、50、125时,存在这样的x值,使得△ADB中有两个相等的角.。
2020年山东省青岛市中考数学试题及参考答案(word解析版)
2020年青岛市初中学业水平考试数学试题（考试时间120分钟，满分120分）第Ⅰ卷（选择题，共24分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．﹣4的绝对值是（）A．4 B．﹣4 C．D．2．下列四个图形中，中心对称图形是（）A．B．C．D．3．2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米＝0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（）A．2.2×108B．2.2×10﹣8C．0.22×10﹣7D．22×10﹣94．如图所示的几何体，其俯视图是（）A．B．C．D．5．如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（0，4）B．（2，﹣2）C．（3，﹣2）D．（﹣1，4）6．如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，则∠AGB的度数为（）A．99°B．108°C．110°D．117°7．如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O．若AE＝5，BF＝3，则AO的长为（）A．B．C．2D．48．已知在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx和反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝x﹣b的图象可能是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷非选择题（共96分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．计算：（﹣）×＝．10．某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试，测试成绩如下表所示．如果将学历、经验和工作态度三项得分按2：1：3的比例确定两人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么将被录用（填甲或乙）．应聘者/项目甲乙学历9 8经验7 6工作态度 5 711．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，△OAB的面积为6．若点P（a，7）也在此函数的图象上，则a＝．12．抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴交点的个数是．13．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G．若DE＝2，OF＝3，则点A到DF的距离为．14．如图，在△ABC中，O为BC边上的一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC相切于点M，N．已知∠BAC＝120°，AB+AC＝16，的长为π，则图中阴影部分的面积为．三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．15．（4分）已知：△ABC．求作：⊙O，使它经过点B和点C，并且圆心O在∠A的平分线上．四、解答题（本大题共9小题，共74分）16．（8分）（1）计算：（+）÷（﹣）；（2）解不等式组：17．（6分）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．18．（6分）如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B，D，某海岛上的观测塔A距离海岸5海里，在A处测得B位于南偏西22°方向．一艘渔船从D出发，沿正北方向航行至C处，此时在A处测得C位于南偏东67°方向．求此时观测塔A与渔船C之间的距离（结果精确到0.1海里）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈）19．（6分）某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数直方图和扇形统计图．请根据图中信息解答下列问题：（1）补全频数直方图；（2）在扇形统计图中，“70～80”这组的百分比m＝；（3）已知“80～90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89．抽取的n名学生测试成绩的中位数是分；（4）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．20．（8分）为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为480m3，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变．同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）根据图象求游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？21．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．22．（10分）某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式；（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM ＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？23．（10分）实际问题：某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？问题建模：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取a （1＜a＜n）个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．探究一：（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表①所取的2个整数1，2 1，3 2，32个整数之和 3 4 5如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表②所取的2个整数1，2 1，3 1，4 2，3 2，4 3，42个整数之和 3 4 5 5 6 7 如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种不同的结果．（4）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种不同的结果．探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同的结果．（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥4）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同的结果．探究三：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥5）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有种不同的结果．归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取a（1＜a＜n）个整数，这a个整数之和共有种不同的结果．问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有种不同的优惠金额．拓展延伸：（1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）（2）从3，4，5，…，n+3（n为整数，且n≥2）这（n+1）个整数中任取a（1＜a＜n+1）个整数，这a个整数之和共有种不同的结果．24．（12分）已知：如图，在四边形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，点C在EB上，∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，延长DC交EF于点M．点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作GH⊥AB于点H，交CD于点G．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，点M在线段CQ的垂直平分线上？（2）连接PQ，作QN⊥AF于点N，当四边形PQNH为矩形时，求t的值；（3）连接QC，QH，设四边形QCGH的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（4）点P在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在∠AFE的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．答案与解析第Ⅰ卷（选择题，共24分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．﹣4的绝对值是（）A．4 B．﹣4 C．D．【知识考点】绝对值．【思路分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解，第一步列出绝对值的表达式，第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．【解题过程】解：∵|﹣4|＝4，∴﹣4的绝对值是4．故选：A．【总结归纳】本题主要考查了绝对值的定义，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，比较简单．2．下列四个图形中，中心对称图形是（）A．B．C．D．【知识考点】中心对称图形．【思路分析】根据中心对称图形的概念结合各图形的特点求解．【解题过程】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、是中心对称图形，符合题意．故选：D．【总结归纳】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．3．2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米＝0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（）A．2.2×108B．2.2×10﹣8C．0.22×10﹣7D．22×10﹣9【知识考点】科学记数法—表示较小的数．【思路分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解题过程】解：将0.000000022用科学记数法表示为2.2×10﹣8．故选：B．【总结归纳】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4．如图所示的几何体，其俯视图是（）A．B．C．D．【知识考点】简单组合体的三视图．【思路分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解题过程】解：从上面看是一个矩形，矩形的中间处有两条纵向的实线，实线的两旁有两条纵向的虚线．故选：A．【总结归纳】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．5．如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（0，4）B．（2，﹣2）C．（3，﹣2）D．（﹣1，4）【知识考点】坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转．【思路分析】根据平移和旋转的性质，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，即可得点A的对应点A′的坐标．【解题过程】解：如图，△A′B′C′即为所求，则点A的对应点A′的坐标是（﹣1，4）．故选：D．【总结归纳】本题考查了坐标与图形变换﹣旋转、平移，解决本题的关键是掌握旋转的性质．6．如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，则∠AGB的度数为（）A．99°B．108°C．110°D．117°【知识考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【思路分析】根据圆周角定理得到∠BAD＝90°，∠DAC＝∠COD＝63°，再由＝得到∠B＝∠D＝45°，然后根据三角形外角性质计算∠AGB的度数．【解题过程】解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵＝，∴∠B＝∠D＝45°，∵∠DAC＝∠COD＝×126°＝63°，∴∠AGB＝∠DAC+∠D＝63°+45°＝108°．故选：B．【总结归纳】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．7．如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O．若AE＝5，BF＝3，则AO的长为（）A．B．C．2D．4【知识考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【思路分析】由矩形的性质，折叠轴对称的性质，可求出AF＝FC＝AE＝5，由勾股定理求出AB，AC，进而求出OA即可．【解题过程】解：∵矩形ABCD，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∴∠EFC＝∠AEF，∴AE＝AF＝3，由折叠得，FC＝AF，OA＝OC，∴BC＝3+5＝8，在Rt△ABF中，AB＝＝4，在Rt△ABC中，AC＝＝4，∴OA＝OC＝2，故选：C．【总结归纳】本题考查矩形的性质、折叠轴对称的性质，勾股定理等知识，根据图形直观，求出线段的长是得出答案的前提．8．已知在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx和反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝x﹣b的图象可能是（）A．B．C．D．【知识考点】一次函数的图象；反比例函数的图象；二次函数的图象．【思路分析】根据反比例函数图象和二次函数图象经过的象限，即可得出a＜0、b＞0、c＞0，由此即可得出＜0，﹣b＜0，即可得出一次函数y＝x﹣b的图象经过二三四象限，再对照四个选项中的图象即可得出结论．【解题过程】解：∵二次函数开口向下，∴a＜0；∵二次函数的对称轴在y轴右侧，左同右异，∴b符号与a相异，b＞0；∵反比例函数图象经过一三象限，∴c＞0，∴＜0，﹣b＜0，∴一次函数y＝x﹣b的图象经过二三四象限．故选：B．【总结归纳】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据反比例函数图象和二次函数图象经过的象限，找出a＜0、b＞0、c＞0是解题的关键．第Ⅱ卷非选择题（共96分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．计算：（﹣）×＝．【知识考点】二次根式的混合运算．【思路分析】先化简括号内的二次根式，再合并括号内的同类二次根式，最后计算乘法即可得．【解题过程】解：原式＝（2﹣）×＝×＝4，故答案为：4．【总结归纳】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．10．某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试，测试成绩如下表所示．如果将学历、经验和工作态度三项得分按2：1：3的比例确定两人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么将被录用（填甲或乙）．应聘者/项目甲乙学历9 8经验7 6工作态度 5 7【知识考点】加权平均数．【思路分析】根据加权平均数的定义列式计算，比较大小，平均数大者将被录取．【解题过程】解：∵＝＝，＝＝，∴＜，∴乙将被录用，故答案为：乙．【总结归纳】本题主要考查加权平均数，若n个数x1，x2，x3，…，x n的权分别是w1，w2，w3，…，w n，则（x1w1+x2w2+…+x n w n）÷（w1+w2+…+w n）叫做这n个数的加权平均数．11．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，△OAB 的面积为6．若点P（a，7）也在此函数的图象上，则a＝．【知识考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．【思路分析】根据反比例函数系数k的几何意义求得k的值，即可求得反比例函数的解析式，代入点P，即可求得a．【解题过程】解：∵AB垂直于x轴，垂足为B，∴△OAB的面积＝|k|，即|k|＝6，而k＞0，∴k＝12，∴反比例函数为y＝，∵点P（a，7）也在此函数的图象上，∴7a＝12，解得a＝．故答案为．【总结归纳】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．12．抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴交点的个数是．【知识考点】抛物线与x轴的交点．【思路分析】根据抛物线的解析式和二次函数的性质可以求得抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k 为常数）与x轴交点的个数，本题得以解决．【解题过程】解：∵抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数），∴当y＝0时，0＝2x2+2（k﹣1）x﹣k，∴△＝[2（k﹣1）]2﹣4×2×（﹣k）＝4k2+4＞0，∴0＝2x2+2（k﹣1）x﹣k有两个不相等的实数根，∴抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴有两个交点，故答案为：2．【总结归纳】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．13．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G．若DE＝2，OF＝3，则点A到DF的距离为．【知识考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理；正方形的性质．【思路分析】根据正方形的性质得到AO＝DO，∠ADC＝90°，求得∠ADE＝90°，根据直角三角形的性质得到DF＝AF＝EF＝AE，根据三角形中位线定理得到FG＝DE＝1，求得AD＝CD＝4，过A作AH⊥DF于H，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．【解题过程】解：∵在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∴AO＝DO，∠ADC＝90°，∴∠ADE＝90°，∵点F是AE的中点，∴DF＝AF＝EF＝AE，∴OF垂直平分AD，∴AG＝DG，∴FG＝DE＝1，∵OF＝2，∴OG＝2，∵AO＝CO，∴CD＝2OG＝4，∴AD＝CD＝4，过A作AH⊥DF于H，∴∠H＝∠ADE＝90°，∵AF＝DF，∴∠ADF＝∠DAE，∴△ADH∽△AED，∴＝，∴AE＝＝＝2，∴＝，∴AH＝，即点A到DF的距离为，故答案为：．【总结归纳】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形中位线定理，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．14．如图，在△ABC中，O为BC边上的一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC相切于点M，N．已知∠BAC＝120°，AB+AC＝16，的长为π，则图中阴影部分的面积为．【知识考点】切线的性质；弧长的计算；扇形面积的计算．【思路分析】连接OM、ON，根据半圆分别与AB，AC相切于点M，N．可得OM⊥AB，ON⊥AC，由∠BAC＝120°，可得∠MON＝60°，得∠MOB+∠NOC＝120°，再根据的长为π，可得OM＝ON＝r＝3，连接OA，根据Rt△AON中，∠AON＝30°，ON＝3，可得AM＝AN＝，进而可求图中阴影部分的面积．【解题过程】解：如图，连接OM、ON，∵半圆分别与AB，AC相切于点M，N．∴OM⊥AB，ON⊥AC，∵∠BAC＝120°，∴∠MON＝60°，∴∠MOB+∠NOC＝120°，∵的长为π，∴＝π，∴r＝3，∴OM＝ON＝r＝3，连接OA，在Rt△AON中，∠AON＝30°，ON＝3，∴AN＝，∴AM＝AN＝，∴BM+CN＝AB+AC﹣（AM+AN）＝16﹣2，∴S阴影＝S△OBM+S△OCN﹣（S扇形MOE+S扇形NOF）＝3×（BM+CN）﹣（）＝（16﹣2）﹣3π＝24﹣3﹣3π．故答案为：24﹣3﹣3π．【总结归纳】本题考查了切线的性质、弧长的计算、扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握弧长和扇形面积的计算公式．