高数——一元函数积分学
高数 定积分的概念
高等院校非数学类本科数学课程大学数学（一）——一元微积分学第二十二讲定积分的概念教案制作：易学军主讲教师：易学军第五章一元函数的积分本章学习要求：▪熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式.▪熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法.了解利用建立递推关系式求积分的方法.▪理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. ▪熟悉牛顿—莱布尼兹公式.▪理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法. 能熟练运用牛顿—莱布尼兹公式计算广义积分。
▪掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。
能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。
▪能利用定积分定义式计算一些极限。
第五章一元函数的积分第一节定积分的概念和性质一. 引例请点击二. 定积分的定义三. 定积分的性质曲边梯形：三边为直线，其中有两边相互 平行且与第三边垂直（底边），第四边是一条 曲线，它与垂直于底边的直线至多有一个交点 （这里不排除某直线缩成一点）.1. 曲边梯形引例1. 曲边梯形的面积2. 求曲边梯形的面积首先，我们利用以下的的做法：分割—近似—求和得到曲边梯形的近似值，然后，引入极限过程，求出曲边梯形的精确值.O x ya b 1x 1-i x ix )(x f y =,0)( >x f 设. ]),([)(b a C x f ∈第一步：分割 , 1110b x x x x x x a n n i i =<<<<<<<=-- 任意引入分点).,,2,1( ],[ ] ,[ 1n i x x n b a i i =-个小区间成分将. 1个小区间的长度表示第用i x x x i i i --=∆称为区间的一个分法 T第二步：近似 1-i x i x i ξ],,[1则i i i x x -∈∀ξ. )( :i i i x f S ∆≈∆ξ小曲边梯形面积∙对每个小曲边梯形均作上述的代替 . 的选择有关与i i S ξ∆O x ya b 1x 1-i x i x )(x f y =第三步：求和. )( :11∑∑==∆≈∆=ni i i n i i x f S S ξ曲边梯形面积. T 的选择有关及点与分法i S ξO x ya b1x 1-i x i x )(x f y =第四步：取极限, }{max |||| 1则令i n i x x ∆=∆=≤≤λ . )(lim :10∑=→∆=ni i i x f S ξλ曲边梯形面积 . T 的选择无关及点与分法极限存在与否，i ξ引例2. 变速直线运动的路程0 a b t t i t i –1 已知质点的运动速度v =v (t ). 求在时间段[a , b ]内运动的路程s .匀速运动： 距离＝速度×时间(1)分割：任取分点: a = t 0< t 1<…< t i –1< t i < … <t n =b分割[a , b ]得: [t i –1, t i ] (i =1, 2, …n )且记： t i = t i – t i –1(2) 近似：任取ξ i ∈ [t i –1, t i ] ,ii i t v s ∆≈∆)(ξ(3)求和:i i ni n i i t v s s ∆≈∆=∑∑==)(11ξ(4) 取极限：)0}{max ∞→→∆=n t i （这时令λ1≤i ≤n ini i t v s ∆=∑=→10)(lim ξλξi 0 ab tt i t i –1 作想方法是：解决这两个问题的的思.取极限—求和—近似—分割处理的问题的结果，即通常人们把这类方法所.],[)(上的定积分在区间为函数这种和式的极限值，称baxf二. 定积分的定义. , ],[ )( 且有界上有定义在设函数b a x f , 1110b x x x x x x a n n i i =<<<<<<<=-- 任意引入分点).,,2,1( ],[ ] ,[ 1n i x x n b a i i =-个小区间成分将区间 ],,[ . 11i i i i i i x x i x x x --∈∀-=∆ξ个小区间的长度表示第用 , 0 的且该极限值与对区间存在若],[)(lim 1b a x f ni i i ∑=→∆ξλ , ],[ )( , T 上可积在则称函数的选择无关及点分法b a x f i ξ的定上在极限值称为记为 ] ,[ )( ), ] ,[ ()( b a x f b a R x f ∈ . }){m ax ()(lim d )(:110i ni n i i i b a x x f x x f ∆=∆=≤≤=→∑⎰λξλ积分值定积分符号：. ∑⎰=→∆=n i i i b a x f x x f 10)(lim d )(ξλ 定积分号；—⎰b a 积分下限；—a积分上限；—b d )(被积表达式；—x x f )(被积函数；—x f d 积分变量；—中的x x. ],[积分区间—b a) ( 积分变量的取值范围关于定积分定义的几点说明. ] ,[ )( , T ),( d )( )1(有关区间及只与的选择无关及点它与分法具体的数是一个极限值定积分b a x f x x f i ba ξ⎰ . d )(d )(d )( )2( ===⎰⎰⎰ba b a b a t t f y y f x x f 号无关：定积分与积分变量的记0. , , , 0 →∞→∞→→λλ却不一定有时个数当分点但是分点个数时n n ,)3(取极限—求和—近似—分割分方法处理：匀变化问题可以用定积则该非均乘积形式可以表示为两个变量的看成是均匀变化时若将非均匀变化的事物 , ,)4(O x y a b )(x f y =1A 2A 3A ,d )(1⎰=ca x x f A c d .d )(3⎰=b d x x f A , d )( 2⎰=dc x x f A 由极限保号性： ,0d )(≥⎰c ax x f ,0d )(≤⎰d c x x f .0d )(≥⎰bd x x f 面积：O x y a b )(x f y =1A 2A 3A c d, )( d )(b x a x x f y x x f b a ===⎰与直线等于曲线. 面积的代数和轴所围成的几何图形的及x例1. x x d 1102⎰-例2. x x d sin ⎰-ππ0 πy =sin x y x π-4π=0=显然 t t f x x f b a ba d )(d )(⎰⎰=u u fb a d )(⎰= =定理 1bfxaC若∈则f∈xR(b)([,.])(]),)([,a定理 2b在,ax)上有界f(且仅有有限个,][(第一类)fx间断点R则),.])([(,ba定理 3bfRaxR若∈则f∈xa(b|)([,.])(|([,]),)定理 4,]acxbf⊂若∈则∀dR][a,]),,[(b([),Rxf∈c.]),([)(d定理 5xRgx]),af∈,若b)([(则(),gfxxxgkf∈±R⋅xfx),)(([,.])a)),(b(()(k(为常数）三. 定积分的性质i b a n i i x f x x f ∆=⎰∑=→)(lim d )(10ξλ规定⎰⎰-=b a a b x x f x x f d )(d )(又有 0d )(⎰=a a x x f 下面的讨论假设所列积分均存在.