空间立体几何点线面判断与证明
考点22 点线面的判断与证明(解析版)
考点22 点线面的判断与证明1. 了解空间线面平行、面面平行的有关概念,能正确地判断空间线线、线面、面面的位置关系;理解关于空间中线面平行、面面平行的判定定理和性质定理;并能用图形语言和符号语言表述这些定理 .2 能运用公理及其推论和相关定理证明一些空间位置关系的简单命题 .江苏高考对立体几何的考查主要有两个方面,一是对体积(或点到平面的距离)、表面积的一类计算问题的考查,二是对直线与平面的位置关系的考查 . 以一大一小两题的形式进行考查,其中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行、垂直的位置关系的考查是高考中必考的问题,尤其是直线与平面平行、垂直关系的证明尤为重要 . 在证明的过程中,一定要注意推理的严密性,条件不要遗漏 . 另外,要关注与位置关系有关的一类探究性问题,它体现了新课程中考查学生的探究能力的要求,值得注意。
对于江苏之外地区的高考在大题的考查中，除了考查线面、面面以及线线的位置关系的证明外，第2问设置了空间向量求角与距离的求解题。
复习中,一要重视对本部分概念的内涵与外延的理解、定理的应用,做到弄清搞透;二要重视对典型问题求解基本思想方法的掌握,做到应用自如,特别是化归、转化等思想方法的掌握与应用;三要重视解题过程的规范训练,尽量避免因解题不规范而丢分 . 对于本部分的内容,高考的重点还是线线平行、线面平行、面面平行的判定以及它们的性质的应用1、【2020年全国2卷】设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面. p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l . 则下述命题中所有真命题的序号是__________. ①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝ 【答案】①③④ 【解析】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内， 同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个， 命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面， 命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α， 则m 垂直于平面α内所有直线， 直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ， 命题4p 为真命题. 综上可知，，为真命题，，为假命题，14p p ∧真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.故答案为：①③④.2、【2020年浙江卷】已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】依题意,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面.综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件. 故选：B3、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故选B ．4、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 【答案】B【解析】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，BD ，易得直线BM ，EN 是三角形EBD 的中线，是相交直线.过M 作MF OD ⊥于F ，连接BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ，,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴△与EON △均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,12EO ON EN ===,，35,,72MF BF BM ==∴=，BM EN ∴≠，故选B ．5、【2018年高考浙江卷】已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得.由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.6、【2019年高考北京卷理数】已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m .【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m ，正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α，不正确，有可能m 在平面α内； （3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α，不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α. 故答案为：如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m.7、【2020年江苏卷】.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1； （2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【解析】（1）由于,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1//EF AB . 由于EF ⊂/平面11AB C ,1AB ⊂平面11AB C ，所以//EF 平面11AB C . （2）由于1B C ⊥平面ABC ，AB平面ABC ，所以1B C AB ⊥.由于1,AB AC AC B C C ⊥⋂=，所以AB ⊥平面1AB C , 由于AB平面1ABB ，所以平面1AB C ⊥平面1ABB .8、【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．（2）BE ⊥C 1E ．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点， 所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1， 所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1， 所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC −A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .9、【2018年高考江苏卷】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．（2）平面11ABB A ⊥平面1A BC ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1． 因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ， 所以AB ∥平面A 1B 1C ．（2）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形． 又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形， 因此AB 1⊥A 1B ．又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1， 所以AB 1⊥BC ．又因为A 1B ∩BC =B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ， 所以AB 1⊥平面A 1BC ． 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．题型一 性质定理与判定定理的综合考查1．（2020届山东省潍坊市高三上期中）m 、n 是平面α外的两条直线，在m ∥α的前提下，m ∥n 是n ∥α的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】//m α，则存在l α⊂有//m l .而由//m n 可得//n l ，从而有//n α.反之则不一定成立，,m n 可能相交，平行或异面.所以//m n 是//n α的充分不必要条件，故选A2、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设α，β为两个平面，则αβ∥的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行B ．α，β平行与同一个平面C ．α内有两条相交直线与β内两条相交直线平行D ．α，β垂直与同一个平面【答案】C 【解析】对于A ，α内有无数条直线与β平行，可得α与β相交或α或β平行； 对于B ，α，β平行于同一条直线，可得α与β相交或α或β平行； 对于C ，α内有两条相交直线与β内两条相交直线平行，可得α∥β； 对于D ，α，β垂直与同一个平面，可得α与β相交或α或β平行． 故选：C ．3、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）已知l ，m 是两条不同的直线，α是平面，且//m α，则（ ） A ．若//l m ，则//l α B ．若//l α，则//l m C ．若l m ⊥，则l α⊥ D ．若l α⊥，则l m ⊥【答案】D 【解析】A 选项 有可能线在面内的情形，错误；B 选项中l 与m 还可以相交或异面，错误；C 选项中不满足线面垂直的判定定理，错误，D 选项中由线面垂直的性质定理可知正确. 故选：DA ．β内一定能找到与l 平行的直线B ．β内一定能找到与l 垂直的直线C ．若β内有一条直线与l 平行，则该直线与α平行D ．若β内有无数条直线与l 垂直，则β与α垂直 【答案】B 【解析】由α，β是两个相交平面，其中l ⊂α，知：在A 中，当l 与α，β的交线相交时，β内不能找到与l 平行的直线，故A 错误； 在B 中，由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l 垂直的直线，故B 正确； 在C 中，β内有一条直线与l 平行，则该直线与α平行或该直线在α内，故C 错误； 在D 中，β内有无数条直线与l 垂直，则β与α不一定垂直，故D 错误． 故选：B ．5、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）如果用,m n 表示不同直线，,,αβγ表示不同平面，下列叙述正确的是（ ）A ．若//m α，//m n ，则//n αB ．若//m n ，m α⊂，n β⊂，则//αβC ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβD ．若m α⊥，n α⊥，则//m n【答案】D 【解析】选项A 中还有直线n 在平面α内的情况，故A 不正确，选项B 中再加上两条直线相交的条件可以得到两个平面平行，故B 不正确， 选项C 中还有,αβ相交，故C 不正确， 故选：D ．6、(2019苏北模拟） 已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，l ⊥α，m ⊂β.给出下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m ； ③m ∥α⇒l ⊥β； ④l ⊥β⇒m ∥α.其中正确的命题是________(填写所有正确命题的序号．．．．．．．．．．．)． 答案： ①④ 【解析】：①由l ⊥α，α∥β，得l ⊥β，又因为m ⊂β，所以l ⊥m ；②由l ⊥α，α⊥β，得l ∥β或l ⊂β，又因为m ⊂β，所以l 与m 或异面或平行或相交；③由l ⊥α，m ∥α，得l ⊥m .因为l 只垂直于β内的一条直线m ，所以不能确定l 是否垂直于β； ④由l ⊥α，l ⊥β，得α∥β.因为m ⊂β，所以m ∥α.7、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】ACD【解析】若m α⊥，则,a b α∃⊂且a b P =使得m a ⊥，m b ⊥，又//m n ，则n a ⊥，n b ⊥，由线面垂直的判定定理得n α⊥，故A 对； 若//m α，n αβ=，如图，设m AB =，平面1111D C B A 为平面α，//m α，设平面11ADD A 为平面β，11A D n αβ⋂==，则m n ⊥，故B 错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C 对；若,//m m n α⊥，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ，故D 对； 故选：ACD ．8、（2020届山东省济宁市高三上期末）己知mn 、为两条不重合的直线,αβ、为两个不重合的平面,则下列说法正确的是( )A ．若//,//m n αβ且//,αβ则//m nB ．若//,,,m n m n αβ⊥⊥则//αβC ．若//,,//,m n n m ααββ⊂⊄，则//m βD ．若//,,m n n ααβ⊥⊥，则//m β 【答案】BC 【解析】A. 若//,//m n αβ且//,αβ则可以//m n ，,m n 异面，或,m n 相交，故A 错误；B. 若//,,m n m α⊥则n α⊥，又,n β⊥故//αβ，B 正确；C. 若//,,m n n α⊂则m α或m α⊆，又//,m αββ⊄，故//m β，C 正确；D. 若//,,m n n α⊥则m α⊥，αβ⊥，则//m β或m β⊆，D 错误； 故选：BC9、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，则下列结论中：①PB ⊥AE ；②平面ABC ⊥平面PBC ；③直线BC ∥平面PAE ；④∠PDA ＝45°. 其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)【答案】①④【解析】对于①，因为PA ⊥平面ABC ，所以PA ⊥AE ，又,EA AB PA AB A ⊥⋂=，所以EA ⊥平面PAB ，从而可得EA PB ⊥，故①正确．对于②，由于PA ⊥平面ABC ，所以平面ABC 与平面PBC 不可能垂直，故②不正确．对于③，由于在正六边形中BC AD ∥，所以BC 与EA 必有公共点，从而BC 与平面PAE 有公共点，所以直线BC 与平面PAE 不平行，故③不正确．对于④，由条件得PAD ∆为直角三角形，且PA ⊥AD ，又2PA AB AD ==，所以∠PDA=45°．故④正确．综上①④正确．答案：①④题型二 线面平行、垂直的判定与性质1、（江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三下学期阶段考试）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1A A 的中点.求证：（1）AC//平面1EDB ；（2）平面1EDB ⊥平面1B BD .【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】证明:(1)在正方体1111ABCD A B C D -中,设AC 与BD 相交于点O ,则O 为BD 的中点取1B D 的中点F ,连,OF EF .所以1OF//BB ,112OF BB =.在正方体1111ABCD A B C D -中,1111,//AA BB AA BB =.又点E 是1A A 的中点所以,//AE OF AE OF =.于是四边形AEFO 是平行四边形,从而//AC EF .又因为AC ⊄平面1EDB ,EF ⊂平面1EDB ,所以//AC 平面1EDB .(2)在正方体1111ABCD A B C D -中,1B B ⊥平面ABCD ,而AC ⊂平面ABCD ,所以1B B AC ⊥.又在正方体1111ABCD A B C D -中,四边形ABCD 为正方形所以AC BD ⊥.由(1)知,//EF AC ,于是1EF BB ⊥,EF BD ⊥.又1B B ⊂平面1B BD ,BD ⊂平面1B BD ,1B B BD B ⋂=,所以EF ⊥平面1B BD .又因为EF ⊂平面1EDB ,所以平面1EDB ⊥平面1B BD .2、（江苏省南通市海安市2019-2020学年高三下学期3月月考）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1A A 的中点.求证：（1）AC//平面1EDB ；（2）平面1EDB ⊥平面1B BD .【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】(1)在正方体1111ABCD A B C D -中,设AC 与BD 相交于点O ,则O 为BD 的中点取1B D 的中点F ,连,OF EF .所以1OF//BB ,112OF BB =. 在正方体1111ABCD A B C D -中,1111,//AA BB AA BB =.又点E 是1A A 的中点所以,//AE OF AE OF =.于是四边形AEFO 是平行四边形,从而//AC EF .又因为AC ⊄平面1EDB ,EF ⊂平面1EDB ,所以//AC 平面1EDB .(2)在正方体1111ABCD A B C D -中,1B B ⊥平面ABCD ,而AC ⊂平面ABCD ,所以1B B AC ⊥.又在正方体1111ABCD A B C D -中,四边形ABCD 为正方形所以AC BD ⊥.由(1)知,//EF AC ,于是1EF BB ⊥,EF BD ⊥.又1B B ⊂平面1B BD ,BD ⊂平面1B BD ,1B B BD B ⋂=,所以EF ⊥平面1B BD .又因为EF ⊂平面1EDB ,所以平面1EDB ⊥平面1B BD .3、(2019镇江期末）如图，在四棱锥VABCD 中，底面ABCD 是矩形，VD ⊥平面ABCD ，过AD 的平面分别与VB ，VC 交于点M ，N.(1) 求证：BC ⊥平面VCD ；(2) 求证：AD ∥MN.规范解答 (1)在四棱锥VABCD 中，因为VD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以VD ⊥BC.(3分)因为底面ABCD 是矩形，所以BC ⊥CD.(4分)又CD ⊂平面VCD ，VD ⊂平面VCD ，CD ∩VD ＝D ，则BC ⊥平面VCD.(7分)(2)因为底面ABCD 是矩形，所以AD ∥BC.(8分)又AD ⊄平面VBC ，BC ⊂平面VBC ，则AD ∥平面VBC.(11分)又平面ADNM ∩平面VBC ＝MN ，AD ⊂平面ADNM ，则AD ∥MN.(14分)4、(2019扬州期末）如图所示，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，四边形AA 1B 1B 为矩形，平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，点E ，F 分别是侧面AA 1B 1B ，BB 1C 1C 对角线的交点．(1) 求证：EF ∥平面ABC ；(2) 求证：BB 1⊥AC.规范解答 (1)在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B，四边形BB1C1C均为平行四边形，E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点，所以E，F分别是AB1，CB1的中点，所以EF∥AC.(4分) 因为EF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(8分)(2)因为四边形AA1B1B为矩形，所以BB1⊥AB.因为平面AA1B1B⊥平面ABC，且平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，BB1⊂平面AA1B1B，所以BB1⊥平面ABC.(12分)因为AC⊂平面ABC，所以BB1⊥AC.(14分)易错警示在立体几何中，一定要用课本中允许的有关定理进行推理论证，在进行推理论证时一定要将定理的条件写全，不能遗漏，否则，在评分时将给予扣分，高考阅卷对立体几何题证明的规范性要求很高．要适度关注性质定理的使用，因为性质定理的使用往往涉及到添置辅助线或辅助平面，这无疑就增加了试题的难度．5、(2019南通、泰州、扬州一调）如图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点．已知侧面PAD ⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP.求证：(1)MN∥平面PBC；MD⊥平面PAB.【证明】(1)在四棱锥P－ABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点，所以MN∥AD.(2分)又底面ABCD是矩形，所以BC∥AD.所以MN∥BC.(4分)又BC⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，所以MN∥平面PBC. (6分)(2)因为底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD，所以AB⊥侧面PAD.(8分)又MD⊂侧面PAD，所以AB⊥MD.(10分)因为DA＝DP，又M为AP的中点，从而MD⊥PA. (12分)又PA，AB在平面PAB内，PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB.(14分)6、(2019苏锡常镇调研（一））如图，三棱锥DABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC＝DC，E，F分别为BD，CD的中点．求证：(1) EF∥平面ABC；(2) BD⊥平面ACE.规范解答 (1)三棱锥DABC中，因为E为DB的中点，F为DC的中点，所以EF∥BC，(3分)因为BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，所以EF∥平面ABC.(6分)(2)因为AC⊥BC，AC⊥DC，BC∩DC＝C，BC，DC⊂平面BCD所以AC⊥平面BCD，(8分)因为BD⊂平面BCD，所以AC⊥BD，(10分)因为DC＝BC，E为BD的中点，所以CE⊥BD，(12分)因为AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面ACE，所以BD⊥平面ACE.(14分)7、(2019苏州三市、苏北四市二调）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1⊥B1C1.设A1C与AC1交于点D，B1C与BC1交于点E.求证：(1) DE∥平面ABB1A1；(2) BC1⊥平面A1B1C.规范解答 (1)因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以侧面ACC1A1为平行四边形．又A1C与AC1交于点D，所以D为AC1的中点，同理，E为BC1的中点．所以DE∥AB.(3分)又AB⊂平面ABB1A1，DE⊄平面ABB1A1，所以DE∥平面ABB1A1.(6分)(2)因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1.又因为A1B1⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1.(8分)又A1B1⊥B1C1，BB1，B1C1⊂平面BCC1B1，BB1∩B1C1＝B1，所以A1B1⊥平面BCC1B1.(10分)又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1.(12分)又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C.又A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C⊂平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C.(14分)。