三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．15．（4分）已知：△ABC．求作：⊙O，使它经过点B和点C，并且圆心O在∠A的平分线上．【知识考点】作图—复杂作图．【思路分析】作出∠A的平分线和线段BC的垂直平分线，找到它们的交点，即为圆心O，再以OB为半径画出⊙O，得出答案．【解题过程】解：如图所示：⊙O即为所求．【总结归纳】此题主要考查了复杂作图，正确掌握角平分线和垂直平分线的作法是解题关键．四、解答题（本大题共9小题，共74分）16．（8分）（1）计算：（+）÷（﹣）；（2）解不等式组：【知识考点】分式的混合运算；解一元一次不等式组．【思路分析】（1）先计算括号内分式的加减运算，再将除法转化为乘法，最后约分即可得；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解题过程】解：（1）原式＝（+）÷（﹣）＝÷＝•＝；（2）解不等式2x﹣3≥﹣5，得：x≥﹣1，解不等式x+2＜x，得：x＞3，则不等式组的解集为x＞3．【总结归纳】本题考查的是解一元一次不等式组和分式的混合运算，正确求出每一个不等式解集并掌握分式的混合运算顺序和运算法则是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．17．（6分）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．【知识考点】列表法与树状图法；游戏公平性．【思路分析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出小亮、小颖去的概率，进而判断游戏是否公平．【解题过程】解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：共有6种可能出现的结果，其中配成紫色的有3种，配不成紫色的有3种，∴P（小颖）＝＝，P（小亮）＝＝，因此游戏是公平．【总结归纳】本题考查列表法或树状图法求随机事件的发生的概率，列举出所有可能出现的结果数，是解决问题的前提．18．（6分）如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B，D，某海岛上的观测塔A距离海岸5海里，在A处测得B位于南偏西22°方向．一艘渔船从D出发，沿正北方向航行至C处，此时在A处测得C位于南偏东67°方向．求此时观测塔A与渔船C之间的距离（结果精确到0.1海里）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈）【知识考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【思路分析】过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥AE于点F，得矩形CDEF，再根据锐角三角函数即可求出观测塔A与渔船C之间的距离．【解题过程】解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥AE于点F，得矩形CDEF，∴CF＝DE，根据题意可知：AE＝5，∠BAE＝22°，∴BE＝AE•tan22°＝5×＝2，∴DE＝BD﹣BE＝6﹣2＝4，∴CF＝4，在Rt△AFC中，∠CAF＝67°，∴AC＝＝4×＝4.33（海里）．答：观测塔A与渔船C之间的距离约为4.33海里．【总结归纳】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．19．（6分）某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数直方图和扇形统计图．请根据图中信息解答下列问题：（1）补全频数直方图；（2）在扇形统计图中，“70～80”这组的百分比m＝；（3）已知“80～90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89．抽取的n名学生测试成绩的中位数是分；（4）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．【知识考点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数．【思路分析】（1）求出调查人数，和“90﹣100”的人数即可补全频数直方图；（2）用“70﹣80”的频数10除以调查人数50 即可得出m的值；（3）利用中位数的意义，求出中间位置的两个数的平均数，即可得出中位数；（4）样本估计总体，样本中优秀所占的百分比为，因此估计总体1200人的是优秀的人数．【解题过程】解：（1）8÷16%＝50（人），50﹣4﹣8﹣10﹣12＝16（人），补全频数直方图如图所示：（2）m＝10÷50＝20%，故答案为：20%；（3）将50个数据从小到大排列后，处在第25、26位的两个数的平均数为＝84.5，因此中位数是84.5，故答案为：84.5；（4）1200×＝672（人），答：全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生有672人．【总结归纳】本题考查频数分布直方图、扇形统计图的意义和制作方法，理解和掌握统计图中的数量关系是正确计算的关键．20．（8分）为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为480m3，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变．同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）根据图象求游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？【知识考点】一次函数的应用．【思路分析】（1）根据函数图象中的数据，可以求得游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式，并计算出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；（2）根据题意和（1）中的结果，可以得到甲进水管的进水速度，从而可以求得单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时．【解题过程】解：（1）设y与t的函数解析式为y＝kt+b，，解得，，即y与t的函数关系式是y＝140t+100，同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是：（380﹣100）÷2＝140（m3/h）；（2）∵单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．∴甲进水口进水的速度是乙进水口进水速度的，∵同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是140m3/h，∴甲进水口的进水速度为：140÷（+1）×＝60（m3/h），480÷60＝8（h），即单独打开甲进水口注满游泳池需8h．【总结归纳】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．21．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．。
2020年中考数学第一轮复习 第三节 整式 知识点+真题(后含答案)
2020年中考数学第一轮复习第一章数与式第三节整式【基础知识回顾】一、整式的有关概念：单项式：。
1、整式：多项式：。
单项式中的叫做单项式的系数，所有字母的叫做单项式的次数。
组成多项式的每一个单项式叫做多项式的，多项式的每一项都要带着前面的符号。
2、同类项：①定义：所含相同，并且相同字母的也相同的项叫做同类项，常数项都是同类项。
②合并同类项法则：把同类项的相加，所得的和作为合并后的，不变。
【注意：1、单独的一个数字或字母都是式。
2、判断同类项要抓住两个相同：一是相同，二是相同，与系数的大小和字母的顺序无关。
】二、整式的运算：1、整式的加减：①去括号法则：a+(b+c)=a+ ,a-(b+c)=a- .②添括号法则：a+b+c= a+( )，a-b-c= a-( )③整式加减的步骤是先，再。
【注意：在整式的加减过程中有括号时一般要先去括号，特别强调：括号前是负号去括号时括号内每一项都要。
】2、整式的乘法：①单项式乘以单项式：把它们的系数、相同字母分别，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的作为积的一个因式。
②单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积，即m(a+b+c)= 。
③多项式乘以多项式：先用第一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积，即（m+n）(a+b)= 。
④乘法公式：Ⅰ、平方差公式：（a＋b）（a—b）＝，Ⅱ、完全平方公式：（a±b）2 = 。
【注意：1、在多项式的乘法中有三点注意：一是避免漏乘项，二是要避免符号的错误，三是展开式中有同类项的一定要。
2、两个乘法公式在代数中有着非常广泛的应用，要注意各自的形式特点，灵活进行运用。
】3、整式的除法：①单项式除以单项式，把、分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
②多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项 这个单项式，再把所得的商 。
即（am+bm ）÷m= 。
2020年九年级数学中考一轮复习：图形的旋转(含解析)
2020年九年级数学中考一轮复习：图形的旋转一．选择题（共10小题）1．下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组2．将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（）A．B．C．D．3．如图，将△ABC就点C按逆时针方向旋转75°后得到△A′B′C，若∠ACB＝25°，则∠BCA′的度数为（）A．50°B．40°C．25°D．60°4．下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．在平面直角坐标系中，把点P（﹣5，4）向右平移9个单位得到点P1，再将点P1绕原点顺时针旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是（）A．（4，﹣4）B．（4，4）C．（﹣4，﹣4）D．（﹣4，4）6．如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A逆时针旋转，点B的对应点是点B′，若点B′、A、C在同一条直线上，则三角板ABC旋转的度数是（）A．60°B．90°C．120°D．150°7．已知点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，则y x的值是（）A．2 B．C．4 D．88．视力表的一部分如图，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（）A．平移B．旋转C．对称D．位似9．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图所示，现出现一小方格体正向下运动，你必须进行以下（）操作，才能拼成一个完整图案，使所有图案消失．A．顺时针旋转90°，向右平移B．逆时针旋转90°，向右平移C．顺时针旋转90°，向下平移D．逆时针旋转90°，向下平移10．如图1，正方形纸片ABCD的边长为2，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P、EF、GH分别是折痕（如图2）．设AE＝x（0＜x＜2），给出下列判断：①当x＝1时，点P是正方形ABCD的中心；②当x＝时，EF+GH＞AC；③当0＜x＜2时，六边形AEFCHG面积的最大值是3；④当0＜x＜2时，六边形AEFCHG周长的值不变．其中正确的选项是（）A．①③B．①②④C．①③④D．①②③④二．填空题（共10小题）11．钟表的分针匀速旋转一周需要60min，经过20min，分针旋转了．12．若数字串“000”和数字串“101”既是轴对称图形，又是中心对称图形，那么数字串“110”是图形（填写“轴对称”、“中心对称”）．13．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并将各边长变为原来的n倍得△AB′C′，即如图①，∠BAB′＝θ，＝＝＝n，我们将这种变换记为[θ，n]．如图②，在△DEF中，∠DFE＝90°，将△DEF绕点D旋转，做变换[60°，n]得△DE′F′，如果点E、F、F′恰好在同一直线上，那么n＝．14．如图，已知AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，则AE 的长是．15．在平面直角坐标系中，点A（0，1）关于原点对称的点是．16．以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换能得到图（2）的有（只填序号，多填或错填得0分，少填个酌情给分）．①只要向右平移1个单位；②先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；③先绕着点O旋转180°，再向右平移一个单位；④绕着OB的中点旋转180°即可．17．如图所示的乙树是由甲树经过变换得到的．18．如图是中国共产主义青年团团旗上的图案（图案本身没有字母），则至少旋转度后能与原来图形重合．19．如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF＝AB；G、H是BC边上的点，且GH＝BC，若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1与S2之间的等量关系是．20．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（3，2）、（﹣1，0），若将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA′，则点A′的坐标为．三．解答题（共5小题）21．已知点P（x，y）的坐标满足方程，求点P分别关于x轴，y轴以及原点的对称点坐标．22．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，2），B（﹣3，﹣2）（1）若点C与点A关于原点O对称，则点C的坐标为；（2）将点A向右平移5个单位得到点D，则点D的坐标为；（3）由点A，B，C，D组成的四边形ABCD内（不包括边界）任取一个横、纵坐标均为整数的点，求所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率．23．如图，△ABO与△CDO关于O点中心对称，点E，F在线段AC上，且AF＝CE，求证：FD＝BE．24．问题发现：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则：（1）①∠ACE的度数是；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是．拓展探究：（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由；解决问题：（3）如图3，在Rt△DBC中，DB＝3，DC＝5，∠BDC＝90°，若点A满足AB＝AC，∠BAC ＝90°，请直接写出线段AD的长度．25．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD、CE所在直线相交所成的锐角为β．（1）问题发现当α＝0°时，＝；β＝°．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）在△ADE旋转过程中，当DE∥AC时，直接写出此时△CBE的面积．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】欲分析两个图形是否成中心对称，主要把一个图形绕一个点旋转180°，观察是否能和另一个图形重合即可．【解答】解：根据中心对称的概念，知②③④都是中心对称．故选：C．2．【分析】根据旋转的性质，△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，点A与点D、B与E关于点O成中心对称解答．【解答】解：∵△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，∴作图正确是C选项图形．故选：C．3．【分析】易知旋转角∠ACA′＝75°，则根据∠BCA′＝∠ACA′﹣∠ACB即可．【解答】解：根据旋转的定义可知旋转角∠ACA′＝75°，∴∠BCA′＝∠ACA′﹣∠ACB＝75°﹣25°＝50°．故选：A．4．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【解答】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．故选：C．5．【分析】首先利用平移的性质得出P1（4，4），再利用旋转变换的性质可得结论；【解答】解：∵P（﹣5，4），点P（﹣5，4）向右平移9个单位得到点P1∴P1（4，4），∴将点P1绕原点顺时针旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是（4，﹣4），故选：A．6．【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．【解答】解：旋转角是∠BAB′＝180°﹣30°＝150°．故选：D．7．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出x，y的值进而得出答案．【解答】解：∵点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，∴x﹣2+x+4＝0，y﹣5＝﹣3，解得：x＝﹣1，y＝2，则y x＝2﹣1＝．故选：B．8．【分析】开口向上的两个“E”形状相似，但大小不同，因此它们之间的变换属于位似变换．如果没有注意它们的大小，可能会误选A．【解答】解：根据位似变换的特点可知它们之间的变换属于位似变换．故选D．9．【分析】在俄罗斯方块游戏中，要使其自动消失，要把三行排满，需要旋转和平移，通过观察即可得到．【解答】解：顺时针旋转90°，向右平移．故选：A．10．【分析】（1）由正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，得出△BEF和△三DGH是等腰直角三角形，所以当AE＝1时，重合点P 是BD的中点，即点P是正方形ABCD的中心；（2）由△BEF∽△BAC，得出EF＝AC，同理得出GH＝AC，从而得出结论．（3）由六边形AEFCHG面积＝正方形ABCD的面积﹣△EBF的面积﹣△GDH的面积．得出函数关系式，进而求出最大值．（4）六边形AEFCHG周长＝AE+EF+FC+CH+HG+AG＝（AE+CH）+（FC+AG）+（EF+GH）求解．【解答】解：（1）正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，∴△BEF和△DGH是等腰直角三角形，∴当AE＝1时，重合点P是BD的中点，∴点P是正方形ABCD的中心；故①结论正确，（2）正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，∴△BEF∽△BAC，∵x＝，∴BE＝2﹣＝，∴，即，∴EF＝AC，同理，GH＝AC，∴EF+GH＝AC，故②结论错误，（3）六边形AEFCHG面积＝正方形ABCD的面积﹣△EBF的面积﹣△GDH的面积．∵AE＝x，∴六边形AEFCHG面积＝22﹣BE•BF﹣GD•HD＝4﹣×（2﹣x）•（2﹣x）﹣x•x ＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，∴六边形AEFCHG面积的最大值是3，故③结论正确，（4）当0＜x＜2时，∵EF+GH＝AC，六边形AEFCHG周长＝AE+EF+FC+CH+HG+AG＝（AE+CH）+（FC+AG）+（EF+GH）＝2+2+2＝4+2故六边形AEFCHG周长的值不变，故④结论正确．故选：C．二．填空题（共10小题）11．【分析】钟表的分针匀速旋转一周需要60分，分针旋转了360°；求经过20分，分针的旋转度数，列出算式，解答出即可．【解答】解：根据题意得，×360°＝120°．故答案为：120°．12．【分析】根据轴对称图形的概念与中心对称图形的概念即可作答．【解答】解：根据对称图形的概念，知110仅是轴对称图形，对称轴为正中水平直线．13．【分析】由题意可得∠DFF′＝90°，然后由θ的度数，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得n的值．【解答】解：∵∠DFE＝90°，将△DEF绕点D旋转，做变换[60°，n]得△DE′F′，∴∠DFF′＝90°，θ＝∠FDF′＝60°，在Rt△FDF′中，∠DFF'＝90°，∠FDF′＝60°，∴∠DF′F＝30°，∴n＝＝2；故答案为：2．14．【分析】直接利用中心对称的性质得出DC，DE的长，进而利用勾股定理得出答案．【解答】解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，∴DC＝AC＝1，DE＝AB＝3，∴在Rt△EDA中，AE的长是：＝．故答案为：．15．【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．【解答】解：点（0，1）关于原点O对称的点是（0，﹣1），故答案为：（0，﹣1）．