证 )( 1 线性性质性质 , d )(d )(d )]()([⎰⎰⎰±=±b a b a ba x x g x x f x x g x f βαβα. ,为常数、式中βα由定积分定义及极限运算性质：∑⎰=→∆±=±ni i i i ba x g f x x g x f 10)]()([lim d )]()([ξβξαβαλ∑∑=→=→∆±∆=n i i i n i i i x g x f 1010)(lim )(lim ξβξαλλ . d )(d )(⎰⎰±=ba b a x x g x x f βα可以推广至有限个可积函数的情形.证)( 2 保号性性质 . 0d )( ],,[ ,0)( ≥∈≥⎰ba x x fb a x x f 则若(小于零的情形类似. )由极限的保号性立即可知. O ya b≥A 0)(≥=x f y1 2 的推论性质 . d )(d )( ,],[ )()( ⎰⎰≥∈≥ba b a x x g x x f b a x x g x f 则若O xy a b )(x f y =)(x g y =0≥-g f A A2 2 的推论性质⎰⎰≤b a b a x x f x x f d |)(| |d )(|O x y a b )(x f y =|)(| x f y =++-+++代数和例 3证 , 0d )( . 0)( , ]),([)( =≥∈⎰b a x x f x f b a C x f 若且设 . ],[ ,0)( b a x x f ∈≡证明： ,0)( 0>x f , ],[ ,0)( b a x x f ∈≡设/.)U( 0)( 0x x x f ∈> . 0d )( , )U(],[ 0>⊂⎰βαβαx x f x 则取 ,0d )( ,0d )( 故又≥≥⎰⎰b a x x f x x f βα. 0d )(d )(d )(d )(>++=⎰⎰⎰⎰ba b a x x f x x f x x f x x f ββαα. ],[ ,0)( b a x x f ∈≡该矛盾说明： ],[ 0使则至少b a x ∈∃, )U( , ]),([)( 0使由x b a C x f ∃∈)( 3 对区间的可加性性质⎰⎰⎰+=b cc a b a xx f x x f x x f d )(d )(d )( . ,b c a <<其中证 . ]),([)( , ]),([)( ]),([)( b c R x f c a R x f b a R x f ∈∈⇒∈, , T 则成为分点使点选择适当的分法c ∑∑∑∆+∆=∆],[],[],[)()()(b c i i c a i i b a i i x f x f x f ξξξ0由可积性即得的极限取,→λ⎰⎰⎰+=b c c a b a xx f x x f x x f d )(d )(d )(例3, )( 则可积在下列所出现的区间上若x f . d )(d )(d )(⎰⎰⎰=-b cc a b a x x f x x f x x f .d )(d )(d )(⎰⎰⎰=-ca b c b a x x f x x f x x f O xy a b )(x f y =c)( 4 估值定理性质,, ],[ )( , 则最小值上的最大在分别为设b a x f m M . )(d )()(a b M x x f a b m ba -≤≤-⎰证.],[ )( ]),,([)( b a x M x f m b a R x f ∈≤≤∈由于⎰≤b a x x f d )(所以 ab x b a -=⎰d ⎰=-b a x m a b m d )( . )(d a b M x M b a-=≤⎰x 0 yM mx 0 y x 0 ya b a b a b)( 5 积分第一中值定理性质使得则上保持符号不变在 , ],[ , ],[ b a b a ∈∃ξ . d )()(d )()(⎰⎰=ba b a x x g f x x g x f ξ , 1)( 则若≡x g ⎰⎰=b a b a xf x x f d )(d )(ξ. ))((a b f -=ξO xya b ξξ )( ]),,([)( ]),,([)( x g b a R x g b a C x f 且若∈∈)(x f y =证 .0)( , , ],[ )( ≥x g b a x g 不妨设所以上不变号在由于]),,([)( ]),,([)( 故有又b a R x g b a C x f ∈∈]),,([)()(b a R x g x f ∈ ,d )(d )()(d )(x x g M x x g x f x x g m ba b a b a ⎰⎰⎰≤≤., ],[ )( , ,最小值上的最大在为其中b a x f m M . 6 ,0d )( )1(显然成立则性质若=⎰ba x x g ]),,([)( ,0d )( )2(及则由若b a C x f x x g ba ∈>⎰, ],[使得b a ∈∃ξ.d )()(d )()(⎰⎰=ba b a x x g f x x g x f ξ. 6 ,获证性质综上所述 ,d )(d )()(M x x g x x g x f m b a b a≤≤⎰⎰Mm ≤ ≤ m积分中值定理使得则存在上保持符号不变在 , , ],[ M m b a ≤≤m . d )(d )()(⎰⎰=ba b a x x g x x g x f m )( ,)( ]),,([)( ),( x g M x f m b a R x g x f 且若≤≤∈例4 ), ,0( ,ln d 1 N n p np n x x pn n ∈>+=⎰+已知 . d sin lim ⎰++∞→p n n n x x x 求解 由积分中值定理,ln sin d 1sin d sin np n x x x x x n p n n n p n n +==⎰⎰++ξξ)1ln(sin lim d sin lim np x x x n n p n n n +=+∞→++∞→⎰ξ故. 0sin lim =⋅=+∞→n p n n ξ等价无穷小思考题：1估计 的值。
高数第一部分5_一元微积分证明题
( ) f '( x) = 4 + 4 ln3 x − 4 = 4 ln3 x − 1 + x x xx
⎧< 0,
f
'(
x
)
⎪ ⎨
=
0,
⎪⎩> 0,
0< x<1 x =1 1< x
由于 lim f ( x)= lim f ( x)=+∞，因此f ( x)无最大值
x→0
x → +∞
f ( x)的最小值为f (1) = 4 − k
定理：若函数f ( x)在[a, b]上连续，在
(a, b)内可导，则存在ξ ∈ (a, b)，使得
f (b) − f (a) = f '(ξ )(b − a);
(II)证明：若函数f ( x)在x = 0处连续，
在(0,δ )(δ > 0)内可导，且 lim f '( x) = A， x → 0+
f ( x)的图形为U型，故其在(0, +∞)零点有三种情形： (1) f ( x)的最小值大于零，即k < 4 ⇒ 无零点 (2) f ( x)的最小值小于零，即k > 4 ⇒ 2零点 (3) f ( x)的最小值等于零，即k = 4 ⇒ 1零点
⎧(1) k < 4时无交点 ⇒ ⎨⎪(2) k > 4时两个交点
2
π
−
0 > k > m ⇒ 2零点
k = m ⇒ 1零点
π2
4
⎞ − 1 ⎟⎟⎠ 或k
>
0
⇒
无零点
(03年数二，12分) 讨论曲线y = 4 ln x + k 与y = 4 x + ln4 x的交点个数.
