根轨迹法习题及答案
自动控制原理简明教程 第四章 根轨迹法 习题答案
(S S3 )(S 1)2 S (S 3)2 4
则解得：
(S S3 )(S 1)2 S (S 1)2 4(S 1)2 (S 4)(S 1)2
则 (S S3) S 4 S3 4 （另外一个闭环极点） 临界阻尼时的闭环传递函数为
(S)
(S
4(S 1) 4)(S 1)2
d d 2 d 1 j d 1 j
n
(
1
m
1 ) 求分离点的坐标公式
i1 d Pi i1 d Zi
解得：d 1
分离角： l
180 l
180 2
900
此时对应为T值：
（应使用模值方程求得）
T S S2 1T 1
S 1 j S 1 j
P1(-1,j)
T=0
Z2
Z1
-2
-1
0
T=∞
传递函数（写成零极点乘积形式） 解：系统结构图如下：
R(S) -
G(S)
C(S)
如果没有特别强调是正反馈，则单位反馈系统都 是单位负反馈系统。该题为参量根轨迹。 根轨迹方程：1 G(S) 1 4(S k) 0
S(S 1)(S 5)
特征方程：
D(S) S 3 6S 2 9S 4k 0
等效开环传递函数为：
G开 (S)
4k S(S
3)2
1
4k S (S 3)2
0
开环零点： m 0
开环极点： n 3, P1 0, P2 3, P3 3 则根轨迹有3条分支，有3条渐近线。
根轨迹与实轴的交点：
n
m
a
Pi Zi
i 1
i 1
nm
3 3 2 3
渐近线与实轴正方向夹角
根轨迹例题——精选推荐
根轨迹例题题4-1 求下列各环传递函数所对应的负反馈系统根轨迹。
（1）2(2)()23g K K s W s s s +=++解1）起点：两个开环极点1211p p -=-+-=--。
终点：系统有一个 2 z -=-开环零点。
2）实轴上根轨迹区间为 (2]-∞-，。
3）渐近线计算由公式()()1118012 0,1,2,n mj i j i k n m p z n m μϕμσ==⎧+==⎪-⎪⎪⎨-⎪⎪-=-⎪-⎩∑∑ 求得根轨迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为180(12)18021μϕ+==-22021k σ--=-=- 4）求分离点，会合点 由'()()'()()0D s N s N s D s -=得223(2)(22)0s s s s ++-++=整理得2410s s ++=解得12s =--22s =-+。
由于实轴上的根轨迹在()2-∞，区间内，所以分离点应为12 3.7s =-≈-。
5）出射角计算由111180n m sc j i j i ββα-==⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑得()11809054.7144.7sc β=--=同理，2144.7sc β=- 。
根轨迹如图4-1所示。
图4-1 题4-1(1) 根轨迹图（2）)22)(2()(2+++=s s s s K s W gK解1） 起点：系统四个开环极点为12340,2,1,1p p p j p j -=-=--=---=-+；终点：四个无限零点。
2） 渐近线计算由公式()()1118012 0,1,2,n mj i j i k n m p z n m μϕμσ==⎧+==⎪-⎪⎪⎨-⎪⎪-=-⎪-⎩∑∑求得根轨迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为180(12)451354o μϕ+==±± 、21114k σ+-=-=-＋ 3） 分离点，会合点计算'()()'()()0D s N s N s D s -=整理得 3 (1)0s += 解得1,2,3 1s =- 4） 出射角计算由111180n m sc j i j i ββα-==⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑得()1180901354590sc β=-++=-同理，290sc β=+ 。
根轨迹绘制习题及答案
根轨迹绘制习题及答案根轨迹绘制习题及答案根轨迹是控制系统理论中的重要概念，它可以帮助我们分析和评估系统的稳定性和动态响应。
在学习根轨迹绘制的过程中，练习习题是必不可少的。
本文将为大家提供一些根轨迹绘制的习题及答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 习题一：考虑一个开环传递函数为G(s) = K/(s^2 + 2s + 1)的系统，请绘制其根轨迹，并分析系统的稳定性。
解答一：首先，我们需要确定系统的极点和零点。
对于给定的传递函数G(s)，我们可以将其分解为G(s) = K/(s+1)^2的形式，其中极点为-1，零点为无穷远处。
接下来，我们可以根据根轨迹的特性来绘制图形。
根轨迹是极点随着增加K的值而移动的轨迹。
当K趋近于无穷大时，根轨迹会趋近于极点的位置。
根据根轨迹的性质，我们可以得出以下结论：- 当K为正实数时，根轨迹从零点开始，逐渐向极点移动。
- 当K为负实数时，根轨迹从极点开始，逐渐向零点移动。
- 当K为纯虚数时，根轨迹会绕过零点和极点，形成一个闭合的曲线。
因此，在本例中，当K为正实数时，根轨迹从零点开始，逐渐向极点-1移动。
系统的稳定性取决于根轨迹是否穿过虚轴。
根据根轨迹的绘制，我们可以发现根轨迹没有穿过虚轴，因此系统是稳定的。
2. 习题二：考虑一个开环传递函数为G(s) = K/(s^2 + 3s + 2)的系统，请绘制其根轨迹，并分析系统的稳定性。
解答二：首先，我们需要确定系统的极点和零点。