16．【分析】根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的定义结合图形解答即可．【解答】解：由图可知，图（1）先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位，或先绕着点O旋转180°，再向右平移一个单位，或绕着OB的中点旋转180°即可得到图（2）．故答案为：②③④．17．【分析】可先向右平移到根部所在位置，再逆时针旋转与地面垂直；或者先逆时针旋转与地面垂直，再向右平移到根部所在位置．【解答】解：乙树是由甲树经过平移、旋转或旋转、平移变换得到的．故答案为：平移、旋转或旋转、平移．18．【分析】根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答．【解答】解：∵360°÷5＝72°，∴该图形绕中心至少旋转72度后能和原来的图案互相重合．故答案为：72．19．【分析】根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出＝＝，＝＝，再由点O是▱ABCD的对称中心，根据平行四边形的性质可得S△AOB＝S△BOC ＝S▱ABCD，从而得出S1与S2之间的等量关系．【解答】解：∵＝＝，＝＝，∴S1＝S△AOB，S2＝S△BOC．∵点O是▱ABCD的对称中心，∴S△AOB＝S△BOC＝S▱ABCD，∴＝＝．即S1与S2之间的等量关系是＝．故答案为＝．20．【分析】作AC⊥x轴于C，利用点A、B的坐标得到AC＝2，BC＝4，根据旋转的定义，可把Rt△BAC绕点B顺时针旋转90°得到△BA′C′，如图，利用旋转的性质得BC′＝BC＝4，A′C′＝AC＝2，于是可得到点A′的坐标．【解答】解：作AC⊥x轴于C，∵点A、B的坐标分别为（3，2）、（﹣1，0），∴AC＝2，BC＝3+1＝4，把Rt△BAC绕点B顺时针旋转90°得到△BA′C′，如图，∴BC′＝BC＝4，A′C′＝AC＝2，∴点A′的坐标为（1，﹣4）．故答案为（1，﹣4）．三．解答题（共5小题）21．【分析】先根据非负数的性质通过方程式求得x、y的值，即得到点P的坐标，然后求点P分别关于x轴，y轴以及原点的对称点坐标．【解答】解：由可得x+3＝0，y+4＝0，解得x＝﹣3，y＝﹣4；则P点坐标为P（﹣3，﹣4），那么P（﹣3，﹣4）关于x轴，y轴，原点的对称点坐标分别为（﹣3，4），（3，﹣4），（3，4）．22．【分析】（1）根据关于原点的对称点，横纵坐标都互为相反数求解即可；（2）把点A的横坐标加5，纵坐标不变即可得到对应点D的坐标；（3）先找出在平行四边形内的所有整数点，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）∵点C与点A（﹣2，2）关于原点O对称，∴点C的坐标为（2，﹣2）；（2）∵将点A向右平移5个单位得到点D，点D的坐标为（3，2）；（3）由图可知：A（﹣2，2），B（﹣3，﹣2），C（2，﹣2），D（3，2），∵在平行四边形ABCD内横、纵坐标均为整数的点有15个，其中横、纵坐标和为零的点有3个，即（﹣1，1），（0，0），（1，﹣1），∴P＝＝．23．【分析】根据中心对称的性质可得BO＝DO，AO＝CO，再利用等式的性质可得FO＝EO，然后再证明△FOD≌△EOB，利用全等三角形的性质可得DF＝BE．【解答】证明：∵△ABO与△CDO关于O点中心对称，∴BO＝DO，AO＝CO，∵AF＝CE，∴AO﹣AF＝CO﹣CE，∴FO＝EO，在△FOD和△EOB中，∴△FOD≌△EOB（SAS），∴DF＝BE．24．【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；（2）根据全等三角形的性质得到BD＝CE，∠ACE＝∠B，得到∠DCE＝90°，根据勾股定理计算即可；（3）如图3，作AE⊥CD于E，连接AD，根据勾股定理得到BC＝＝，推出点B，C，A，D四点共圆，根据圆周角定理得到∠ADE＝45°，求得△ADE是等腰直角三角形，得到AE＝DE，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∴∠ACE＝∠B＝60°，BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝EC+CD，∴AC＝BC＝EC+CD；故答案为：60°，AC＝DC+EC；（2）BD2+CD2＝2AD2，理由如下：由（1）得，△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，∴∠DCE＝90°，∴CE2+CD2＝ED2，在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，又AD＝AE，∴BD2+CD2＝2AD2；（3）如图3，作AE⊥CD于E，连接AD，∵在Rt△DBC中，DB＝3，DC＝5，∠BDC＝90°，∴BC＝＝，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴AB＝AC＝，∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠BDC＝∠BAC＝90°，∴点B，C，A，D四点共圆，∴∠ADE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝DE，∴CE＝5﹣DE，∵AE2+CE2＝AC2，∴AE2+（5﹣AE）2＝17，∴AE＝1，AE＝4，∴AD＝或AD＝4．25．【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，线段的中点的定义即可判断．（2）结论：和β的大小无变化．如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K．证明△DAB∽△EAC，即可解决问题．（3）分两种情形：①当点E在线段AB上时，②当点E在线段BA的延长线上时，分别求解即可．【解答】解：（1）如图1中，∵∠B＝90°，BA＝BC，∴∠A＝45°，AC＝AB，∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴BD＝AB，EC＝AC，∴＝，β＝45°，故答案为，45°．（2）结论：和β的大小无变化．理由：如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K．∵AE＝AD，AC＝AB，∴＝＝，∴＝，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，∴△DAB∽△EAC，∴＝＝，∠OBK＝∠OCA，∵∠BOK＝∠COA，∠BKO＝∠CAO＝45°，∴和β的大小无变化．（3）当点E在线段AB上时，S△BCE＝×4×（4﹣2）＝8﹣4，当点E在线段BA的延长线上时，S△BCE＝×4×（4+2）＝8+4．综上所述，△BCE的面积为8﹣4或8+4．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2020/5/25 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备战2020中考数学一轮复习专项练习卷——《圆》解析版
备战2020中考数学一轮复习专项练习卷——《圆》一．选择题1．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝37°，那么∠BAD＝（）A．51°B．53°C．57°D．60°2．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BF∥OC，若AB＝10，BC＝2，则CF ＝（）A．4B．5C．4D．33．如图，△ABC内接于⊙O，AC＝5，BC＝12，且∠A＝90°+∠B，则点O到AB的距离为（）A．B．C．D．44．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AD是∠BAC的平分线，经过A，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与A、B、AC相交于点E、F．若圆半径为2．则阴影部分面积（）A．B．C．D．5．如图，AE是四边形ABCD外接圆⊙O的直径，AD＝CD，∠B＝50°，则∠DAE的度数为（）A．70°B．65°C．60°D．55°6．已知在矩形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝13．⊙C的半径长为12，下列说法正确的是（）A．⊙C与直线AB相交B．⊙C与直线AD相切C．点A在⊙C上D．点D在⊙C内7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4π，BC＝3π，半径是2的⊙O从与AC相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AC相切于点D的位置，则⊙O自转了（）A．2周B．3周C．4周D．5周8．如图，⊙O的半径为1，动点P从点A处沿圆周以每秒45°圆心角的速度逆时针匀速运动，即第1秒点P位于如图所示位置，第2秒点P位于点C的位置，……，则第2019秒点P所在位置的坐标为（）A．（，）B．（﹣，）C．（0，﹣1）D．（，﹣）9．如图，AB是⊙O的直径，AC＝BC，则∠A的度数等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°10．如图．BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，若∠ADC＝48°，则∠ACB等于（）度．A．42B．48C．46D．5011．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，BD为直径，若∠A＝65°，则∠DBC的值是（）A．15°B．25°C．35°D．65°12．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为，点G，H，I，J，K，L依次在正六边形的六条边上，且AG＝BH＝CI＝DJ＝EK＝FL，顺次连结G，I，K，和H，J，L，则图中阴影部分的周长C的取值范围为（）A．6≤C≤6B．3≤C≤3C．3≤C≤6D．3≤C≤6二．填空题13．如图，AB是⊙O的直径，OB是⊙C的直径，AE是⊙C的切线且交⊙O于点D．若AB ＝8，则BD＝．14．如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为．15．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E．F．且AB＝5，AC＝12，BC＝13，则⊙O的半径是．16．如图，⊙O经过A，B，C三点，P A，PB分别与⊙O相切于A，B点，∠P＝46°，则∠C＝．17．如图，P A，PB分别切半径为2的⊙O于A，B两点，BC为直径，若∠P＝60°，则PB的长为．18．如图，A、B是⊙O上两点，弦AB＝a，P是⊙O上不与点A、B重合的一个动点，连结AP、PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF＝．（用含a 的代数式表示）．19．如图，某下水道的横截面是圆形的，水面CD的宽度为2米，F是线段CD的中点，EF 经过圆心O交⊙O与点E，EF＝3米，则⊙O直径的长是米．20．如图所示，在平面直角坐标系中，在x轴正半轴上选取点A1，A2，A3，…，A n；以A1A2，A2A3，A3A4，…，A n A n+1为边作等边△A1A2B1，△A2A3B2，…，△A n A n+1B n；顶点B1，B2，B3，…，B n在直线l上，且∠B1OA1＝30°，分别作△A1A2B1，△A2A3B2，…，△A n A n+1B n 的内切圆O1，O2，O3，…，O n，若⊙O1的半径为1，则⊙O n的半径为．（用含正整数n的式子表示）三．解答题21．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝4，DF＝，求⊙O的半径．22．如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是△ABC内心，AI交⊙O于D点，交BC于点E，连接BD，BI．（1）求证BD＝ID；（2）连接OI，若AI⊥OI．且AB＝4，BC＝6，求AC的长．23．如图，已知AB、AC分别是⊙O的直径和弦，过点C的切线与AB的延长线交于点E，点D为EC的延长线上一点，DH⊥AB，垂足为点H，交AC于点F．（1）求证：△FCD是等腰三角形；（2）若点F为AC的中点，且∠E＝30°，BE＝2，求DF的长．24．在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点F，点E是弧AD上一点，连BE交CD于点N，点P 在CD的延长线上，PN＝PE．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）连接DE，若DE∥AB，OF＝3，BF＝2，求PN的长．25．已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上AB同侧两点，∠BAC＝26°．（Ⅰ）如图1，若OD⊥AB，求∠ABC和∠ODC的大小；（Ⅱ）如图2，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点E，若OD∥EC，求∠ACD的大小．参考答案一．选择题1．解：连接BD，如图所示．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．在△ABD中，∠ABD＝∠ACD＝37°，∠ADB＝90°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝53°．故选：B．2．解：连OF、AC．∵BF∥OC，∴∠A＝∠BFC＝∠FCO．∵OF＝OC＝OA，∴∠ACO＝∠A＝∠FCO＝∠OFC，∴△OAC≌△OFC（AAS），∴CF＝AC＝＝4，故选：C．3．解：作直径CD，连BD，过O作OM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，如图，则∠CBD ＝90°，∵∠A＝90°+∠ABC，∴∠A ＝∠ABD ，∴∠ABD +∠D ＝∠A +∠D ＝180°， ∴CD ∥AB ，∴∠B DC ＝∠ABC ， ∴＝，∴BD ＝AC ＝5．∴OM ＝BN ，在Rt △ABD 中，CD ＝＝13， ∵×BN ×CD ＝×BC ×BD ， ∴BN ═＝＝， ∴OM ＝，即点O 到AB 的距离为． 故选：B ．4．解：连接OD ，OF ．∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠DAB ＝∠DAC ，∵OD ＝OA ，∴∠ODA ＝∠OAD ，∴∠ODA ＝∠DAC ，∴OD ∥AC ，∴∠ODB ＝∠C ＝90°， ∴S △AFD ＝S △OF A ，∴S 阴＝S 扇形OF A ，∵OD＝OA＝2，AB＝6，∴OB＝4，∴OB＝2OD，∴∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵OF＝OA，∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF＝60°，∴S阴＝S扇形OF A＝＝．故选：C．5．解：连接OC、OD，∵AD＝CD，∴＝，∴∠AOD＝∠COD，∵∠AOC＝2∠B＝2×50°＝100°，∴AOD＝50°，∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO＝＝65°，即∠DAE＝65°，故选：B．6．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝13，AB＝5，∴BC＝＝＝12，∵⊙C的半径长为12，∴⊙C与直线AB相切，故A选项不正确，∵CD＝AB＝5＜12，∴⊙C与直线AD相交，故B选项不正确，∵AC＝13＞12，∴点A在⊙C外，故C选项不正确，∵CD＝5＜12，∴点D在⊙C内，故D选项正确，故选：D．7．解：Rt△ABC中，AC＝4π，BC＝3π，∴AB＝5π，圆在三边运动自转周数：＝3，圆绕过三角形外角时，共自转了三角形外角和的度数：360°，即一周；可见，⊙O自转了3+1＝4周．故选：C．8．解：2019÷8＝252…3，即第2019秒点P所在位置如图：过P作PM⊥x轴于M，则∠PMO＝90°，∵OP＝1，∠POM＝45°，∴PM＝OM＝1×sin45°＝，即此时P点的坐标是（﹣，），故选：B．9．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵AC＝BC，∴△ACB为等腰直角三角形，∴∠A＝45°．故选：B．10．解：连接AB，如图所示：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵∠B＝∠ADC＝48°，∴∠ACB＝90°﹣∠B＝42°；故选：A．11．解：∵BD为直径，∴∠BCD＝90°，由圆周角定理得，∠D＝∠A＝65°，∴∠DBC＝90°﹣65°＝25°，故选：B．12．解：根据对称性可知，△GKI，△HLJ是等边三角形．阴影部分是正六边形，边长为GK的．∵GK的最大值为3，GK的最小值为，∴阴影部分的正六边形的边长的最大值为1，最小值为，∴图中阴影部分的周长C的取值范围为：3≤C≤6．故选：C．二．填空题（共8小题）13．解：连接CE、BD，∵AD是⊙C的切线，∴CE⊥AD，∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD，∴CE∥BD，∴△ACE∽△ABD，∴＝，即＝，解得，BD＝，故答案为：．14．解：∵所对的圆周角∠ACB＝50°，∴∠AOB＝2∠ACB＝2×50°＝100°，∵∠AOP＝55°，∴∠POB＝∠AOB﹣∠AOP＝100°﹣55°＝45°．故答案为45°．15．解：如图，连接OD、OE、OF，∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E．F，∴OE⊥AC，OF⊥AB，AE＝AF，∵AB＝5，AC＝12，BC＝13，即52+122＝132，∴△ABC为直角三角形，∴∠A＝90°，∴四边形AEOF是正方形，∴OE＝OF＝AE＝AF，设⊙O的半径是r，则AF＝AE＝r，BF＝BD＝5﹣r，EC＝DC＝12﹣r，∵BD+DC＝BC＝13，∴5﹣r+12﹣r＝13，解得r＝2．所以⊙O的半径是2．故答案为2．16．解：∵P A，PB分别与⊙O相切于A，B点，∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣46°＝134°，由圆周角定理得，∠C＝∠AOB＝67°，故答案为：67°．17．解：如图所示：连接AC，∵P A，PB是切线，∴P A＝PB．又∵∠P＝60°，∴AB＝PB，∠ABP＝60°，又CB⊥PB，∴∠ABC＝30°．∵BC是直径，BC＝4，∴∠BAC＝90°．∴AB＝BC•cos30°＝4×＝2．∴PB＝2；故答案为：2．18．解：连接AB，∵OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，∴AE＝PE，PF＝BF，∴EF是△APB的中位线，∴EF∥AB，EF＝AB＝，故答案为：a．19．解：如图，连接OC，∵F是弦CD的中点，EF过圆心O，∴EF⊥CD．∴CF＝FD．∵CD＝2，∴CF＝1，设OC＝x，则OF＝3﹣x，在Rt△COF中，根据勾股定理，得12+（3﹣x）2＝x2．解得x＝，∴⊙O的直径为．故答案为：．20．解：∵△A1A2B1是等边三角形，内切圆半径为1，∴△A1A2B1的边长为，∵∠A1OB1＝30°，∠B1A1A2＝∠A1OB1+∠A1B1O＝60°，∴∠A1OB1＝∠OB1A1∴OA1＝A1B1＝A1A2＝，同法可证OA2＝A2B2＝A2A3＝2，OA3＝A3B3＝A3A4＝4，∴⊙O2的半径＝×＝2，⊙O3的半径为×4＝22，…，由此可知⊙O n的半径为2n﹣1，故答案为2n﹣1三．解答题（共5小题）21．证明：（1）连接AO，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AC＝FC，∴∠CAF＝∠CF A＝∠OFD，∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠ODA+∠OFD＝90°，∴∠CF A+∠DAO＝90°，∴∠OAC＝90°，且OA是半径，∴AC是⊙O的切线；（2）在Rt△ODF中，DF2＝OD2+OF2，∴10＝OD2+（4﹣OD）2，∴OD＝1（不合题意舍去），OD＝3，∴⊙O的半径为3．22．解：（1）证明：∵I是△ABC内心，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴∠DBC＝∠DAB，∵∠ABI＝∠CBI，∵∠DBI＝∠DBC+∠CBI∠DIB＝∠DAB+∠ABI∴∠DBI＝∠DIB，∴BD＝ID．（2）连接OD，∵＝，根据垂径定理，得OD⊥BC于点H，CH＝BH＝BC＝3，∵AI⊥OI．∴AI＝DI，∴AI＝BD，作IG⊥AB于点G，∴∠AGI＝∠BED＝90°，∠DBC＝∠BAD，∴△AGI≌△BHD（AAS）∴AG＝BH＝3．过点I作IM⊥BC，IN⊥AC于点M、N，∵I是△ABC内心，∴AN＝AG＝3，BM＝BG＝4﹣3＝1，CN＝CM＝6﹣1＝5，∴AC＝AN+CN＝8．答：AC的长为8．23．（1）证明：连结OC，如图1，∵DC为⊙O的切线，∴OC⊥DC，∴∠OCD＝90°，即∠ACO+∠FCD＝90°，∵DH⊥AB，∴∠DHA＝90°，∴∠CAO+∠AFH＝90°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠AOC，∴∠FCD＝∠AFH，而∠AFH＝∠DFC，∴∠DFC＝∠DCF，∴△FCD是等腰三角形；（2）解：连结OF，OC，如图2，在Rt△COE中，∠E＝30°，BE＝2，∴OE＝2OC，即OB+2＝2OC，而OB＝OC，∴OC＝2，∴⊙O的半径为2；∵∠EOC＝90°﹣∠E＝60°，∴∠ACO＝∠AOC＝30°，∴∠FCD＝90°﹣∠ACO＝60°，∴△FCD为等边三角形，∵F为AC的中点，∴OF⊥AC，∴AF＝CF，在Rt△OCF中，OF＝OC＝1，∴CF＝OF＝，∴．24．（1）证明：连接OE，如图1所示：∵PN＝PE，∴∠PEN＝∠PNE＝∠BNF，∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE．∵AB⊥CD，∴∠OBE+∠BNF＝90°，∴∠OEB+∠PEN＝90°，即∠OEP＝90°，∴PE⊥OE，∴PE是⊙O的切线．（2）解：连接CE，如图2所示：∵DE∥AB，AB⊥CD，∴∠EDC＝90°∴CE为⊙O的直径．∵AB⊥CD，∴CF＝DF，∴DE＝2OF＝6．∵OF＝3，BF＝2，∴OC＝OB＝5，CE＝10，∴CD＝＝＝8，由（1）知PE⊥CE．设PD＝x，则PC＝x+8．在Rt△PDE和Rt△PCE中，由勾股定理，得：PD2+DE2＝PE2＝PC2﹣CE2，即x2+62＝（x+8）2﹣102，解得：x＝，∴PD＝．∴PE＝＝＝，∴PN＝PE＝．25．解：（Ⅰ）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝26°，∴∠ABC＝64°，∵OD⊥AB，∴∠AOD＝90°，∴∠ACD＝∠AOD＝×90°＝45°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝26°，∴∠OCD＝∠OCA+∠ACD＝71°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD＝71°；（Ⅱ）如图2，连接OC，∵∠BAC＝26°，∴∠EOC＝2∠A＝52°，∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE＝90°，∴∠E＝38°，∵OD∥CE，∴∠AOD＝∠E＝38°，∴∠ACD＝AOD＝19°．。