一元函数积分学
（完整word版）河南专升本《高等数学》考试大纲
（完整word版）河南专升本《高等数学》考试大纲《高等数学》考试大纲考试要求考生应按本大纲的要求，掌握“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、无穷级数、常微分方程、向量代数与空间解析几何的基本概念、基本理论和基本方法。
考生应注意各部分知识的结构及知识的联系；具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法进行推理、证明和计算；能运用所学知识分析并解决一些简单的实际问题。
考试内容一、函数、极限和连续(一)函数1．理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值，会作出一些简单的分段函数图像。
2．掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。
3．理解函数y =?(x )与其反函数y =?-1(x )之间的关系(定义域、值域、图像)，会求单调函数的反函数。
4．掌握函数的四则运算与复合运算; 掌握复合函数的复合过程。
5．掌握基本初等函数的性质及其图像。
6．理解初等函数的概念。
7．会建立一些简单实际问题的函数关系式。
(二)极限1．理解极限的概念(只要求极限的描述性定义)，能根据极限概念描述函数的变化趋势。
理解函数在一点处极限存在的充分必要条件，会求函数在一点处的左极限与右极限。
2．理解极限的唯一性、有界性和保号性，掌握极限的四则运算法则。
3．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质，无穷小量与无穷大量的关系。
会比较无穷小量的阶(高阶、低阶、同阶和等价)。
会运用等价无穷小量替换求极限。
4．理解极限存在的两个收敛准则(夹逼准则与单调有界准则)，掌握两个重要极限：1sin lim 0=→x x x ，e )11(lim =+∞→x x x，并能用这两个重要极限求函数的极限。
(三)连续1．理解函数在一点处连续的概念，函数在一点处连续与函数在该点处极限存在的关系。
会判断分段函数在分段点的连续性。
2．理解函数在一点处间断的概念，会求函数的间断点，并会判断间断点的类型。
一元函数积分知识点完整版
（3）
（4）
其中 可令 ， ，则 ，再利用分部积分法得到递推公式求解。
问题15：
按照自己喜好填写 的值，再按照上面方法求积分。
十五．考察三角有理式的积分
讲解：所谓三角有理式是指以 与 为变量的有理函数，即为 。此时总可以采用万能代换 使被积函数有理化，即
问题16：
求下列不定积分：
十六．利用定积分的几何意义求定积分的值
讲解：需要掌握把某些和项数列和积项数列求极限的问题转化为求解定积分的方法。关键是确定被积函数、积分区间及区间的分点。
常见的情形有：
问题5：
求
三．考察基本积分表
讲解：需要掌握基本初等函数的积分公式。
四．考察分项积分方法
讲解：利用不定积分（定积分）线性性质把复杂函数分解成几个简单函数的和，再求积分。
问题6：
2.若
则其可化成 ，令
显然此时 （否则被积函数无意义），令 ，则 可化成 ，此时令 （ ）
问题10：
求下列不定积分：
十．常用变量替换二：幂函数替换（简单无理函数积分）
讲解：幂函数替换常用于被积函数中含有 ， 的根式。
对于第一个可令 ，则 ；
对于第二个可令 ，则 ，再转化为有理函数积分。
如果被积函数中同时含有 ， ，… ，其中 ， ， 是分数，则令 ，其中 是 ， ， 分母的最小公倍数。
（2） （ ）
（3）
二十四．考察常用的定积分计算方法（复习类）
讲解：你需要复习知识点六到知识点二十（除了知识点九）。
问题25：
（1）
（2）
二十五．考察分段函数的积分（复习类）
讲解：你需要复习知识点八，知识点十一。
问题26：
设函数 在 内满足 ，且 ，求
一元函数微分公式
【大小】【打印】【关闭】启航考研数学系列精讲之二一元函数积分的计算（一）一元函数积分包括不定积分与定积分，以及作为定积分推广的广义积分．对于不定积分需要掌握的，除了原函数与不定积分的概念与基本性质外，就是基本积分公式与两种基本积分方法。
这是因为任何积分过程最终都要化为基本积分公式中已有的形式，否则就需要再进一步简化，而两种基本的积分方法，变量替换法(换元积分法)与分部积分法是简化积分的主要方法。
除此之外，一些特殊的积分方法，如：有理函数积分法、三角函数有理式的积分法、某些简单无理式的积分法等，则是在特定情况下的特殊方法。
由于不定积分的计算是最基本的，它渗透于一切积分之中，所以这里将不单独予以讲述，而是将其融合于定积分的计算之中。
为了帮助读者查找，在分类讲述例题之前将列出基本积分公式。
借助于牛顿—莱布尼兹(Newton—Leibniz)公式，定积分可化为被积函数的任一原函数在积分上限与下限两点函数值的差。
这样，只要能求出原函数就解决了定积分的计算问题，而求原函数则是不定积分所解决的问题。
然而，定积分的计算过程并不是分为求原函数与求原函数在上、下限函数值的差两个步骤，而是把两者结合起来。
这样，如同不定积分一样，定积分也有两个基本方法，那就是变量替换法与分部积分法。
牛顿—莱布尼兹公式的基础是关于变限积分求导数的定理，同时在如何求极限的部分也涉及到，这里就不再重复了。
一、定积分的变量替换法定理设f(x)在区间[a,b]上连续，代换x＝Ф(t)满足条件：(1)Ф’(t)在[α,β]上连续；(2)Ф(α)=a,Ф(β)=b，并且当α≤t≤β时，a≤Ф(t)≤b，则（1）注 (1)在定理的叙述中，，，定义于区间[α,β]，说明呈上升趋势．实际上，呈下降趋势也是一样的，亦即定理中的区间[α,β]，刖改为[β,α]。
