(完整版)异面直线间的距离(全部方法详细例题)

异面直线间的距离
求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。

常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。

常用方法有： 1、 定义法
2、 垂直平面法（转化为线面距）
3、 转化为面面距
4、 代数求极值法
5、 公式法
6、 射影法
7、 向量法
8、 等积法
1 定义法 就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。

例1 已知：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。

思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得
CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂线。

在⊿ADE 中，∠ADE=1200
，AD=DE=a ，DH=
2
a 。

即异面
直线CD 与AE 间的距离为
2
a 。

2 垂直平面法：转化为线面距离，若a 、
b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线a /，记a /与b 确定的平面α。

从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。

例1 如图，BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d ，求两条异面直线BF 、AE 间的距离。

思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH ‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作
AC ⊥AB 交BF 于C ，即AC ⊥平面ABD ，过A 作AD ⊥BD 交于D ，
连结CD 。

设A 到平面BCD 的距离为h 。

由体积法V A-BCD =V C-ABD ， 得 h=
β
αβα2
2
cos cos 1sin sin -d
3转化为面面距离 若a 、b 是两条异面直线，则存在两个平行平面α、β，且a ∈α、b ∈
β。

求a 、b 两条异面直线的距离转化为平行平面α、β间的距离。

例3已知：三棱锥S-ABC 中，SA=BC=13，SB=AC=14，SC=AB=15，求异面直线AS 与BC 的距离。

思路分析：这是一不易直接求解的几何题，把它补成一个易求解的几何体的典型例子，常常有时还常把残缺形体补成完整形体；不规则形体补成规则形体；不熟悉形体补成熟悉形体等。

所以，把三棱锥的四个面联想到长方体割去四个直三棱锥所得，因此，将三棱锥补形转化为长方体， 设长方形的长、宽、高分别为x 、y 、z ，
则⎪⎩
⎪⎨⎧==+==+==+22222
2222222131415BC x z AC z y AB y x
解得x=3，y=2，z=1。

由于平面SA ‖平面BC ，平面SA 、平面BC 间的距离是2，所以异面直线AS 与BC 的距离是2。

4 代数求极值法 根据异面直线间距离是分别在两条异面直线上的两点间距离的最小值，可用求函数最小值的方法来求异面直线间的距离。

例4 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求A 1B 与D 1B 1的距离。

思路分析：在A 1B 上任取一点M ，作 MP ⊥A 1B 1，PN ⊥B 1D 1，则MN ⊥B 1D 1，只要求出MN 的最小值即可。

设A 1M=x ，则MP=22x ，A 1P=2
2
x 。

所以PB 1=a –
22x ，PN=（a –22
x ）sin450=2
1（2a –x ），MN=2
2
PN PM +
=
22
2
23
2)32(23a x +-。

当x=a 32时，MN min =a 33。

5公式法 异面直线间距离公式：d=
ϕ
cos 2222mn n m AB -++求得异面直线间的距离。

例5 已知圆柱的底面半径为3，高为4，A 、B 两点分别在两底面圆周上，并且AB=5，求异面直线AB 与轴OO /之间的距离。

1
A
C
C A
B
思路分析：在圆柱底面上AO ⊥OO /，BO /⊥OO /，又OO /是圆柱的高，AB=5，所以d=
233。

即异面直线AB 与轴OO /之间的距离为2
3
3。

6 射影法 将两条异面直线射影到同一平面内，射影分别是点和直线或两条平行线，那么点和直线或两条平行线间的距离就是两条异面直线射影间距离。

例6 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=1，M 、N 分别是棱AB 、CC 1的中点，E 是BD 的中点。

求异面直线D 1M 、EN 间的距离。

思路分析：两条异面直线比较难转化为线面、面面距离时，可采用射影到同一平面内，把异面直线D 1M 、EN 射影到同一平面BC 1内，转化为BC 1、QN 的距离，显然，易知BC 1、QN 的距离为4
2。

所以异面直线D 1M 、EN 间的距离为
4
2。

7.向量法：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上两点的连结线段在 公共法向量上的射影长。

例7 已知：正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1， 求异面直线DA 1与AC 的距离。

思路分析：此题是求异面直线的距离问题，这个距离可看作是
DA 在异面直线的法向量方向上的投影的绝对值。

此题教师引导，学生口述，教师在课件上演示解题 过程，总结解题步骤。

解：如图所示建立空间直角坐标系D-xyz
∴D(0,0,0) A 1(1,0,1) A(1,0,0) C(0,1,0) ∴)1,0,1(1=DA )0,1,1(-=AC 设异面直线DA 1与AC 的法向量)1,,(y x n = ∴AC n DA n ⊥⊥
且,1
∴0,01
=•=•AC n DA n ∴⎩⎨⎧=+-=+001y x x ⎩⎨⎧-=-=∴11y x )1,1,1(--=∴n )0,0,1(=DA |
|||n n DA d
•=∴ 3
331== ∴异面直线DA 1与AC 的距离为3
3
步骤小结：求异面直线间的距离:
⑴建立空间直角坐标系； ⑵写出点的坐标，求出向量坐标； ⑶求出异面直线的法向量的坐标；
例8 已知：SA ⊥平面ABCD,∠DAB=∠ABC=90゜, SA=AB=BC=a,AD=2a ，
1
N
C
求A 到平面SCD 的距离。

解：如图所示建立空间直角坐标系A —xyz
∴A （0,0,0）C(a,a,0) D(0,2a,0) S(0,0,a) ∴AD =(0,2a,0)SC =(a,a,-a) SD =(0,2a,-a) 设面SCD 的一个法向量n =(x,y,1) ∴n ⊥SC 且n ⊥SD ∴n •SC =0 且n •SD =0
∴⎩⎨
⎧=-=-+020a ay a ay ax ⎩⎨
⎧=
=2
121
y x ∴n =(,,21
211)
∴点A 到面SCD 的距离为
3
6a
n
n AD d =
•=
∴点A 到面SCD 的距离为
3
6a
八 等积法 把异面直线间的距离转化为求某个特殊几何体的的高，利用体积相等求出该高的长度。

例：正四棱锥S -ABCD 中，底面边长为a ，侧棱长为b(b ＞a)． 求：底面对角线AC 与侧棱SB 间的距离．
设BC 与平面SAD 间的距离为d ，则以B 为顶点，△SAD 为底面的三棱锥的体积为
而以S 为顶点，△ABD 为底面的三棱锥的体积为。