2020中考数学一轮复习能力达标训练题1：有理数(附答案)
2020中考数学一轮复习能力达标训练题1：有理数（附答案）1．若|m+3|+（n ﹣2）2=0，则m ﹣n 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．5D ．﹣52．下列说法正确的是( )①若m=n ，则|m|=|n|； ②若m=-n ，则|m|=|-n|；③若|-m|=|-n|，则m=-n ； ④若|-m|=|-n|，则m=n.A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③3．如图，四个有理数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若n+q=0，则m ，n ，p ，q 四个有理数中，绝对值最小的一个是（ ）A ．pB ．qC ．mD ．n4．在－32，▏－2▏，（－1）3，－（－2），－4这五个数中，负数的个数有（ ）A ．1 个B ．2个C ．3个D ．4个5．下列各对数中，互为相反数的是( )．A ．＋(－8)和(－8)B ．－(－8)和＋8C ．－(－8)和＋(＋8)D ．＋8和＋(－8)6．在－4，－6，0，7这四个数中最小的数是A ．－4B ．－6C ．0D ．77．下列各对数中，不是互为相反数的是（ ）A ．()3--与3--B ．23-与(-3)²C ．100-与(-10)²D ．3(2)-与32- 8．下面说法：①﹣a 一定是负数；②若|a |＝|b |，则 a ＝b ；③一个有理数中不是整数就是分数；④一个有理数不是正数就是负数．⑤绝对值等于它本身的数是正数；其中正确的个数有（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个9 ）A B ．C ．D ．310．实数 a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．a+b ＞0B ．a ﹣b ＞0C ．a•b ＞0D ．a b＞011．绝对值大于1而不大于4的整数有_________ ，它们的和是_____________．12．若|-x|=4,则x=____;若|x-3|=0,则x=____;若|x-3|=1,则x=____.133|27|b -=0，（a ﹣b ）b ﹣1=_______。
2020中考数学一轮专项复习《一次函数》大题综合提升卷(含详细解答)
2020中考数学一轮专项复习《一次函数》大题综合提升卷1．（10分）一边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中，其中O为原点，点A、B分别在x轴、y轴上，D为射线OB上任意一点．（1）如图1，若点D坐标为（0，2），连接AD交OC于点E，则△AOE的面积为；（2）如图2，将△AOD沿AD翻折得△AED，若点E在直线y＝x图象上，求出E点坐标；（3）如图3，将△AOD沿AD翻折得△AED，DE和射线BC交于点F，连接AF，若∠DAO＝75°，平面内是否存在点Q，使得△AFQ是以AF为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出所有点Q坐标；若不存在，请说明理由．2．（10分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的面积等分线．问题探究（1）如图1，△ABC中，点M是AB边的中点，请你过点M作△ABC的一条面积等分线；（2）如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥AD，AD＝2，CD＝4，BC＝6，点P 是AB的中点，点Q在CD上，试探究当CQ的长为多少时，直线PQ是四边形ABCD的一条面积等分线；问题解决（3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形ABCD是某公司将要筹建的花园示意图，A与原点重合，D、B分别在x轴、y轴上，其中AB＝3，BC＝5，出入口E在边A D上，且AE＝l，拟在边BC、AB、CD、上依次再找一个出入口F、G、H，沿EF、GH修两条笔直的道路（路的宽度不计）将花园分成四块，在每一块内各种植一种花草，并要求四种花草的种植面积相等．请你求出此时直线EF和GH的函数表达式．3．（10分）已知：在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是x轴正半轴上一点，AB＝AC，连接BC．（1）如图1，求直线BC解析式；（2）如图2，点P、Q分别是线段AB、BC上的点，且AP＝BQ，连接PQ．若点Q的横坐标为t，△BPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量取值范围；（3）如图3，在（2）的条件下，点E是线段OA上一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，使翻折后的点A落在y轴上的点H处，点F在y轴上点H上方EH＝FH，连接EF 并延长交BC于点G，若BG＝AP，连接PE，连接PG交BE于点T，求BT长．4．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b与x、y轴分别相交于点A、B，与直线y＝x+2交于点D（3，m），直线y＝x+2交x轴于点C，交y轴于点E．（1）若点P是y轴上一动点，连接PC、PD，求当|PC﹣PD|取最大值时，P点的坐标．（2）在（1）问的条件下，将△COE沿x轴平移，在平移的过程中，直线CE交直线AB 于点M，则当△PMA是等腰三角形时，求BM的长．5．（10分）如图，已知直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线OG：y＝kx（k ＜0）交AB于点D．（1）求A，B两点的坐标；（2）如图1，点E是线段OB的中点，连结AE，点F是射线OG上一点，当OG⊥AE，且OF＝AE时，求EF的长；（3）如图2，若k＝﹣，过B点作BC∥OG，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点M，使∠ABM+∠CBO＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．6．（10分）如图在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+6与x轴，y轴分别交于B，4两点点P从点A开始沿y轴以每秒1个单位长度的速度向点O运动，点Q从点A开始沿AB向点B运动（当P，Q两点其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动）如果点P，Q从点A同时出发，设运动时间为t秒．（1）如果点Q的速度为每秒个单位长度，那么当t＝5时，求证：△APQ∽△ABO；（2）如果点Q的速度为每秒2个单位长度，那么多少秒时，△APQ的面积为16？（3）若点H为平面内任意一点，当t＝4时，以点A，P，H，Q四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出此时点H的坐标．7．（10分）如图，矩形OABC摆放在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝3，OC＝2，过点A的直线交矩形OABC的边BC于点P，且点P不与点B、C重合，过点P作∠CPD＝∠APB，PD交x轴于点D，交y轴于点E．（1）如图1，若△APD为等腰直角三角形，求直线AP的函数解析式；（2）如图2，过点E作EF∥AP交x轴于点F，若四边形APFE是平行四边形，求直线PE的解析式．8．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝4x+4交坐标轴于A，D两点，在x轴正半轴上取点B，在第一象限取点C，组成▱ABCD，且面积为16．（1）如图1，求点C坐标与线段BC的长．（2）如图2，点G在线段DB上，点H，M分别在线段OB，OD上，且BG＝BH，DG ＝DM．过点H作MH⊥GH交GM的延长线于点N．①求∠NGH的度数；②若N点正好在直线y＝﹣x上时，求点G坐标．9．（10分）如图①，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2交坐标轴于A、B两点．以AB 为斜边在第一象限作等腰直角三角形ABC，C为直角顶点，连接OC．（1）求线段AB的长度；（2）求直线BC的解析式；（3）如图②，将线段AB绕B点沿顺时针方向旋转至BD，且OD⊥AD，直线DO交直线y＝x+3于P点，求P点坐标．10．（10分）如图1，正方形ABCD，顶点A在第二象限，顶点B、D分别在x轴和y轴上．（1）若OB＝5，OD＝7，求点A的坐标；（2）如图2，顶点C和原点O重合，y轴上有一动点E，连接AE，将点A绕点E逆时针旋转90°到点F，连接AF、EF．①点E在O、D两点之间，某一时刻，点F刚好落在直线y＝﹣2x﹣6上，求此时F的坐标：②直线BD与AF交于点P，连接OF，若OF＝m，点D坐标为（0，），请直接写出线段BP的长（用含m的式子表示）．11．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，菱形AOCB的对角线OB在x轴上，A、C两点分别在第一象限和第四象限．直线AB的解析式为y＝﹣x+4．（1）如图1，求点A的坐标；（2）如图2，P为射线OA上一动点（不与点O和点A重合），过点P作PQ∥x轴交直线AB于点Q．设线段PQ的长度为d，点P的横坐标为m，求d与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；（3）如图3，在（2）的条件下，当点P运动到线段OA的延长线上时，连接PC交x轴于点M，连接AM，∠MAB+∠AOB＝45°，延长MA交PQ于点E，过E作EF⊥AM 交y轴于点F，∠FEM的角平分线ES交x轴于点S，求点S的坐标．12．（10分）在平面直角坐标系中，定义：直线y＝mx+n的关联直线为y＝nx+m（m≠0，n≠0，m≠n）．例如：直线y＝2x﹣3的关联直线为y＝﹣3x+2．（1）如图1，对于直线y＝﹣x+2．①该直线的关联直线为，该直线与其关联直线的交点坐标为；②点P是直线y＝﹣x+2上一点，过点P的直线PQ垂直于x轴，交直线y＝﹣x+2的关联直线于点Q．设点P的横坐标为t，线段PQ的长度为d（＞0），求当d随t的增大而减小时，d与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．（2）对于直线y＝ax+2a（a≠0）．直线x＝a交直线y＝ax+2a于点M，交直线y＝ax+2a的关联直线于点N．①设直线y＝ax+2a交y轴于点A，当以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求a的值；②设点M的纵坐标为b，点N的纵坐标为c．当c＞b时，直接写出a的取值范围．13．（10分）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；（2）模型应用：①已知直线y＝x+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣5上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．14．（10分）在平面直角坐标系中，直线ABy＝kx﹣1分别交x轴、y轴于点A、B，直线CDy＝x+2分别交x轴、y轴于点D、C，且直线AB、CD交于点E，E的横坐标为﹣6．（1）如图①，求直线AB的解析式；（2）如图②，点P为直线BA第一象限上一点，过P作y轴的平行线交直线CD于G，交x轴于F，在线段PG取点N，在线段AF上取点Q，使GN＝QF，在DG上取点M，连接MN、QN，若∠GMN＝∠QNF，求的值；（3）在（2）的条件下，点E关于x轴对称点为T，连接MP、TQ，若MP∥TQ，且GN：NP＝4：3，求点P的坐标．15．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线DE交x轴于点E（30，0），交y轴于点D（0，40），直线AB：y＝x+5交x轴于点A，交y轴于点B，交直线DE于点P，过点E 作EF⊥x轴交直线AB于点F，以EF为一边向右作正方形EFGH．（1）求边EF的长；（2）将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒个单位的速度匀速平移，得到正方形E1F1G1H1，在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直，设平移的时间为t秒（t＞0）．①当点F1移动到点B时，求t的值；②当G1，H1两点中有一点移动到直线DE上时，请直接写出此时正方形E1F1G1H1与△APE重叠部分的面积．参考答案1．解：（1）∵边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中，∴点A坐标（4，0），点C（4，4），∴直线OC解析式为：y＝x，∵点D坐标为（0，2），点A坐标（4，0），∴直线AD解析式为：y＝﹣x+2，∴解得：∴点E坐标（，）∴△AOE的面积＝×4×＝，故答案为：；（2）如图2，过点E作EH⊥OA，∵将△AOD沿AD翻折得△AED，∴AO＝AE＝4，设点E（a，a），∴OH＝a，EH＝a，∴AH＝4﹣a，∵AE2＝EH2+AH2，∴16＝a2+（4﹣a）2，∴a＝0（舍去），a＝，∴点E（，）（3）∵将△AOD沿AD翻折得△AED，∴∠DAO＝∠DAE＝75°，OA＝AE，∠DOA＝∠DEA＝90°，∴∠OAE＝150°，AE＝AC，∠ACF＝∠AED＝90°，∴∠CAE＝60°，∵AE＝AC，AF＝AF，∴Rt△AEF≌Rt△ACF（HL）∴∠CAF＝∠EAF＝30°，且AC＝4，∴AF＝，∵△AFQ是以AF为直角边的等腰直角三角形，∴若∠AFQ＝90°，AF＝FQ，如图3，过点Q作QN⊥BF，∴∠NQF+∠QFN＝90°，且∠QFN+∠AFC＝90°，∴∠NQF＝∠AFC，且∠ACF＝∠QNF＝90°，QF＝AF，∴△QNF≌△FCA（AAS）∴QN＝CF＝，AC＝NF＝4，∴点Q（，4+）同理可求：Q'（8+，4﹣），若∠F AQ＝90°，AF＝AQ时，同样方法可求，Q''（0，），Q'''（8，﹣）2．解：（1）连接CM，如图1所示：∵点M是AB边的中点，∴△ACM的面积＝△BCM的面积，∴CM是△ABC的一条面积等分线；（2）当CQ的长为1时，直线PQ是四边形ABCD的一条面积等分线；理由如下：连接PC、AC，作AM⊥BC于M，PN⊥BC于N，如图2所示：则AM∥PN，四边形AMCD是矩形，∴AM＝CD＝4，CM＝AD＝2，∴BM＝BC﹣CM＝4，∵点P是AB的中点，∴PN是△ABM的中位线，∴PN＝AM＝2，∴△BCP的面积＝×6×2＝6，∵梯形ABCD的面积＝（AD+BC）×CD＝（2+6）×4＝16，直线PQ是四边形ABCD 的一条面积等分线；∴四边形PBCQ的面积＝梯形ABCD的面积＝8，∴△PCQ的面积＝8﹣6＝2＝CQ×CN＝CQ×4，解得：CQ＝1，即当CQ的长为1时，直线PQ是四边形ABCD的一条面积等分线；（3）连接AC、BD交于点P，如图3所示：∵EF、GH将花园分成四块，且面积相等，∴EF、GH经过点P，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，P A＝PC，AD∥BC，∴∠PCF＝∠P AE，在△PCF和△P AE中，，∴△PCF≌△P AE（ASA），∴CF＝AE＝1，BF＝5﹣1＝3，∴E（1，0），F（4，3），设直线EF的解析式为y＝kx+b，把E（1，0），F（4，3）代入得：，解得：，∴直线EF的解析式为y＝x﹣1；同理：△BPG≌△DPH（ASA），∴BG＝DH，由题意得：△PBG的面积＝P AE的面积，∴BG×＝×1×，解得：BG＝，∴DH＝BG＝，∴H（5，），AG＝AB﹣BG＝，∴G（0，），设直线GH的解析式为y＝ax+c，则，解得：，∴直线GH的解析式为y＝﹣x+．3．解：（1）由已知可得A（﹣3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝＝5，∵AB＝AC，∴AC＝5，∴C（2，0），设BC的直线解析式为y＝kx+b，将点B与点C代入，得，∴，∴BC的直线解析式为y＝﹣2x+4；（2）过点Q作MQ⊥y轴，与y轴交于点M，过点Q作QE⊥AB，过点C作CF⊥AB，∵Q点横坐标是t，∴MQ＝t，∵MQ∥OC，∴，∴，∴BQ＝t，∵AP＝BQ，∴AP＝t，∵AB＝5，∴PB＝5﹣t，在等腰三角形ABC中，AC＝AB＝5，BC＝2，∵AB×CF＝AC×OB，∴CF＝OB＝4，∵EQ∥CF∴∴EQ＝2t，∴S＝×（5﹣t）＝（0≤t≤2）；（3）如图3，∵将△ABE沿BE翻折，使翻折后的点A落在y轴上的点H处，∴AH＝AB＝5，AE＝EH，∴OH＝BH﹣OB＝1，∵EH2＝EO2+OH2，∴AE2＝（4﹣AE）2+1，∴AE＝＝EH，∴OE＝，∴点E（﹣，0）∵EH＝FH＝，∴OF＝∴点F（0，）∴直线EF解析式为y＝x+，直线BE的解析式为：y＝3x+4，∴﹣2x+4＝x+，∴x＝，∴点G（，）∴BG＝＝，∵BG＝AP，∴AP＝1，设点P（a，a+4）∴1＝∴a＝﹣，∴点P（﹣，），∴直线PG的解析式为：y＝x+，∴3x+4＝x+，∴x＝﹣1，∴点T（﹣1，1）∴BT＝＝4．解：（1）当x＝3时，m＝3+2＝5，∴D（3，5），把D（3，5）代入y＝﹣x+b中，﹣3+b＝5，b＝8，∴y＝﹣x+8，当y＝0时，x+2＝0，x＝﹣2，∴C（﹣2，0），如图1，取C关于y轴的对称点C'（2，0），P1是y轴上一点，连接P1C、P1C'、P1D，则P1C＝P1C'，∵|P1D﹣P1C'|＝|P1D﹣P1C|≤C'D，∴当P与C'、D共线时，|PC﹣PD|有最大值是C'D，设直线C'D的解析式为：y＝kx+b，把C'（2，0）和D（3，5）代入得：，解得：，∴直线C'D的解析式为：y＝5x﹣10，∴P（0，﹣10）；（2）分三种情况：①当AP＝AM时，如图2，由（1）知：OP＝10，由勾股定理得：AP＝＝2，∵AB＝8，∴BM＝AB+AM＝8+2；同理得：BM1＝2﹣8；②当AP＝PM时，如图3，过P作PN⊥AB于N，∵∠BNP＝90°，∠NBP＝45°，∴△BNP是等腰直角三角形，∵PB＝18，∴BN＝＝9，∵AB＝8，∴AN＝9﹣8＝，∵AP＝PM，PN⊥AM，∴AM＝2AN＝2，∴BM＝8+2＝10；③当AM＝PM时，如图4，过P作PN⊥AB于N，∵AN＝，PN＝9，设MN＝x，则PM＝AN＝x+，由勾股定理得：PN2+MN2＝PM2，，解得：x＝40，∴BM＝AB+AN+MN＝8++40＝49；综上，当△PMA是等腰三角形时，BM的长是8+2或2﹣8或10或49．5．解：（1）∵直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于A，B两点，∴令y＝0，则x﹣4＝0，∴x＝4，令x＝0，则y＝﹣4，∴A（4，0），B（0，﹣4）；（2）∵A（4，0），B（0，﹣4），∴OA＝OB＝4，∵点E是线段OB的中点，∴OE＝2，过F作FB′⊥y轴于B′，∴∠AOE＝∠OB′F＝90°，∵OG⊥AE，∴∠OAE+∠AOF＝∠B′OG+∠AOF＝90°，∴∠OAE＝∠B′OF，∵OF＝AE，∴△AOE≌△OB′F（AAS），∴FB＝OE＝2，OB′＝OA＝4，∵OB＝4，∴点B与点B′重合，∴EF＝＝＝2；（3）存在，∵k＝﹣，∴直线OG：y＝﹣x（k＜0），∵BC∥OG，∴设直线BC的解析式为y＝﹣x﹣4，当y＝0时，即﹣x﹣4＝0，∴x＝﹣3，∴C（﹣3，0），如图，当点M在点A的左侧，∵∠ABO＝45°，∠ABM+∠CBO＝45°，∴∠MBO＝∠CBO，∵∠COB＝∠NOB＝90°，OB＝OB，∴△BCO≌△BMO（ASA），∴OM＝OC＝3，∴M（3，0）；当点M在点A的右侧时，∵∠OAB＝∠AM′B+∠ABM′＝45°，∠ABM+∠CBO＝45°，∴∠AM′B＝∠OBC，∵∠CBO＝∠M′OB，∴∠COB+∠OBM′＝90°，设OM′＝a，∴BM′＝，＝OB×CM′＝BC•BM′，∵S△CBM′∴4×（3+a）＝×，解得：a＝，∴M′（，0），综上所述，点M的坐标为：（3，0），（，0）．