(2)在定积分作变量替换时，一定要同时更换积分限，而且积分限的更换可以采用表格形式表示。
(3)不定积分的变量替换有第一与第二换元法之分。
高等数学(数二
高等数学(数二>一.重点知识标记高等数学科目大纲章节知识点题型重要度等级高等数学第一章函数、极限、连续1 .等价无穷小代换、洛必达法则、泰勒展开式求函数的极限★★★★★2 .函数连续的概念、函数间断点的类型3 .判断函数连续性与间断点的类型★★★第二章一元函数微分学1 .导数的定义、可导与连续之间的关系按定义求一点处的导数，可导与连续的关系★★★★2 .函数的单调性、函数的极值讨论函数的单调性、极值★★★★3.闭区间上连续函数的性质、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理微分中值定理及其应用★★★★★第三章一元函数积分学1 .积分上限的函数及其导数变限积分求导问题★★★★★2 .有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的积分计算被积函数为有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的不定积分和定积分★★第四章多元函数微分学1 .隐函数、偏导数、的存在性以及它们之间的因果关系2 .函数在一点处极限的存在性，连续性，偏导数的存在性，全微分存在性与偏导数的连续性的讨论与它们之间的因果关系★★3 .多元复合函数、隐函数的求导法求偏导数，全微分★★★★★第五章多元函数积分学1. 二重积分的概念、性质及计算2.二重积分的计算及应用★★第六章常微分方程1.一阶线性微分方程、齐次方程，2.微分方程的简单应用，用微分方程解决一些应用问题★★★★一、函数、极限、连续部分：极限的运算法则、极限存在的准则(单调有界准则和夹逼准则>、未定式的极限、主要的等价无穷小、函数间断点的判断以及分类，还有闭区间上连续函数的性质(尤其是介值定理>，这些知识点在历年真题中出现的概率比较高，属于重点内容，但是很基础，不是难点，因此这部分内容一定不要丢分。
二、微分学部分：主要是一元函数微分学和多元函数微分学，其中一元函数微分学是基础亦是重点。
一元函数微分学，主要掌握连续性、可导性、可微性三者的关系，另外要掌握各种函数求导的方法，尤其是复合函数、隐函数求导。
一元函数积分学
一元函数积分学
一元函数积分学是高等数学中的一个重要分支，它研究了一个实
数变量的函数的积分。
在我们日常生活中，积分被广泛应用于各个领域，如经济学、物理学、工程学等等。
在微积分中，积分是求解面积、体积、概率、质量等量的重要工具之一。
一元函数积分学的主要内容包括定积分、不定积分、变限积分、
换元积分、分部积分等。
其中，定积分是一种重要的积分，它求解的
是在一定区间内的函数曲线下方的面积。
不定积分则不限制求解的区间，可以得到一个函数的原函数。
变限积分和换元积分是定积分的推
广和扩展，能够更加灵活地求解积分问题。
分部积分则是一种将积分
转化为乘积的方法，对于某些复杂的积分问题可以起到关键作用。
在学习一元函数积分学时，我们需要掌握函数积分的基本性质、
定理和方法，并能够熟练地运用它们求解各种积分问题。
此外，我们
还需要了解积分的应用，以便将它们运用到实际问题中解决实际问题。
总的来说，一元函数积分学是高等数学学习中非常重要的一个分支，它具有广泛的应用价值，是我们学习数学的必备知识点之一。
《数学分析》第五章 一元函数积分学
“求出”来的．例如
∫e
± x2
dx, ∫
dx sin x ,∫ dx,∫ 1 − k 2 sin 2 x dx(0 < k 2 < 1) ln x x
等等，虽然它们都存在，但却无法用初等函数来表示，因此可以说，初等函数的原函数 不一定是初等函数．即在初等函数的范围内，某些初等函数的原函数是不存在的，即使该函 数可积。这类非初等函数可采用定积分形式来表示。
它在[0，1]上必定不可积，这是因为对任何分割 T，在 T 所属的每个小区间都有有理数与无 理数（据实数的稠密性） ，当取 {ξ i }1 全为有理数时，得
n
∑ D(ξ )∆x = ∑ ∆x
I i i =1 i =1
n
n
i
= 1,
当取 {ξ i }1 全为无理数时，得
n
∑ D(ξ )∆x = ∑ 0 ⋅ ∆x
b
x
7. 无穷限反常积分： 设函数／定义在无穷区间[ a,+∞ )上，且在任何有限区间[ a, u ]上可 积．如果存在极限
f ( x)dx = J ， u → +∞ ∫a
lim
u
(1)
则称此极限 J 为函数 f 在[ a,+∞ )上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作
J = ∫a f ( x)dx ，
3. 定积分： 设
f
是定义在
[a, b] 上的一个函数， J 是一个确定的实数．若对任给的正数 [a, b] 的任何分割 T ，以及在其上任意选取的点集 {ξ i } ，
≺ ε ，则称函数 f 在区间 [a , b ] 上可积或黎曼可
ε
，总存在某一正数 δ ，使得对
只要
T ≺δ