对于给定的传递函数G(s)，我们可以将其分解为G(s) = K/(s+1)(s+2)的形式，其中极点为-1和-2，零点为无穷远处。
接下来，我们可以根据根轨迹的特性来绘制图形。
根轨迹是极点随着增加K的值而移动的轨迹。
当K趋近于无穷大时，根轨迹会趋近于极点的位置。
根据根轨迹的性质，我们可以得出以下结论：- 当K为正实数时，根轨迹从零点开始，逐渐向极点移动。
- 当K为负实数时，根轨迹从极点开始，逐渐向零点移动。
第四章 根轨迹法 习题
第四章 根轨迹法4-1试粗略画出对应反馈控制系统具有以下前向和反馈传递函数的根轨迹图： ()()()()s s H s s s K s G 6.01,01.01.02+=++=4-2 试粗略地画出反馈系统函数 ()()()()2411+-+=s s s Ks G 的根轨迹。
4-3 对应负反馈控制系统，其前向和反馈传递函数为 ()()()()1,42)1(2=+++=s H s s s s K s G 试粗略地画出系统的根轨迹。
4-4 对应正反馈重做习题4-3，试问从你的结果中得出什么结论？4-5 试画出具有以下前向和反馈传递函数的，正反馈系统根轨迹的粗略图。
()()()()1,4122=++=s H s s Ks G4-6 试确定反馈系统开环传递函数为 ()()()()()5284)2(2+++++=s s s s s s K s H s G 对应-∞<K<∞的根轨迹。
指明所有根轨迹上的相应特征。
4-7 设一负反馈系统，其开环传递函数 ()()()()()90020040)4(2++++=s s s s s K s H s G a) 画出根轨迹并表明根轨迹上全部特征值。
b) 增益值在一个什么样的范围内，系统才是稳定的？ c) 画出系统的伯德图，并使其稳定性和不稳定性区域，与根轨迹图连系起来说明。
4-8 对应负反馈情况，重做习题4-7.4-9 对应如下的负反馈控制系统，粗略地作出根轨迹，并确定系统稳定下K 的范围。
()()()()1,41)6(=+++=s H s s s s K s G4-10 对应习题4-10图所示系统，根据以下条件，试确定导致系统稳定的正实数增益K 的范围：a) 具有负反馈的系统。
b) 具有正反馈的系统。
习题4-10图4-11 已知反馈系统的开环传递函数*()()(1)(2)K G s H s s s s =++ 试绘制系统的根轨迹图，详细列写根轨迹的计算过程，其中包括零点、极点、渐近线及与实轴交点，根轨迹分离点及与虚轴的交点、渐近线与实轴夹角。
根轨迹法习题答案
根轨迹法习题答案根轨迹法习题答案根轨迹法是控制工程中常用的一种分析和设计控制系统的方法。
通过绘制系统的根轨迹图，可以直观地了解系统的稳定性和动态响应特性。
在学习根轨迹法的过程中，习题是非常重要的一部分。
下面将给出一些常见的根轨迹法习题及其详细解答。
1. 问题描述：考虑一个开环传递函数为G(s) = K(s+1)/(s^2+2s+2)的控制系统，求解当K取何值时，系统的闭环极点位于左半平面。
解答：根据根轨迹法的基本原理，当系统的闭环极点位于左半平面时，根轨迹必须通过左半平面的点。
因此，我们只需要找到根轨迹与虚轴交点的位置即可。
首先，我们可以计算系统的开环零点和极点。
系统的零点为s+1=0，即s=-1；系统的极点为s^2+2s+2=0，解得s=-1±j。
接下来，我们绘制根轨迹图。
首先，我们将系统的零点和极点标记在复平面上。
由于根轨迹是一条连续的曲线，我们可以通过绘制一系列的点来近似表示根轨迹的形状。
根据根轨迹法的规则，根轨迹从极点出发，向零点靠近。
我们可以选择一些特定的点来绘制根轨迹。
例如，我们可以选择s=-1-2j，s=-1-4j，s=-1-6j等点。
通过计算这些点对应的传递函数的幅角和幅值，我们可以得到根轨迹的大致形状。
根据计算，当K取较小的正值时，根轨迹将通过左半平面的点，而当K取较大的正值时，根轨迹将通过右半平面的点。
因此，当K为正值且介于两者之间时，系统的闭环极点将位于左半平面。
2. 问题描述：考虑一个开环传递函数为G(s) = K(s+2)/(s^2+3s+2)的控制系统，求解当K取何值时，系统的闭环极点位于虚轴上。
解答：根据根轨迹法的原理，当系统的闭环极点位于虚轴上时，根轨迹必须通过虚轴上的点。
因此，我们需要找到根轨迹与虚轴交点的位置。
首先，计算系统的开环零点和极点。
系统的零点为s+2=0，即s=-2；系统的极点为s^2+3s+2=0，解得s=-1，s=-2。
接下来，我们绘制根轨迹图。
自控-第四章根轨迹法习题课
1 已知系统的开环传递函数为()()()()21++=s s s ks H s G ，（1）试绘制该系统的概略根轨迹图；（2）利用根轨迹图分析系统稳定时K 的取值范围。
解：（1）根据绘制根轨迹的基本法则，可知： ① 实轴上的根轨迹区域为：（－∞，－2]和[0.－1]。
② 根轨迹总共有三条，其中二条将趋向无穷远处，其渐近线为： a 与实轴的交点坐标（a δ，0j ）()()1321011-=-+-+=--=∑∑==mn zp n i mj ji a δb 与实轴的夹角：()⎪⎩⎪⎨⎧-=-===+=-+=1601180060318012180)12(0000k k k k m n k o a ϕ③ 根轨迹的分离点()()()()()(){}()423.0,578.121210211)(121-=-=⇒++-=⇒++-=⇒=+++=+s s dss s s d ds dk s s s k s s s k s G g g g舍去④ 根轨迹与虚轴的交点()()()()0,6,0,20210211)(1=±=⇒=+++⇒=⇒=+++=+g g gk k j j j j s s s k s G 对应的代入上式：令s ωωωωω系统稳定的充要条件为所有的闭环极点都要复平面的左半平面，根据以上绘制根轨迹的第4点，系统稳定时K 的取值范围为60<<K 。