立体几何——点线面的位置关系
点线面的位置关系(1）四个公理公理１:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
符号语言:,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ⇒ ∈且。
公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
三个推论:① 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面 它给出了确定一个平面的依据。
公理３：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线)。
符号语言:,,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈且。
公理4:（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。
符号语言：//,////a l b l a b ⇒且。
（2)空间中直线与直线之间的位置关系1.概念 异面直线及夹角:把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
已知两条异面直线,a b ,经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的角（或直角)叫异面直线,a b 所成的夹角。
(易知：夹角范围090θ<≤︒）公理４：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。
符号语言://,////a l b l a b ⇒且。
定理:空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
(注意：会画两个角互补的图形)2.位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点;异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(3)空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系有三种://l l A l ααα⊂⎧⎪=⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内（）有无数个公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点(4）空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系有两种://l αβαβ⎧⎨=⎩两个平面平行（）没有公共点两个平面相交（）有一条公共直线考点1：点,线,面之间的位置关系例1.(2014辽宁,４,5分)已知m,n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( )A.若ｍ∥α，n ∥α，则ｍ∥n Ｂ.若m ⊥α，n ⊂α,则ｍ⊥ｎ C.若m ⊥α,ｍ⊥n,则ｎ∥αD.若m ∥α,m ⊥n ，则ｎ⊥α ［答案］ 1.B[解析］ 1.Ａ选项m 、ｎ也可以相交或异面,Ｃ选项也可以n ⊂α,Ｄ选项也可以n ∥α或n 与α斜交．根据线面垂直的性质可知选B ．例2.（２０14山东青岛高三第一次模拟考试， 5） 设、是两条不同的直线,、是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )A ．若则 Ｂ.若则C.若则 Ｄ.若则[答案] 2. D［解析］ 2.Ａ选项不正确，因为是可能的；Ｂ选项不正确,因为,时,,都是可能的;C选项不正确,因为,时,可能有；D选项正确,可由面面垂直的判定定理证明其是正确的.故选D例3．(201４广西桂林中学高三2月月考，4) 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面.下列命题中正确的是( )（A) （Ｂ)(C) (D)［答案］3． D［解析] 3. 若，则平面与垂直或相交或平行,故（A）错误；若,则直线与相交或平行或异面，故（B) 错误；若,则直线与平面垂直或相交或平行,故(C）错误; 若，则直线,故(D) 正确. 选D.例４. (201４周宁、政和一中第四次联考，7) 设表示不同的直线,表示不同的平面,给出下列四个命题:①若∥，且则;②若∥，且∥. 则∥;③若,则∥∥；④若且∥，则∥.其中正确命题的个数是（ )Ａ.１B．２ C．3 D．4[答案] 4. B[解析] 4. ①正确；②直线或，错误;③错误,因为正方体有公共端点的三条棱两两垂直;④正确. 故真正确的是①④，共2个.2．空间几何平行关系转化关系：直线、平面平行的判定及其性质归纳总结定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线与平面平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行,,////a b a baααα⊄⊂⇒且在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。
a立体几何的基本概念点线面体
a立体几何的基本概念点线面体立体几何的基本概念：点、线、面、体立体几何是研究物体在空间中的形状、大小和相互关系的数学分支。
在立体几何中，点、线、面、体是最基本的概念。
本文将详细介绍这四个概念，并探讨它们之间的关系和特征。
一、点在几何学中，点是最基本的图形单位，它不占据任何空间，没有长度、宽度和厚度。
点用一个小数写成，如A、B、C等。
点是构成线、面、体的基础元素，所有的几何图形都是由点构成的。
二、线线是由无数个点按一定顺序排列组成的。
线没有宽度，只有长度。
线分为直线和曲线两种类型。
直线是在空间中定义的，它是由无数个点在同一方向上连续排列组成的。
直线用一个小写字母表示，如l、m、n等。
曲线则是由无数个点按照某种规律排列组成的，曲线可以是弧线、螺旋线等。
三、面面是由无数个点按一定规律排列组成的二维图形。
面有长度和宽度，但没有厚度。
面由线围成，可以是平面、圆面、球面等不同形状。
面是由无数个直线组成的，每条直线都是面的边界，我们通常称之为边。
面用一个大写字母表示，如A、B、C等。
四、体体是由无数个点、线和面按一定规律排列组成的三维图形。
体有长度、宽度和厚度，是空间中的实体。
体由面围成，可以是立方体、圆柱体、球体等不同形状。
在立体几何中，我们用字母体表示，如A、B、C等。
点、线、面、体之间的关系：点是构成线的基本单位，线是由点组成的有序集合；面是由线构成的有序集合，每条线是面的边界；体是由面构成的有序集合，每个面是体的边界。
总结：立体几何的基本概念点、线、面、体是研究物体形状和相互关系的基础。
点是最基本的图形单位，线是由点组成的，面是由线围成的二维图形，体是由面围成的三维图形。
在立体几何中，点、线、面、体之间有着密切的联系和相互依存的关系。
通过对这些基本概念的理解和应用，我们可以更好地研究和描述物体的形态特征。
立体几何是数学中具有重要意义的一门学科，应用广泛，为我们认识和理解世界提供了有力的工具和方法。
讲义立体几何2
空间中的点线面及其关系本章知识框架 1、平面的基本性质（1）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
（即直线在平面内，或者平面经过直线） 应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂（2）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：一条直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。
作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面α和β相交，交线是a ，记作α∩β＝a 。
符号语言：,P A B A B l P l ∈⇒=∈公理3的作用：①它是判定两个平面相交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。
③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。
（4）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（5）推论：①经过一条直线和线外一点有且仅有一个平面；②经过两条相交直线有且仅有一个平面；③经过两条平行直线有且仅有一个平面。
2、空间直线与直线之间的位置关系（相交、平行、异面）（1）相交（包括垂直）关系（2）平行关系（3）异面直线①异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线②异面直线性质：既不平行，又不相交。
③异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线④异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’∥b，则把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。
两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。
⑤求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上；B、证明作出的角即为所求角；C、利用三角形来求角。
高中数学立体几何点线面知识点总结
立体几何点、线、面知识点总结1.直线在平面内的判定(1)利用公理1: 一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内.(2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若a丄P,Ae a , AB丄B,则ABa.(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内,即若AGa, a 丄b, AG a , b 丄a, pjlj a a .(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内, 即若Pa , PG p , B〃a, PWd,a〃a,则aP.(5)如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若d〃a,AGa, AGb, b/7 a,则ba.2.存在性和唯一性定理(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；(3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；(4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；(7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；(8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.3.射影及有关性质(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点.(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.(3)图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形.(4)射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；(iii)垂线段比任何一条斜线段都短.4.空间中的各种角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.异面直线所成的角(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点0,分别引直线屮〃d,b‘ 〃b，则屮和b‘所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.(2)取值范围：0° V 0 W90° .(3)求解方法①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角0 ;②解含有0的三角形，求出角0的大小.5.直线和平面所成的角(1)定义和平面所成的角有三种：(i)垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.(ii)垂线与平面所成的角直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.(iii)-条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0。
高中数学立体几何空间点线面的位置关系讲义及练习
课 题： 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系一、内容讲解知识点1 平面的概念: 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性 常见的桌面，黑板面都是平面的局部形象 指出: 平面的两个特征：①_薄厚一致___ ②_无限延伸_。
平面的表示：__1.在每个顶点处写大写字母____2.小写的希腊字母,,αβχ______________。
点的表示：大写字母 点A 点B线的表示：小写英文字母 线l,线a 线b平面的画法：在立体几何中，通常画成水平放置的平行四边形来表示平面;锐角画成45ο, 2倍长。
两个相交平面：画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画。
图形 符号语言 文字语言（读法）A a A ∈a 点A 在直线a 上A aA ∉a 点A 在直线a 外 Aα A ∈α 点A 在平面α上（内） A αA ∉α 点A 在平面α外 b a A a b A =I直线a,b 交于点A a αa α⊂线a 在面α内 aα a α⊄ 线a 在面α外a Aα a A α=I 直线a 交α于点Al αβ=I平面α交β于线l与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言。
知识点2 公理1 ：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内指出：（1）符号语言：____________________________________．（2）应用：这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面。
知识点3 公理2 ：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线指出：（1）符号语言：____________________________________（2）应用：确定两相交平面的交线位置；判定点在直线上 知识点4 公理3 ：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 指出：（1）符号语言：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.指出：推论1的符号语言：_____________________________-推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面指出：推论2的符号语言：____________________________________推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面指出：推论3的符号语言：________________________________三、典例解析例1 用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.例2 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C∩平面BDC 1=O ，AC 、BC 交于点M ，求证：点C 1、O 、M 共线．五、备选习题1. 画图表示下列由集合符号给出的关系：(1) A ∈α,B ∉α,A ∈l ,B ∈l ; (2) a ⊂α,b ⊂β,a ∥c ,b ∩c =P ,α∩β=c .2. 根据下列条件，画出图形.（1）平面α∩平面β=l ，直线AB ⊂α，AB ∥l ，E ∈AB ，直线EF∩β=F ，F ∉l ;（2）平面α∩平面β=a ，△ABC 的三个顶点满足条件:A ∈a ，B ∈α，B ∉a ，C ∈β，C ∉a .3. 画一个正方体ABCD —A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由.4. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为8 cm ，M 、N 、P 分别是AB 、A 1D 1、BB 1的中点，(1) 画出过M 、N 、P 三点的平面与平面A 1B 1C 1D 1的交线，以及与平面BB 1C 1C 的交线.(2) 设过M 、N 、P 三点的平面与B 1C 1交于点Q ，求PQ 的长.5.已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线.6. 点A ∉平面BCD ，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，若EH 与FG 交于P （这样的四边形ABCD 就叫做空间四边形）求证：P 在直线BD 上G H AC D E P空间点、线、面位置关系练习题1、下列命题：其中正确的个数为（ ）①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α；②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若a ∥b ，α⊂b ，那么直线a 平行于平面α内的无数条直线；A ．1B ．2C ．3D ．02、若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线（ ）A ．平行B ．异面C ．相交D ．平行或异面3、如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中判断下列位置关系：（1）AD 1所在直线与平面BCC 1的位置关系是 ；（2）平面A 1BC 1与平面ABCD 的位置关系是 ；4、如果直线l 在平面α外，那么直线l 与平面α（ ）A ．没有公共点B ．至多有一个公共点C ．至少有一个公共点D ．有且只有一个公共点5、以下四个命题：其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①③ ①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线⊂a 平面α，直线⊂b 平面β，则“a 与b 相交”等价于“α与β相交”；③若l =⋂βα，直线⊂a 平面α，直线⊂b 平面β，且P b a =⋂，则l P ∈；④若n 条直线中任意两条共面，则它们共面，6、若一条直线上有两点到一个平面的距离相等，那么这条直线和这个平面的位置关系是（ ）A ．在平面内B ．相交C ．平行D ．以上均有可能7、若直线m 不平行于平面α，且α⊄m ，则下列结论中正确的是（ ）A ．α内的所有直线与m 异面B ．α内不存在与m 平行的直线C ．α内存在唯一一条直线与m 平行D ．α内的直线与m 都相交8、在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的六个表面与六个对角面（面AA 1C 1C ，面BB 1D 1D ，面ABC 1D 1，面ADC 1B 1，面A 1BCD 1及面A 1B 1CD ）所在平面中，与棱AA 1平行的平面共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9、两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上均有可能10、下列命题：其中正确的个数是（ ）A ．0 B ．1 C ．2 D ．3①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线异面；③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面，11、下列命题中正确的个数是（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4①四边相等的四边形是菱形；②若四边形有两个对角都是直角，则这个四边形是圆内接四边形； ③“直线不在平面内”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”；④若两平面有一条公共直线，则这两个平面的所有公共点都在这条公共直线上；12、若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则（ ）A ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行B ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直C ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交D ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面13、与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是14、经过平面外两点可作这个平面的平行平面的个数是15、设有不同的直线a ，b 和不同的平面γβα,,，给出下列三个命题：其中正确命题的序号是 ①若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；②若a ∥α，a ∥β，则α∥β；③若α∥β，β∥γ，则α∥γ。