6．解：（1）根据题意，得当t＝5时，AP＝5，AQ＝3，∴B（8，0），A（0，6），∴OB＝8，OA＝6，∴AB＝10，∴＝＝，∠P AQ＝∠BAO，∴△APQ∽△ABO；（2）如图：过点Q作QE⊥OA于点E，在Rt△AOB和Rt△AQE中，sin∠BAO＝＝，sin∠QAE＝＝，∴＝，∴QE＝t，∴S＝AP•QE＝16，△APQ即×t×t＝16∴t＝2．答：那么2秒时，△APQ的面积为16．（3）如图：设点Q的速度为每秒x个单位长度，当t＝4时，AP＝4，AQ＝4x，∵以点A，P，H，Q四点为顶点的四边形是矩形，∴PQ∥OB，∴＝，即＝，∴PQ＝，∴H（，6）．7．解：（1）∵矩形OABC，OA＝3，OC＝2∴A（3，0），C（0，2），B（3，2），AO∥BC，AO＝BC＝3，∠B＝90°，CO＝AB＝2∵△APD为等腰直角三角形∴∠P AD＝45°∵AO∥BC∴∠BP A＝∠P AD＝45°∵∠B＝90°∴∠BAP＝∠BP A＝45°∴BP＝AB＝2∴P（1，2）设直线AP解析式y＝kx+b，过点A，点P∴，∴，∴直线AP解析式y＝﹣x+3（2）如图：作PM⊥AD于M∵BC∥OA∴∠CPD＝∠PDA且∠CPD＝∠APB∴PD＝P A，且PM⊥AD∴DM＝AM∵四边形P AEF是平行四边形∴PD＝DE又∵∠PMD＝∠DOE，∠ODE＝∠PDM∴△PMD≌△ODE（AAS），∴OD＝DM，OE＝PM∴OD＝DM＝MA∵PM＝2，OA＝3∴OE＝2，OM＝2∴E（0，﹣2），P（2，2）设直线PE的解析式y＝mx+n，则有，∴，∴直线PE解析式y＝2x﹣2．8．解：（1）∵直线y＝4x+4交坐标轴于A，D两点，∴A（﹣1，0），D（0，4），∴OA＝1，OD＝4，＝AB•OD＝16，∵S平行四边形ABCD∴AB＝4，OB＝3，∴C（4，4），B（3，0），∴BC＝＝．（2）①在△BOD中，∵∠OBD+∠ODB＝90°，又∵BG＝BH，DG＝DM，∴2∠DGM+2∠BGH＝360°﹣90°＝270°，∴∠DGM+∠BGH＝135°，∴∠NGH＝45°．②∵NH⊥HG，∠NGH＝45°∴△GHN是等腰直角三角形．如图3，分别过点N，G作NR⊥AB于R，GS⊥AB于S，则∠NRH＝∠HSG＝90°，∴∠NHR＝∠HGS，而NH＝HG，∴△HRN≌△GSH（AAS），∴NR＝HS，HR＝GS．如图3，连ON，GO，∵N（t，﹣t），∴NR＝OR，∴HS＝OR，∴HR＝OS＝GS，∴△GSO为等腰直角三角形，∵S△DOB ＝S△DOG+S△BOG∴•OB•OD＝•OB•GS+•OD•OS，∴GS＝OS＝，∴G（，）．9．解：（1）对于直线y＝﹣x+2，令x＝0，得到y＝2，可得B（0，2），令y＝0．得到x＝4，可得A（4，0），∴OA＝4，OB＝2，∴AB＝＝2．（2）如图1中，作CE⊥x轴于E，作CF⊥y轴于F．∴∠BFC＝∠AEC＝90°∵∠EOF＝90°，∴四边形OECF是矩形，∴CF＝OE，CE＝OF，∠ECF＝90°，∵∠ACB＝90°∴∠BCF＝∠ACE，∵BC＝AC，∴△CFB≌△CEA，∴CF＝CE，AE＝BF，∴四边形OECF是正方形，∴OE＝OF＝CE＝CF，∴OE＝OA﹣AE＝OA﹣BF＝OA﹣OF+OB＝4﹣OE+2，∴OE＝3，∴OF＝3，∴C（3，3），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BC的解析式为y＝x+2．（3）如图2中，延长AB，DP相交于Q．由旋转知，BD＝AB，∴∠BAD＝∠BDA，∵AD⊥DP，∴∠ADP＝90°，∴∠BDA+∠BDQ＝90°，∠BAD+∠AQD＝90°，∴∠AQD＝∠BDQ，∴BD＝BQ，∴BQ＝AB，∴点B是AQ的中点，∵A（4，0），B（0，2），∴Q（﹣4，4），∴直线DP的解析式为y＝﹣x①，∵直线DO交直线y＝x+3②于P点，联立①②解得，x＝﹣，y＝，∴P（﹣，）．10．解：（1）如图1中，作AE⊥x轴于E，DF⊥EA交EA的延长线于F．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∵∠F＝∠AEB＝∠DAB＝90°，∴∠DAF+∠EAB＝90°，∠EAB+∠ABE＝90°，∴∠DAF＝∠ABE，∴△DF A≌△AEB（AAS），∴DF＝AE，AF＝BE，设DF＝AE＝a，AF＝BE＝b，∵OB＝5，OD＝7，∴∴a＝6，b＝1，∴AE＝6，OE＝6，∴A（6，6）．（2）①如图2中，作FH⊥y轴于H．∵∠ADE＝∠AEF＝∠FHE＝90°，∴∠AED+∠FEH＝90°，∠FEH+∠EFH＝90°，∴∠AED＝∠EFH，∵AE＝EF，∴△ADE≌△EHF（AAS），∴FH＝DE，AD＝EH，∵AD＝OD，∴EH＝OD，∴OH＝DE＝FH，设OH＝FH＝a，∴F（﹣a，﹣a），∵点F在直线y＝﹣2x﹣6上，∴﹣a＝2a﹣6，解得a＝2，∴F（﹣2，﹣2）．②如图3﹣1中，当点E在线段OD上时，∵D（0，），∴A（﹣，），B（﹣，0），∴直线BD的解析式为y＝x+，∵OF＝m，由（1）可知，F（﹣m，﹣m），∴直线AF的解析式为y＝（x+）+，由，解得，∴P（﹣，）．∴BP＝•y P＝1﹣．如图3﹣2中，当点E在DO的延长线上时，同法可得P（﹣，）．∴BP＝﹣•y P＝﹣1．如图3﹣3中，当点E在OD的延长线时，此时F（m，m），同法可得直线AF的解析式为y＝（x+）+，由．解得，∴P（，），∴BP＝•y P＝+1．综上所述，BP的长为1﹣或﹣1或+1．11．解：（1）如图1中，连接AC交OB于F，延长BA交y轴于E．∵直线AB的解析式为y＝﹣x+4，∴E（0，4），B（8，0），∴OE＝4，OB＝8，∵四边形OABC是菱形，∴AC⊥OB，OF＝FB＝4，∴∠AFB＝∠EOB＝90°，∴AF∥OE，∵OF＝FB，∴AE＝AB，∴AF＝OE＝2，∴A（4，2）．（2）如图2﹣1中，当0＜m＜4时，作PM⊥OB于M，QN⊥OB于N．∵PQ∥OB，PM⊥OB，QN⊥OB，∴PM＝QN，∠OMP＝∠BNQ＝90°，四边形PQNM是矩形，∴PQ＝MN∵AO＝AB，∴∠POM＝∠QBN，∴△PMO≌△QNB（AAS），∴OM＝BN＝m，∴d＝PQ＝MN＝8﹣2m．如图2﹣2中，当m＞4时，作PM⊥OB于M，QN⊥OB于N．同法可得PQ＝MN，OM＝BM＝m，∴d＝PQ＝MN＝2m﹣8．综上所述，d＝．（3）如图3中，连接AC交OB于K，在KB上取一点J，使得AK＝JK，连接AJ，作ET⊥OB于T，延长PE交y轴于R，连接FM交ES于L．∵AK＝KJ，∠AKJ＝90°，∴∠AJK＝45°，∵∠AJK＝∠JAB+∠ABJ＝45°，∠BAM+∠AOB＝∠BAM+∠ABO＝45°，∴∠BAJ＝∠BAM，∴AJ平分∠MAB，∴＝（角平分线的性质定理，可以用面积法证明，见下面补充说明），设KM＝a，则AM＝，MJ＝2﹣a，JB＝2，AB＝2，∴＝，整理得：a2﹣5a+4＝0，解得a＝1或4（舍弃），∴KM＝1，OM＝5，∴M（5.0），∵C（4，﹣2），∴直线CM的解析式为y＝2x﹣10，∵直线OA的解析式为y＝x由，解得，∴P（，），∵直线MA的解析式为y＝﹣2x+10，∵PE∥OB，∴E（，），∵ER⊥OR，ET⊥OB，∴∠ERF＝∠ETM＝∠ROT＝90°，∴ER＝RT＝，四边形RETO是正方形，∴TM＝5﹣＝，∵∠RET＝∠MEF＝90°，∴∠FER＝∠MET，∴△ERF≌△ETM（ASA），∴RF＝TM＝，EF＝EM，∴OF＝﹣＝，∴F（0，），∵EF＝EM，ES平分∠FEM，∴ES⊥FM，∴FL＝LM，∴L（，），∴直线ES的解析式为y＝3x﹣，令y＝0，得到x＝，∴S（，0）．补充说明：如图，AJ平分∠MAB，则＝理由：作JE⊥AB于E，JF⊥AM交AM的延长线于F．∵AJ平分∠MAB，∴EJ＝JF，∴＝＝，∴＝．12．解：（1）①由关联直线定义可得直线y＝﹣x+2的关联直线为：y＝2x﹣1∴解得：∴交点坐标（1，1）故答案为：y＝2x﹣1，（1，1）②设点P（t，﹣t+2），点Q（t，2t﹣1）由题意可得：当t＜1时，符合题意∴d＝（﹣t+2）﹣（2t﹣1）＝﹣3t+3（2）①由关联直线定义可得直线y＝ax+2a的关联直线为：y＝2ax+a∵直线y＝ax+2a交y轴于点A，∴当x＝0时，y＝2a，∴点A（0，2a）∵直线x＝a交直线y＝ax+2a于点M，交直线y＝ax+2a的关联直线于点N．∴当x＝a时，y＝a2+2a，即点M（a，a2+2a）当x＝a时，y＝2a2+a，即点N（a，2a2+a）∴AO∥MN∵以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形∴OA＝MN∴|2a|＝|（a2+2a）﹣（2a2+a）|∴a2﹣a＝±2a当a2﹣a＝2a，解得a1＝3，a2＝0（不合题意舍去）当a2﹣a＝﹣2a，解得a3＝﹣1，a4＝0（不合题意舍去）∴a的值为3或﹣1②∵设点M的纵坐标为b，点N的纵坐标为c，且c＞b，∴2a2+a＞a2+2a∴a（a﹣1）＞0∴或∴a＞1或a＜013．证明：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠ACD，在△BEC和△CDA中，∴△BEC≌△CDA（AAS）；（2）①如图1，过C作CD⊥x轴于点D，直线y＝x+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，令y＝0可求得x＝﹣4，令x＝0可求得y＝3，∴OA＝3，OB＝4，同（1）可证得△CDB≌△BAO，∴CD＝BO＝4，BD＝AO＝3，∴OD＝4+3＝7，∴C（﹣7，4），且A（0，3），设直线AC解析式为y＝kx+3，把C点坐标代入可得4＝﹣7k+3，解得k＝﹣∴直线AC解析式为y＝﹣x+3，（3）②∵B的坐标为（8，6），∴AB＝8，BC＝6如图2，当∠ADP＝90°时，AD＝PD，∴点D在AB的中垂线上，即点D横坐标为4∴D点坐标（4，3）∵当D点坐标（4，3）时，∠ADP≠90°，∴D点坐标（4，3）不合题意；如图3，当∠APD＝90°时，AP＝PD，设点P的坐标为（8，m），则D点坐标为（14﹣m，m+8），由m+8＝2（14﹣m）﹣5，得m＝5，∴D点坐标（9，13）；如图4，当∠ADP＝90°时，AD＝PD时，同理可求得D点坐标（，），综上所述：点D坐标为：（9，13），（，）．14．解：（1）将x＝﹣6代入y＝x+2中得y＝﹣4∴E（﹣6，﹣4），将E（﹣6，﹣4）代入y＝kx﹣1中，得﹣4＝﹣6k﹣1，解得k＝，∴直线AB的解析式为y＝x﹣1（2）如图②，延长GF至H，使FH＝FQ，连接QH，∵∠QFH＝90°，GN＝QF∴QH＝FQ＝GN，∠NHQ＝45°在y＝x+2中令x＝0，得y＝2，令y＝0，得x＝﹣2，∴C（0，2），D（﹣2，0），∴OC＝OD＝2∵∠COD＝90°∴∠OCD＝∠ODC＝45°∵FG∥OC∴∠DGF＝∠DCO＝45°，∠DFG＝∠COD＝90°∴DG＝FG，∠MGN＝∠NHQ＝45°∵∠GMN＝∠QNF∴△GMN∽△HNQ∴∴NH＝MG∵GN＝FQ＝FH∴FN+GN＝FN+FH，即FG＝NH∴DG＝FG＝NH＝×MG＝2MG∴DG＝DM+MG＝2MG∴DM＝MG＝DG∴（3）如图③，点T与E关于x轴对称，∴T（﹣6，4）∵点P在直线BA第一象限上∴设点P坐标为（p，p﹣1）（p＞2）∵FG∥y轴∴F（p，0），G（p，p+2），∴PF＝p﹣1，GF＝p+2∴GP＝GF﹣PF＝p+3∵GN：NP＝4：3∴FQ＝GN＝GP＝∴x Q＝p﹣，即Q（，0）设直线TQ解析式为：y＝ax+b∴解得：a＝∵，即点M为DG中点∴M（，）设直线MP解析式为：y＝cx+d∴解得：c＝∵MP∥TQ∴a＝c，即解得：p＝8∴点P坐标为（8，3）15．解：（1）设直线DE的直线解析式y＝kx+b，将点E（30，0），点D（0，40），∴，∴，∴y＝﹣x+40，直线AB与直线DE的交点P（21，12），由题意知F（30，15），∴EF＝15；（2）①易求B（0，5），∴BF＝10，∴当点F1移动到点B时，t＝10÷＝10；②当点H运动到直线DE上时，F点移动到F'的距离是t，在Rt△F'NF中，，∴FN＝t，F'N＝3t，∵MH'＝FN＝t，EM＝NG'＝15﹣F'N＝15﹣3t，在Rt△EMH'中，，∴，∴t＝4，∴EM＝3，MH'＝4，∴S＝＝；当点G运动到直线DE上时，F点移动到F'的距离是t，∵PF＝3，∴PF'＝t﹣3，在Rt△F'PK中，，∴PK＝t﹣3，F'K＝3t﹣9，在Rt△PKG'中，，∴t＝7，∴S＝15×（15﹣7）＝120．。
2020年中考数学一轮复习：三角形综合提升训练解析版
2020年中考数学一轮复习：三角形综合提升训练一．选择题（共14小题）1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．3，4，8B．5，6，10C．5，5，11D．5，6，112．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF 的长度是（）A．2B．3C．4D．63．如图，等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上，若a∥b，∠1＝30°，则∠2的度数为（）A．30°B．15°C．10°D．20°4．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°5．在△AOC中，OB交AC于点D，量角器的摆放如图所示，则∠CDO的度数为（）A．90°B．95°C．100°D．120°6．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（）A．50°B．70°C．75°D．80°7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（）A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC8．三角形的重心是（）A．三角形三条边上中线的交点B．三角形三条边上高线的交点C．三角形三条边垂直平分线的交点D．三角形三条内角平分线的交点9．如图，∠ACD＝120°，∠B＝20°，则∠A的度数是（）A．120°B．90°C．100°D．30°10．一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形11．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于（）A．30°B．40°C．60°D．70°12．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（）A．5B．6C．8D．1013．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝（）A．35°B．95°C．85°D．75°14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE 的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°二．填空题（共8小题）15．等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为．16．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于D，若∠A＝50°，则∠BDC＝度．17．如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC＝度．18．如图，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A＝°．19．如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD＝°．20．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝°．21．如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A、B两点的点O处，再分别取OA、OB的中点M、N，量得MN＝20m，则池塘的宽度AB为m．22．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是．三．解答题（共6小题）23．如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC ＝3∠B，求∠B的度数．24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF、EF相交于点F．（1）求证：∠C＝∠BAD；（2）求证：AC＝EF．25．已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠E＝∠C．26．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．（1）求证：△BDE≌△CDF．（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）若∠C＝42°，求∠BAD的度数；（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．28．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．一．选择题（共14小题）1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．3，4，8B．5，6，10C．5，5，11D．5，6，11【分析】根据三角形的三边关系即可求【解答】解：A选项，3+4＝7＜8，两边之和小于第三边，故不能组成三角形B选项，5+6＝11＞10，10﹣5＜6，两边之各大于第三边，两边之差小于第三边，故能组成三角形C选项，5+5＝10＜11，两边之和小于第三边，故不能组成三角形D选项，5+6＝11，两边之和不大于第三边，故不能组成三角形故选：B．2．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF 的长度是（）A．2B．3C．4D．6【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得．【解答】解：∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF＝6，故选：D．3．如图，等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上，若a∥b，∠1＝30°，则∠2的度数为（）A．30°B．15°C．10°D．20°【分析】由等腰直角三角形的性质和平行线的性质求出∠ACD＝60°，即可得出∠2的度数．【解答】解：如图所示：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，∴∠1+∠BAC＝30°+90°＝120°，∵a∥b，∴∠ACD＝180°﹣120°＝60°，∴∠2＝∠ACD﹣∠ACB＝60°﹣45°＝15°；故选：B．4．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB＝45°，即可得出结论．【解答】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD＝CD，即：AD是BC的垂直平分线，∵点E在AD上，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EBC＝45°，∴∠ECB＝45°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝15°，故选：A．5．在△AOC中，OB交AC于点D，量角器的摆放如图所示，则∠CDO的度数为（）A．90°B．95°C．100°D．120°【分析】依据CO＝AO，∠AOC＝130°，即可得到∠CAO＝25°，再根据∠AOB＝70°，即可得出∠CDO＝∠CAO+∠AOB＝25°+70°＝95°．【解答】解：∵CO＝AO，∠AOC＝130°，∴∠CAO＝25°，又∵∠AOB＝70°，∴∠CDO＝∠CAO+∠AOB＝25°+70°＝95°，故选：B．6．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（）A．50°B．70°C．75°D．80°【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC ＝∠C，根据三角形内角和定理求出∠BAC，计算即可．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝25°，∵∠B＝60°，∠C＝25°，∴∠BAC＝95°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝70°，故选：B．7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（）A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC【分析】根据同角的余角相等可得出∠BCD＝∠A，根据角平分线的定义可得出∠ACE＝∠DCE，再结合∠BEC＝∠A+∠ACE、∠BCE＝∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC＝∠BCE，利用等角对等边即可得出BC＝BE，此题得解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD+∠A＝90°，∴∠BCD＝∠A．