2 已知系统的开环传递函数为)3)(2()5()(*+++=s s s s K s G ，（1）试绘制该系统的概略根轨迹图；（2）利用根轨迹图分析系统稳定时K*的取值范围。
（1）根据根轨迹的绘制法则，可知：① 实轴上的根轨迹：[]3,5--, []0,2--1-2j② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+==----=22)12(02)5(320ππϕσk a a③ 分离点： 5131211+=++++d d d d 用试探法可得886.0-=d 。
根轨迹选择题练习
1. 设系统开环传递函数为：12*()()H(s)=
(22)
K s z G S s s s -++当附加的开环实数零点1z 趋近无穷时，对应的根轨迹图为
2. 选出下例中正确的根轨迹图是
3. 下面关于稳定性的叙述不正确的有
A. 如果闭环极点全部位于S 左半平面，则系统一定是稳定的。
B. 系统稳定只与闭环极点位置有关，而与闭环零点位置无关。
C. 附加位置适当的开环零点，可以改善系统的稳定性能。
D. 线性系统的稳定性与输入信号的类型有关。
4. 系统的瞬态响应的基本特征取决于系统（）在S 复平面上的位置。
A. 开环零点
B.开环极点
C. 闭环零点
D.闭环极点
5．选出下例中正确的根轨迹图是
6．选出下例中正确的根轨迹图是
7．选出下例中正确的根轨迹图是
8．选出下例中正确的根轨迹图是
9．选出下例中正确的根轨迹图是。
根轨迹法习题及答案
第四章 根轨迹法习题及答案4-1 系统的开环传递函数为)4)(2)(1()()(*+++=s s s K s H s G 试证明点311j s +−=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。
解 若点在根轨迹上，则点应满足相角条件1s 1s π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图解4-1所示。
对于31j s +−=，由相角条件=∠)()(11s H s G=++−∠−++−∠−++−∠−)431()231()131(0j j jππππ−=−−−632满足相角条件，因此311j s +−=在根轨迹上。
将代入幅值条件：1s 1431231131)(*11=++−⋅++−⋅++−=j j j K s H s G ）（解出 ： 12*=K ， 238*==K K4-2 已知开环零、极点如图4-22所示，试绘制相应的根轨迹。
1（ｅ） （ｆ） （ｇ） （ｈ） 题4-22图 开环零、极点分布图解 根轨如图解4-2所示：4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。
⑴ )15.0)(12.0()(++=s s s Ks G⑵ )3)(2()5()(*+++=s s s s K s G⑶ )12()1()(++=s s s K s G2解 ⑴ )2)(5(10)15.0)(12.0()(++=++=s s s Ks s s K s G系统有三个开环极点：,01=p 22−=p ,53−=p① 实轴上的根轨迹：,(]5,−∞−[0,2−]② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+=−=−−=πππϕσ,33)12(373520k a a③ 分离点：021511=++++d d d 解之得：，(舍去)。
88.01−=d 7863.32−d ④ 与虚轴的交点：特征方程为010107)(23=+++=k s s s s D 令 ⎩⎨⎧=+−==+−=010)](Im[0107)](Re[32ωωωωωj D k j D 解得⎩⎨⎧==710k ω 与虚轴的交点（0，j 10±）。
根轨迹典型习题知识讲解
根轨迹典型习题1、已知单位反馈系统的开环传递函数)1s 5.0)(1s 2.0(s k)s (G ++=，试概略绘出系统根轨迹。
解： )2s )(5s (s K10)1s 5.0)(1s 2.0(s K )s (G ++=++=三个开环极点：0p 1=,2p 2-=,5p 3-= ① 实轴上的根轨迹：(]5,-∞-, []0,2-② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ππ±=π+=ϕ-=--=σ,33)1k 2(373520a a③ 分离点：02d 15d 1d 1=++++ 解之得：88.0d 1-=，7863.3d 2-(舍去)。
④ 与虚轴的交点： 特征方程为0k 10s 10s 7s )s (D 23=+++=令 ⎩⎨⎧=ω+ω-=ω=+ω-=ω010)]j (D Im[0k 107)]j (D Re[32 解得⎩⎨⎧==ω7k 10与虚轴的交点（0，j 10±）。
根轨迹如图所示。
2、已知单位反馈系统的开环传递函数)1s 2(s )1s (k )s (G ++=，试概略绘出系统根轨迹。
解： )21s (s 2)1s (K )1s 2(s )1s (K )s (G ++=++=根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹：(]1,-∞-, []0,5.0-② 分离点： 1d 15.0d 1d 1+=++ 解之得：707.1d ,293.0d -=-=。
