第5章-频域图像增强20161028

增强图像
g (x; y )
11
频域滤波的具体步骤
频域滤波的具体步骤： – 计算 的二维离散傅里叶变换 。输入 图像 乘以 使图像的低频成分移到频谱的中 央部分。 直流成分
3 2D DFT 图像 2D IDFT 1 4 2 3 2 低频成分 高频成分 低频成分 1 高频成分 中心移位 4
二维离散傅里叶谱的频率成分分布图
– 设计频域滤波器的传递函数 ，与输入图像的频 谱 相乘，获得频域滤波结果 。 – 计算 的二维离散傅里叶逆变换 ，截取它的 实部 ，并乘以 以抵消第1步的移位。
12
在频域中研究图像增强的作用
在频域中研究图像增强的作用： – 滤波在频域更为直观，它可以解释空域滤波的某些性质；
-1 1
1 16 £
三维网格图
以图像方式显示
径向剖面图
理想低通滤波器传递函数
17
理想低通滤波器传递函数
理想低通滤波器会产生振铃效应。振铃效应表现为灰度 振荡。随着截止频率的减小，振铃特性增强。
半径为15
半径为5
理想低通滤波器传递函数及其冲激响应函数
18
巴特沃斯低通滤波器
巴特沃斯低通滤波器是一种物理可实现的低通滤波器， 阶巴特沃斯低通滤波器的传递函数定义为，
灰度图像
截止频率为5
截止频率为15
傅里叶谱
截止频率为30
截止频率为60
不同截止频率指数低通滤波器的滤波结果
45
拉普拉斯频域滤波器
空域拉普拉斯算子是二阶差分算子：
傅里叶变换的一对微分性质：
利用傅里叶变换的微分性质，可以推导出空域拉普拉斯 算子的频域滤波器的传递函数。
46
拉普拉斯频域滤波器
30
二阶巴特沃斯低通滤波器Vs二阶指数低通滤波器
与二阶巴特沃斯低通滤波器相比，二阶指数低通滤波在小 于截止频率时，衰减得较快，使更多的低频成分通过，而 在大于截止频率时，尾部很快衰减到零，对高频成分的抑 制更强。 二阶指数低通滤波器滤除的高频成分更多，图像更加模糊。
二阶巴特沃斯低通滤波器
二阶指数低通滤波器
31
高通滤波器
高通滤波器的原理：允许图像的高频成分通过，而限制 低频成分通过。 空域图像锐化在频域中用高通滤波器实现。
高通滤波器的传递函数与低通滤波器的传递函数有如下
关系：
32
低通滤波器的可实现性
理想高通滤波器 巴特沃斯高通滤波器
物理可实现


物理不可实现
指数高通滤波器
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理想高通滤波器
频域中的低通滤波器和空域中的平滑模板具有等效的作
用。
1
1 16 £
2 4 2
1 2 1
2 1
14
低通滤波器的可实现性

理想低通滤波器 巴特沃斯低通滤波器 指数低通滤波器
物理不可实现
物理可实现
振铃效应：在图像灰度剧烈变化的邻域产生灰度振荡的 图像失真现象。
15
理想低通滤波器
理想低通滤波器完全截断频谱中的高频成分， 其传递函 数定义为，
图像平滑具有等效的作用；
– 高通滤波是指允许频谱中的高频成分通过，并限制低 频成分通过，突出边缘和细节，与空域图像锐化具有 等效的作用。
8
频域滤波基本步骤
频域滤波的核心是设计滤波器的传递函数 。 根据卷积定理，频域滤波表示为频域滤波器的传递函数与 输入图像频谱乘积的形式： 式中， 为滤波器的传递函数， 为 的离散 傅里叶变换， 和 的乘积是逐元素相乘。 对频域滤波结果 式中，
阶为1
阶为2
阶为5
阶为20
阶为1、2、5和20、截止频率为15的巴特沃斯低通滤波器的频域形式和空域形式
23
巴特沃斯低通滤波器滤波效果
加入均值为0、方差为0.01高斯噪声的灰度图像。
图像尺寸
，截止频率分别为5、15、30、50、90
24
巴特沃斯低通滤波器滤波效果
截止频率对频域滤波的影响：随着截止频率的增加，滤除 的高频成分减少，模糊的程度减弱，降噪能力也随之减弱。
图像平滑
均值平滑模板 高斯平滑模板
图像锐化
4邻域拉普拉斯 8邻域拉普拉斯
知识回顾(2)
第4章 频域变换