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高等数学基础教材上册目录【高等数学基础教材上册目录】第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的定义与性质1.3 函数的连续性与间断点第二章：导数与微分2.1 导数的定义与求导法则2.2 函数的微分与近似计算2.3 高阶导数与高阶微分第三章：一元函数的应用3.1 函数的单调性与极值3.2 函数的图像与曲线的凸凹性3.3 驻点与拐点的判定方法第四章：多元函数及其微分学4.1 多元函数的概念与性质4.2 偏导数与全微分4.3 隐函数与参数方程的偏导数第五章：一元函数积分学5.1 不定积分与不定积分法5.2 定积分的概念与性质5.3 定积分的计算方法第六章：多元函数积分学6.1 二重积分的概念与性质6.2 三重积分的概念与性质6.3 曲线积分与曲面积分第七章：常微分方程7.1 一阶常微分方程与初值问题7.2 二阶常系数线性齐次微分方程7.3 高阶线性齐次微分方程第八章：级数与幂级数8.1 数项级数的概念与性质8.2 幂级数的收敛半径与和函数8.3 函数的泰勒展开与幂级数展开第九章：常微分方程的级数解法9.1 二阶微分方程的级数解法9.2 非齐次线性微分方程的级数解法9.3 常微分方程组的级数解法第十章：线性代数基础10.1 向量与矩阵的基本概念与运算10.2 线性方程组的解法与矩阵的初等变换10.3 矩阵的特征值与特征向量第十一章：线性方程组与矩阵的应用11.1 矩阵的相似对角化与对角化的应用11.2 线性方程组稳定性分析11.3 矩阵的二次型与正定性判定第十二章：多元函数的泛函分析12.1 标架空间与线性空间的性质12.2 置换算子与对称变换的特征值问题12.3 点集拓扑与连续映射第十三章：傅里叶级数与傅里叶变换13.1 傅里叶级数的基本概念与性质13.2 傅里叶级数的收敛与满足条件的函数展开13.3 傅里叶变换的基本概念与性质第十四章：常微分方程的变分法14.1 非定常泛函与泛函极值问题14.2 欧拉方程与最小作用量原理14.3 约束条件下的变分问题第十五章：偏微分方程的基本理论15.1 偏微分方程基本概念与分类15.2 二阶线性偏微分方程的特征方程与性质15.3 分离变量法与定解问题的解法这是《高等数学基础教材上册》的目录，让我们逐步深入了解高等数学的各个领域与概念。
高数——一元函数积分学教学文案
高数——一元函数积分学一元函数积分学【知识要点】1、理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。
2、熟练掌握不定积分的基本公式。
3、熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。
4、熟练掌握不定积分的分部积分法。
5、掌握简单有理函数不定积分的计算。
6、理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件7、掌握定积分的基本性质8、理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法。
9、熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。
10、掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
11、.理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。
12、掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。
1不定积分定义 函数)(x f 的全体原函数称为函数)(x f 的不定积分，记作⎰dx x f )(，并称⎰微积分号，函数)(x f 为被积函数，dx x f )(为被积表达式，x 为积分变量。
因此⎰+=C x F dx x f )()(，其中)(x F 是)(x f 的一个原函数，C 为任意常数（积分常数）。
基本积分公式（要求熟练记忆） （1）⎰=C dx 0 （2）)1(111-≠++=+⎰a C x a dx x a a . （3）C x dx x+=⎰ln 1.（4）C a a dx a xx +=⎰ln 1 )1,0(≠>a a （5）C e dx e x x +=⎰ （6）⎰+-=C x xdx cos sin （7）⎰+=C x xdx sin cos（8）C x dx x +=⎰tan cos 12. （9）C x dx x +-=⎰cot sin 12.（10）C x dx x+=-⎰arcsin 112.（11）C x dx x +=+⎰arctan 112. 正确理解上述的积分公式是能否掌握不定积分计算的关键之一，所有积分公式中的x 均应理解为x 的连续函数，例如C x a dx x a a ++=⎰+111理解为下面的结构式：式中的方块可以为自变量x ，也可以是x 的函数，如：正确理解公式并能熟练掌握它，对于学习后续知识会有极大的好处。
医用高数课后习题答案
第一章 函数、极限与连续习题题解(P27)一、判断题题解1. 正确。
设h (x )=f (x )+f (x ), 则h (x )= f (x )+f (x )=h (x )。
故为偶函数。
2. 错。
y =2ln x 的定义域(0,+), y =ln x 2的定义域(,0)∪(0,+)。
定义域不同。
3. 错。
+∞=→21lim x x 。
故无界。
4. 错。
在x 0点极限存在不一定连续。
5. 错。
01lim =-+∞→xx 逐渐增大。
6. 正确。
设A x f x x =→)(lim 0，当x 无限趋向于x 0,并在x 0的邻域内，有εε+<<-A x f A )(。
7. 正确。
反证法：设F (x )=f (x )+g (x )在x 0处连续，则g (x ) =F (x )f (x )，在x 0处F (x )，f (x )均连续，从而g (x )在x =x 0处也连续，与已知条件矛盾。
8. 正确。
是复合函数的连续性定理。