高考数学第七章立体几何第三节空间点线面之间的位置关系教案高三全册数学教案
第三节 空间点、线、面之间的位置关系1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2. (3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．[小题体验]1．(2019·湖州模拟)已知l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面，则( )A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αC．若α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥βD．若m∥n，m⊂α，则n∥α解析：选A 由l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面知，在A中，若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故A正确；在B中，若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l与α相交、平行或l⊂α，故B错误；在C中，若α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m与β相交，故C错误；在D中，若m∥n，m⊂α，则n∥α或n⊂α，故D错误．故选A.2．(教材习题改编)设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是________．①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.答案：③④1．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．3．不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件．[小题纠偏]1．(2018·江西七校联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( )A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面 D．相交、平行或异面解析：选D 依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．2．(2019·杭州诊断)设l，m，n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，给出下列四个命题：①若l⊥α，m⊥α，则l∥m；②若m⊂β，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥n；③若m⊂α，m∥n，则n∥α；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中真命题有( )A．①②B．①②③C．②③④ D．①③④解析：选A ①可以根据直线与平面垂直的性质定理得出；②可以根据三垂线定理的逆定理得出；对于③，n可以在平面α内，故③不正确；对于④，反例：正方体共顶点的三个平面两两垂直，故④错误．故选A.3．(教材习题改编)下列命题：①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确命题的个数为( )A．4 B．3C．2 D．1解析：选D ①中若三点在一条直线上，则不能确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定四个平面；④中这三个公共点可以在这两个平面的交线上．故错误的是①③④，正确的是②.所以正确命题的个数为1.考点一平面的基本性质及应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明：(1)如图，连接EF，A1B，CD1.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B.又A1B∥CD1，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA.∴CE，D1F，DA三线共点．[由题悟法]1．点线共面问题证明的2种方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；(2)辅助平面法：先证有关点、线确定平面α，再证其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合．2．证明多线共点问题的2个步骤(1)先证其中两条直线交于一点；(2)再证交点在第三条直线上．证交点在第三条直线上时，第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理3证明．[即时应用]如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F，求证：E，F，G，H四点必定共线．证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定一个平面β.又因为AB∩α＝E，AB⊂β，所以E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，因为两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线．考点二空间两直线的位置关系重点保分型考点——师生共研[典例引领]如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论的序号为________．解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．答案：③④[由题悟法][即时应用]1．上面例题中正方体ABCDA1B1C1D1的棱所在直线中与直线AB 是异面直线的有________条．解析：与AB异面的有4条：CC1，DD1，A1D1，B1C1.答案：42．在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形的是________．(填上所有正确答案的序号)解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．答案：②④考点三异面直线所成的角重点保分型考点——师生共研[典例引领](2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )A.15B.56C.55D.22解析：选C 法一：如图，将长方体ABCD A 1B 1C 1D 1补成长方体ABCD A 2B 2C 2D 2，使AA 1＝A 1A 2，易知AD 1∥B 1C 2，所以∠DB 1C 2或其补角为异面直线AD 1与DB 1所成的角．易知B 1C 2＝AD 1＝2，DB 1＝12＋12＋32＝5，DC 2＝DC 2＋CC 22＝12＋232＝13.在△DB 1C 2中，由余弦定理，得cos ∠DB 1C 2＝DB 21＋B 1C 22－DC 222DB 1·B 1C 2＝5＋4－132×5×2＝－55， 所以异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55. 法二：以A 1为坐标原点建立空间直角坐标系(如图)，则A (0,0，3)，D 1(0,1,0)，D (0,1，3)，B 1(1,0,0)， 所以AD 1＝(0,1，－3)，DB 1＝(1，－1，－3)，所以cos 〈AD 1，DB 1〉＝AD 1·DB 1|AD 1|·|DB 1|＝0×1＋1×－1＋－3×－32×5＝55.[由题悟法]1．用平移法求异面直线所成的角的3步骤(1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．2．有关平移的3种技巧求异面直线所成的角的方法为平移法，平移的方法一般有3种类型：(1)利用图形中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；(3)补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．[即时应用]如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．解：(1)连接B1C，AB1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.即A1D与AC所成的角为60°.(2)连接BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·台州一诊)设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是( )A．a∥b，b⊂α，则a∥αB．a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥bC．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥βD．α∥β，a⊂α，则a∥β解析：选D 由a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面知，在A中，a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A错误；在B中，a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b平行或异面，故B错误；在C中，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，α∥β，a⊂α，则由面面平行的性质定理得a∥β，故D正确．故选D.2．(2018·平阳期末)已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b( )A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线解析：选C 由平行直线公理可知，若c∥b，则a∥b，与a，b是异面直线矛盾．所以c与b不可能是平行直线．3．空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为45°，连接各边中点所得四边形的面积是( )A．6 2 B．12C．12 2 D．242解析：选A 如图，已知空间四边形ABCD，设对角线AC＝6，BD＝8，易证四边形EFGH为平行四边形，∠EFG或∠FGH为AC与BD所成的45°角，故S四边形EFGH＝3×4·sin 45°＝62，故选A.4.如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有________条；与AB异面的棱有________条．解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．与AB异面的棱有CC1，DD1，B1C1，A1D1，共4条．答案：5 45.如图，在三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．解析：如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.∵M为AD的中点，∴MK∥AN，∴∠KMC为异面直线AN，CM所成的角．∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N为BC的中点，由勾股定理易求得AN＝DN＝CM＝22，∴MK＝ 2.在Rt△CKN中，CK＝22＋12＝ 3.在△CKM中，由余弦定理，得cos∠KMC＝22＋222－322×2×22＝78.答案：78二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·浙江高考)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n ⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A ∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α，但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．2．(2018·宁波模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是( )A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行 D．MN与A1B1平行解析：选D 如图，连接C1D，在△C1DB中，MN∥BD，故C正确；因为CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD，所以MN与CC1垂直，故A正确；因为AC⊥BD，MN∥BD，所以MN与AC垂直，故B正确；因为A1B1与BD异面，MN∥BD，所以MN与A1B1不可能平行，故D错误．3．(2018·义乌二模)已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．若α⊥β，m⊥β，则m∥αB．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥βC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥n，n⊥α，则m⊥α解析：选D 由m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面知，在A中，若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m⊂α，故A错误；在B中，若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错误；在D中，若m∥n，n⊥α，则由线面垂直的判定定理得m⊥α，故D正确．故选D.4．(2019·湖州模拟)如图，在下列四个正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是( )解析：选D 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，易知多边形EFMN Q G是一个平面图形，且直线BD1与平面EFMN Q G垂直，结合各选项知，选项A、B、C中的平面与这个平面重合，只有选项D中的平面既不与平面EFMN Q G重合，又不与之平行．故选D.5．(2018·宁波九中一模)正三棱柱ABCA1B1C1中，若AC＝2 AA1，则AB1与CA1所成角的大小为( )A．60°B．105°C．75° D．90°解析：选D 取A1C1的中点D，连接AD，B1D(图略)，易证B1D⊥A1C，因为tan∠CA1C1·tan∠ADA1＝22×2＝1，所以A1C⊥AD，又B1D∩AD＝D，所以A1C⊥平面AB1D，又AB1⊂平面AB1D，所以A1C ⊥AB1，故AB1与CA1所成角的大小为90°.6．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为________对．解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．答案：37．(2018·福建六校联考)设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中正确的命题是_______(写出所有正确命题的序号)．解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c 可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．答案：①8.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．解析：取圆柱下底面弧AB 的另一中点D ，连接C 1D ，AD ， 因为C 是圆柱下底面弧AB 的中点，所以AD ∥BC ，所以直线AC 1与AD 所成角等于异面直线AC 1与BC所成角，因为C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，所以C 1D ⊥圆柱下底面，所以C 1D ⊥AD ，因为圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，所以C 1D ＝2AD ， 所以直线AC 1与AD 所成角的正切值为2，所以异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为 2.答案：29．(2018·舟山模拟)在空间四边形ABCD 中，已知AD ＝1，BC＝3，且AD ⊥BC ，对角线BD ＝132，AC ＝32，求AC 和BD 所成的角．解：如图，分别取AD ，CD ，AB ，BD 的中点E ，F ，G ，H ，连接EF ，FH ，HG ，GE ，GF .由三角形的中位线定理知，EF ∥AC ，且EF ＝34，GE ∥BD ，且GE ＝134，GE 和EF 所成的锐角(或直角)就是AC 和BD 所成的角．同理，GH ∥AD ，HF ∥BC ，GH ＝12，HF ＝32.又AD ⊥BC ，所以∠GHF ＝90°，所以GF 2＝GH 2＋HF 2＝1.在△EFG 中，GE 2＋EF 2＝1＝GF 2，所以∠GEF ＝90°，即AC 和BD 所成的角为90°.10.如图所示，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求： (1)三棱锥P ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23， 故三棱锥P ABC 的体积为V ＝13·S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433. (2)如图所示，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则DE ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，则cos ∠ADE ＝DE 2＋AD 2－AE 22DE ·AD ＝22＋22－22×2×2＝34.即异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．(2019·绍兴质检)如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，A 1C 与底面ABCD 所成的角为60°.(1)求四棱锥A 1ABCD 的体积；(2)求异面直线A 1B 与B 1D 1所成角的余弦值．解：(1)∵在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，连接AC ，∴AC ＝22＋22＝22，又易知AA 1⊥平面ABCD ，∴∠A 1CA 是A 1C 与底面ABCD 所成的角，即∠A 1CA ＝60°，∴AA 1＝AC ·tan 60°＝22×3＝26，∵S 正方形ABCD ＝AB ·BC ＝2×2＝4，∴VA 1ABCD ＝13·AA 1·S 正方形ABCD ＝13×26×4＝863. (2)连接BD ，易知BD ∥B 1D 1，∴∠A 1BD 是异面直线A 1B 与B 1D 1所成的角(或所成角的补角)．∵BD ＝22＋22＝22，A 1D ＝A 1B ＝22＋262＝27，∴cos ∠A 1BD ＝A 1B 2＋BD 2－A 1D 22·A 1B ·BD ＝28＋8－282×27×22＝1414， 即异面直线A 1B 与B 1D 1所成角的余弦值是1414. 2．(2018·台州一模)如图所示的圆锥的体积为33π，圆O 的直径AB ＝2，点C 是AB 的中点，点D 是母线PA 的中点．(1)求该圆锥的侧面积；(2)求异面直线PB 与CD 所成角的大小．解：(1)∵圆锥的体积为33π，圆O 的直径AB ＝2，圆锥的高为PO ，∴13π×12×PO ＝33π，解得PO ＝3，∴PA ＝ 32＋12＝2，∴该圆锥的侧面积S ＝πrl ＝π×1×2＝2π.(2)法一：如图，连接DO ，OC .由(1)知，PA ＝2，OC ＝r ＝1.∵点D 是PA 的中点，点O 是AB 的中点，∴DO ∥PB ，且DO ＝12PB ＝12PA ＝1，∴∠CDO 是异面直线PB 与CD 所成的角或其补角．∵PO ⊥平面ABC ，OC ⊂平面ABC ，∴PO ⊥OC ，又点C 是 AB 的中点，∴OC ⊥AB . ∵PO ∩AB ＝O ，PO ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴OC ⊥平面PAB ，又DO ⊂平面PAB ，∴OC ⊥DO ，即∠DOC ＝90°.在Rt △DOC 中，∵OC ＝DO ＝1，∴∠CDO ＝45°.故异面直线PB 与CD 所成角为45°.法二：连接OC ，易知OC ⊥AB ，又∵PO ⊥平面ABC ，∴PO ，OC ，OB 两两垂直，以O 为坐标原点，OC所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．其中A (0，－1,0)，P (0,0，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－12，32，B (0,1,0)，C (1,0,0)，∴PB ＝(0,1，－3)，CD ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，－12，32， 设异面直线PB 与CD 所成的角为θ，则cos θ＝|PB ·CD ||PB |·|CD |＝222＝22， ∴θ＝45°，∴异面直线PB 与CD 所成角为45°.3．如图所示，三棱柱ABC A 1B 1C 1，底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2.(1)当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?(2)若BM ∥平面AEF ，判断BM 与EF 的位置关系，说明理由；并求BM 与EF 所成的角的余弦值．解：(1)法一：如图所示，取AE 的中点O ，连接OF ，过点O 作OM ⊥AC 于点M .因为侧棱A 1A ⊥底面ABC ，所以侧面A 1ACC 1⊥底面ABC .又因为EC ＝2FB ＝2，所以OM ∥FB ∥EC 且OM ＝12EC ＝FB ， 所以四边形OMBF 为矩形，BM ∥OF .因为OF ⊂平面AEF ，BM ⊄平面AEF ，故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点．法二：如图所示，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接P Q ，PB ，B Q.因为EC ＝2FB ＝2，所以PE 綊BF ，所以P Q ∥AE ，PB ∥EF ，所以P Q ∥平面AFE ，PB ∥平面AEF ，因为PB ∩P Q ＝P ，PB ，P Q ⊂平面PB Q ，所以平面PB Q ∥平面AEF .又因为B Q ⊂平面PB Q ，所以B Q ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点．(2)由(1)知，BM 与EF 异面，∠OFE (或∠MBP )就是异面直线BM 与EF 所成的角或其补角．易求AF ＝EF ＝5，MB ＝OF ＝3，OF ⊥AE ，所以cos ∠OFE ＝OF EF ＝35＝155， 所以BM 与EF 所成的角的余弦值为155.。