根轨迹如图所示。
3、已知单位反馈系统的开环传递函数)3s )(2s (s )5s (k )s (G *+++=，试概略绘出系统根轨迹。
解：① 实轴上的根轨迹：[]3,5--, []0,2-② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+==----=22)12(02)5(320ππϕσk a a③ 分离点：5131211+=++++d d d d 用试探法可得 886.0-=d 。
根轨迹如图所示。
4、已知单位反馈系统的开环传递函数)1s (s )2s )(1s (*k )s (G -++=，试概略绘出系统根轨迹。
自动控制原理-题库-第四章-线性系统根轨迹-习题
4-1将下述特征方程化为适合于用根轨迹法进行分析的形式，写出等价的系统开环传递函数。
（1）210s cs c +++=，以c 为可变参数。
（2）3(1)(1)0s A Ts +++=，分别以A 和T 为可变参数。
（3）1()01I D P k k s k G s ss τ⎡⎤+++=⎢⎥+⎣⎦，分别以P k 、I K 、T 和τ为可变参数。
4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数为(31)()(21)K s G s s s +=+试用解析法绘出开环增益K 从0→+∞变化时的闭环根轨迹图。
4-2已知开环零极点分布如下图所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。
4-3设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求确定分离点坐标）。
（1）()(0.21)(0.51)KG s s s s =++（2）(1)()(21)K s G s s s +=+（3）(5)()(2)(3)K s G s s s s +=++4-4已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求算出起始角）。
（1）(2)()(12)(12)K s G s s s j s j +=+++-（2）(20)()(1010)(1010)K s G s s s j s j +=+++-4-5设单位反馈控制系统开环传递函数如为*2()()(10)(20)K s z G s s s s +=++试确定闭环产生纯虚根1j ±的z 值和*K 值。
4-6已知系统的开环传递函数为*22(2)()()(49)K s G s H s s s +=++试概略绘出闭环根轨迹图。
4-7设反馈控制系统中*2()(2)(5)KG s s s s =++（1）设()1H s =，概略绘出系统根轨迹图，判断闭环系统的稳定性（2）设()12H s s =+，试判断()H s 改变后的系统稳定性，研究由于()H s 改变所产生的影响。
自控 根轨迹法习题及答案
1第四章 根轨迹法习题及答案1系统的开环传递函数为)4)(2)(1()()(*+++=s s s K s H s G试证明点311j s +-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。
解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图解4-1所示。
对于31j s +-=，由相角条件=∠)()(11s H s G=++-∠-++-∠-++-∠-)431()231()131(0j j jππππ-=---6320满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。
将1s 代入幅值条件：1431231131)(*11=++-⋅++-⋅++-=j j j K s H s G ）（解出 ： 12*=K ， 238*==K K 2 已知开环零、极点如图4-22所示，试绘制相应的根轨迹。
2解根轨如图解4-2所示：3已知单位反馈系统的开环传递函数，要求：（1）确定)20)(10()()(2+++=*ssszsKsG产生纯虚根为1j±的z值和*K值；（2）概略绘出)23)(23)(5.3)(1()(jsjssssKsG-+++++=*的闭环根轨迹图（要求3确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角）。
解（1）闭环特征方程020030)()20)(10()(2342=++++=++++=***z K s K s s s z s K s s s s D有 0)30()200()(324=-++-=**ωωωωωK j z K j D令实虚部分别等于零即： ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-**0300200324ωωωωK z K 把1=ω代入得： 30=*K ， 30199=z 。