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE．又∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE．故选：C．8．三角形的重心是（）A．三角形三条边上中线的交点B．三角形三条边上高线的交点C．三角形三条边垂直平分线的交点D．三角形三条内角平分线的交点【分析】根据三角形的重心是三条中线的交点解答．【解答】解：三角形的重心是三条中线的交点，故选：A．9．如图，∠ACD＝120°，∠B＝20°，则∠A的度数是（）A．120°B．90°C．100°D．30°【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：∠A＝∠ACD﹣∠B＝120°﹣20°＝100°，故选：C．10．一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【分析】根据三角形内角和等于180°计算即可．【解答】解：设三角形的三个内角的度数之比为x、2x、3x，则x+2x+3x＝180°，解得，x＝30°，则3x＝90°，∴这个三角形一定是直角三角形，故选：B．11．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于（）A．30°B．40°C．60°D．70°【分析】先根据两直线平行，同位角相等求出∠1，再利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求出∠E的度数．【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠A＝70°，∴∠1＝∠A＝70°，∵∠1＝∠C+∠E，∠C＝40°，∴∠E＝∠1﹣∠C＝70°﹣40°＝30°．故选：A．12．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（）A．5B．6C．8D．10【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝CD，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∵AB＝5，AD＝3，∴BD＝＝4，∴BC＝2BD＝8，故选：C．13．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝（）A．35°B．95°C．85°D．75°【分析】根据三角形角平分线的性质求出∠ACD，根据三角形外角性质求出∠A即可．【解答】解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE＝60°，∴∠ACD＝2∠ACE＝120°，∵∠ACD＝∠B+∠A，∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝120°﹣35°＝85°，故选：C．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE 的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°【分析】先根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据三角形外角性质得∠1+∠2＝∠3+∠4+∠A，∠1＝∠3+∠D，则2∠1＝2∠3+∠A，利用等式的性质得到∠D ＝∠A，然后把∠A的度数代入计算即可．【解答】解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠ACE＝∠A+∠ABC，即∠1+∠2＝∠3+∠4+∠A，∴2∠1＝2∠3+∠A，∵∠1＝∠3+∠D，∴∠D＝∠A＝×30°＝15°．故选：A．二．填空题（共8小题）15．等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为80°．【分析】本题给出了一个底角为50°，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小．【解答】解：∵等腰三角形底角相等，∴180°﹣50°×2＝80°，∴顶角为80°．故填80°．16．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于D，若∠A＝50°，则∠BDC＝115度．【分析】根据角平分线的性质和三角形的内角和定理求解．【解答】解：∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝130°．∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于D，∴∠DBC+∠DCB＝65°，∴∠BDC＝115°．17．如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC＝52度．【分析】设∠ADC＝α，然后根据AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，表示出∠B和∠BAD 的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数．【解答】解：∵AC＝AD＝DB，∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，设∠ADC＝α，∴∠B＝∠BAD＝，∵∠BAC＝102°，∴∠DAC＝102°﹣，在△ADC中，∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°，∴2α+102°﹣＝180°，解得：α＝52°．故答案为：52．18．如图，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A＝87°．【分析】根据DE垂直平分BC，求证∠DBE＝∠C，再利用角平分线的性质和三角形内角和定理，即可求得∠A的度数．【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，∴∠DBE＝∠ABC＝（180°﹣31°﹣∠A）＝（149°﹣∠A），∵DE垂直平分BC，∴BD＝DC，∴∠DBE＝∠C，∴∠DBE＝∠ABC＝（149°﹣∠A）＝∠C＝31°，∴∠A＝87°．故答案为：87．19．如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD＝30°°．【分析】根据正三角形ABC得到∠BAC＝60°，因为AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一得到∠BAD的度数．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠BAC＝30°，故答案为：30°．20．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝15°．【分析】根据线段垂直平分线求出AD＝BD，推出∠A＝∠ABD＝50°，根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出∠ABC，即可得出答案．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∠AED＝90°，∴∠A＝∠ABD，∵∠ADE＝40°，∴∠A＝90°﹣40°＝50°，∴∠ABD＝∠A＝50°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝65°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°，故答案为：15．21．如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A、B两点的点O处，再分别取OA、OB的中点M、N，量得MN＝20m，则池塘的宽度AB为40m．【分析】根据题意知MN是△ABO的中位线，所以由三角形中位线定理来求AB的长度即可．【解答】解：∵点M、N是OA、OB的中点，∴MN是△ABO的中位线，∴AB＝AMN．又∵MN＝20m，∴AB＝40m．故答案是：40．22．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是20．【分析】运用等腰三角形的性质，可得BD＝CD，再求出△ABC的周长．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，又∵AD⊥BC于点D∴BD＝CD∵AB＝6，CD＝4∴△ABC的周长＝6+4+4+6＝20．故答案为：20．三．解答题（共6小题）23．如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC ＝3∠B，求∠B的度数．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可知P A＝PB，根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠BAP，根据三角形的外角性质即可证得APC＝2∠B；（2）根据题意可知BA＝BQ，根据等腰三角形的性质可得∠BAQ＝∠BQA，再根据三角形的内角和公式即可解答．【解答】解：（1）证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，∴P A＝PB，∴∠B＝∠BAP，∵∠APC＝∠B+∠BAP，∴∠APC＝2∠B；（2）根据题意可知BA＝BQ，∴∠BAQ＝∠BQA，∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B+∠BAQ，∴∠BQA＝2∠B，∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°．24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF、EF相交于点F．（1）求证：∠C＝∠BAD；（2）求证：AC＝EF．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，由余角的性质可得∠C＝∠BAD；（2）由“ASA”可证△ABC≌△EAF，可得AC＝EF．【解答】证明：（1）∵AB＝AE，D为线段BE的中点，∴AD⊥BC∴∠C+∠DAC＝90°，∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠DAC＝90°∴∠C＝∠BAD（2）∵AF∥BC∴∠F AE＝∠AEB∵AB＝AE∴∠B＝∠AEB∴∠B＝∠F AE，且∠AEF＝∠BAC＝90°，AB＝AE∴△ABC≌△EAF（ASA）∴AC＝EF25．已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠E＝∠C．【分析】由“SAS”可证△ABC≌△ADE，可得∠C＝∠E．【解答】证明：∵∠BAE＝∠DAC∴∠BAE+∠CAE＝∠DAC+∠CAE∴∠CAB＝∠EAD，且AB＝AD，AC＝AE∴△ABC≌△ADE（SAS）∴∠C＝∠E26．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．（1）求证：△BDE≌△CDF．（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD＝CD，于是得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到BE＝CF＝2，求得AB＝AE+BE＝1+2＝3，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）；（2）解：∵△BDE≌△CDF，∴BE＝CF＝2，∴AB＝AE+BE＝1+2＝3，∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AC＝AB＝3．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）若∠C＝42°，求∠BAD的度数；（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD，根据三角形的内角和即可得到∠BAD＝∠CAD＝90°﹣42°＝48°；（2）根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD根据平行线的性质得到∠F＝∠CAD，等量代换得到∠BAD＝∠F，于是得到结论．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°，又∠C＝42°，∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣42°＝48°；（2）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∵EF∥AC，∴∠F＝∠CAD，∴∠BAD＝∠F，∴AE＝FE．28．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．【分析】（1）求出AC＝DF，根据SSS推出△ABC≌△DEF．（2）由（1）中全等三角形的性质得到：∠A＝∠EDF，进而得出结论即可．【解答】证明：（1）∵AC＝AD+DC，DF＝DC+CF，且AD＝CF∴AC＝DF在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS）（2）由（1）可知，∠F＝∠ACB∵∠A＝55°，∠B＝88°∴∠ACB＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣（55°+88°）＝37°∴∠F＝∠ACB＝37°。
2020年山东省青岛市胶州市中考数学一模试卷 解析版
2020年山东省青岛市胶州市中考数学一模试卷一．选择题（共8小题）1．的绝对值是（）A．B．C．D．2．根据中国卫生健康委员会报道，截止到2020年4月10日24时，新型冠状病毒肺炎疫情据31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团报告，累计治愈出院病例77525例，将77525用科学记数法表示为（）A．77.525×103B．7.7525×104C．0.77525×105D．7.7525×1053．下列图案中是轴对称图形，但不是中心对称图形的有（）A．B．C．D．4．下列运算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．C．a6÷a3＝a2D．（a﹣1）（a+2）＝a2﹣25．如图，点A，B，C在⊙O上，BO的延长线交AC于点D，∠A＝40°，∠C＝25°，则∠ADB的度数为（）A．110°B．115°C．120°D．125°6．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点都在格点上，如果先将线段AB向右平移两个单位，得到线段A′B′，其中点A、B的对应点分别为点A′、B′，然后将线段A′B′绕点P顺时针旋转得到线段A′′B′′，其中点A′、B′的对应点分别为点A′′、B′′，则旋转中心点P的坐标为（）A．（1，0）B．（0，2）C．（3，1）D．（4，﹣1）7．如图，在△ABC中，点D是△ABC的内心，连接DB，DC，过点D作EF∥BC分别交AB、AC于点E、F，若BE+CF＝8，则EF的长度为（）A．4B．5C．8D．168．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则一次函数y＝ax+bc与反比例函数在平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）9．计算：＝．10．某射击运动员最近6次训练的成绩分别为6环，9环，4环，10环，9环，10环，则该运动员这6次成绩的方差为．11．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD＝°．12．如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（1，m），B（4，n）两点．则不等式kx+b﹣≥0的解集为．13．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、CD边上，AD＝6，AB＝8，将△CBE沿CE翻折，使B点的对应点B′刚好落在对角线AC上，将△ADF沿AF翻折，使D点的对应点D′也恰好落在对角线AC上，连接EF，则EF的长为．14．如图所示是一种棱长分别是2cm，3cm，4cm的长方体积木，现要用若干块这样的积木来搭建大长方体，如果用6块积木来搭，那么搭成的大长方体的表面积最小是cm2．三．解答题15．已知：∠α，线段c．求作：Rt△ABC，使∠A＝∠α，AB＝c，∠C＝90°．16．（1）．（2）解不等式组．17.小明和小亮进行摸牌游戏，如图，他们有四张除牌面数字不同外、其他地方完全相同的纸牌，牌面数字分别为4，5，6，7，他们把纸牌背面朝上，充分洗匀后，从这四张纸牌中摸出一张，记下数字放回后，再次重新洗匀，然后再摸出一张，再次记下数字，将两次数字之和做为对比结果．若两次数字之和大于11，则小明胜；若两次数字之和小于11，则小亮胜．（1）请你用列表法或树状图列出这个摸牌游戏中所有可能出现的结果．（2）这个游戏公平吗？请说明理由．18.“停课不停学，学习不延期”，某市通过教育资源公共服务平台和有线电视为全市中小学开设在线“空中课堂”，为了解学生每天的学习时间情况，在全市随机抽取了部分初中学生进行问卷调查，现将调查结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题：组别学习时间x（h）人数（人）A 2.5＜x≤340B3＜x≤3.5170C 3.5＜x≤4350D4＜x≤4.5E 4.5＜x≤590F5小时以上50（1）这次参与问卷调查的初中学生有人，中位数落在组．（2）补全条形统计图．（3）若此市有初中学生2.8万人，求每天参与“空中课堂”学习时间3.5到4.5小时（不包括3.5小时）的初中学生有多少人？19.为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C 到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D 的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为多少米？（参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）20.某市地铁1号线全长约60km，市政府通过招标，甲、乙两家地铁工程公司承担了施工任务，根据招标合同可知，甲公司每月计划施工效率是乙公司的1.2倍，则乙公司单独施工比甲公司单独施工多用10个月，且市政府需要支付给甲公司的施工费用为6亿元/km，乙公司的施工费用为5亿元/km．（1）甲、乙两家地铁工程公司每月计划施工各为多少km？（2）由于设备和施工现场只能供一家地铁工程公司单独施工的原因，现计划甲、乙两家公司共用55个月恰好完成施工任务（每家公司施工时间不足一个月按照一个整月计算），且甲公司施工时间不得少于乙公司的两倍，应如何安排才能使市政府支付给两家地铁工程公司的总费用最少？21.如图，在▱ABCD中，点E是对角线BD上的一点，过点C作CF∥BD，且CF＝DE，连接AE、BF、EF．（1）求证：△ADE≌△BCF；（2）若∠BFC﹣∠ABE＝90°，判断四边形ABFE的形状，并证明你的结论．22.某商场销售某种型号防护面罩，进货价为40元/个．经市场销售发现：售价为50元/个时，每周可以售出100个，若每涨价1元，就会少售出5个．供货厂家规定市场售价不得低于50元/个，且商场每周销售数量不得少于80个．（1）确定商场每周销售这种型号防护面罩所得的利润w（元）与售价x（元/个）之间的函数关系式．（2）当售价x（元/个）定为多少时，商场每周销售这种防护面罩所得的利润w（元）最大？最大利润是多少？23.如图，已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝12cm，BD＝16cm，点P从点D出发，沿DA方向匀速向点A运动，速度为2cm/s；同时，点E从点B出发，沿BO方向匀速向点O运动，速度为1cm/s，EF∥BC，交OC于点F．当点P、E中有一点停止运动时，另一点也停止运动，线段EF也停止运动，连接PE、DF（0＜t＜5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PE∥AB？（2）设四边形EFDP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式．（3）是否存在某一时刻t，使得S四边形EFDP：S菱形ABCD＝21：48？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（4）连接FP，是否存在某一时刻t，使得FP⊥AD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．2020年山东省青岛市胶州市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．的绝对值是（）A．B．C．D．【分析】直接利用绝对值的性质得出答案．【解答】解：的绝对值是：．故选：C．2．根据中国卫生健康委员会报道，截止到2020年4月10日24时，新型冠状病毒肺炎疫情据31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团报告，累计治愈出院病例77525例，将77525用科学记数法表示为（）A．