傅里叶变换：频谱是一种在频域中描述图像特征的方法， 反映了图像的幅度和相位随频率的分布情况。

频谱特性：图像的平坦区域对应频谱中的低频成分，而图 像的细节内容对应频谱中的高频成分。
频域图像增强正是利用图像在频域中特有的频率特征进行 滤波处理。
推导空域拉普拉斯算子的频域滤波器的传递函数
空域拉普拉斯算子对应的频域滤波器的传递函数为
在频域滤波之前对频谱 滤波函数的中心也平移到 波器的传递函数改写为
的原点进行中心移位变换。 ，频域拉普拉斯滤
47
拉普拉斯频域滤波器
三维网格图
图像显示
冲激响应函数
中心放大6倍显示
空域拉普拉斯算子的频率响应函数及其对应的空域模板
Contents




滤波基础 低通滤波器 高通滤波器 拉普拉斯频域滤波器 带通、带阻与陷波滤波器 空域滤波与频域滤波的关系 同态滤波
6
频域图像增强
频域指图像的傅里叶变换域，频域一词首次出现 在1953年。 离散傅里叶变换将图像从空域转换到频域，利用 频域滤波器对图像的不同频率成分进行处理。
式中， 是点 (u; v)到频谱中心 的距离， 为截止频率。 二维离散傅里叶变换频率矩形 的中心位于 。 从点 到频谱中心 的距离为
理想低通滤波器的锐截止频率不能用电子器件实现的， 且会产生振铃效应，表现为在图像灰度剧烈变化的邻域 产生灰度振荡。
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理想低通滤波器传递函数
理想低通滤波器的锐截止频率是不能用电子器件实现的。
理想高通滤波器完全截断频谱中的低频成分，传递函数 定义为
式中，
为点
到频谱中心的距离， 为截止频率。
理想高通滤波器也无法用电子器件实现的，且会产生明 显的振铃效应。
三维网格图
图像显示
径向剖面图
34
理想高通滤波器
理想高通滤波器也会产生明显的振铃效应。从冲激响应 函数的比较可以看到，随着理想高通滤波器截止频率的 增大，允许通过的高频成分减少，振铃效应更明显。
会改变输出图像频谱的相位。
式中，
和
分别为
滤波器的传递函数
的实部和虚部。
输出图像
输入图像
10
频域滤波的基本流程
频域滤波的基本流程
– 空域 频域 – 频域滤波 – 频域 空域
F (u; v )
输入图像 傅里叶变换
H (u; v ) F (u; v )
滤波函数
f (x; y )
H (x; y )
傅里叶逆变换
第五章 频域图像增强 Chapter 5 Image Enhancement in the Frequency Domain
知识回顾(1)
第3章 空域图像增强