二、选择题题解1. ())( 22)]([,2)(,)(222D x f x x x f x x x ====ϕϕ2. y =x (C )3. 01sin lim 0=→xx x (A ) 4. 0cos 1sinlim0=→xx x x (B ) 5. )1(2)(lim ,2)3(lim )(lim ,2)13(lim )(lim 11111f x f x x f x x f x x x x x ≠=∴=-==-=→→→→→++--(B )6. 3092<⇒>-x x(D )7. 画出图形后知：最大值是3，最小值是10。
(A )8. 设1)(4--=x x x f ,则13)2(,1)1(=-=f f ，)(x f 连续，由介质定理可知。
(D )三、填空题题解 1. 210≤-≤x 31≤≤x2. )arctan(3x y =是奇函数，关于原点对称。
3. 31=ω,πωπ62==T 。
高数第一章知识点总结
高数第一章知识点总结导读：篇一：高数第一章知识点总结1.函数、极限与连续：主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。
1.函数、极限与连续：主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。
2.一元函数微分学：主要考查导数与微分的定义;各种函数导数与微分的计算;利用洛比达法则求不定式极限;函数极值;方程的的个数;证明函数不等式;与中值定理相关的证明;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形;求曲线渐近线。
3.一元函数积分学：主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。
4.多元函数微分学：主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;多元函数极值或条件极值在与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。
此外，数学一还要求会计算方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。
5.多元函数的积分学：包括二重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序。
数一还要求掌握三重积分，曲线积分和曲面积分以及相关的重要公式。
6.微分方程及差分方程：主要考查一阶微分方程的通解或特解;二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;微分方程的建立与求解。
差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法打有准备之战，胜算才能更大。
希望各2015考研生抓紧时间复习，在考研中取得好成绩。
一分耕耘一分收获。
加油！【高数第一章知识点总结】1.高数下知识点总结大全2.高数知识点总结心得3.高数上知识点总结4.高数重要知识点总结怎么写5.成考高数二知识点总结6.考研高数知识点总结7.大一高数一知识点总结8.考研高数二知识点总结上文是关于高数第一章知识点总结，感谢您的阅读，希望对您有帮助，谢谢。
《高等数学(一)微积分》讲义
5. 复合函数
给定函数链 f : D1 → f (D1) g : D → g(D) ⊂ D1
则复合函数为 f o g : D → f [g(D) ]
6. 初等函数 由基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的由一个表达式表示的函
数。
4/69
二、 极限 （1．概念回顾 2、极限的求法，）
=
lim
x→π
1 cos x
sin x
-2 ⋅ 2（π
−
2 x）=
lim
x→π
1 -4 sin
cos x
x（π − 2x）
2
2
2
=
lim
x→π
1 -4 sin
x
⋅
cos
lxi→mπ（π −
2xx ）=
1 -4
lim
x→π
−
sin −2
x =
−
1 8
2
2
2
13/69
注：使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式 ∞ 、 0 。 ∞0
例 5：
求 lim x→∞
x+5 x2 − 9
．
解：
lim
x→∞
x+5 x2 − 9
=
lim
x→∞
1 x
+
5 x2
1−
9 x2
=
1 lim( x→∞ x
+
5 x2
)
=
0
=
0．
lim(1 −
x→∞
9 x2
)
1
知识点：设a0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m, n ∈ N ，
2014.11高数第五章 一元函数的积分学1-2节
x[ a ,b ]
x[a,b]
b
m(b a) ≤
f (x)dx ≤ M (b a)
a
估值定理
证：由于 m≤ f (x)≤M
则
b
b
b
mdx≤ f (x)dx ≤ Mdx
a
a
a
故
m(b a) ≤
b
f (x)dx ≤ M (b a)
a
y
y
y
M
m
x
0a
b x 0a
b x 0a
b
例3. 估计 1 e x2 dx的值. 1
于是，若F(x)是 f (x)的一个原函数则 {F(x)+C|CR}
为f (x) 的全体原函数.
设 f (x)R( [a, b] ), 有
x
a f ( tx)d xt (a≤ x≤b)
称为积分上限函数. 记为
y
Φ (x)
x
f (t)d t
a
0a
x bx
定理1. 若f (x)R([a, b])，则
x0 x x0
x
' (x)=f (x)
推论1. (原函数存在定理). 若 f (x)C( [a, b] ), 则
f (x)在[a, b]上存在原函数，且Φ (x)
x
f (t)d t
a
为 f(x)的一个原函数.
例1.
d x sin t
sin x
[
d t] .