（2）系统有五个开环极点：23,23,5.3,1,054321j p j p p p p --=+-=-=-==① 实轴上的根轨迹：[],5.3,-∞- []0,1-② 渐近线： 1 3.5(32)(32) 2.15(21)3,,555a a j j k σπππϕπ--+-++--⎧==-⎪⎪⎨+⎪==±±⎪⎩③ 分离点：02312315.31111=+++-++++++j d j d d d d 解得： 45.01-=d , 4.22-d (舍去) , 90.125.343j d ±-=、 (舍去)④ 与虚轴交点：闭环特征方程为0)23)(23)(5.3)(1()(=+-+++++=*K j s j s s s s s D把ωj s =代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：⎪⎩⎪⎨⎧=+-==-+=*05.455.43 )Im(05.795.10)Re(3524ωωωωωωωj K j解得：⎩⎨⎧==*00K ω ，⎩⎨⎧=±=*90.7102.1K ω，⎩⎨⎧-=±=*3.1554652.6K ω（舍去）⑤ 起始角：根据法则七（相角条件），根轨迹的起始角为74..923..1461359096..751804=----=p θ由对称性得，另一起始角为74.92，根轨迹如图解4-6所示。
第五章根轨迹分析方法自测题__参考答案
第五章 根轨迹分析方法 自测题__参考答案5-1 设闭环系统的开环传递函数为2(5)()0(48)K s G s K s s s +=>++，请用相位条件检验下列S 平面上的点是不是根轨迹上的点，如果是根轨迹上的点，则用幅值条件计算该点所对应的K 值。
（1）（－1，j0）；（2）（-1.5，j2）；（3）（－6，j0）；（4）（－4，j3）；（5）（－3，j2.37）解： （1）是; K ＝5/4（2）是; K ＝5/4（3）不是根轨迹上的点。
（4）不是根轨迹上的点。
（5）是; K ＝7。
5-2 单位负反馈系统的开环传递函数为：()0(1)KG s K s Ts =>+，，若希望闭环系统所有特征根实部均小于-2，请绘制根轨迹草图确定T 的取值范围。
若再要求系统阻尼比ζ不小于0.5，请画出期望的特征根在S 平面上的分布范围。
解：分离点的位置是： 0<T<1/45-3 控制系统结构如图5-3所示，试由根轨迹的方法确定使闭环系统稳定的KK t 的取值范围。
解：系统开环传递函数为：()(0.251)t KG s s s KK =-+有2个开环极点：120, 4(1)t s s KK ==-由于K>0，故欲保证闭环系统稳定，只需要2个开环极点均位于S 左半平面即可 故101t t KK KK -<⇒>R (s )s )图5-3 控制系统示意图即只要满足条件 1t KK >。
5-4 单位负反馈系统的开环传递函数为：123()()()()()K s z G s s p s p s p +=+++其零、极点分布如图5-4所示，试采用根轨迹方法确定使系统稳定的K 的范围。
解：可以绘制根轨迹的概略图。
从+1、－1出发的2条根轨迹相向而行，在分离点离开实轴进入复域。
由已知的零极点分布容易判断，分离点一定是在左半平面。
渐近线与实轴的交点：－0.5，为平行于虚轴的垂直线容易看出，当一个极点从s=1出发，往S 左半平面移动，过原点为系统稳定与否的分界点。
[整理]MATLAB的根轨迹分析法及重点习题.
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4.1某系统的结构如题4-1图所示，试求单位阶跃响应的调节时间t s ，若要求t s =0.1秒，系统的反馈系数应调整为多少？解:(1)由系统结构图可知系统闭环传递函数为:100()100()1001()()1001*G s s s G s H s s aa sΦ===+++ 在单位阶跃函数作用下系统输出为：12100()()()(100)100k k C s R s s s s a s s a=Φ==+++为求系统单位阶跃响应，对C(s)进行拉斯反变换：1021001001001001lim ()lim1001001lim (100)()lim 11()(100)1()(1)s s s as a at k sC s s a ak s a C s s aC s as a s a c t e a→→→-→--===+=+==-=-+=-根据定义调节时间等于响应曲线进入5%误差带，并保持在此误差带内所需要的最短时间，且根据响应系统单位阶跃响应的函数表达式可以看出系统单位阶跃响应的稳态值为1a,因此: 10010011()(1)0.950.051ln 201001=0.1ln 20=0.3s 10s s at s at s s c t e a a e t a a t --=-=⇒=⇒==因为题中，所以(2)若要求t s =0.1秒,则有:1ln 20=0.1100=0.3s t aa =⇒ 即:若要求调节时间缩小为0.1秒,则需将反馈环节的反馈系数调整为0.3。
4.2已知二阶系统的阶跃响应曲线如题4.2图所示，该系统为单位负反馈系统，试确定其开环传递函数。
解：根据系统阶跃响应曲线可以看出： 峰值时间=0.1s p t ，超调量 1.3-1%=100%30%1σ⨯=； 根据课本中对典型二阶系统222()2nn ns s s ωζωωΦ=++暂态性能指标的推导计算可知：%p t e σ-==结合本题已知阶跃响应曲线可知：0.1(1)%30%(2)p t e σ-====由式(2)可知：0.3ln 0.30.3832cot =0.3832=arccot 0.3832=69.0332=cos =0.3578eζϕζϕζϕ-=⇒-=⇒==即：将ζ带入式(1)中可得：0.1p n t ω==回顾题意对于典型二阶系统其闭环传递函数为222()2nn ns s s ωζωωΦ=++，且系统为单位负反馈系统，所以系统开环传递函数和闭环传递函数之间满足如下关系：222222222211()()121211211131.8851===224.0753n n n nn n n n n G s s s s G s s G s s G G s s s sωζωζωωωζωωωζωΦ==Φ==+++++++++，因为：所以：，4.3单位反馈控制系统开环传递函数为()(1)KG s s Ts =+,若116s =0.25s K T -=、,试求(1)动态性能指标%(0.05)s t σ∆=、.(2)欲使%=16%σ,当T 不变时，K 应取何值。