77.525×103B．7.7525×104C．0.77525×105D．7.7525×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将“77525”用科学记数法表示为7.7525×104．故选：B．3．下列图案中是轴对称图形，但不是中心对称图形的有（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：A．4．下列运算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．C．a6÷a3＝a2D．（a﹣1）（a+2）＝a2﹣2【分析】利用合并同类项法则、同底数幂的除法法则、多项式乘以多项式法则及负整数指数幂的意义，计算判断即可．【解答】解：∵a3与a2不是同类项，不能加减，故A错误；＝×＝，故选项B正确；a6÷a3＝a3≠a2，故选项C错误；（a﹣1）（a+2）＝a2+a﹣2，故选项D错误．故选：B．5．如图，点A，B，C在⊙O上，BO的延长线交AC于点D，∠A＝40°，∠C＝25°，则∠ADB的度数为（）A．110°B．115°C．120°D．125°【分析】首先求出∠BOC，利用三角形的外角求出∠CDO即可解决问题．【解答】解：∵∠BOC＝2∠A，∠A＝40°，∴∠BOC＝80°，∵∠BOC＝∠C+∠CDO，∠C＝25°，∴∠CDO＝55°，∴∠ADB＝180°﹣55°＝125°，故选：D．6．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点都在格点上，如果先将线段AB向右平移两个单位，得到线段A′B′，其中点A、B的对应点分别为点A′、B′，然后将线段A′B′绕点P顺时针旋转得到线段A′′B′′，其中点A′、B′的对应点分别为点A′′、B′′，则旋转中心点P的坐标为（）A．（1，0）B．（0，2）C．（3，1）D．（4，﹣1）【分析】根据线段垂直平分线的性质作图即可得到结论．【解答】解：如图所示，分别作A''A′和B''B′的垂直平分线，两线交于一点P，则点P 即为所求，且P（0，2）．故选：B．7．如图，在△ABC中，点D是△ABC的内心，连接DB，DC，过点D作EF∥BC分别交AB、AC于点E、F，若BE+CF＝8，则EF的长度为（）A．4B．5C．8D．16【分析】根据点D是△ABC的内心，可得BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，再根据EF ∥BC，可得∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，得ED＝EB，FD＝FC，根据BE+CF＝8进而得EF的长度．【解答】解：∵点D是△ABC的内心，∴BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，∴ED＝EB，FD＝FC，∴EF＝ED+FD＝BE+CF＝8．答：EF的长度为8．故选：C．8．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则一次函数y＝ax+bc与反比例函数在平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，∴a＞0，∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧，∴a、b异号，即b＜0．∵与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴一次函数y＝ax+bc的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象分布在第二、四象限，故选：C．二．填空题（共6小题）9．计算：＝2﹣2．【分析】利用二次根式的除法法则运算．【解答】解：原式＝﹣＝2﹣2．故答案为2﹣2．10．某射击运动员最近6次训练的成绩分别为6环，9环，4环，10环，9环，10环，则该运动员这6次成绩的方差为5．【分析】先由平均数的公式计算出这组数据的平均数，再根据方差的公式计算即可．【解答】解：6次成绩的平均数为：（6+9+4+10+9+10）＝8（环），则该运动员这6次成绩的方差为：[（6﹣8）2+（9﹣8）2+（4﹣8）2+（10﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝5．故答案为：5．11．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD＝35°．【分析】连接AD．首先证明∠ADB＝90°，求出∠A即可解决问题．【解答】解：连接AD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝55°，∴∠A＝90°﹣55°＝35°，∴∠BCD＝∠A＝35°，故答案为35°．12．如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（1，m），B（4，n）两点．则不等式kx+b﹣≥0的解集为x＜0和1≤x≤4．【分析】从函数图象看，当x＜0和1≤x≤4时，y1在y2的上方，从而求解．【解答】解：从函数图象看，当x＜0和1≤x≤4时，y1在y2的上方，故不等式kx+b﹣≥0的解集为x＜0和1≤x≤4，故答案为：x＜0和1≤x≤4．13．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、CD边上，AD＝6，AB＝8，将△CBE沿CE翻折，使B点的对应点B′刚好落在对角线AC上，将△ADF沿AF翻折，使D点的对应点D′也恰好落在对角线AC上，连接EF，则EF的长为2．【分析】过点F作FM⊥AB于点M，由勾股定理可求AC的长，由折叠的性质可得BE ＝B'E，BC＝B'C＝6，∠EB'C＝∠B＝90°，通过证明△AB'E∽△ABC，可求B'E＝BC＝3＝BE，AE＝AC＝5，通过证明四边形ADFM是矩形，可得AM＝DF＝3，AD＝MF ＝6，可得EM＝2，由勾股定理可求解．【解答】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，∵AD＝6＝BC，AB＝8，∴AC＝＝＝10，∵将△CBE沿CE翻折，∴BE＝B'E，BC＝B'C＝6，∠EB'C＝∠B＝90°，∴AB'＝4，∵∠EAB'＝∠BAC，∠B＝∠AB'E＝90°，∴△AB'E∽△ABC，∴＝，∴B'E＝BC＝3＝BE，AE＝AC＝5，同理可求DF＝3，∵FM⊥AB，∠ADC＝∠DAB＝90°，∴四边形ADFM是矩形，∴AM＝DF＝3，AD＝MF＝6，∴EM＝2，∴EF＝＝＝2，故答案为：2．14．如图所示是一种棱长分别是2cm，3cm，4cm的长方体积木，现要用若干块这样的积木来搭建大长方体，如果用6块积木来搭，那么搭成的大长方体的表面积最小是168 cm2．【分析】如果用6块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是长4cm，宽3×2＝6cm，高2×3＝6cm的长方体的表面积，根据长方体的表面积公式即可求解．【解答】解：长4cm，宽3×2＝6（cm），高2×3＝6（cm），（4×6+4×6+6×6）×2＝（24+24+36）×2＝84×2＝168（cm2）答：如果用6块积木来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是168cm2．故答案为：168．三．解答题15．已知：∠α，线段c．求作：Rt△ABC，使∠A＝∠α，AB＝c，∠C＝90°．【分析】作∠A＝∠α．在∠A一边上作线段AB＝c，过B点作∠A另一边的垂线，交于点C．△ABC即为所求．【解答】解：如图，△ABC即为所求．16．（1）．（2）解不等式组．【分析】（1）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）分别求出每个不等式的解集，再根据口诀确定其公共部分即可得不等式组的解集．【解答】解：（1）；（2）解不等式①，得x≤2，解不等式②，得，因此，原不等式组的解集为．17.小明和小亮进行摸牌游戏，如图，他们有四张除牌面数字不同外、其他地方完全相同的纸牌，牌面数字分别为4，5，6，7，他们把纸牌背面朝上，充分洗匀后，从这四张纸牌中摸出一张，记下数字放回后，再次重新洗匀，然后再摸出一张，再次记下数字，将两次数字之和做为对比结果．若两次数字之和大于11，则小明胜；若两次数字之和小于11，则小亮胜．（1）请你用列表法或树状图列出这个摸牌游戏中所有可能出现的结果．（2）这个游戏公平吗？请说明理由．【考点】X6：列表法与树状图法；X7：游戏公平性．【专题】543：概率及其应用；67：推理能力．【分析】（1）根据题意列出图表，得出所有等情况数；（2）根据概率公式先分别求出小明胜的概率和小亮胜的概率，然后进行比较即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意列表如下：小亮小明和4567489101159101112610111213711121314由表可知：共有16种等情况数；（2）这个游戏是公平的；总共有16种结果，每种结果出现的可能性是相同的，两次数字之和大于11的结果有6种，所以，P（小明获胜）＝＝，两次数字之和小于11的结果有6种，所以，P（小亮获胜）＝＝，因为，P（小明获胜）＝P（小亮获胜），所以，这个游戏是公平的．18.“停课不停学，学习不延期”，某市通过教育资源公共服务平台和有线电视为全市中小学开设在线“空中课堂”，为了解学生每天的学习时间情况，在全市随机抽取了部分初中学生进行问卷调查，现将调查结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题：组别学习时间x（h）人数（人）A 2.5＜x≤340B3＜x≤3.5170C 3.5＜x≤4350D4＜x≤4.5E 4.5＜x≤590F5小时以上50（1）这次参与问卷调查的初中学生有1000人，中位数落在C组．（2）补全条形统计图．（3）若此市有初中学生2.8万人，求每天参与“空中课堂”学习时间3.5到4.5小时（不包括3.5小时）的初中学生有多少人？【考点】V7：频数（率）分布表；VB：扇形统计图；VC：条形统计图；W4：中位数．【专题】542：统计的应用；66：运算能力．【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比求出这次参与问卷调查的初中学生总人数；根据中位数的定义直接求解即可；（2）用总人数减去其它组别的人数，求出D组的人数，从而补全统计图；（3）用总人数乘以参与“空中课堂”学习时间3.5到4.5小时（不包括3.5小时）的初中学生所占的百分比即可．【解答】解：（1）这次参与问卷调查的初中学生有：350÷35%＝1000（人），把这些数从小到大排列，处于中间位置是第250、260个数的平均数，则中位数落在C组；故答案为：1000 C；（2）D组的人数有：1000﹣40﹣170﹣350﹣90﹣50＝300（人），补全条形统计图：（3）根据题意得：28000×＝18200（人），答：每天参与“空中课堂”学习时间3.5到4.5小时（不包括3.5小时）的初中学生有18200人．19.为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C 到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D 的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为多少米？（参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】55E：解直角三角形及其应用；66：运算能力．【分析】如图，根据已知条件得到＝1：2.4＝，设CF＝5k，AF＝12k，根据勾股定理得到AC＝＝13k＝26，求得AF＝24，CF＝10，得到EF＝6+24＝30，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：延长DC交EA的延长线于点F，则CF⊥EF，∵山坡AC上坡度i＝1：2.4，∴令CF＝k，则AF＝2.4k，在Rt△ACF中，由勾股定理得，CF2+AF2＝AC2，∴k2+（2.4k）2＝262，解得k＝10，∴AF＝24，CF＝10，∴EF＝30，在Rt△DEF中，tan E＝，∴DF＝EF•tan E＝30×tan48°＝30×1.11＝33.3，∴CD＝DF﹣CF＝23.3，因此，古树CD的高度约为23.3m．20.某市地铁1号线全长约60km，市政府通过招标，甲、乙两家地铁工程公司承担了施工任务，根据招标合同可知，甲公司每月计划施工效率是乙公司的1.2倍，则乙公司单独施工比甲公司单独施工多用10个月，且市政府需要支付给甲公司的施工费用为6亿元/km，乙公司的施工费用为5亿元/km．（1）甲、乙两家地铁工程公司每月计划施工各为多少km？（2）由于设备和施工现场只能供一家地铁工程公司单独施工的原因，现计划甲、乙两家公司共用55个月恰好完成施工任务（每家公司施工时间不足一个月按照一个整月计算），且甲公司施工时间不得少于乙公司的两倍，应如何安排才能使市政府支付给两家地铁工程公司的总费用最少？【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．【专题】522：分式方程及应用；524：一元一次不等式(组)及应用；533：一次函数及其应用；69：应用意识．【分析】（1）设乙公司每月计划施工xkm，则甲公司每月施工1.2xkm，根据题意列分式方程解答即可；（2）设甲公司施工了m个月，则乙公司施工（55﹣m）个月，共支付的总费用为w亿元，由题意可得w与m的函数关系式以及关于m的不等式，由一次函数的性质可求解．【解答】解：（1）设乙公司每月计划施工xkm，则甲公司每月施工1.2xkm，根据题意，得，解得，x＝1，经检验，x＝1是原方程的根，∴1.2x＝1.2×1＝1.2km，答：甲公司每月计划施工1.2km，乙公司每月施工1km；（2）设甲公司施工了m个月，则乙公司施工（55﹣m）个月，共支付的总费用为w亿元，由题意可得：w＝1.2×6•m+1×5•（55﹣m）＝7.2m+275﹣5m＝2.2m+275，∵k＝2.2＞0，w随着m的增大而增大，∵甲公司施工时间不得少于乙公司的两倍，∴m≥2（55﹣m），∴，∴当m＝37时，w有最小值，∴55﹣37＝18，答：甲公司施工37个月，乙公司施工18个月，总费用最少．21.如图，在▱ABCD中，点E是对角线BD上的一点，过点C作CF∥BD，且CF＝DE，连接AE、BF、EF．（1）求证：△ADE≌△BCF；（2）若∠BFC﹣∠ABE＝90°，判断四边形ABFE的形状，并证明你的结论．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．【专题】14：证明题；64：几何直观；67：推理能力．【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明即可；（2））▱ABFE是矩形，根据平行四边形的性质和全等三角形的判定以及矩形的判定解答即可．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，又∵CF∥DB，∴∠DBC＝∠BCF，∴∠ADB＝∠BCF，又∵DE＝CF，在△ADE和△BCF中，，∴△ADE≌△BCF（SAS）；（2）▱ABFE是矩形，理由如下：∵CF∥DE，CF＝DE∴四边形CDEF是平行四边形，∴EF∥CD，EF＝CD∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD∴AB∥EF，AB＝EF∴四边形ABFE是平行四边形，∵△ADE≌△BCF，∴∠AED＝∠BFC，又∵∠BFC﹣∠ABE＝90°，∴∠AED﹣∠ABE＝90°，∵∠AED﹣∠ABE＝∠BAE，∴∠BAE＝90°，∴▱ABFE是矩形．22.某商场销售某种型号防护面罩，进货价为40元/个．经市场销售发现：售价为50元/个时，每周可以售出100个，若每涨价1元，就会少售出5个．供货厂家规定市场售价不得低于50元/个，且商场每周销售数量不得少于80个．（1）确定商场每周销售这种型号防护面罩所得的利润w（元）与售价x（元/个）之间的函数关系式．（2）当售价x（元/个）定为多少时，商场每周销售这种防护面罩所得的利润w（元）最大？最大利润是多少？【考点】HE：二次函数的应用．【专题】536：二次函数的应用；69：应用意识．【分析】（1）根据题意可以直接写出w与x之间的函数关系式，由供货厂家规定市场价不得低于30元/个，且商场每周完成不少于80个的销售任务可以确定x的取值范围；（2）根据第（1）问中的函数解析式和x的取值范围，根据二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）根据题意，得w＝（x﹣40）[100﹣5（x﹣50）]＝（x﹣40）（350﹣5x）＝﹣5x2+550x﹣14000，因此，利润与售价之间的函数关系式为w＝﹣5x2+550x﹣14000，（2）∵销售量不得少于80个，∴100﹣5（x﹣50）≥80，∴x≤54，∵x≥50，∴50≤x≤54，∵w＝﹣5x2+550x﹣14000＝﹣5（x﹣55）2+1125，∵a＝﹣5＜0，开口向下，对称轴为直线x＝55，∴当50≤x≤54时，w随着x的增大而增大，∴当x＝54时，w最大值＝﹣5（54﹣55）2+1125＝1120，因此，当售价定为54元时，每周获得的利润最大，最大利润为1120元．23.如图，已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝12cm，BD＝16cm，点P从点D出发，沿DA方向匀速向点A运动，速度为2cm/s；同时，点E从点B出发，沿BO方向匀速向点O运动，速度为1cm/s，EF∥BC，交OC于点F．当点P、E中有一点停止运动时，另一点也停止运动，线段EF也停止运动，连接PE、DF（0＜t＜5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PE∥AB？（2）设四边形EFDP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式．（3）是否存在某一时刻t，使得S四边形EFDP：S菱形ABCD＝21：48？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（4）连接FP，是否存在某一时刻t，使得FP⊥AD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【考点】LO：四边形综合题．【专题】152：几何综合题；556：矩形菱形正方形；55D：图形的相似；66：运算能力；67：推理能力．【分析】（1）由菱形的性质得出OA＝6cm，OB＝8cm，求出AD的长，得出，则可求出t的值；（2）过点P作PQ⊥OD于Q，证明△DQP∽△DOA，得出，求出PQ，由比例线段可得出，求出OF，则可得出答案；（3）由面积关系可得出t的方程，解方程即可得出t值；（3）证明△AOD∽△APF，得出，得出t的方程，解方程即可得解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO＝，BO＝DO＝，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，∴在Rt△AOD中，由勾股定理，得AO2+DO2＝AD2，∴AD＝．∵PE∥AB，∴，即，∴t＝，因此，当t为s时，PE∥AB．（2）如图1，过点P作PQ⊥OD于Q，∴∠DQP＝∠DOA＝90°，又∵∠QDP＝∠ODA，∴△DQP∽△DOA，∴，即，∴PQ＝，∵EF∥BC，∴，即，∴OF＝6﹣t，∴y＝S四边形EFDP＝S△EFD+S△EDP＝•DE•PQ＝t+48．因此，y与t之间的函数关系式为y＝﹣t+48．（3）假设存在t，使得S四边形EFDP：S菱形ABCD＝21：48，∴S四边形EFDP＝，即﹣，∴3t2﹣8t﹣80＝0，解得，t1＝﹣4，t2＝，均不符合题意，因此，不存在t，使S四边形EFDP：S菱形ABCD＝21：48．（4）假设存在t，使得FP⊥AD．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD＝90°，∴∠AOD＝90°，∵FP⊥AD，∴∠APF＝90°，∴∠AOD＝∠APF，∵∠OAD＝∠P AF，∴△AOD∽△APF，∴，∵OF＝6﹣t，DP＝2t，∴AF＝12﹣t，AP＝10﹣2t，∴，∴t＝，因此，当t＝时，FP⊥AD．。