dx 1 t
x
d [ x2 et d t] x2 u d [ u et d t] du
从而 x0, x[a, b]有
|Φ (x) Φ (x0 ) |
x
2014.12高数第五章 一元函数的积分学4节
2
a2
a 2 x 2 ]0a
a2 a2
22 4
数
学
高
等
例1. a a 2 x 2 dx (a 0) 0
解：作变换 x=asint, dx=acostdt, a2 x2 a cost
x 0 t 0, x a t
a
a 2 x 2 dx a 2
2c os2 tdt
2
4
数
学
高
等
x2, x≥0
例6. 设 f (x)=
x , x<0
计算
4
1
f (x 2)dx
解：设 x2=t, 则 dx=d t ,
x=1 t= 1, x=4 t=2
于是
4
1
f
(x 2)dx
2
1
f
(t)dt
0
tdt＋
2
t
2dt
13
1
0
6
数
学
高
等
二、分部积分法
设 u=u(x), v=v(x)在[a, b]上可导，且u'v, uv'R([a, b])
a
2
2
2(1
cos 2t)dt
0
0
20
a2 2
[t
1 2
s
in
2t
]02
C
4
a
2
数
学
高
等
一般地，我们有
定理1. 设
(1) f (x)C([a, b]),
(2) x= ( t ) 在 [, ]上单值，可导，
(3) 当 ≤ t ≤ 时, a ≤ ( t )≤b , 且()=a,
( )=b, 则
高数第一章知识点总结
高数第一章知识点总结高数第一章知识点总结希望同学们在准备考研数学高数的复习过程中能够适当结合真题与模拟题，下面是小编精心收集的高数第一章知识点总结，希望能对你有所帮助。
篇一：高数第一章知识点总结高等数学是考研数学的重中之重，所占的比重较大，在数学一、三中占56%，数学二中占78%，重点难点较多。
具体说来，大家需要重点掌握的知识点有几以下几点：1.函数、极限与连续：主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。
2.一元函数微分学：主要考查导数与微分的定义;各种函数导数与微分的计算;利用洛比达法则求不定式极限;函数极值;方程的的个数;证明函数不等式;与中值定理相关的证明;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形;求曲线渐近线。
3.一元函数积分学：主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。
4.多元函数微分学：主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;多元函数极值或条件极值在与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。
此外，数学一还要求会计算方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。
5.多元函数的积分学：包括二重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序。
数一还要求掌握三重积分，曲线积分和曲面积分以及相关的重要公式。
6.微分方程及差分方程：主要考查一阶微分方程的通解或特解;二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;微分方程的建立与求解。
差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法由于微积分的知识是一个完整的体系，考试的题目往往带有很强的综合性，跨章节的题目很多，需要考生对整个学科有一个完整而系统的把握。
高等数学一元函数积分学
（四） 分部积分法
分析：(uv) uv uv
uv uv uv
uvdx (uv)dx uvdx
udv uv vdu 分部积分公式： udv uv vdu
例 7：求 x cos xdx
解：设u x,dv cos xdx d(sin x),v sin x
原式= xd(sin x) x sin x sin xdx
第三章 一元函数积分学(20%）
一、 不定积分 二、定积分 三、定积分的应用
考试点津：
• 本讲出题在10分—18分之间，考点不多， 一般在选择题、填空题、计算题中出现， 不定积分是定积分的基础，定积分又是二 重积分、曲线积分的基础，技巧性比较大， 希望同学们多练习。
• 本讲重点：（1）原函数、不定积分的概念 和性质。（2）直接积分方法、换元积分法。 （3）凑微分技巧。
2
a2
例 5：求 dx
x2 a2
(a 0)
解：设x a tan t
t
22
原式=
a sec2 t
a sect dt sectdt ln(sect tan t) C
由 x a tan t,得 tan t x ,sect x2 a2
a
a
所以
原式=ln
x2 a2 x a a C
例：计算
e
ex x
1
dx
2008年解答、8分
解：原式=
e
1 x
1
(ex
)dx
e
1 x
1
d
(e
x
)
1 ex 1
d(ex
1)
u ex 1 1 du ln u C ln ex 1 C
u
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一元函数积分学【知识要点】1、理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。
2、熟练掌握不定积分的基本公式。
3、熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。
4、熟练掌握不定积分的分部积分法。
5、掌握简单有理函数不定积分的计算。
6、理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件7、掌握定积分的基本性质8、理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法。
9、熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。
10、掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
11、.理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。
12、掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。
1不定积分定义 函数)(x f 的全体原函数称为函数)(x f 的不定积分，记作⎰dx x f )(，并称⎰微积分号，函数)(x f 为被积函数，dx x f )(为被积表达式，x 为积分变量。
因此⎰+=C x F dx x f )()(，其中)(x F 是)(x f 的一个原函数，C 为任意常数（积分常数）。
基本积分公式（要求熟练记忆） （1）⎰=C dx 0 （2）)1(111-≠++=+⎰a C x a dx x a a. （3）C x dx x +=⎰ln 1.（4）C a adx a x x+=⎰ln 1 )1,0(≠>a a （5）C e dx e xx +=⎰（6）⎰+-=C x xdx cos sin （7）⎰+=C x xdx sin cos（8）C x dx x +=⎰tan cos 12.（9）C x dx x+-=⎰cot sin 12.（10）C x dx x+=-⎰arcsin 112.（11）C x dx x +=+⎰arctan 112.正确理解上述的积分公式是能否掌握不定积分计算的关键之一，所有积分公式中的x 均应理解为x 的连续函数，例如C x a dx x a a++=⎰+111理解为下面的结构式：式中的方块可以为自变量x ，也可以是x 的函数，如：正确理解公式并能熟练掌握它，对于学习后续知识会有极大的好处。