空间点线面位置关系及平行判定及性质
空间点线面位置关系及平行判定及性质【知识点梳理】1．平面的基本性质公理1 如果一条直线上的两个点都在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内A,B llA,B2．平面的基本性质公理2（确定平面的依据）经过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面3．平面的基本性质公理2 的推论（1）经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面（2）经过两条相交直线，有且只有一个平面（3）经过两条平行直线，有且只有一个平面4．平面的基本性质公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线A I lA A l5．异面直线的定义与判定（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线，既不相交也不平行（2）判定：过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线6．直线与直线平行（1）平行四边形ABCD （矩形，菱形，正方形）对边平行且相等，AB//CD ，BC//AD（2）三角形的中位线E, F分别是AB, AC的中点中位线平行且等于底边的一半，EF//BC（3）线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行l // ，l ，I m l //m（4）面面平行的性质定理如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行/ / ，I a ，I b a/ /b5）线面垂直的性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行a ，b a//b7．直线与平面平行（1）线面平行的判定定理如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行a ，b ，a//b a//（2）面面平行的性质定理如果两个平面互相平行，那么一个平面内的任一直线都平行于另一个平面/ / ，a a/ /8．平面与平面平行（1）面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线，分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行a ，b ，aI b A，a// ，b// //（2）垂直于同一直线的两个平面互相平行a ，a / /【典型例题】题型一：点线面的关系用符号表示、判断异面直线例1．给定下列四个命题①a, b ,a// , b////②a,a③丨m, 丨 nm/ /n④,I丨, a , a 丨a其中，为真命题的是A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ②和④变式1．给出下列关于互不相同的直线l,m, n和平面, , 的三个命题①若l, m为异面直线，丨m ，则/ / ；②若/ / , 丨, m，则丨 / /m ；③若I 丨, I m,I n, 丨 / /，则m/ /n其中真命题的个数为A．3 B．2C．1D．0题型二：以中位线为突破口的平行证明问题例2 .如图，在四面体PABC中, AP, AC，BC, PB的中点，求证：PC AB, PA BC，点D, E, F, G分别是棱DE//平面BCP变式1.如图，在四面体PABC中，PC AP, AC , BC, PB的中点，求证：四边形行四边形AB, PAEEFG为平BC，点D, E, F, G分别是棱变式2.如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中, BAC 90°, AB AC AA1 1 ,延长AG 至点P，使C1P A1C1，连接AP交棱CC1于D •求证：PB //平面BDA1；题型三：以平行四边形为突破口的平行证明问题例3•如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF//AC , AB ,2 ,CE EF 1，求证：AF //平面BDE变式1 •在三棱柱ABC A1B1C1中，直线AA与底面ABC所成的角是直角，直线AB与3G所成的角为45°, BAC 90°，且AB AA1, D,E,F分别为BA C®, BC的中点.求证：DE //平面ABC ；题型四：三种平行之间的相互关系与转化例4.如图所示，圆柱的高为2, PA是圆柱的母线，ABCD为矩形，AB 2, BC 4 ,E,F,G分别是线段PA, PD, CD的中点，求证:PB//面EFG ;C变式1如图，在长方体ABCD A, B1C1D1中，E, P分别是BC’AQ的中点，M,N分别是AE,D i C 的中点，AB 2a , AD AA i a，求证：MN //面ADD i A i题型五：探究性问题例5.如图所示，直棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，BAD 90°, AB 2 , AD CD 1，在线段AB上是否存在点P （异于A, B两点），使得CP//平面ABiGD i ?证明你的结论变式1.如图，直三棱柱ABB1 DCC1中，ABB i 90°, AB 4, BC 2, CC i 1 , DC 上有一动点P , CC i上有一动点Q，讨论：无论P,Q在何处，都有PQ//平面ABB i，并证明你的结论【方法与技巧总结】1．熟记立体几何证明中的多个公理，推理，判定定理以及性质定理2．熟练掌握空间中点线面的位置关系的符号表示，并能够适当灵活转化为中文以便理解，在此建立空间的想象能力和空间感，进一步把符号转化为立体图象加以记忆3．熟记平行证明中常用的判定定理和性质定理，特别重视三角形中位线定理和平行四边形性质定理的应用4．应用三角形中位线定理和平行四边形性质定理，证明线线平行，从而得出线面平行或面面平行，重视线线平行证明的重要性5．掌握线性平行，线面平行，面面平行三者之间的相互转化【巩固练习】1．下面命题中正确的是( )．①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行.A •①③B •②④C •②③④ D•③④2. 平面a//平面B, a? a, b? B,贝U直线a，b的位置关系是().A .平行B .相交C .异面D .平行或异面3. 在空间中，下列命题正确的是( ).A.若a / a, b/ a，则b/ aB.若a/ a, b/ a, a? B b? B 贝U aC.若all B b / a,则b / BD.若all B a? a,则a / B4. 已知m、n为两条不同的直线，a、B为两个不同的平面，贝U下列命题中正确的是( ).A. m l n, m l a? n丄aB. all B, m? a, n? B? m/ nC. m± a, m±n? n// aD. m? a, n? a, m// B, n// B? all B5. 在正方体ABCDA i B i C i D i中,E是DD i的中点,贝U BD i与平面ACE的位置关系为_________ .解答题：1、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，0为AC的中点，M为PD的中点.求证：PB//平面ACM.2、如图，若PA丄平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF//平面PCE.3、如图，在正方体ABCDA i B i C i D i中，M、N、P分别为所在边的中点. 求证：平面MNP //平面A i C i B;岛__________ U4、如图，在三棱柱ABCA i B i C i 中，E, F, G, H 分别是AB, AC, A1B1, A1C1 的中点，求证：（1）B, C, H , G四点共面；（2）平面EFA i II平面BCHG.5、如图所示，在三棱柱ABCA i B i C i中，A i A丄平面ABC,若D是棱CC i的中点, 问在棱AB上是否存在一点E,使DE I平面AB i C i?若存在，请确定点E的位置; 若不存在，请说明理由.6如图，在四棱锥FABCD中，底面是平行四边形，PA丄平面ABCD，点M、N 分别为BC、FA的中点•在线段PD上是否存在一点E,使NM I平面ACE? 若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由.。
立体几何知识点总结带答案
图形
符号语言文字语言名称
文字语音
图形语音
符合语言作用
A∈a
点A在直线a上
A ∉a
点A不在直线a上
A∈α点A在平面α内
A ∉α点A不在平面α内
a∩b=A 直线a、b交于点A
a ⊂α
直线a在平面α内
a α直线a不在平面α内推论1
经过一条直线和直线外一点，
有且只有一个平面
确定平面
a∩α=A
直线a与平面α交于
点A 推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面 1.确定平面2.证明三点共面α∩β=l
平面α与平面β交于
直线l 推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面
1.确定平面
2.证明四点共面
3.证明四边形是平面图形
1.用来找两个面的
交线
2.用来证明点在线
上
点线面的基本关系
平面的基本性质公理1
公理2
公理3
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
经过不在同一条直线上的三点，
有且只有一个平面
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的
公共直线
A∈l B ∈l A∈面αB∈面α⇒l ⊂αA，B，C三点不共面⇒
A，B，C∈面α，且面α是唯一的
P∈面αP∈面β
⇒
面α∩面β=l，P∈l
用来判断直线是否在面内
给出了确定平面的
依据
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高中数学必备的判断空间线面位置关系公式大全及解题方法整理
高中数学必备的判断空间线面位置关系公式大全及解题方法整理Hello，我是洪老师！今天给大家带来的是是数学解题模板大全更新判断空间线面位置关系的解题方法，立体几何中判断空间线面位置关系是近几年一直活跃在高考的试题中，更是历年高考的热点问题，每年各省、市的高考试题中几乎都会出现此类题型。
该资料，归纳在63套全高中解题方法大全里，编号是：063！如需完整的word版63套全高中解题方法大全，请关注后，点我头像，然后最底下有个【洪粉必备】的菜单，里面有详细介绍！先我们来梳理下数学有关空间点线面之间的位置关系相关公式，同学们在学习点线面之间的位置关系时可以作为更好的公式参考，方便记忆和掌握。
公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上公理三：三个不共线的点确定一个平面推论一：直线及直线外一点确定一个平面推论二：两相交直线确定一个平面推论三：两平行直线确定一个平面公理四：和同一条直线平行的直线平行异面直线定义：不平行也不相交的两条直线判定定理：经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线。
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且方向相同，那么这两个角相等线线平行→线面平行如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
线面平行→线线平行如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
线面平行→面面平行如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
面面平行→线线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
线线垂直→线面垂直如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
线面垂直→线线平行如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
线面垂直→面面垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
第三讲 空间中的点线面的基本关系
没有 没有
（3）直线与平面的位置关系
图形表示
数学符号
位置关系
公共点
a
a
直线 a 在平面内
无数个公共点
a
a
直线 a 与平面无公共点
a A
a A
直线 a 与平面交于点 A
（4）两平面的位置关系
位置关系
图形表示
没有公共点 有一个公共点 符号表示
2
相交
平行
//
(5)平行公理及其等角定理 （1）平行公理:平行于同一条直线的两直线平行 （2）等角定理: 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.
4．（2019•西湖区校级模拟）下列说法正确的是（ ） A．三点确定一个平面 B．过一条直线的平面有无数多个 C．两条直线确定一个平面 D．两条相交平面的交线是一条线段
5．（2019•西湖区校级模拟）在空间中，下列命题正确的是（ ）
4
A．经过三个点有且只有一个平面
B．经过直线和直线外一点有且只有一个平面
(3).等角定理的推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角） 相等。
平面（公理 1、公理 2、公理 3、公理 4）
空间直线、平面的位置关系
直线与直线的位置关系
直线与平面的位置关系
平面与平面的位置关系
二、常用结论
1．公理 2 的三个推论 推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面． 推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面． 推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 2．异面直线判定的一个定理 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线． 3．唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
立体几何点线面定理30条
立体几何点线面定理1.公理一：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
2.公理二：如果两个平面有两个公共点,它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上。
3.公理三：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。
4.推论一：经过直线和直线外一点有且只有一个平面。
5.推论二：经过两条相交直线有且只有一个平面。
6.推论三：经过两条平行直线有且只有一个平面。
7.异面直线判定定理：平面内一点与平面外一点的确定的直线，与此平面内不经过该点的直线是异面直线。
8.公理四：平行于同一条直线的两条直线平行。
9.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
10.等角定理推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。
11.直线与平面垂直的判定定理一：过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直。
12.直线与平面垂直的判定定理二：过直线上一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。
13.直线与平面垂直的判定定理三：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
14. 直线与平面垂直的性质定理四：如果一条直线垂直于已知平面，另一条直线平行于这条直线，那么另一条直线也垂直于已知平面。
15.直线与平面垂直的性质定理五：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
16.射影长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，斜线段相等的射影相等，射影相等的斜线段相等，斜线段较长的射影也较长，射影较长的斜线段也较长，垂线段最短。
17.最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与平面内任意一条直线中所成的角中最小的。
18.三垂线定理：平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
19.三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
空间几何证明题知识点总结
空间几何证明题知识点总结一、空间几何基本概念1. 点、线、面的概念点：几何空间中最基本的元素，没有长度、宽度和高度，只有位置。
线：由无限多个点构成，具有长度而无宽度和高度。
面：由至少三条线段组成，有长度和宽度但没有高度。
2. 平行线、垂直线的概念平行线：在同一个平面上，没有交点的两条直线称为平行线。
垂直线：两条直线或者线段相交成直角的两条直线称为垂直线。
3. 多面体的概念多面体是由若干个平面图形组成的立体图形，包括三棱柱、四棱锥、正方体、正六面体、正十二面体等。
二、空间几何的基本定理1. 钝角的定理在一个三角形中，如果一个角是钝角，则对应的边最长。
2. 射影定理在两个平行的平面中，从一个点向两平面作垂线，垂线的射影在两个平面上呈相似三角形。
3. 平行截割定理如果两条直线分别与两个平行的直线相交，那么这两条直线所成的对应的角相等。
4. 直线与平面的垂直关系如果一条直线和一个平面垂直，那这条直线上任意一点到平面的距离均相等。
5. 空间四边形的面积定理空间四边形的面积等于它的底边与高的乘积。
6. 空间几何的基本构造如何在空间中进行直线与平面的交点、平行线的构造等。
三、空间几何的证明题1. 证明相似三角形射影定理相似三角形射影定理指的是在两个平行平面中，从一个点向两平面作垂线，垂线的射影在两平面上呈相似三角形。
证明这个定理需要运用平行线的性质以及相似三角形的性质，通过对各边的比例进行推导和证明，最终得到结论。
2. 证明直线与平面的垂直关系直线与平面的垂直关系是指如果一条直线和一个平面垂直，那这条直线上任意一点到平面的距离均相等。
证明这个关系需要运用垂直平面的定义，即直线与平面的交点是直线上任意一点到平面的距离为零，以及垂直平面的性质，最终得出结论。
3. 证明多面体的面积定理多面体的面积定理是指空间四边形的面积等于它的底边与高的乘积。
证明这个定理需要根据多面体的定义和性质，将四边形的面积分解成底边与高的乘积，通过对底边和高的关系进行求解，最终得到结论。
空间立体几何点线面判断与证明