王建辉《自动控制原理》(课后习题 根轨迹法)【圣才出品】
第4章 根轨迹法4-1 根轨迹法适用于哪类系统的分析？答：根轨迹法适用于分析高阶系统。
4-2 为什么可以利用系统开环零点和开环极点绘制闭环系统的根轨迹？答：绘制根轨迹的依据是幅角条件，而系统的幅角关系为式中：；为开环有限零点－z i 到s 的矢量幅角；为开环极点－p j 到s 的矢量幅角。
由此可知，可以利用系统开环零点和开环极点来绘制闭环系统的根轨迹。
4-3 绘制根轨迹的依据是什么？答：绘制根轨迹的依据是幅角条件，即幅角的和总等于。
4-4 为什么说幅角条件是绘制根轨迹的充分必要条件？答：由根轨迹的定义可知，根轨迹由特征方程式的幅值条件和幅角条件决定，但因为K g 在0→∞范围内连续变化，总有一个K g 能满足幅值条件，所以，绘制根轨迹的依据是幅角条件。
4-5 系统开环零、极点对根轨迹形状有什么影响？答：（1）增加开环零点将使系统的根轨迹向左弯曲，并在趋向于附加零点的方向发生变形。
（2）增加开环极点将使系统的根轨迹向右弯曲，使对应同一个K g值的复数极点的实数部分和虚数部分数值减小，从而系统的调节时间加长，振荡频率减小。
4-6 求下列各开环传递函数所对应的负反馈系统的根轨迹。
解：（1）①起点：两个开环极点为－p1＝－1，－p2＝－2；终点：系统有一个开环有限零点为－z＝－3。
②实轴上的根轨迹区间为（－∞，－3]，[－2，－1]。
③根轨迹的分离点、会合点计算。
即因为根轨迹在（－∞，－3]和[－2，－1]上，所以，分离点为－1.58，会合点为－4.42。
根轨迹如图4-1所示。
图4-1 题4-6（1）根轨迹图（2）①起点：三个开环极点－p1＝0，－p2＝－3，－p3＝－2；终点：系统有一个开环有限零点－z＝－5。
②实轴上根轨迹区间为[－5，－3]，[－2，0]。
③渐近线倾角及交点计算。
由公式求得根轨迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为④求分离点N'（s）D（s）－D'（s）N（s）＝0。
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化到无穷大时的根轨迹，并写出 s=-2 这一点对应的闭环传递函数。
解 G(s) b(s 4) s(s 6)
根轨迹如图。
s 2 时 b 4 ，
(s)
2s
s2 10s 16 (s 2)(s 8)
4-4 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。
⑴ G(s)
k
s(0.2s 1)(0.5s 1)
s2 4s 20 (s 2 j4)(s 2 j4)
(s) G(s) 20 1 G(s) s2 6s 28
2006年经省农业厅，南平市政1府9批41准年，毛南泽平东农在校《与改建造阳我农们业的工学程习学》校一合文署中办，学把，这强句强原联指合治，学实态行度一的套话班古子为，今两用个，校从区哲的学管的理高体度制做，了从新而的使分学析校，的深办化学了规对模实，事办求学是实的力理都解有，长并足为的其发提历展出史，了的逐一经步个验发经教展典训成的告为注诉有释我着，们广指：泛出什发：么展“时空‘候间实坚和事持良’实好就事发是求展客是前观，景存党的在和闽着国北的家唯一的一切事一事业所物就集，会文第‘顺理一是利、个’发农问就展工题是；商，客什实贸实观么事为事时求一求物候是体是的背是，地内离一面看部实个向待联事老全我系求话国们，是题招的即，，生学规党实和校律和事就。性国求业职，家是的业‘的一，教求事一语办育’业、，学明就就实出规显是会事自模不我遭求东最同们遇是汉大于去挫地班、高研折看固师等究。待所资教”同学著力育。时校《量和毛，、汉最中泽只学书雄学东有生河厚教对坚和间、育中持学献办，国实校王学不社事当传质同会求前》量点、是工。和就中，作书办在国党以中学于革和及称声职命人存赞誉业的民在刘高教分的的德的育析事问“综所无业题修合有不才学性工贯能好国作穿顺古家和着利，级任实前实重何事进事点事求，求中情是一是专都的旦。和必精背”省须神离其级靠。实意文自因事思明己而求是学完他是根校成才就据。。能必实而找然事这到遭求些中到索成国挫真绩革折理的命甚。取的至得规倒是律退得，。益制实于定事学出求校适是党合是政中马领国克导国思的情主坚的义强路世领线界导方观，针的得政根益策本于，要全指求体导，党中是员国马干革克部命思和走主教向义职胜的工利精的，髓辛实。勤事工求作是和是共中同国努革力命的实结践果经，验但的最高主度要总的结一和条概是括得，益中于国学革校命始和终建坚设持的实经事验求表是明的，原实则事，求可是以是说胜，利坚之持本实，事只求要是坚原持则实是事我求们是学，校我各们项党事就业会健永康远、立稳于定不和败谐之发地展。的重要保证。
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第四章 根轨迹法习题及答案4-1 系统的开环传递函数为)4)(2)(1()()(*+++=s s s K s H s G 试证明点311j s +−=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。
解 若点在根轨迹上，则点应满足相角条件1s 1s π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图解4-1所示。