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中考数学一轮复习试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.的相反数等于（ ）A. B. 4 C. D. ±2.下图中不是正方体展开图的是（ ）A. B.C. D.3.据《经济日报》2018年5月21日报道：目前，世界集成电路生产技术水平最高已达到7nm（1nm=10-9m），主流生产线的技术水平为14～28nm，中国大陆集成电路生产技术水平最高为28nm．将28nm用科学记数法可表示为（ ）A. 28×10-9mB. 2.8×10-8mC. 28×109mD. 2.8×108m4.为了帮助本市一名患病的高中生，某班15名同学积极捐款，他们捐款数额如表：捐款的数额（单5102050100位：元）人数（单位：人）24531关于这15名同学所捐款的数额，下列说法正确的是（ ）A. 众数是100B. 中位数是30C. 极差是20D. 中位数是205.下列各式中，正确的是（ ）A. =-8B. -=-8C. =±8D. =±86.如图，在△ABC中，AB=AC=10，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠A，tan∠CBF=，则BC的长为（ ）A.B.C.D.7.如图，a＜0，b＞0，c＜0，那么二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是（ ）A. B.C. D.8.如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，且∠AED=90°．当AD=10cm时，AB等于（ ）A. 10B. 5C.D.二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）9.计算（π-2）0+4cos30°--=______．10.在一个暗箱里放有a个除颜色以外完全相同的球，其中红球有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球，记下颜色后，再放回暗箱，通过大量的重复实验后发现，摸到红球的频率稳定在15%．那么估计a=______．11.某学习小组全体同学都为本组其他人员送了一张新年贺卡，若全组共贺卡78张，设这个小组的同学共有x人，可列方程：______．12.如图，四边形OABC是菱形，点B，C在以点O为圆心的弧EF上，且∠1=∠2，若扇形OEF的面积为3π，则菱形OABC的边长为______．13.如图，已知AB、CD是⊙O的直径，，∠AOE=32°，那么∠COE的度数为______度．三、计算题（本大题共3小题，共19.0分）14.求不等式的负整数解.15.如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶12千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．（结果保留根号）16.运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．t（s）00.51 1.52…h（m）08.751518.7520…（1）求h与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）；（2）求小球飞行3s时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．四、解答题（本大题共7小题，共62.0分）17.如图，平面上有三点A、B、C（1）画线段AB，画射线AC，画直线BC；（2）在线段AB上任取一点D，过点D画直线DE∥BC，交AC于E．18.如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上数字1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀地分成6等份，每份分别标上1，2，3，4，5，6六个数字．有人为甲乙两人设计了一个游戏，其规则如下：（1）同时转动转盘A与B；（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲胜，如果所得的积是奇数，那么乙胜．你认为这样的规则是否公平？请你说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由．19.养成良好的早锻炼习惯，对学生的学习和生活非常有益．某中学为了了解七年级学生的早锻炼情况，校政教处在七年级随机抽取了部分学生，并对这些学生通常情况下一天的早锻炼时间x（分钟）进行了调查．现把调查结果分为A，B，C，D四组，如下表所示；同时，将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图．组别早锻炼时间A0≤x＜10B10≤x＜20C20≤x＜30D30≤x＜40请根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）扇形统计图中D所在扇形的圆心角度数为______；（2）补全频数分布直方图；（3）已知该校七年级共有1200名学生，请你估计这个年级学生中有多少人一天早锻炼的时间不少于20分钟．20.某幼儿园购买了A，B两种型号的玩具，A型玩具的单价比B型玩具的单价少9元，已知该幼儿园用了3120元购买A型玩具的件数与用4200元购买B型玩具的件数相等．（1）该幼儿园购买的A，B型玩具的单价各是多少元？（2）若A，B两种型号的玩具共购买200件，且A型玩具数量不多于B型玩具数量的3倍，则购买这些玩具的总费用最少需要多少元？21.已知平行四边形ABCD中，CE⊥AB，垂足为O，CE与DA的延长线相交于E，且DA=AE，连接AC、BE；（1）如图1，求证：四边形ACBE是菱形；（2）如图2，连接DO，若∠EAC＜90°，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中所有面积等于△DOC的面积的钝角三角形．22.将一矩形纸片按图1-图4方式折叠：第一步，在矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平；第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并将AB折到图3中所示的AD处；第四步：展平纸片，按照所得的点D折出DE．我们称宽与长的比是（约为0.618）的矩形为黄金矩形．（1）若MN=4cm①图3中AB=______cm；②图4中的黄金矩形为______；（2）设AB=a，AQ+BD=b，AQ•BD=c，请用一个等式表示a、b、c之间的数量关系并证明．23.如图，在平面直角坐标系xOy中，点C的坐标为（0，4），点A为x轴正半轴上的一个动点，以AC为对角线作正方形ABCD（点B在点D右侧），设点A的坐标为（a，0）（a≠4）．（1）当a=2时．①求正方形ABCD的边长；②求点B的坐标．（2）0＜a＜4时，试判断△BOD的形状，并说明理由．（3）是否存在a，使得△AOC与△BOD全等？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：的相反数等于-，故选：A．根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数解答．本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．2.【答案】B【解析】解：由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，A，C，D选项可以拼成一个正方体，而B选项中出现了“凹”字格，故不是正方体的展开图．故选：B．由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．考查了几何体的展开图，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：28nm=28×10-9m=2.8×10-8m．故选：B．4.【答案】D【解析】解：∵捐款20元的人数是5人，最多，∴众数是20，按照从小到大的顺序，第8人捐款是20，所以，中位数是20，极差为100-5=95．故选：D．根据众数、中位数、极差的定义，结合表格即可得出答案．本题考查了中位数、极差及众数的知识，掌握各部分的定义是关键．5.【答案】B【解析】解：A、=8，故此选项错误；B、-=-8，故此选项错正确；C、=8，故此选项错误；D、=8，故此选项错误；故选：B．直接利用二次根式的性质化简得出答案．此题主要考查了二次根式的性质化简，正确化简二次根式是解题关键．6.【答案】B【解析】解：连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC，∵AB=AC，∴∠EAB=∠CAB，EB=CE=CB，∵∠CBF=∠CAB，tan∠CBF=，∴∠CBF=∠EAB，tan∠EAB==，在RT△AEB中，AB=10，设BE=x，则AE=3x，故x2+（3x）2=102，解得：x=EB=，故CB=2．故选：B．连接AE，根据AB是直径，得出AE⊥BC，CE=EB，依据已知条件得出∠CBF=∠EAB，利用勾股定理，进而得出CB的长．本题考查了圆周角的性质和勾股定理的应用等，求得tan∠EAB==是本题的关键．7.【答案】C【解析】解：由a＜0可知，抛物线开口向下，排除D；由a＜0，b＞0可知，对称轴x=-＞0，在y轴右边，排除B，由c＞0可知，抛物线与y轴交点（0，c）在x轴上方，排除A；故选：C．根据a、b、c的符号，可判断抛物线的开口方向，对称轴的位置，与y轴交点的位置，作出选择．本题考查了二次函数的图象，关键是根据抛物线解析式的系数与抛物线图象位置的关系解答．8.【答案】B【解析】解：∵矩形ABCD中，E是BC的中点，∴AB=CD，BE=CE，∠B=∠C=90°，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE，∴AE=DE，∵∠AED=90°，∴∠DAE=45°，∴∠BAE=90°-∠DAE=45°，∴∠BEA=∠BAE=45°，∴AB=BE=AD=×10=5（cm）．故选B．由矩形ABCD中，E是BC的中点，易得△ABE≌△DCE，又由∠AED=90°，可证得△ADE，△ABE是等腰直角三角形，即可得AB=BE=AD．此题考查了矩形的性质以及等腰直角三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．9.【答案】-3【解析】解：原式=1+4×-2-4=1+2-2-4=-3．故答案为：-3．直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和二次根式的性质、负指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．10.【答案】17【解析】解：由题意得×100%=15%，解得a=17个．故答案为：17．根据利用频率估计概率得到摸到红球的概率为20%，再根据概率公式得到×100%=15%，然后解方程即可．考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是得到红球的频率的等量关系．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．11.【答案】x2-x-78=0【解析】解：设这个小组的同学共有x人，则每人送（x-1）张贺卡，根据题意得：x（x-1）=78，整理得：x2-x-78=0．故答案为：x2-x-78=0．设这个小组的同学共有x人，则每人送（x-1）张贺卡，根据送出贺卡的总数=小组人数×每人送出贺卡数，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．12.【答案】3【解析】解：连接OB．∵四边形OABC是菱形，∴OC=BC．又OC=OB，∴△OBC是等边三角形．∴∠COB=60°．∴∠AOC=2∠COB=120°．设扇形的半径是R．∴=3π，R=3．故答案为：3连接OB．根据菱形的各边相等和同圆的半径相等发现等边三角形OBC，再根据菱形的性质得到∠AOC=2∠BOC=120°，从而根据扇形的面积公式求得扇形所在圆的半径，即为菱形的边长．此题综合考查了菱形的性质和扇形的面积公式，关键是根据菱形的各边相等和同圆的半径相等发现等边三角形OBC．13.【答案】64【解析】解：∵，（已知）∴∠AOE=∠COA（等弧所对的圆心角相等）；又∠AOE=32°，∴∠COA=32°，∴∠COE=∠AOE+∠COA=64°．故答案是：64°．根据等弧所对的圆心角相等求得∠AOE=∠COA=32°，所以∠COE=∠AOE+∠COA=64°．本题考查了圆心角、弧、弦的关系．在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间，如果有一组量相等，那么，它们所对应的其它量也相等．14.【答案】解：2x≤6+3（x-1），2x≤6+3x-3，2x-3x≤6-3，-x≤3，x≥-3，∴不等式的负整数解为-3、-2、-1．【解析】此题考查了一元一次不等式的整数解，求出不等式的解集是解本题的关键．等式两边乘以6去分母后，移项合并，将x系数化为1求出解集，找出解集中的非负整数解即可．15.【答案】解：作BH⊥AC于H，由题意得，∠CBH=45°，∠BAH=60°，在Rt△BAH中，BH=AB×sin∠BAH=6，在Rt△BCH中，∠CBH=45°，∴BC==6（千米），答：B，C两地的距离为6千米．【解析】作BH⊥AC于H，根据正弦的定义求出BH，根据余弦的定义计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握锐角三角函数的定义、正确标出方向角是解题的关键．16.【答案】解：（1）∵t=0时，h=0，∴设h与t之间的函数关系式为h=at2+bt（a≠0），∵t=1时，h=15；t=2时，h=20，∴，解得，∴h与t之间的函数关系式为h=-5t2+20t；（2）小球飞行3秒时，t=3（s），此时h=-5×32+20×3=15（m）．答：小球飞行3s时的高度为15米；（3）∵h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20，∴小球飞行的最大高度为20m，∵22＞20，∴小球的飞行高度不能达到22m．【解析】（1）设h与t之间的函数关系式为h=at2+bt（a≠0），然后再根据表格代入t=1时，h=15；t=2时，h=20可得关于a、b的方程组，再解即可得到a、b的值，进而可得函数解析式；（2）根据函数解析式，代入t=3可得h的值；（3）把函数解析式写成顶点式的形式可得小球飞行的最大高度，进而可得答案．此题主要考查了二次函数的应用，关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法化顶点解析式．17.【答案】解：（1）画线段AB，画射线AC，画直线BC；（2）在线段AB上任取一点D，过点D画直线DE∥BC，交AC于E．【解析】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．（1）根据线段，射线、直线的定义画出图形即可；（2）根据平行线的定义画出直线DE即可；18.【答案】解：（1）不公平．理由如下：画树状图为：，所以甲胜的概率==，乙胜的概率==，所以这样的规则不公平．（2）公平的规则可为：转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针停留在某一数字为止），用所指的两个数字求和，如果得到的和是偶数，那么甲胜；如果得到的和是奇数，那么乙胜，理由是：甲胜的概率==，乙胜的概率==，所以这样的规则公平．【解析】（1）见答案；（2）见答案.【分析】先利用树状图展示所有24种等可能的结果数，再根据概率公式分别计算出甲胜的概率和乙胜的概率，然后比较概率大小判断游戏的公平性；把积换乘成和后游戏规则是公平的．本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．19.【答案】（1）72°（2）C组人数有：10÷5%×65%=130，补充完整的频数分布直方图如右图所示；（3）1200×（1-5%-10%）=1020（人），答：该校七年级学生中约有1020人早锻炼时间不少于20分钟．【解析】解：（1）360°×（1-5%-10%-65%）=72°，故答案为：72°；（2）见答案；（3）见答案.（1）根据统计图中的数据可以求得扇形统计图中D所在扇形的圆心角度数；（2）根据统计图中的数据可以求得C组的人数，从而可以将直方图补充完整；（3）根据统计图中的数据可以计算出这个年级学生中有多少人一天早锻炼的时间不少于20分钟．本题考查频数分布表、频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20.【答案】解：（1）设购买A型玩具的单价是x元，则购买B型玩具的单价是（x+9）元，，解得，x=26，经检验，x=26是原分式方程的解，∴x+9=35，答：该幼儿园购买的A，B型玩具的单价分别是26元，35元；（2）设购买A型玩具a件，则购买B型玩具（200-a）件，所需费用为w元，w=26a+35（200-a）=-9a+7000，∵a≤3（200-a），∴a≤150，∴当a=150时，w取得最小值，此时w=-9×150+7000=5650，答：购买这些玩具的总费用最少需要5650元．【解析】（1）根据题意可以得到相应的分式方程，从而可以求得该幼儿园购买的A，B 型玩具的单价各是多少元；（2）根据题意可以得到费用与购买A型和B型玩具之间的关系，从而可以解答本题．本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分式方程的知识解答．21.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴AE∥BC，∵DA=AE，∴AE=BC，∴四边形ACBE是平行四边形，∵CE⊥AB，∴四边形ACBE是菱形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴S△ACD=S△ABC=S△DOC，∵四边形ACBE是菱形，∴S△ABE=S△ACB，∵OE=OC，∴S△DOE=S△DOC，∴图2中所有面积等于△DOC的面积的钝角三角形是△AEB，△ACB，△DAC，△DEO．【解析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，求得AE∥BC，证得AE=BC ，根据平行四边形的判定定理得到四边形ACBE是平行四边形，由于CE⊥AB，根据菱形的判定定理即可得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，得到S△ACD=S△ABC=S△DOC，由于四边形ACBE 是菱形，求得S△ABE=S△ACB，根据OE=OC，求得S△DOE=S△DOC，于是得到结论．此题主要考查了菱形的判定与性质；平行四边形的性质，三角形的面积，熟练掌握菱形的判定方法是解决问题的关键．22.【答案】（1）①2；②BCDE（2）连接BD交AQ于点O，由折叠有∠BAQ=∠DAQ，AB=AD，∴AQ⊥BD，BO=DO，∵BQ∥AD，∴∠DAQ=∠AQB，∴∠BAQ=∠BQA，∵AQ⊥BD，∴OA=OQ，∴四边形ADQB是平行四边形，∵AB=AD，∴四边形ADBQ是菱形，∴AB=BQ=a，根据勾股定理得，AB2=BF2+AF2，∴a2=BF2+（2BF）2，∴BF=a，∴FQ=BF+BQ=a+a=（1+）a，AF=2BF=a，根据勾股定理得，AQ2=FQ2+AF2=[（1+）a]2+（a）2=2（）a2，∵AQ×BD=c，∴BD=，∵AQ+BD=b，∴AQ+=b，∴AQ2+=b，∴（AQ2）2+c2=bAQ2，∴[2（）a2]2+c2=b×2（）a2∴[2（）a2-]2=-c2．【解析】解：（1）①由折叠有BF=BM=MN=2，在Rt△ABF中，AF=MN=4，∴AB==2，故答案为2；②设正方形BCNM的边长为2a，∵正方形BCNM沿AF对折，∴AC=NC=a，∴AB==a，∵AD=AB=a，∴CD=AD-AC=（-1）a，∴==，∴矩形BCDE就是黄金矩形，故答案为BCDE．（2）见答案（1）①由折叠有BF=BM=MN=2，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算即可；②设正方形BCNM的边长为2a，利用对折的性质得AC=a，再在△ABC中根据勾股定理计算出AB=a，然后根据黄金矩形的定义进行判断．接着利用对折得AD=AB，所以CD=AD-AC即可；（2）先判定四边形ADBQ是菱形，再用勾股定理计算即可．此题几何变换综合题，主要考查了黄金分割，折叠的性质，勾股定理，解本题的关键是判定四边形ADBQ是菱形，找a，b，c的关系是本题的难点．23.【答案】解：（1）当a=2时，如图1中，作DM⊥AO于M，DN⊥OC于N，连接OD 、AC、BD，AC与BD交于点G，①在Rt△AOC中，∵∠AOC=90°，OC=4，OA=2，∴AC===2，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CDA=90°，CD=AD=AB=BC，∴2CD2=20，∴CD=，∴正方形边长为．②∵∠DMO=∠MON=∠DNO=90°，∴四边形DMON是矩形，∴∠MDN=∠CDA=90°，∴∠CDN=∠ADM，在△CDN和△ADM中，，∴△CDN≌△ADM，∴DN=DM，CN=AM，∴四边形DMON是正方形，设边长为a，B（m，n）则2+a=4-a，∴a=1，∴点D坐标（-1，1），∵DG=GB，G（1，2），∴=1，=2，∴m=n=3，∴点B坐标为（3，3）．（2）结论：△BOD是直角三角形．理由：如图2中，作DM⊥AO于M，DN⊥OC于N，BH⊥OC于H，BG⊥OA于G．由（1）可知△CDN≌△ADM，同理可证△CBH≌△ABG，∴DN=DM，BH=BG，∴OD平分∠COM，OB平分∠COA，∴∠DOC=∠BOC=45°，∴∠DOB=90°，∴△DOB是直角三角形．（3）①如图2中，当OA=OD时，△AOC≌△ODB，设OA=OD=a，则DM=OM=ON=DN= a，∵CN=AM，∴4-a=a+a，∴a=4-4．②如图3中，当OC=OD=4时，△AOC≌△BOD，设OA=a，∵OC=OD=4，∴ON=ND=DM=OM=2，∵CN=AM，∴4+2=a-2，∴a=4+4．综上所述当a=4-4或4+4时，△AOC与△BOD全等．【解析】（1）①在Rt△AOC中，利用勾股定理求出AC，即可解决问题．②如图1中，作DM⊥AO于M，DN⊥OC于N，连接OD、AC、BD，AC与BD交于点G ，首先证明四边形DMON是正方形，设边长为a，根据CN=AM列出方程即可解决问题．（2）结论：△BOD是直角三角形．如图2中，作DM⊥AO于M，DN⊥OC于N，BH⊥OC 于H，BG⊥OA于G．只要证明DM=DN，BH=BG即可解决问题．（3）分两种情形①如图2中，当OA=OD时，△AOC≌△ODB，设OA=OD=a，则DM=OM=ON=DN=a，列出方程即可解决问题．②如图3中，当OC=OD=4时，△AOC≌△BOD，设OA=a，根据CN=AM列出方程即可解决问题．本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．。