数值分析第五版李庆扬王能超课件第4章(1)
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1.483240 1.549193 1.612452 1.673320 1.732051
y1
yi 1 yi h f ( xi , yi ) ( i 0, ... , n 1)
亦称为欧拉折线法
/* Euler’s polygonal arc method*/
2.1
欧拉方法
定义 在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考 虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断误差 /* local
1.264911 1.341641
0.5
0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
1.435133
1.508966 1.580338 1.649783 1.717779 1.784770
1.416402
1.485956 1.552514 1.616475 1.678166 1.737867
1.414214
隐式欧拉公式
y i 1 y i h f ( x i 1 , yi 1 ) ( i 0, ... , n 1)
2.1
欧拉方法
注：
由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得
到，故称为隐式（后退） /* implicit */ 欧拉公式，而前 者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。
truncation error */。
定义 若某算法的局部截断误差为 O(hp+1)，则称该算法有 pding term */
欧拉法的局部截断误差：
Ri y( xi 1 ) yi 1 [ y( xi ) hy( xi ) h2 y( xi ) O( h3 )] [ yi hf ( xi , yi )]
一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。 隐式欧拉法的局部截断误差：
Ri y( xi 1 ) yi 1 h2 y( xi ) O( h3 )
2
即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。
2.２
梯形方法
梯形公式 /* trapezoid formula */
— 显、隐式两种算法的平均
第四章
常微分方程初值问题数值解法
/* Numerical Methods for Ordinary Differential Equations */
第一讲
§1. 引言
§2.简单的数值方法与基本概念
§1. 引言
考虑一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value Problem */:
例：设初值问题 2x dy y y dx y (0) 1 试分别用Euler方法和改进的Euler方法求解，并与 精确解y 1 2 x 进行比较。 解： 取 h 0.1，计算x [0,1]上的结果，此时
2 xn ) Euler方法：yn 1 yn 0.1( yn yn
dy f ( x, y) dx y ( a ) y0 x [a , b ]
只要 f (x, y) 在[a, b] R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条 件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使 | f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) | L | y1 y2 | 对任意定义在 [a, b] 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，则上述IVP存 在唯一解。
y i 1
h yi [ f ( xi , yi ) f ( xi 1 , yi 1 )] ( i 0, ... , n 1) 2
注：的确有局部截断误差 Ri y( xi 1 ) yi 1 O( h3 ) ， 即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了进步。 但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到 迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。
, n 1) 为步长，通常采用等距节点， 节点间距 hi xi 1 xi (i 0, ...计算 yn+1时只用到前一点的 即取 hi = h (常数)。 计算 时用到前面k个点的 值y ，称为单步法．
值yn, yn-1,…, yn-k+1，称为k步法．
n+1 n
§2.简单的数值方法与基本概念 §1.拉格朗日插值
计算结果如下表 x
0 0.1
Euler法y
1.000000 1.000000
改进的Euler法y 精确解
1.000000 1.095909 1.000000 1.095445
0.2
0.3 0.4
1.191818
1.277438 1.358213
1.184097
1.266201 1.343360
1.183216
y i 1
h yi [ f ( x i , yi ) f ( x i 1 , yi 1 )] 2
y i 1
h yi f ( xi , yi ) f xi 1 , yi h f ( xi , yi ) 2
( i 0, ... , n 1)
注：此法亦称为预测-校正法 /* predictor-corrector method */。 可以证明该算法具有 2 阶精度，同时可以看到它是个单 步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。后面将 看到，它的稳定性高于显式欧拉法。
2.1 2.1 拉格朗日插值 欧拉方法 2.1 2.2 拉格朗日插值 梯形方法
2.3
改进的欧拉方法
2.1
欧拉方法
欧拉方法 /* Euler’s Method */
欧拉公式：
向前差商近似导数
y( x0 ) y( x1 ) y( x0 ) h
记为
x0 x1
y( x1 ) y( x0 ) hy( x0 ) y0 h f ( x0 , y0 )
2
h2 2
y( xi ) O( h3 )
欧拉法具有 1 阶精度。
2.1
欧拉方法
欧拉公式的改进：
隐式(后退)欧拉法 /* implicit Euler method */
y( x1 ) y( x0 ) h
x0 x1
向后差商近似导数
y( x1 )
y ( x1 ) y0 h f ( x1 , y ( x1 ))
在工程和科学计算中，所建立的各种IVP问题，绝大多数 很难甚至不可能给出解析解，其主要原因在于积分工具的 局限性。
§1. 引言
要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0< x1<…< xn= b 处的近似值 yi y( xi ) ( i 1, ... , n) 思 利用数值解法求解。 路
(n 0,1, 2,...)