对于31j s +−=，由相角条件=∠)()(11s H s G=++−∠−++−∠−++−∠−)431()231()131(0j j jππππ−=−−−632满足相角条件，因此311j s +−=在根轨迹上。
将代入幅值条件：1s 1431231131)(*11=++−⋅++−⋅++−=j j j K s H s G ）（解出 ： 12*=K ， 238*==K K4-2 已知开环零、极点如图4-22所示，试绘制相应的根轨迹。
1（ｅ） （ｆ） （ｇ） （ｈ） 题4-22图 开环零、极点分布图解 根轨如图解4-2所示：4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。
⑴ )15.0)(12.0()(++=s s s Ks G⑵ )3)(2()5()(*+++=s s s s K s G⑶ )12()1()(++=s s s K s G2解 ⑴ )2)(5(10)15.0)(12.0()(++=++=s s s Ks s s K s G系统有三个开环极点：,01=p 22−=p ,53−=p① 实轴上的根轨迹：,(]5,−∞−[0,2−]② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+=−=−−=πππϕσ,33)12(373520k a a③ 分离点：021511=++++d d d 解之得：，(舍去)。
88.01−=d 7863.32−d ④ 与虚轴的交点：特征方程为010107)(23=+++=k s s s s D 令 ⎩⎨⎧=+−==+−=010)](Im[0107)](Re[32ωωωωωj D k j D 解得⎩⎨⎧==710k ω 与虚轴的交点（0，j 10±）。
根轨迹如图解4-3(a)所示。
⑵ 根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹：[], 3,5−−[]0,2−② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+==−−−−=22)12(02)5(320ππϕσk a a ③ 分离点： 5131211+=++++d d d d 用试探法可得886.0−=d 。
根轨迹如图解4-3(b)3⑶ )21(2)1()12()1()(++=++=s s s K s s s K s G 根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹：, (]1,−∞−[]0,5.0− ② 分离点：115.011+=++d d d 解之得：。
根轨迹如图解4-3(c)所示。
707.1,293.0−=−=d d 4-4已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出相应的根轨迹。
⑴ )21)(21()2()(*j s j s s K s G −++++=⑵ )1010)(1010()20()(*j s j s s s K s G −++++=解 ⑴ )21)(21()2()(*j s j s s K s G −++++=根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹： (]2,−∞−② 分离点：21211211+=−++++d j d j d解之得：23.4−=d③ 起始角：οοοο43.15390435.631801=−+=p θ由对称性得另一起始角为 。
ο43.153−根轨迹如图解4-4(a)所示。
⑵ )1010)(1010()20()(*j s j s s s K s G −++++=系统有三个开环极点和一个开环零点。
根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹：[]0,20−4② 起始角： °=−−+=01359045180οοοοθ根轨迹如图解4-4(b)所示。
4-５ 已知系统的开环传递函数，试概略绘出相应的根轨迹。
⑴ )208()()(2++=∗s s s K s H s G⑵ )5)(2)(1()()(+++=∗s s s s K s H s G⑶ )22)(3()2()()(2++++=∗s s s s s K s H s G⑷ )164)(1()1()()(2++−+=∗s s s s s K s H s G 解 ⑴ )208()()(2++=∗s s s K s H s G ① 实轴上的根轨迹：(]0,∞−② 渐近线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+=−=−−++−+=πππϕσ,33)12(383)24()24(0k j j a a③分离点：02412411=−+++++j d j d d 解之得：33.3,2−=−=d d 。
④与虚轴交点：∗+++=Ks s s s D 208)(23把ωj s =代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得：⎩⎨⎧=−==−=∗020))(Im(08))(Re(32ωωωωωj D K j D5解得： ⎩⎨⎧==∗K ω⎪⎩⎪⎨⎧=±=∗16052K ω⑤起始角：由相角条件 ，。
ο632−=p θο633=p θ根轨迹如图解4-5(a)所示。