常州知典教育一对一教案学生：年级：学科：数学授课时间：月日授课老师：赵鹏飞直线与直线直线与平面平面与平面平行关系相交关系独有关系(1)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α(2)下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【解析】(1)对于选项A，m与n还可以相交或异面；对于选项C，还可以是n⊂α；对于选项D，还可以是n∥α或n⊂α或n与α相交．(2)对于命题A，这两条直线可以相交或为异面直线，∴A错误；对于命题B，这两个平面可以相交，∴B错误；对于命题D，这两个平面还可能相交，∴D错误；而由线面平行的性质定理可证C正确．故选C.【答案】(1)B(2)C【点拨】解题(1)根据空间线面、面面、线线平行的判定与性质、垂直的判定与性质逐个进行判断，注意空间位置关系的各种可能情况．解题(2)时要注意充分利用正方体(或长方体)模型辅助空间想象．解决空间位置关系问题的方法(1)解决空间中点、线、面位置关系的问题，首先要明确空间位置关系的定义，然后通过转化的方法，把空间中位置关系的问题转化为平面问题解决．(2)解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用正(长)方体模型来解决问题．考向2 异面直线所成的角1．两条异面直线所成的角过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线，那么这两条相交直线所成的锐角或直角叫作这两条异面直线所成的角．若记这个角为θ，则θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.2．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线．(2)反证法：证明两直线平行、相交不可能或证明两直线共面不可能，从而可得两直线异面．(1)(2014·大纲全国，4)已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A.16B.36 C.13 D.33(2)如图，已知二面角α-MN -β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A ，B 两点在棱MN上，∠BAD＝60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O.①证明：AB⊥平面ODE；②求异面直线BC与OD所成角的余弦值．【解析】(1)如图，取AD的中点F，连接CF，EF，则EF∥BD，∴∠CEF即为异面直线CE与BD所成的角．设正四面体的棱长为2，则CE＝CF＝3，EF＝12BD＝1.由余弦定理得cos∠CEF＝CE2＋EF2－CF22CE·EF＝36.∴CE与BD所成角的余弦值为36.故选B.(2)①证明：如图，∵DO⊥α，AB⊂α，∴DO⊥AB.连接BD，由题设知，△ABD是正三角形．又E是AB的中点，∴DE⊥AB.而DO∩DE＝D，故AB⊥平面ODE.②因为BC∥AD，所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即∠ADO 是异面直线BC与OD所成的角．由①知，AB⊥平面ODE，所以AB⊥OE.又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α-MN-β的平面角，从而∠DEO＝60°.不妨设AB＝2，则AD＝2.易知DE＝ 3.在Rt△DOE中，DO＝DE·sin 60°＝32.连接AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO＝DOAD＝322＝34.故异面直线BC与OD所成角的余弦值为34.【点拨】解题(1)的关键是选取合适的点作出异面直线的平行线．解题(2)时应注意异面直线所成的角归结到一个三角形里．特别为直角三角形．求异面直线所成角的方法(1)作：利用定义转化为平面角，对于异面直线所成的角，可固定一条、平移一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．(2)证：证明作出的角为所求角．(3)求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．考向3线面平行的判定与性质直线与平面平行的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理不在平面内的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为线线平行⇒线面平行)⎭⎬⎫l⊄αa⊂αl∥a⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为线面平行⇒线线平行)⎭⎬⎫a∥αa⊂βα∩β＝b⇒a∥b直线与平面平行的判定定理和性质定理中的三个条件缺一不可；线面平行的性质定理可以作为线线平行的判定方法．(2014·北京，17，14分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E-ABC的体积．【思路导引】(1)利用已知条件转化为证明AB⊥平面B1BCC1；(2)取AB的中点G，构造四边形FGEC1，证明其为平行四边形，从而得证；(3)根据题中数据代入公式计算即可．【解析】(1)证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明：如图，取AB中点G，连接EG，FG.因为G，F分别是AB，BC的中点，所以FG∥AC，且FG＝12AC.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，E为A1C1的中点，所以FG∥EC1，且FG＝EC1.所以四边形FGEC1为平行四边形．所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE.(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝AC2－BC2＝ 3.所以三棱锥E-ABC的体积V＝13S△ABC·AA1＝13×12×3×1×2＝33.1.证明线面平行问题的思路(一)(1)作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线；(2)证明线线平行；(3)根据线面平行的判定定理证明线面平行．2．证明线面平行问题的思路(二)(1)在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面；(2)利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行；(3)证明所作平面与所证平面平行；(4)转化为线面平行．(2013·江苏，18，13分)如图①，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图②所示的三棱锥A-BCF，其中BC＝2 2.(1)证明：DE∥平面BCF；(2)证明：CF⊥平面ABF；(3)当AD＝23时，求三棱锥F-DEG的体积．解：(1)证明：在等边三角形ABC中，AD＝AE，∴ADDB＝AEEC，在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立，∴DE∥BC.∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF.(2)证明：由图①，在等边三角形ABC中，F是BC的中点，∴AF⊥BC，在三棱锥中仍有AF⊥CF，BF＝CF＝1 2.∵在三棱锥A-BCF中，BC＝2 2，∴BC2＝BF2＋CF2，∴CF⊥BF.又∵BF∩AF＝F，∴CF⊥平面ABF.(3)由(1)可知GE∥CF，结合(2)可得GE⊥平面DFG.∴V FDEG＝V EDFG＝13×12·DG·FG·EG＝13×12×13×⎝⎛⎭⎪⎫13×32×13＝3324.考向4面面平行的判定与性质平面与平面平行的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为线面平行⇒面面平行)⎭⎪⎬⎪⎫a⊂αb⊂αa∩b＝Pa∥βb∥β⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行⎭⎬⎫α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b⇒a∥b平面与平面平行的性质定理实际上给出了判定两条直线平行的一种方法，注意一定是第三个平面与两平行平面相交，其交线平行．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 2.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积．【解析】 (1)证明：由题设知，BB 1綊DD 1， ∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形， ∴BD ∥B 1D 1. 又BD ⊄平面CD 1B 1， ∴BD ∥平面CD 1B 1. ∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥D 1C . 又A 1B ⊄平面CD 1B 1， ∴A 1B ∥平面CD 1B 1. 又∵BD ∩A 1B ＝B ， ∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O 是三棱柱ABD -A 1B 1D 1的高． 又∵AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2，∴A 1O ＝AA 21－AO 2＝1.又∵S △ABD ＝12×2×2＝1， ∴VABD -A 1B 1D 1＝S △ABD ·A 1O ＝1.【点拨】 解题(1)需将面面平行关系转化为线面平行，再转化为线线平行，通过取特殊四边形来完成证明；解题(2)的关键是选易求高的底面，利用线面垂直的判定找高．1.判定面面平行的四个方法(1)利用定义：即判断两个平面没有公共点．(2)利用面面平行的判定定理．(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行．(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行．2．平行问题的转化关系(2014·十校联考，18，12分)如图，在三棱柱ABC-A 1B1C1中，D是BC 上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图，连接A1C交AC1于点E，连接ED.∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是A1C的中点．∵A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，∴A1B∥ED.∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点．又D1是B1C1的中点，∴D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴BD1∥C1D.又A1B∩BD1＝B，DE∩DC1＝D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.考向5线面垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎬⎫a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎬⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b 如图，四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π3，M 为BC 上一点，且BM ＝12.(1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若MP ⊥AP ，求四棱锥P -ABMO 的体积．【思路导引】 (1)由余弦定理、勾股定理等知识先证OM ⊥BM ，再由线面垂直的判定定理证明；(2)将底面四边形ABMO 分为△ABO 与△MBO 来求面积，根据(1)中结果，利用勾股定理、余弦定理求出PO ，代入棱锥的体积公式求解．【解析】 (1)证明：如图，连接OB ，因为四边形ABCD 为菱形，O 为菱形中心，所以AO ⊥OB . 因为∠BAD ＝π3，故OB ＝AB ·sin ∠OAB ＝2sin π6＝1. 又因为BM ＝12，且∠OBM ＝π3，在△OBM 中，OM 2＝OB 2＋BM 2－2OB ·BM ·cos ∠OBM ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2×1×12×cos π3＝34.所以OB 2＝OM 2＋BM 2，故OM ⊥BM . 又PO ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥BC .又OM ⊂平面POM ，PO ⊂平面POM ，OM ∩PO ＝O ， 所以BC ⊥平面POM .(2)由(1)可得，OA ＝AB ·cos ∠OAB ＝2·cos π6＝ 3.设PO ＝a ，由PO ⊥底面ABCD 知，△POA 为直角三角形， 故P A 2＝PO 2＋OA 2＝a 2＋3. 由△POM 也是直角三角形， 故PM 2＝PO 2＋OM 2＝a 2＋34.如图，连接AM .在△ABM 中，AM 2＝AB 2＋BM 2－2AB ·BM ·cos ∠ABM ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2×2×12×cos 2π3＝214.由已知MP ⊥AP ，故△APM 为直角三角形， 则P A 2＋PM 2＝AM 2，即a 2＋3＋a 2＋34＝214， 得a ＝32，a ＝－32(舍去)，即PO ＝32. 此时S 四边形ABMO ＝S △AOB ＋S △OMB ＝12·AO ·OB ＋12·BM ·OM ＝12×3×1＋12×12×32＝538. 所以四棱锥P -ABMO 的体积V P ABMO ＝13·S 四边形ABMO ·PO ＝13×538×32＝516.1.证明直线与平面垂直的一般步骤(1)找与作：在已知平面内找或作两条相交直线与已知直线垂直． (2)证：证明所找到的或所作的直线与已知直线垂直． (3)用：利用线面垂直的判定定理，得出结论． 2．判定线面垂直的四种方法 (1)利用线面垂直的判定定理．(2)利用“两平行线中的一条与已知平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”． (3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直”．(4)利用面面垂直的性质定理．考向6面面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎬⎫l⊂βl⊥α⇒α⊥β性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面⎭⎬⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α(2014·江苏，16，14分)如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知P A⊥AC，P A＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)直线P A∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.【思路导引】(1)利用三角形中位线的性质找到线线平行，再运用直线与平面平行的判定定理进行求证；(2)要证面面垂直可考虑寻找线面垂直，要证线面垂直可考虑寻找线线垂直，利用勾股定理可证线线垂直．【证明】(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥P A.又因为P A⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE ∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF .又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC . 又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .1.面面垂直证明的两种思路(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．2．垂直问题的转化关系考向7 线面角、二面角的求法1．线面角(1)当l ⊥α时，线面角为90°.(2)当l ∥α或l ⊂α时，线面角为0°. (3)线面角θ的范围：0°≤θ≤90°. 2．二面角(1)如图，二面角α-l -β，若①O ∈l ，②OA ⊂α，OB ⊂β，③OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 就叫作二面角α-l -β的平面角．(2)二面角θ的范围：0°≤θ≤180°.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA＝BD＝2，AD＝2，P A＝PD＝5，E，F分别是棱AD，PC的中点．(1)证明：EF∥平面P AB.(2)若二面角P-AD-B为60°，①证明：平面PBC⊥平面ABCD；②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．【思路导引】(1)因为E，F分别是所在棱的中点，可取PB的中点M，证明四边形AMFE是平行四边形，然后利用线面平行的判定定理证明．(2)①连接PE，BE，由题意知∠PEB＝60°，在△PEB中利用余弦定理证出BE⊥PB.又BE⊥AD，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；②由①知BE⊥平面PBC，则∠EFB即为直线EF与平面PBC所成的角．【解析】(1)证明：如图，取PB中点M，连接MF，AM.因为F为PC中点．故MF∥BC且MF＝12BC.由已知有BC∥AD，BC＝AD.又由于E为AD的中点，因而MF∥AE且MF＝AE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EF∥AM.又AM⊂平面P AB，而EF⊄平面P AB，所以EF∥平面P AB.(2)①证明：如图，连接PE，BE.因为P A＝PD，BA＝BD，而E为AD的中点，故PE⊥AD，BE⊥AD，所以∠PEB为二面角P-AD-B的平面角．在△P AD中，由P A＝PD＝5，AD＝2，可解得PE＝2.在△ABD中，由BA＝BD＝2，AD＝2，可解得BE＝1.在△PEB中，PE＝2，BE＝1，∠PEB＝60°，由余弦定理，可解得PB＝3，从而∠PBE＝90°，即BE⊥PB.又BC∥AD，BE⊥AD，从而BE⊥BC，因此BE⊥平面PBC.又BE⊂平面ABCD，所以平面PBC⊥平面ABCD.②如图，连接BF.由①知，BE⊥平面PBC，所以∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角．由PB＝3及已知，得∠ABP为直角．而MB＝12PB＝32，可得AM＝112，故EF＝112.又BE＝1，故在Rt△EBF中，sin∠EFB＝BEEF＝21111.所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为211 11.1.求空间角的三个步骤(1)找：即找出相关的角；(2)证：即证明找出的角即为所求的角；(3)计算：即通过解三角形的方法求出所求角．2．空间角的找法(1)线面角找出斜线在平面上的射影，关键是作出垂线，确定垂足．(2)二面角二面角的大小用它的平面角来度量，平面角的常见作法有：①定义法；②垂面法．其中定义法是最常用的方法．课堂练习巩固练习：1.如图，在四棱锥PABCD中底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.(1)求证：AM⊥PD；(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值．2.如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥平面ABCD，M，N分别为SA，CD的中点．(1)证明：直线MN∥平面SBC；(2)证明：平面SBD⊥平面SAC.3.如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝BC.把△BAC沿AC折起到△P AC的位置，使得P点在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC 上，如图②所示，点E，F分别为棱PC，CD的中点．(1)求证：平面OEF∥平面APD；(2)求证：CD⊥平面POF；(3)若AD＝3，CD＝4，AB＝5，求四棱锥E-CFO的体积错题回顾1.解：(1)证明：∵P A⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴P A⊥AB.∵AB⊥AD，AD∩P A＝A，AD⊂平面P AD，P A⊂平面P AD，∴AB⊥平面P AD.∵PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，AB⊂平面ABM，BM⊂平面ABM，∴PD⊥平面ABM.∵AM⊂平面ABM，∴AM⊥PD.(2)由(1)知，AM⊥PD，又P A＝AD，则M是PD的中点．在Rt△P AD中，AM＝2，在Rt△CDM中，MC＝MD2＋DC2＝3，∴S△ACM＝12AM·MC＝62.设点D到平面ACM的距离为h，由V DACM＝V MACD，得13S△ACM·h＝13S△ACD·12P A.解得h＝63.设直线CD与平面ACM所成的角为θ，则sin θ＝hCD＝63，∴cos θ＝33.∴直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为33.2.证明：(1)如图所示，取SB 中点E ，连接ME ，CE .∵M 为SA 的中点，故ME ∥AB ，且ME ＝12AB .∵N 为CD 的中点，故CN ＝12AB ，从而ME ∥CN ，且ME ＝CN ， ∴四边形MECN 是平行四边形，∴MN ∥EC .又EC ⊂平面SBC ，MN ⊄平面SBC ，∴直线MN ∥平面SBC .(2)如图，连接AC ，BD 相交于点O . ∵SA ⊥底面ABCD ，故SA ⊥BD .∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD .又SA ∩AC ＝A ，故BD ⊥平面SAC .又BD ⊂平面SBD ，∴平面SBD ⊥平面SAC .3.解：(1)证明：因为点P 在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC上，所以PO ⊥平面ADC ，所以PO ⊥AC .因为AB ＝BC ，所以O 是AC 中点．又点E 是PC 的中点，所以OE ∥P A ，P A ⊂平面P AD .所以OE ∥平面P AD .同理OF ∥平面P AD .又OE ∩OF ＝O ，OE ，OF ⊂平面OEF ，所以平面OEF ∥平面P AD .(2)证明：因为OF ∥AD ，AD ⊥CD ， 所以OF ⊥CD .又PO ⊥平面ADC ，CD ⊂平面ADC ，所以PO ⊥CD .又OF ∩PO ＝O ，所以CD ⊥平面POF .(3)因为∠ADC ＝90°，AD ＝3，CD ＝4， 所以S △ACD ＝12×3×4＝6，而点O ，F 分别是AC ，CD 的中点，所以S △CFO ＝14S △ACD ＝32，由题意可知△ACP 为边长为5的等边三角形，所以OP ＝523，教研组长签字：。