2直接积分法直接积分法是指用代数或三角恒等变形，并用积分的性质和基本积分公式进行积分的积分方法。
3换元积分法换元积分法就是对不定积分⎰dx x f )(作适当的变量代换：令)(u x ϕ=，或令)(x u ϕ=，把被积表达式变换成对新变量u 的函数，而对u 积分时是可利用基本积分公式的类型。
这就是换元积分法。
换元积分法的依据就是基本积分公式中的x 可以换成任意连续可导函数时，公式依然成立。
例如：如：C x u x du x u +=+⎰)(arctan )()(112.当用任意连续可导函数来替换)(x u 时，公式仍然成立，如)sin(x u =，x u ln =，x u sin =，)ln(sin x u =，等等，公式均成立：()111.1d c αααα+=+≠-+⎰341sin sin sin .4x d x x c =+⎰C x x d x +=+⎰)]sin arctan[ln()][ln(sin )][ln(sin 112.换元积分法分第一类换元积分法和第二类换元积分法两种。
1、 第一类换元积分法第一类换元积分法又称凑微分法，这种积分方法是：求积分dx x x f )(])(['ϕϕ⎰时，若)(x ϕ是x 的可导函数，用一个新的变量u 来代换)(x ϕ，并用du 代换dx x )('ϕ，此时积分dx x x f )()](['ϕϕ⎰变成了du u f ⎰)(，而它用可以直接用公式积分得到C u F +)(，最后将u换成)(x ϕ即可。
2、第二类换元积分法第二类换元积分法与第一类换元积分法正好相反，所给的积分⎰dx x f )(不能直接套公式计算，而是要将积分变量x 用一个函数)(t ϕ代替（要求)(t x ϕ=严格单调、可导），且0)('≠t ϕ，并将dx 用dt t )('ϕ代替，使积分变成dt t t f )()](['ϕϕ⎰，这个积分可以套公式积出为C t F +)(，最后将t 用)(1x -ϕ作反还原。
4分部积分法分部积分法也是一种重要的方法，它是由函数之积的微分公式推导出来的。
分部积分公式设)(),(x v x u 均可导，则udv vdu uv d +=)(， 两边对x 积分得 ⎰⎰+=udv vdu uv 。
移项得分部积分公式如下：⎰⎰-=vdu uv udv 或 ⎰⎰-=udv uv vdu 。
说明：在用分部积分法进行积分时，应努力使积分中右端的积分比左端的积分容易，因此应用分部积分法时，恰当选择u 和dv （或v 和du ）是解题的关键。
如果选取不当，得到的积分会比原积分更不易求出。
对u 和dv 的选择，应当考虑两点： （1）v 要容易求得。
（2）要使⎰vdu 较所给积分⎰udv 容易计算。
5 定积分定积分⎰badx x f )(的几何意义是：它是介于x 轴、曲线)(x f y =、直线b x a x ==、之间各部分面积的代数和；在x 上方的面积取正号，在x 下方的面积取负号。
对于定积分的定义，我们还应明确以下几点：（1）定积分的值是一个常数，它知与被积函数)(x f 及积分区间],[b a 有关，而与积分变量的字母无关，则应有⎰⎰=babadt t f dx x f )()(。
（2）在定积分的定义中，我们假定b a <；如果a b <，我们规定⎰⎰-=baabdx x f dx x f )()(如果b a =则规定0)( =⎰aadx x f6定积分的计算1、变上限积分定义 积分上限x 为变量时的定积分dt t f x a)(⎰称为变上限积分。
变上限积分一般是上限x 的函数，记为)(x Φ，于是有⎰=Φx adt t f x )()(，且有下列定理。
定理（对积分上限的导数） 如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则函数⎰=Φxadt t f x )()()(b x a ≤≤对积分上限x 的导数等于)(x f ，即[])()()('x f dt t f x xa==Φ'⎰。
设)(),(x b x a 是x 的可导函数，记⎰=dt t f x x b x a )()()()(φ，则此定理可以推广为)()]([)()]([])([)(''')()('x a x a f x b x b f dt t f x x b x a -==⎰φ。
2、牛顿—莱布尼茨公式定理（牛顿—莱布尼茨公式） 如果)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的任意一个原函数，则有)()()( a F b F dx x f ba-=⎰。
7 定积分的应用定积分的应用主要有：平面图形面积的计算以及旋转体体积的计算。
计算平面图形的面积如果某平面图形是由两条连续曲线)(),(21x f y x g y ==及两条直线a x =1和b x =2所围成的（其中1y 是下面的曲线，2y 是上面的曲线），则其面积可由下式求出：.)]()([dx x g x f S ba⎰-=如果平面图形是由两条连续曲线)(),(21y x y x ψϕ==及两条直线c y =1和d y =2所围成的（其中1x 是左边的曲线，2x 是右边的曲线），则其面积可由下式求出：.)]()([dy y y S dc⎰-=ϕψ计算旋转体的体积设某立体是由连续曲线)0)()((≥=x f x f y 和直线)(,b a b x a x <==及x 轴所围平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体，如图所示。
则该旋转体的体积V 可由下式求出：.)()(22dx x f dx x f V babax ⎰⎰==ππ同理，若立体是由连续曲线)(y x ϕ= )0)((≥y ϕ和直线)(,d c d y c y <==及y 轴所围平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体，如图所示，则该旋转体的体积y V 可由下式求出：⎰⎰==dcd cy dy y dy y V )()(22ϕππϕ.【历年试题选编】选择题x) 图5.161、（0806）=+⎰dx x )1(cos （ ）C x x A ++sin . C x x B ++-sin . C x x C ++cos . C x xxD ++-cos . 答案：A 。
分析： 利用不定积分性质和公式即得。
2、（0907）若C e dx e x f x x +=⎰22)(，则=)(x f （ ）x A 2. 2.x B 2.x e C 1.D答案：A . 利用不定积分性质即得。
3、（1005）=⎰dx 41（ ）4、（0807）=⎰-dx x 115（ ）2.-A 1.-B 0.C D .1 答案：C .分析：因为5x 为奇函数。
5、（0906）=+⎰dx x dx d 10211（ ） 21.xdx A + 211.xB + 4.πC 0.D答案：D .分析：因为定积分的值是一个常数。
6、（1007）已知dt t x F x ⎰+=021)(，则=)('x F （ ）212.x x A + 11.2++x B 21.x C + 11.2-+x D答案：C .填空题7、（0817）_______)(03=+⎰dt t t dxd x . 答案：x x +3。
8、（0918）_________3=⎰dx e x 。
9、（1018）_________cos 2sin =⎰xdx e x π答案：1-e 。
10、（1017）__________1=⎰dx e x 。
答案：C ex+--。
计算题11、（0823）计算⎰xdx 5sin 。
12、（0923）计算⎰dx .13、（1023）计算dx xe x ⎰2.14、（0827）（1）求曲线xe y =及直线0,0,1===y x x 所围成的图形D 所示的面积S ； （2）求平面图形D 绕x 轴转一周所形成旋转体的体积V 。
15、（0927）（1）求在区间],0[π上的曲线x y sin =与x 轴所围成图形的面积S ； （2）求（1）中的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积V 。