⑵ )5)(2)(1()()(+++=∗s s s s K s H s G① 实轴上的根轨迹： [],2,5−−[]0,1−② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+=−=−+−+−+=43,44)12(24)1()2()5(0πππϕσk a a③ 分离点：05121111=++++++d d d d解之得：54.1,399.0,06.4321−=−=−=d d d (舍去)；④ 与虚轴交点：∗++++=K s s s s s D 10178)(234令ωj s =，带入特征方程，令实部，虚部分别为零⎩⎨⎧=−+==+−=∗∗05)6())(Im(028))(Re(324ωωωωωωK j D K j D解得：⎩⎨⎧==∗0K ω⎩⎨⎧=±=∗7.1912.1K ω根轨迹如图解4-5(b)所示。
⑶ )22)(3()2()()(2++++=∗s s s s s K s H s G系统有四个开环极点、一个开环零点。
根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹： [],3,−∞− []0,2−6② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+=−=−−−−++−+−=πππϕσ,33)12(13)2()11()11(3k j j a a ③ 与虚轴交点：闭环特征方程为)2()22)(3()(2+++++=∗s K s s s s s D把ωj s =代入上方程，令⎪⎩⎪⎨⎧=−+==+−=∗∗5)6())(Im(028))(Re(324ωωωωωωK j D K j D 解得：⎩⎨⎧==∗0K ω⎩⎨⎧=±=∗03.761.1K ω④ 起始角°−=°−°−°−°+°=57.2557.2513590451803p θ根轨迹如图解4-5(c)所示。
⑷ )164)(1()1()()(2++−+=∗s s s s s K s H s G 系统根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹： [],1,−∞−[]1,0② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+=−=−−−−++−+=πππϕσ,33)12(323)1()32()32(1k j j a a ③ 分离点：1132213221111+=+++−++−+d j d j d d d 解得：16.276.0,49.0,26.24321j d d d ±−==−=、 (舍去)④ 与虚轴交点：闭环特征方程为0)1()164)(1()(2=++++−=∗s K s s s s s D 把ωj s =代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：7⎪⎩⎪⎨⎧=−−==+−=∗∗3)16())(Im(012))(Re(324ωωωωωωK j D K j D 解得：⎩⎨⎧==∗0K ω⎩⎨⎧=±=∗7.2138.1K ω⎩⎨⎧=±=∗3.3766.2K ω⑤ 起始角：οοοοοο79..5489..130120901..1061803−=−−−+=p θ由对称性得，另一起始角为 ，根轨迹如图解4-5(d)所示。
ο79.544-６ 已知单位反馈系统的开环传递函数，要求：（1）确定)20)(10()()(2+++=∗s s s z s K s G 产生纯虚根为1j ±的值和z ∗K 值；（2）概略绘出)23)(23)(5.3)(1()(j s j s s s s K s G −+++++=∗的闭环根轨迹图（要求确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角）。
解（1）闭环特征方程020030)()20)(10()(2342=++++=++++=∗∗∗z K s K s s s z s K s s s s D有0)30()200()(324=−++−=∗∗ωωωωωKj z K j D 令实虚部分别等于零即：⎪⎩⎪⎨⎧=−=+−∗∗0300200324ωωωωK z K 把1=ω代入得： ， 30=∗K 30199=z 。
（2）系统有五个开环极点：23,23,5.3,1,054321j p j p p p p −−=+−=−=−==① 实轴上的根轨迹： [],5.3,−∞−[]0,1−② 渐近线： 1 3.5(32)(32) 2.15(21)3,,555a aj j k σπππϕπ−−+−++−−⎧==⎪⎪⎨+⎪==±±⎪⎩−8③ 分离点：02312315.31111=+++−++++++j d j d d d d 解得： , (舍去) , 45.01−=d 4.22−d 90.125.343j d ±−=、 (舍去)④ 与虚轴交点：闭环特征方程为0)23)(23)(5.3)(1()(=+−+++++=∗K j s j s s s s s D把ωj s =代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：⎪⎩⎪⎨⎧=+−==−+=∗5.455.43 )Im(05.795.10)Re(3524ωωωωωωωj K j解得： ，，（舍去）⎩⎨⎧==∗K ω⎩⎨⎧=±=∗90.7102.1K ω⎩⎨⎧−=±=∗3.1554652.6K ω ⑤ 起始角：根据法则七（相角条件），根轨迹的起始角为οοοοοο74..923..1461359096..751804=−−−−=p θ由对称性得，另一起始角为，根轨迹如图解4-6所示。
ο74.924-７ 已知控制系统的开环传递函数为22)94(2)()(+++=∗s s s K s H s G ）（ 试概略绘制系统根轨迹。