立体几何篇(线面平行、面面平行,线面垂直、面面垂直)
点线面的位置关系一（线面平行和面面平行）线面平行：1、判定定理：（1）平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（线线平行，则线面平行）；方法：平行四边形法则+中位线法则（2）直线所在的一个平面与此平面平行，则该直线与此平面平行（面面平行，则线面平行）；2、性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面和此平面的交线与该直线平行（线面平行，则线线平行）；面面平行：1、判定定理：一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行（线面平行，则面面平行）；2、性质定理（1）两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行；（2）两个平面平行，同时与第三个平面相交，则交线平行。
例题选讲：1、如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=∠CEF=90°（1）求证：AE∥平面DCF；3、（全国卷）如图，直三棱柱111C B A ABC 中，E D ,分别是1,BB AB 的中点。
（1）证明：1BC //平面CD A 13.如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，E 是DD 1的中点，F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点．(1)证明：①EF ∥A 1D 1；线面垂直：3、判定定理：（3）一条直线与一个平面内的两条直交直线垂直，则这条直线垂直于这个面（线线垂直，则线面垂直）；（4）两平面垂直，在其中一个平面内，垂直于交线的直线，则垂直于另一个平面（面面垂直，则线面垂直）；方法：主动垂直+被动垂直4、性质定理（1）直线垂直于平面，则垂直于平面内的任意一条直线；（2）垂直于同一平面的两条直线平行；面面垂直：4、判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直（线面垂直，则面面垂直）；5、性质定理若二平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
例题选讲：1、如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥AD.E 和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.2、（全国卷）如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直底面ο90=∠ACB ，121AA BC AC ==，D 是侧棱1AA 的中点。
空间点线面的位置关系及公理
第△章立体几何与空间向量§8.3空问图形的基本关系与公理基础知识自主学匀ET 知识梳理 --------------------------- 11. 四个公理公理i :如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）. 公理2 :经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（即可以确定一个平面）.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理4:平行于同一条直线的两条直线平彳 _____ 2 .直线与直线的位置关系 （1）位置关系的分类 平行直线［相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 （2）异面直线所成的角 ①定义：过空间任意一点 P 分别引两条异面直线 a , b 的平行线l i , D （a // l i , b // “），这两条相交直线所成的锐角（或直角）叫作异面直线a ，b 所成的角（或夹角）.② 范围：（0，讣3 . 直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况.4 .平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 5.等角定理空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.【知识拓展】 1 .唯一性定理（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.共面直线 •豪习讲宝*(2) 过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(3) 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4) 过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.2 .异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“V”或“x”)(1)如果两个不重合的平面a, B有一条公共直线a,就说平面a, B相交，并记作an p= a.((2)两个平面a, B有一个公共点A,就说a B相交于过A点的任意一条直线.())(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面.(5)没有公共点的两条直线是异面直线.考点自测1 .下列命题正确的个数为((3) 两个平面ABC与DBC相交于线段BC.(①梯形可以确定一个平面;②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行;③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.A. 0B. 1C. 2 D . 32. (2016浙江)已知互相垂直的平面a B交于直线I.若直线m, n满足m// a, n丄B,则()A . m/ I B. m / nC. n丄I D . m± n3. (2016合肥质检)已知I, m, n为不同的直线，a, B Y为不同的平面，则下列判断正确的是()A .若m / a, n // a,贝U m / nB .若m丄a, n // B a丄B 贝U m± nC .若an p= I , m// a, m// B 贝U m// ID .若an B= m, an Y=n , I 丄m , I 丄n ,贝U I 丄a4. (教材改编)如图所示，已知在长方体ABCD - EFGH中，AB= 2 . 3 , AD = 2,3 , AE = 2, _则BC和EG所成角的大小是 _____ , AE和BG所成角的大小是__________ .5 .如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 a 上，且AB // CD ，则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 __________.题型分类深度剖析题型一平面基本性质的应用例1 (1)(2016山东)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面 a ，B 内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面 a和平面B 相交"的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件(2)已知空间四边形 ABCD(如图所示)，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H 分别是BC 、CD 上的点，且CG1CH = 3DC.求证:跟孫训爆1 如图，平面ABEF 丄平面ABCD ,四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，/ BAD = Z FAB 1 1=90°, BC // AD 且 BC = 2AD , BE // AF 且 BE = §AF , G 、H 分别为 FA 、FD 的中点. ⑴证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？① E 、F 、G 、H 四点共面； ② 三直线FH 、EG 、AC 共点.£题型二判断空间两直线的位置关系 例2 （1）（2015 •东）若直线11和l 2是异面直线，b 在平面a 内，12在平面B 内，I 是平面a 与平面B 的交线, 则下列命题正确的是（ ）A . I 与l i , I 2都不相交B . I 与l i , I 2都相交C . I 至多与l i , I 2中的一条相交D . I 至少与l i , S 中的一条相交⑵如图，在正方体 ABCD — A i B i C i D i 中，M , N 分别是BC i , CD i 的中点，则下列判断错误的是 （ ）A . MN 与CC i 垂直B . MN 与AC 垂直 C . MN 与BD 平行D . MN 与A i B i 平行（3）在图中，G 、N 、M 、H 分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点，则表示直线跟踪训练？ （i ）已知a , b , c 为三条不重合的直线，有下列结论：①若a 丄c ,贝Ub ±c ；③若a // b , b 丄c,则a 丄c.其中正确的个数为（ ）A . 0B . iC . 2D . 3（2）（20i6南昌一模）已知a 、b 、c 是相异直线，a B 、Y 是相异平面，则下列命题中正确的是 （ ）A . a 与b 异面，b 与c 异面？ a 与c 异面B . a 与b 相交，b 与c 相交？a 与c 相交C . all B p// Y ? a // YD . a //a, b //p, a 与p 相交？a 与b 相交 题型三求两条异面直线所成的角 例3（2016重庆模拟）如图，四边形 ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP 与BD 所成的角为 __________已知正四面体 ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线 CE 与BD 所成角的余弦值为（ ）GH 、MN 是异面直线的图形有a 丄b , a 丄c ,贝U b // c ； ②若 a 丄b ,_______ .（填上所有正确答案的序号）1.思想与方法系列16 •构造模型判断空间线面位置关系典例 已知m , n 是两条不同的直线，a, B 为两个不同的平面，有下列四个命题: ①若 m 丄 a, n 丄 B, m ± n ，贝U a 丄 B ；②若 m // a, n // p, m ± n ,贝U all B ；③若 m 丄 a,n // B, m ± n ，贝U allB ；④若 m 丄 a, n // B, a// B,贝U m ±n.其中所有正确的命题是 ___________•课时作业1 •设a , b 是两条不同的直线,a, B 是两个不同的平面,a a, b 丄B,贝U a all B‘是“ a 丄b ”的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件2 . （2016福州质检）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E 、F 分别为棱AA 1、C®的中点，则在空间中与直线 人冋、EF 、BC 都相交的直线（）A •不存在B .有且只有两条C •有且只有三条D •有无数条3 .对于任意的直线I 与平面a,在平面a 内必有直线m ,使m 与1（ ）A .平行B .相交C .垂直D .互为异面直线4.在四面体 ABCD 的棱AB , BC , CD , DA 上分别取E , F , G , H 四点，如果EF 与HG 交于点M ,则（）A . M 一定在直线AC 上B . M 一定在直线 BD 上C . M 可能在AC 上，也可能在 BD 上 D . M 既不在 AC 上，也不在 BD 上5 .四棱锥P -ABCD 的所有侧棱长都为 馬，底面ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与PA 所成角的余弦值6 .下列命题中，正确的是（ ）A .若a , b 是两条直线，a,B 是两个平面，且a a, b B 则a , b 是异面直线A. 1 3 1 6B.訂尹 _3 3-A. ^5 5 5B. 54 3B •若a, b是两条直线，且a// b,则直线a平行于经过直线b的所有平面C •若直线a 与平面a 不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行D .若直线a //平面a,点P € a,则平面a 内经过点P 且与直线a 平行的直线有且只有一条7 . （2016南昌高三期末）如图，在直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1中，底面为直角三角形./ ACB = 90° AC = 6, BC10.（2016郑州质检）如图，矩形ABCD 中，AB = 2AD ,E 为边AB 的中点，将△ ADE 沿直线DE 翻折成△ A i DE. 若M 为线段A 1C 的中点，则在△ ADE 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是 ①BM 是定值；②点M 在某个球面上运动；③存在某个位置，使 DE 丄AQ ; 上— _____AER④存在某个位置，使 MB //平面A 1DE .12.如图所示，等腰直角三角形 ABC 中，/ A = 90° 的中点•求异面直线 BE 与CD 所成角的余弦值.13.已知正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，E ，F 分别为 D 1C 1，C 1B 1 的中点，AC H BD = P ，AQ 1Q EF = Q.求证: （1）D 、B 、F 、E 四点共面;⑵若A 1C 交平面DBFE 于R 点，_则P ，Q ，R 三点共线.CC i = 2，P 是BC i 上一动点，则 CP + PA !的最小值为A8•如图是正四面体（各面均为正三角形）的平面展开图，G 、H 、M 、N 分别为DE 、BE 、EF 、EC 的中点，在这 个正四面体中，①GH 与EF 平行；②BD 与MN 为异面直线；③ GH 与MN 成60°角;④ _______________________________________________________ DE 与MN 垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是 __________________ .9 . （2015 浙江）如图，三棱锥 ABCD 中，AB = AC = BD = CD = 3，AD = 中点，则异面直线 AN ，CM 所成的角的余弦值是 ___________ .BC = 2，点M ， N 分别是AD ， 冲BC 的A且E 为DABC = . 2，DA 丄AC ，。
空间立体几何点线面判断与证明
常州知典教育一对一教案学生：年级：学科：数学授课时间：月日授课老师：赵鹏飞教学过程﹃讲义部分﹄考向1 空间中点、线、面位置关系的判断1．平面的基本性质的应用(1)公理1：证明“点在面内”或“线在面内”．(2)公理2及三个推论：证明两个平面重合，用来确定一个平面或证明“点线共面”．(3)公理3：确定两个面的交线，尤其是画截面图或补体时用到，证明“三点共线”“三线共点”．要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．2．空间中点、线、面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系相交关系独有关系(1)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α(2)下列命题正确的是( )A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【解析】(1)对于选项A，m与n还可以相交或异面；对于选项C，还可以是n⊂α；对于选项D，还可以是n∥α或n⊂α或n与α相交．(2)对于命题A，这两条直线可以相交或为异面直线，∴A错误；对于命题B，这两个平面可以相交，∴B错误；对于命题D，这两个平面还可能相交，∴D错误；而由线面平行的性质定理可证C正确．故选C.【答案】(1)B (2)C【点拨】解题(1)根据空间线面、面面、线线平行的判定与性质、垂直的判定与性质逐个进行判断，注意空间位置关系的各种可能情况．解题(2)时要注意充分利用正方体(或长方体)模型辅助空间想象．解决空间位置关系问题的方法(1)解决空间中点、线、面位置关系的问题，首先要明确空间位置关系的定义，然后通过转化的方法，把空间中位置关系的问题转化为平面问题解决．(2)解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用正(长)方体模型来解决问题．考向2 异面直线所成的角1．两条异面直线所成的角过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线，那么这两条相交直线所成的锐角或直角叫作这两条异面直线所成的角．若记这个角为θ，则θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2. 2．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线．(2)反证法：证明两直线平行、相交不可能或证明两直线共面不可能，从而可得两直线异面．(1)(2014·大纲全国，4)已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )(2)如图，已知二面角αMN β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A ，B 两点在棱MN 上，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O .①证明：AB ⊥平面ODE ；②求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值．【解析】 (1)如图，取AD 的中点F ，连接CF ，EF ，则EF ∥BD ，∴∠CEF即为异面直线CE与BD所成的角．设正四面体的棱长为2，则CE＝CF＝3，EF＝12BD＝1.由余弦定理得cos∠CEF＝CE2＋EF2－CF22CE·EF＝36.∴CE与BD所成角的余弦值为36.故选B.(2)①证明：如图，∵DO⊥α，AB⊂α，∴DO⊥AB.连接BD，由题设知，△ABD是正三角形．又E是AB的中点，∴DE⊥AB.而DO∩DE＝D，故AB⊥平面ODE.②因为BC∥AD，所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即∠ADO是异面直线BC与OD所成的角．由①知，AB⊥平面ODE，所以AB⊥OE.又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角αMNβ的平面角，从而∠DEO＝60°.不妨设AB＝2，则AD＝2.易知DE＝ 3.在Rt△DOE中，DO＝DE·sin 60°＝3 2 .连接AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO＝DOAD＝322＝34.故异面直线BC与OD所成角的余弦值为34.【点拨】解题(1)的关键是选取合适的点作出异面直线的平行线．解题(2)时应注意异面直线所成的角归结到一个三角形里．特别为直角三角形．求异面直线所成角的方法(1)作：利用定义转化为平面角，对于异面直线所成的角，可固定一条、平移一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．(2)证：证明作出的角为所求角．(3)求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．考向3 线面平行的判定与性质直线与平面平行的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理不在平面内的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为线线平行⇒线面平行)⎭⎬⎫l⊄αa⊂αl∥a⇒l∥α性质定一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线⎭⎬⎫a∥αa⊂βα∩β＝b⇒a理平行(简记为线面平行⇒线线平行)∥b直线与平面平行的判定定理和性质定理中的三个条件缺一不可；线面平行的性质定理可以作为线线平行的判定方法．(2014·北京，17，14分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积．【思路导引】(1)利用已知条件转化为证明AB⊥平面B1BCC1；(2)取AB的中点G，构造四边形FGEC1，证明其为平行四边形，从而得证；(3)根据题中数据代入公式计算即可．【解析】(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明：如图，取AB中点G，连接EG，FG.因为G，F分别是AB，BC的中点，所以FG∥AC，且FG＝12 AC.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，E为A1C1的中点，所以FG∥EC1，且FG＝EC1.所以四边形FGEC1为平行四边形．所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE.(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝AC2－BC2＝ 3.所以三棱锥EABC的体积V＝13S△ABC·AA1＝13×12×3×1×2＝33.1.证明线面平行问题的思路(一)(1)作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线；(2)证明线线平行；(3)根据线面平行的判定定理证明线面平行．2．