图像平滑：模糊和降噪； 图像锐化：增强图像中的边缘和细节，减弱或清除灰度变 化缓慢的区域。
空域图像增强和频域图像增强结合起来就是图像增强技术的 完整内容。
-1 2 8 4 -1 2
-1 1 -1 2 -1 1
-1 2 -1 1
– 利用频率成分与图像内容之间的对应关系，在频域中设
计滤波器，通过傅里叶逆变换获得冲激响应函数，指导 空域模板，在空域中执行图像增强。
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低通滤波器
低通滤波器的原理：允许图像的低频成分通过，限制高 频成分通过。 限制或减弱频谱中的高频成分可以起到图像平滑的作用。
输入图像
进行傅里叶逆变换，转换回空域中： 表示傅里叶逆变换。
傅里叶逆变换 增强图像
为滤波图像，
F (u; v )
傅里叶变换 滤波函数
H (u; v ) F (u; v )
f (x; y )
H (x; y )
g (x; y )
频域滤波的方框图
9
频域滤波基本步骤
传递函数 为实数的滤波器称为零相位滤波器，不
截止半径为5、15、30、50、90的巴特沃斯低通滤波器的滤波效果图
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指数低通滤波器
指数低通滤波器也是一种物理可实现的低通滤波器， 阶 指数低通滤波器的传递函数定义为，
式中，
是点 (u; v )到频谱中心
的距离，
为截止频率。 当 到它的 。 时， ，即从最大值1下降
26
指数低通滤波器
通带到阻带之间平滑过渡，因而其滤波图像的振铃效应 不明显。
截止频率为15
截止频率为30
理想高通滤波器的传递函数及其冲激响应函数
35
理想高通滤波器Βιβλιοθήκη Baidu
高通滤波器的空域冲激响应函数中心都有一个冲激，这 是因为
式中，
为单位脉冲函数，
表示互为傅里叶变换对。
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理想高通滤波器
灰度图像
截止频率为5
截止频率为15
傅里叶谱
截止频率为30
截止频率为60
不同截止频率下的理想高通滤波器滤波结果
阶为1、2、5、8、10和20的巴特沃斯低通滤波器传递函数的径向剖面图
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巴特沃斯低通滤波器
一阶巴特沃斯低通滤波器没有振铃现象。
二阶巴特沃斯低通滤波器的冲激响应函数从原点向外下 降到零值以下很小就返回零值。 随着阶数的增加，接近理想低通滤波器，振铃现象越明 显。
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巴特沃斯低通滤波器
二阶指数低通滤波器具有高斯函数形式，也称为高斯低 通滤波器。由于高斯函数的傅里叶逆变换也是高斯函数， 二阶指数低通滤波器也没有振铃效应。 随着阶数的增加，接近理想低通滤波器，振铃现象越明
显。
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指数低通滤波器
阶为1
阶为2
阶为5
阶为20
阶为1、2、5和20、截止频率为15的指数低通滤波器的频域形式和空域形式
式中，
为点
到频谱中心的距离，
为截止频率。
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指数高通滤波器
与指数低通滤波器相同，指数高通滤波器在阻带与通带 之间不是锐截止。
三维网格图
图像显示
径向剖面图
二阶指数高通滤波器的传递函数
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指数高通滤波器
阶为1
阶为2
截止频率15下不同阶指数高通滤波器传递函数及其冲激响应函数
阶为5
阶为20
44
指数高通滤波器
三维网格图
以图像方式显示
径向剖面图
二阶指数低通滤波器的传递函数
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指数低通滤波器
滤波器的阶数越高，从通带到阻带振幅衰减速度越快。 若阶数 充分大，则当 时， ； 当 时， 。
阶为1、2、5、8、10和20的巴特沃斯低通滤波器传递函数的径向剖面图
28
指数低通滤波器
一阶指数低通滤波器没有振铃效应。
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巴特沃斯高通滤波器
巴特沃斯高通滤波器是一种物理可实现的高通滤波器，n 阶巴特沃斯高通滤波器的传递函数定义
式中，
为点
到频谱中心的距离，
为截止频率。
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巴特沃斯高通滤波器
与巴特沃斯低通滤波器相同，巴特沃斯高通滤波器在阻 带与通带之间不是锐截止。
三维网格图
图像显示
径向剖面图
二阶巴特沃斯高通滤波器的传递函数
39
巴特沃斯高通滤波器
截止频率15下、不同阶巴特沃斯高通滤波器传递函数及其冲激响应函数
阶为1
阶为2
阶为5
阶为20
40
巴特沃斯高通滤波器
灰度图像
截止频率为5
截止频率为15
傅里叶谱
截止频率为30
截止频率为60
不同截止频率指数低通滤波器的滤波结果
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指数高通滤波器
指数高通滤波器也是一种物理可实现的高通滤波器，n阶 指数高通滤波器的传递函数定义为
式中，
是点 (u; v )到频谱中心
的距离，
为截止频率。 当 它的 。 时， ，即从最大值1下降到
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巴特沃斯低通滤波器
通带到阻带之间平滑过渡，因而滤波图像的振铃效应不 明显。
三维网格图
以图像方式显示
径向剖面图
二阶巴特沃斯低通滤波器的传递函数
20
巴特沃斯低通滤波器
滤波器的阶数越高，从通带到阻带振幅衰减速度越快。 若阶数 充分大，则当 时 ， ； 当 ， 。
– 频域图像增强利用图像在频域中特有的频率特征进行 滤波处理，频域滤波原理是允许特定频率成分通过， 而限制或减弱其他频率成分通过。 – 通过频域图像增强的学习，可以从频域直观地理解空 域图像增强的原理和方法。
7
频域滤波的意义
在频域中滤波的意义很直观。
– 低通滤波是指允许频谱中的低频成分通过，限制高频 成分通过，滤除噪声和不必要的细节和纹理，与空域
式中，W为带宽，半径 为频带中心， 分别为下限和上限截止频率， 是点 离。
和 到频谱中心的距
50
带通滤波器
理想带通滤波器并不存在。物理可实现的滤波器并不能 够完全阻止期望频带以外的所有频率成分，在通带与阻 带之间有一个衰减范围并非完全阻止。 n阶巴特沃斯带通滤波器的传递函数定义为
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带通、带阻与陷波滤波器
带通滤波器允许一定频带的信号通过，用于抑制低于或 高于该频带的信号、噪声干扰。 带阻滤波器用于抑制一定频带内的信号，允许该频带以 外的信号通过。
陷波滤波器是一种限制窄带频率范围通过的特殊带阻滤 波器，通常用于单一频率的陷波。
49
带通滤波器
带通滤波器允许某一带宽范围的频率成分通过，而限制带宽范 围以外的频率成分通过。 理想带通滤波器具有完全平坦的通带，在通带内没有增益或者 衰减，完全阻止通带之外的所有频率成分，通带与阻带之间的 过渡在瞬时频率完成，其传递函数定义为