证明线面平行问题的思路(二)(1)在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面；(2)利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行；(3)证明所作平面与所证平面平行；(4)转化为线面平行．(2013·江苏，18，13分)如图①，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图②所示的三棱锥ABCF，其中BC＝2 2 .(1)证明：DE∥平面BCF；(2)证明：CF⊥平面ABF；(3)当AD＝23时，求三棱锥FDEG的体积．解：(1)证明：在等边三角形ABC中，AD＝AE，∴ADDB＝AEEC，在折叠后的三棱锥ABCF中也成立，∴DE∥BC.∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF.(2)证明：由图①，在等边三角形ABC中，F是BC的中点，∴AF⊥BC，在三棱锥中仍有AF⊥CF，BF＝CF＝1 2 .∵在三棱锥ABCF中，BC＝22，∴BC2＝BF2＋CF2，∴CF⊥BF.又∵BF∩AF＝F，∴CF⊥平面ABF.(3)由(1)可知GE∥CF，结合(2)可得GE⊥平面DFG.∴V FDEG＝V EDFG＝13×12·DG·FG·EG＝13×12×13×⎝⎛⎭⎪⎫13×32×13＝3324.考向4 面面平行的判定与性质平面与平面平行的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为线面平行⇒面面平行)⎭⎪⎬⎪⎫a⊂αb⊂αa∩b＝Pa∥βb∥β⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行⎭⎬⎫α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b⇒a∥b平面与平面平行的性质定理实际上给出了判定两条直线平行的一种方法，注意一定是第三个平面与两平行平面相交，其交线平行．如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 2.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABDA1B1D1的体积．【解析】(1)证明：由题设知，BB1綊DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1綊B1C1綊BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.又∵BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.(2)∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABDA1B1D1的高．又∵AO＝12AC＝1，AA1＝2，∴A1O＝AA21－AO2＝1.又∵S△ABD＝12×2×2＝1，∴VABDA1B1D1＝S△ABD·A1O＝1.【点拨】解题(1)需将面面平行关系转化为线面平行，再转化为线线平行，通过取特殊四边形来完成证明；解题(2)的关键是选易求高的底面，利用线面垂直的判定找高．1.判定面面平行的四个方法(1)利用定义：即判断两个平面没有公共点．(2)利用面面平行的判定定理．(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行．(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行．2．平行问题的转化关系(2014·十校联考，18，12分)如图，在三棱柱ABCA 1B1C1中，D是BC 上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图，连接A1C交AC1于点E，连接ED.∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是A1C的中点．∵A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，∴A1B∥ED.∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点．又D1是B1C1的中点，∴D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴BD1∥C1D.又A1B∩BD1＝B，DE∩DC1＝D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.考向5 线面垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎬⎫a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎬⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b如图，四棱锥PABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝π3，M为BC上一点，且BM＝12.(1)证明：BC⊥平面POM；(2)若MP⊥AP，求四棱锥PABMO的体积．【思路导引】(1)由余弦定理、勾股定理等知识先证OM⊥BM，再由线面垂直的判定定理证明；(2)将底面四边形ABMO 分为△ABO 与△MBO 来求面积，根据(1)中结果，利用勾股定理、余弦定理求出PO ，代入棱锥的体积公式求解．【解析】 (1)证明：如图，连接OB ，因为四边形ABCD 为菱形，O 为菱形中心，所以AO ⊥OB . 因为∠BAD ＝π3， 故OB ＝AB ·sin ∠OAB ＝2sinπ6＝1. 又因为BM ＝12，且∠OBM ＝π3，在△OBM 中，OM 2＝OB 2＋BM 2－2OB ·BM ·cos ∠OBM ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2×1×12×cos π3＝34.所以OB 2＝OM 2＋BM 2，故OM ⊥BM . 又PO ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥BC .又OM ⊂平面POM ，PO ⊂平面POM ，OM ∩PO ＝O ， 所以BC ⊥平面POM .(2)由(1)可得，OA ＝AB ·cos ∠OAB ＝2·cosπ6＝ 3. 设PO ＝a ，由PO ⊥底面ABCD 知，△POA 为直角三角形， 故PA 2＝PO 2＋OA 2＝a 2＋3. 由△POM 也是直角三角形，故PM 2＝PO 2＋OM 2＝a 2＋34.如图，连接AM .在△ABM 中，AM 2＝AB 2＋BM 2－2AB ·BM ·cos ∠ABM ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2×2×12×cos 2π3＝214.由已知MP ⊥AP ，故△APM 为直角三角形， 则PA 2＋PM 2＝AM 2，即a 2＋3＋a 2＋34＝214，得a ＝32，a ＝－32(舍去)，即PO ＝32. 此时S 四边形ABMO ＝S △AOB ＋S △OMB ＝12·AO ·OB ＋12·BM ·OM ＝12×3×1＋12×12×32＝538. 所以四棱锥P ABMO 的体积V P ABMO ＝13·S 四边形ABMO ·PO ＝13×538×32＝516. 1.证明直线与平面垂直的一般步骤(1)找与作：在已知平面内找或作两条相交直线与已知直线垂直． (2)证：证明所找到的或所作的直线与已知直线垂直． (3)用：利用线面垂直的判定定理，得出结论． 2．判定线面垂直的四种方法 (1)利用线面垂直的判定定理．(2)利用“两平行线中的一条与已知平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”． (3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直”．(4)利用面面垂直的性质定理．考向6 面面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎬⎫l⊂βl⊥α⇒α⊥β性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面⎭⎬⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α(2014·江苏，16，14分)如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.【思路导引】(1)利用三角形中位线的性质找到线线平行，再运用直线与平面平行的判定定理进行求证；(2)要证面面垂直可考虑寻找线面垂直，要证线面垂直可考虑寻找线线垂直，利用勾股定理可证线线垂直．【证明】 (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点， 所以DE ∥PA .又因为PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， 所以直线PA ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，PA ＝6，BC ＝8，所以DE ∥PA ，DE ＝12PA ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2， 所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF . 又PA ⊥AC ，DE ∥PA ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC . 又DE ⊂平面BDE ， 所以平面BDE ⊥平面ABC .1.面面垂直证明的两种思路(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．2．垂直问题的转化关系考向7 线面角、二面角的求法1．线面角(1)当l⊥α时，线面角为90°.(2)当l∥α或l⊂α时，线面角为0°.(3)线面角θ的范围：0°≤θ≤90°.2．二面角(1)如图，二面角αlβ，若①O∈l，②OA⊂α，OB⊂β，③OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB就叫作二面角αlβ的平面角．(2)二面角θ的范围：0°≤θ≤180°.如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，BA＝BD＝2，AD＝2，PA＝PD＝5，E，F分别是棱AD，PC的中点．(1)证明：EF∥平面PAB.(2)若二面角PADB为60°，①证明：平面PBC⊥平面ABCD；②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．【思路导引】(1)因为E，F分别是所在棱的中点，可取PB的中点M，证明四边形AMFE是平行四边形，然后利用线面平行的判定定理证明．(2)①连接PE，BE，由题意知∠PEB＝60°，在△PEB中利用余弦定理证出BE⊥PB.又BE⊥AD，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；②由①知BE⊥平面PBC，则∠EFB即为直线EF与平面PBC所成的角．【解析】(1)证明：如图，取PB中点M，连接MF，AM.因为F为PC中点．故MF∥BC且MF＝12 BC.由已知有BC∥AD，BC＝AD.又由于E为AD的中点，因而MF∥AE且MF＝AE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EF∥AM.又AM⊂平面PAB，而EF⊄平面PAB，所以EF∥平面PAB.(2)①证明：如图，连接PE，BE.因为PA＝PD，BA＝BD，而E为AD的中点，故PE⊥AD，BE⊥AD，所以∠PEB为二面角PADB的平面角．在△PAD中，由PA＝PD＝5，AD＝2，可解得PE＝2.在△ABD中，由BA＝BD＝2，AD＝2，可解得BE＝1.在△PEB中，PE＝2，BE＝1，∠PEB＝60°，由余弦定理，可解得PB＝3，从而∠PBE＝90°，即BE⊥PB.又BC∥AD，BE⊥AD，从而BE⊥BC，因此BE⊥平面PBC.又BE⊂平面ABCD，所以平面PBC⊥平面ABCD.②如图，连接BF.由①知，BE⊥平面PBC，所以∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角．由PB＝3及已知，得∠ABP为直角．而MB＝12PB＝32，可得AM＝112，故EF＝112.又BE＝1，故在Rt△EBF中，sin∠EFB＝BEEF＝21111.所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为211 11.1.求空间角的三个步骤(1)找：即找出相关的角；(2)证：即证明找出的角即为所求的角；(3)计算：即通过解三角形的方法求出所求角．2．空间角的找法(1)线面角找出斜线在平面上的射影，关键是作出垂线，确定垂足．(2)二面角二面角的大小用它的平面角来度量，平面角的常见作法有：①定义法；②垂面法．其中定义法是最常用的方法．课堂练习巩固练习：1.如图，在四棱锥PABCD中底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.(1)求证：AM⊥PD；(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值．2.如图所示，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥平面ABCD，M，N 分别为SA，CD的中点．(1)证明：直线MN∥平面SBC；(2)证明：平面SBD⊥平面SAC.3.如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝BC.把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得P点在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，如图②所示，点E，F分别为棱PC，CD的中点．(1)求证：平面OEF∥平面APD；(2)求证：CD⊥平面POF；(3)若AD＝3，CD＝4，AB＝5，求四棱锥ECFO的体积错题回顾1.解：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.∵AB⊥AD，AD∩PA＝A，AD⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD.∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，AB⊂平面ABM，BM⊂平面ABM，∴PD⊥平面ABM.∵AM⊂平面ABM，∴AM⊥PD.(2)由(1)知，AM⊥PD，又PA＝AD，则M是PD的中点．在Rt△PAD中，AM＝2，在Rt△CDM中，MC＝MD2＋DC2＝3，∴S△ACM＝12AM·MC＝62.设点D到平面ACM的距离为h，由V DACM＝V MACD，得13S△ACM·h＝13S△ACD·12PA.解得h＝6 3 .设直线CD与平面ACM所成的角为θ，则sin θ＝hCD＝63，∴cos θ＝3 3 .∴直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为3 3 .2.证明：(1)如图所示，取SB中点E，连接ME，CE.∵M为SA的中点，故ME∥AB，且ME＝12 AB.∵N为CD的中点，故CN＝12AB，从而ME∥CN，且ME＝CN，∴四边形MECN是平行四边形，∴MN∥EC.又EC⊂平面SBC，MN⊄平面SBC，∴直线MN∥平面SBC.(2)如图，连接AC，BD相交于点O.∵SA⊥底面ABCD，故SA⊥BD.∵四边形ABCD是菱形，教研组长签字：。
第二讲空间点、线、面
立体几何判定方法汇总一、判定两线平行的方法1、公理四：平行于同一直线的两条直线互相平行2、线面垂直的性质定理:垂直于同一平面的两条直线互相平行3、线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行4、面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明二、判定线面平行的方法1、定义：如果一条直线和一个平面没有公共点2、线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行3、面面平行的性质定理：两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面4、线面平行的性质定理：平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法1、定义：没有公共点2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行3 垂直于同一直线的两个平面平行4、平行于同一平面的两个平面平行四、面面平行的性质1、两平行平面没有公共点2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面五、判定线面垂直的方法1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面六、判定两线垂直的方法1、定义：成角︒902、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直七、判定面面垂直的方法1、定义：两面成直二面角,则两面垂直2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面八、面面垂直的性质1、二面角的平面角为︒902、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是： ︒≤<︒900θ(]︒︒90,0异面直线所成角的计算。
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到知典，进重点常州中小学课外辅导权威品牌常州知典教育一对一教案学生：年级：学科：数学授课时间：月日授课老师：赵鹏飞课题空间立体几何点线面判断与证明教学目标（通过本节课学生需掌握的知识点及达到程度）掌握空间立体几何中的点线面之间的关系，平行，相交，垂直，异面，重合等等，以及证明面面垂直，面面平行等方法和步骤，了解关于几何体中一些基本的计算和比值。
本节课考点及单元测试中所占分值比例15%学生薄弱点，需重点讲解内容证明时对判断的方法出现错误思维，导致证明失分，使用性质时没有给出应有的条件导致扣分，计算的失误使得自己失分。
课前检查上次作业完成情况：优□良□中□差□建议:教学过程﹃讲义部分﹄考向1空间中点、线、面位置关系的判断1．平面的基本性质的应用(1)公理1：证明“点在面内”或“线在面内”．(2)公理2及三个推论：证明两个平面重合，用来确定一个平面或证明“点线共面”．(3)公理3：确定两个面的交线，尤其是画截面图或补体时用到，证明“三点共线”“三线共点”．要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．2．空间中点、线、面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系相交关系独有关系(1)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α(2)下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【解析】(1)对于选项A，m与n还可以相交或异面；对于选项C，还可以是n⊂α；对于选项D，还可以是n∥α或n⊂α或n与α相交．(2)对于命题A，这两条直线可以相交或为异面直线，∴A错误；对于命题B，这两个平面可以相交，∴B错误；对于命题D，这两个平面还可能相交，∴D错误；而由线面平行的性质定理可证C正确．故选C.【答案】(1)B(2)C【点拨】解题(1)根据空间线面、面面、线线平行的判定与性质、垂直的判定与性质逐个进行判断，注意空间位置关系的各种可能情况．解题(2)时要注意充分利到知典，进重点 常州中小学课外辅导权威品牌用正方体(或长方体)模型辅助空间想象．解决空间位置关系问题的方法(1)解决空间中点、线、面位置关系的问题，首先要明确空间位置关系的定义，然后通过转化的方法，把空间中位置关系的问题转化为平面问题解决．(2)解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用正(长)方体模型来解决问题．考向2 异面直线所成的角1．两条异面直线所成的角过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线，那么这两条相交直线所成的锐角或直角叫作这两条异面直线所成的角．若记这个角为θ，则θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.2．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线．(2)反证法：证明两直线平行、相交不可能或证明两直线共面不可能，从而可得两直线异面．(1)(2014·大纲全国，4)已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A.16B.36 C.13 D.33(2)如图，已知二面角α-MN -β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A ，B 两点在棱MN上，∠BAD＝60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O.①证明：AB⊥平面ODE；②求异面直线BC与OD所成角的余弦值．【解析】(1)如图，取AD的中点F，连接CF，EF，则EF∥BD，∴∠CEF即为异面直线CE与BD所成的角．设正四面体的棱长为2，则CE＝CF＝3，EF＝12BD＝1.由余弦定理得cos∠CEF＝CE2＋EF2－CF22CE·EF＝36.∴CE与BD所成角的余弦值为36.故选B.(2)①证明：如图，∵DO⊥α，AB⊂α，∴DO⊥AB.连接BD，由题设知，△ABD是正三角形．又E是AB的中点，∴DE⊥AB.而DO∩DE＝D，故AB⊥平面ODE.②因为BC∥AD，所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即∠ADO 是异面直线BC与OD所成的角．到知典，进重点常州中小学课外辅导权威品牌由①知，AB⊥平面ODE，所以AB⊥OE.又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α-MN-β的平面角，从而∠DEO＝60°.不妨设AB＝2，则AD＝2.易知DE＝ 3.在Rt△DOE中，DO＝DE·sin 60°＝3 2.连接AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO＝DOAD＝322＝34.故异面直线BC与OD所成角的余弦值为3 4.【点拨】解题(1)的关键是选取合适的点作出异面直线的平行线．解题(2)时应注意异面直线所成的角归结到一个三角形里．特别为直角三角形．求异面直线所成角的方法(1)作：利用定义转化为平面角，对于异面直线所成的角，可固定一条、平移一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．(2)证：证明作出的角为所求角．(3)求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．考向3线面平行的判定与性质直线与平面平行的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理不在平面内的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为线线平行⇒线面平行)⎭⎬⎫l⊄αa⊂αl∥a⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为线面平行⇒线线平行)⎭⎬⎫a∥αa⊂βα∩β＝b⇒a∥b 直线与平面平行的判定定理和性质定理中的三个条件缺一不可；线面平行的性质定理可以作为线线平行的判定方法．(2014·北京，17，14分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E-ABC的体积．【思路导引】(1)利用已知条件转化为证明AB⊥平面B1BCC1；(2)取AB的中点G，构造四边形FGEC1，证明其为平行四边形，从而得证；(3)根据题中数据代入公式计算即可．【解析】(1)证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，到知典，进重点常州中小学课外辅导权威品牌所以AB⊥平面B1BCC1.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明：如图，取AB中点G，连接EG，FG.因为G，F分别是AB，BC的中点，所以FG∥AC，且FG＝12AC.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，E为A1C1的中点，所以FG∥EC1，且FG＝EC1.所以四边形FGEC1为平行四边形．所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE.(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝AC2－BC2＝ 3.所以三棱锥E-ABC的体积V＝13S△ABC·AA1＝13×12×3×1×2＝33.1.证明线面平行问题的思路(一)(1)作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线；(2)证明线线平行；(3)根据线面平行的判定定理证明线面平行．2．证明线面平行问题的思路(二)(1)在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面；(2)利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行；(3)证明所作平面与所证平面平行；(4)转化为线面平行．(2013·江苏，18，13分)如图①，在边长为1的等边三角形ABC中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G .将△ABF 沿AF 折起，得到如图②所示的三棱锥A -BCF ，其中BC ＝22.(1)证明：DE ∥平面BCF ； (2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F -DEG 的体积．解：(1)证明：在等边三角形ABC 中，AD ＝AE ， ∴AD DB ＝AEEC ，在折叠后的三棱锥A -BCF 中也成立， ∴DE ∥BC .∵DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， ∴DE ∥平面BCF .(2)证明：由图①，在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点， ∴AF ⊥BC ，在三棱锥中仍有AF ⊥CF ， BF ＝CF ＝12.∵在三棱锥A -BCF 中，BC ＝22， ∴BC 2＝BF 2＋CF 2， ∴CF ⊥BF .又∵BF ∩AF ＝F ，∴CF ⊥平面ABF .(3)由(1)可知GE ∥CF ，结合(2)可得GE ⊥平面DFG . ∴V F DEG ＝V E DFG到知典，进重点 常州中小学课外辅导权威品牌＝13×12·DG ·FG ·EG ＝13×12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13×32×13＝3324.考向4 面面平行的判定与性质平面与平面平行的判定定理与性质定理 文字语言图形语言 符号语言判 定 定 理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为线面平行⇒面面平行)⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂αb ⊂αa ∩b ＝P a ∥βb ∥β⇒α∥β 性 质 定 理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行⎭⎬⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b平面与平面平行的性质定理实际上给出了判定两条直线平行的一种方法，注意一定是第三个平面与两平行平面相交，其交线平行．如图，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 是底面中心，A 1O ⊥底面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.(1)证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1； (2)求三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积．【解析】 (1)证明：由题设知，BB 1綊DD 1， ∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形， ∴BD ∥B 1D 1. 又BD ⊄平面CD 1B 1， ∴BD ∥平面CD 1B 1. ∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥D 1C . 又A 1B ⊄平面CD 1B 1， ∴A 1B ∥平面CD 1B 1. 又∵BD ∩A 1B ＝B ， ∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O 是三棱柱ABD -A 1B 1D 1的高． 又∵AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2，∴A 1O ＝AA 21－AO 2＝1.又∵S △ABD ＝12×2×2＝1，∴VABD -A 1B 1D 1＝S △ABD ·A 1O ＝1.到知典，进重点常州中小学课外辅导权威品牌【点拨】解题(1)需将面面平行关系转化为线面平行，再转化为线线平行，通过取特殊四边形来完成证明；解题(2)的关键是选易求高的底面，利用线面垂直的判定找高．1.判定面面平行的四个方法(1)利用定义：即判断两个平面没有公共点．(2)利用面面平行的判定定理．(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行．(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行．2．平行问题的转化关系(2014·十校联考，18，12分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图，连接A1C交AC1于点E，连接ED.∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是A1C的中点．∵A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，∴A1B∥ED.∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点．又D1是B1C1的中点，∴D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴BD1∥C1D.又A1B∩BD1＝B，DE∩DC1＝D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.考向5线面垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎬⎫a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎬⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b 如图，四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面到知典，进重点 常州中小学课外辅导权威品牌ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π3，M 为BC 上一点，且BM ＝12.(1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若MP ⊥AP ，求四棱锥P -ABMO 的体积．【思路导引】 (1)由余弦定理、勾股定理等知识先证OM ⊥BM ，再由线面垂直的判定定理证明；(2)将底面四边形ABMO 分为△ABO 与△MBO 来求面积，根据(1)中结果，利用勾股定理、余弦定理求出PO ，代入棱锥的体积公式求解．【解析】 (1)证明：如图，连接OB ，因为四边形ABCD 为菱形，O 为菱形中心，所以AO ⊥OB . 因为∠BAD ＝π3，故OB ＝AB ·sin ∠OAB ＝2sin π6＝1. 又因为BM ＝12，且∠OBM ＝π3，在△OBM 中，OM 2＝OB 2＋BM 2－2OB ·BM ·cos ∠OBM ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2×1×12×cos π3＝34.所以OB 2＝OM 2＋BM 2，故OM ⊥BM . 又PO ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥BC .又OM ⊂平面POM ，PO ⊂平面POM ，OM ∩PO ＝O ， 所以BC ⊥平面POM .(2)由(1)可得，OA ＝AB ·cos ∠OAB ＝2·cos π6＝ 3.设PO ＝a ，由PO ⊥底面ABCD 知，△POA 为直角三角形， 故P A 2＝PO 2＋OA 2＝a 2＋3. 由△POM 也是直角三角形， 故PM 2＝PO 2＋OM 2＝a 2＋34.如图，连接AM .在△ABM 中，AM 2＝AB 2＋BM 2－2AB ·BM ·cos ∠ABM ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2×2×12×cos 2π3＝214.由已知MP ⊥AP ，故△APM 为直角三角形， 则P A 2＋PM 2＝AM 2，即a 2＋3＋a 2＋34＝214， 得a ＝32，a ＝－32(舍去)，即PO ＝32. 此时S 四边形ABMO ＝S △AOB ＋S △OMB ＝12·AO ·OB ＋12·BM ·OM ＝12×3×1＋12×12×32＝538. 所以四棱锥P -ABMO 的体积V P ABMO ＝13·S 四边形ABMO ·PO ＝13×538×32＝516.1.证明直线与平面垂直的一般步骤(1)找与作：在已知平面内找或作两条相交直线与已知直线垂直． (2)证：证明所找到的或所作的直线与已知直线垂直． (3)用：利用线面垂直的判定定理，得出结论． 2．判定线面垂直的四种方法 (1)利用线面垂直的判定定理．(2)利用“两平行线中的一条与已知平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”． (3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直”．到知典，进重点常州中小学课外辅导权威品牌(4)利用面面垂直的性质定理．考向6面面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎬⎫l⊂βl⊥α⇒α⊥β性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面⎭⎬⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α(2014·江苏，16，14分)如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知P A⊥AC，P A＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)直线P A∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.【思路导引】(1)利用三角形中位线的性质找到线线平行，再运用直线与平面平行的判定定理进行求证；(2)要证面面垂直可考虑寻找线面垂直，要证线面垂直可考虑寻找线线垂直，利用勾股定理可证线线垂直．【证明】(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥P A.又因为P A ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， 所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE ∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF .又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC . 又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .1.面面垂直证明的两种思路(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．2．垂直问题的转化关系考向7 线面角、二面角的求法1．线面角(1)当l ⊥α时，线面角为90°.(2)当l ∥α或l ⊂α时，线面角为0°. (3)线面角θ的范围：0°≤θ≤90°. 2．二面角(1)如图，二面角α-l -β，若①O ∈l ，②OA ⊂α，OB ⊂β，③OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 就叫作二面角α-l -β的平面角．到知典，进重点常州中小学课外辅导权威品牌(2)二面角θ的范围：0°≤θ≤180°.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA＝BD＝2，AD＝2，P A＝PD＝5，E，F分别是棱AD，PC的中点．(1)证明：EF∥平面P AB.(2)若二面角P-AD-B为60°，①证明：平面PBC⊥平面ABCD；②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．【思路导引】(1)因为E，F分别是所在棱的中点，可取PB的中点M，证明四边形AMFE是平行四边形，然后利用线面平行的判定定理证明．(2)①连接PE，BE，由题意知∠PEB＝60°，在△PEB中利用余弦定理证出BE⊥PB.又BE⊥AD，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；②由①知BE⊥平面PBC，则∠EFB即为直线EF与平面PBC所成的角．【解析】(1)证明：如图，取PB中点M，连接MF，AM.因为F为PC中点．故MF∥BC且MF＝12BC.由已知有BC∥AD，BC＝AD.又由于E为AD的中点，因而MF∥AE且MF＝AE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EF∥AM.又AM⊂平面P AB，而EF⊄平面P AB，所以EF∥平面P AB.(2)①证明：如图，连接PE，BE.因为P A＝PD，BA＝BD，而E为AD的中点，故PE⊥AD，BE⊥AD，所以∠PEB为二面角P-AD-B的平面角．在△P AD中，由P A＝PD＝5，AD＝2，可解得PE＝2.在△ABD中，由BA＝BD＝2，AD＝2，可解得BE＝1.在△PEB中，PE＝2，BE＝1，∠PEB＝60°，由余弦定理，可解得PB＝3，从而∠PBE＝90°，即BE⊥PB.又BC∥AD，BE⊥AD，从而BE⊥BC，因此BE⊥平面PBC.又BE⊂平面ABCD，所以平面PBC⊥平面ABCD.②如图，连接BF.由①知，BE⊥平面PBC，所以∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角．由PB＝3及已知，得∠ABP为直角．而MB＝12PB＝32，可得AM＝112，故EF＝112.又BE＝1，故在Rt△EBF中，sin∠EFB＝BEEF＝21111.所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为211 11.1.求空间角的三个步骤(1)找：即找出相关的角；(2)证：即证明找出的角即为所求的角；(3)计算：即通过解三角形的方法求出所求角．2．空间角的找法(1)线面角找出斜线在平面上的射影，关键是作出垂线，确定垂足．(2)二面角二面角的大小用它的平面角来度量，平面角的常见作法有：①定义法；②垂面到知典，进重点常州中小学课外辅导权威品牌法．其中定义法是最常用的方法．课堂练习巩固练习：1.如图，在四棱锥PABCD中底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD ＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.(1)求证：AM⊥PD；(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值．2.如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥平面ABCD，M，N分别为SA，CD的中点．(1)证明：直线MN∥平面SBC；(2)证明：平面SBD⊥平面SAC.3.如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝BC.把△BAC 沿AC折起到△P AC的位置，使得P点在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC 上，如图②所示，点E，F分别为棱PC，CD的中点．(1)求证：平面OEF∥平面APD；(2)求证：CD⊥平面POF；(3)若AD＝3，CD＝4，AB＝5，求四棱锥E-CFO的体积错题回顾1.解：(1)证明：∵P A⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴P A⊥AB.∵AB⊥AD，AD∩P A＝A，AD⊂平面P AD，P A⊂平面P AD，∴AB⊥平面P AD.∵PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，AB⊂平面ABM，BM⊂平面ABM，∴PD⊥平面ABM.∵AM⊂平面ABM，∴AM⊥PD.(2)由(1)知，AM⊥PD，又P A＝AD，则M是PD的中点．在Rt△P AD中，AM＝2，在Rt△CDM中，MC＝MD2＋DC2＝3，∴S△ACM＝12AM·MC＝62.设点D到平面ACM的距离为h，由V DACM＝V MACD，得13S△ACM·h＝13S△ACD·12P A.解得h＝63.设直线CD与平面ACM所成的角为θ，则sin θ＝hCD＝63，∴cos θ＝33.到知典，进重点 常州中小学课外辅导权威品牌常州知典教育怀德校区教研组- 21 - ∴直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为33.2.证明：(1)如图所示，取SB 中点E ，连接ME ，CE .∵M 为SA 的中点，故ME ∥AB ，且ME ＝12AB .∵N 为CD 的中点，故CN ＝12AB ，从而ME ∥CN ，且ME ＝CN ，∴四边形MECN 是平行四边形，∴MN ∥EC .又EC ⊂平面SBC ，MN ⊄平面SBC ，∴直线MN ∥平面SBC .(2)如图，连接AC ，BD 相交于点O . ∵SA ⊥底面ABCD ，故SA ⊥BD .∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD .又SA ∩AC ＝A ，故BD ⊥平面SAC .又BD ⊂平面SBD ，∴平面SBD ⊥平面SAC .3.解：(1)证明：因为点P 在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC上，所以PO ⊥平面ADC ，所以PO ⊥AC .因为AB ＝BC ，所以O 是AC 中点．又点E 是PC 的中点，所以OE ∥P A ，P A ⊂平面P AD .所以OE ∥平面P AD .同理OF ∥平面P AD .又OE ∩OF ＝O ，OE ，OF ⊂平面OEF ，所以平面OEF ∥平面P AD .(2)证明：因为OF ∥AD ，AD ⊥CD ， 所以OF ⊥CD .又PO ⊥平面ADC ，CD ⊂平面ADC ，所以PO ⊥CD .又OF ∩PO ＝O ，所以CD ⊥平面POF .(3)因为∠ADC ＝90°，AD ＝3，CD ＝4， 所以S △ACD ＝12×3×4＝6，而点O ，F 分别是AC ，CD 的中点，所以S △CFO ＝14S △ACD ＝32， 由题意可知△ACP 为边长为5的等边三角形，所以OP ＝523，即点P到平面ACD的距离为5 23，又E为PC的中点，所以E到平面CFO的距离为543，故V ECFO＝13×32×543＝58 3.学生课堂评价：优□良□中□差□学生总结（课上完成）：教师课堂反馈（课上完成）：家庭作业：教研组长签字：- 22 -。