1 yn 1 yn (k1 k2 ) 改进的Euler方法： 2 2 xn k 0.1( y ) 1 n yn 2( xn 0.1) k 0.1( y k ) 2 n 1 yn k1
(n 0,1, 2,...)
方
法
简单
精度低 稳定性最好
精度低, 计算量大
显式欧拉 隐式欧拉
梯形公式
精度提高
计算量大
改进欧拉法 /* modified Euler’s method */
2.３
改进欧拉方法
Step 1: 先用显式欧拉公式作预测，算出 y i 1 y i h f ( x i , y i ) Step 2: 再将 yi 1 代入隐式梯形公式的右边作校正，得到
y1
yi 1 yi h f ( xi , yi ) ( i 0, ... , n 1)
亦称为欧拉折线法
/* Euler’s polygonal arc method*/
2.1
欧拉方法
定义 在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考 虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断误差 /* local
1.264911 1.341641
0.5
0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
1.435133
1.508966 1.580338 1.649783 1.717779 1.784770
1.416402
1.485956 1.552514 1.616475 1.678166 1.737867
1.414214
隐式欧拉公式
y i 1 y i h f ( x i 1 , yi 1 ) ( i 0, ... , n 1)
2.1
欧拉方法
注：
由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得
到，故称为隐式（后退） /* implicit */ 欧拉公式，而前 者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。
truncation error */。
定义 若某算法的局部截断误差为 O(hp+1)，则称该算法有 pding term */
欧拉法的局部截断误差：
Ri y( xi 1 ) yi 1 [ y( xi ) hy( xi ) h2 y( xi ) O( h3 )] [ yi hf ( xi , yi )]
一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。 隐式欧拉法的局部截断误差：
Ri y( xi 1 ) yi 1 h2 y( xi ) O( h3 )
2
即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。
2.２
梯形方法
梯形公式 /* trapezoid formula */
— 显、隐式两种算法的平均
第四章
常微分方程初值问题数值解法
/* Numerical Methods for Ordinary Differential Equations */
第一讲
§1. 引言
§2.简单的数值方法与基本概念
§1. 引言
考虑一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value Problem */:
例：设初值问题 2x dy y y dx y (0) 1 试分别用Euler方法和改进的Euler方法求解，并与 精确解y 1 2 x 进行比较。 解： 取 h 0.1，计算x [0,1]上的结果，此时
2 xn ) Euler方法：yn 1 yn 0.1( yn yn
dy f ( x, y) dx y ( a ) y0 x [a , b ]
只要 f (x, y) 在[a, b] R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条 件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使 | f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) | L | y1 y2 | 对任意定义在 [a, b] 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，则上述IVP存 在唯一解。
y i 1
h yi [ f ( xi , yi ) f ( xi 1 , yi 1 )] ( i 0, ... , n 1) 2
注：的确有局部截断误差 Ri y( xi 1 ) yi 1 O( h3 ) ， 即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了进步。 但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到 迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。
, n 1) 为步长，通常采用等距节点， 节点间距 hi xi 1 xi (i 0, ...计算 yn+1时只用到前一点的 即取 hi = h (常数)。 计算 时用到前面k个点的 值y ，称为单步法．
值yn, yn-1,…, yn-k+1，称为k步法．
n+1 n
§2.简单的数值方法与基本概念 §1.拉格朗日插值
计算结果如下表 x
0 0.1
Euler法y
1.000000 1.000000
改进的Euler法y 精确解
1.000000 1.095909 1.000000 1.095445
0.2
0.3 0.4
1.191818
1.277438 1.358213
1.184097
1.266201 1.343360
1.183216
y i 1
h yi [ f ( x i , yi ) f ( x i 1 , yi 1 )] 2
y i 1
h yi f ( xi , yi ) f xi 1 , yi h f ( xi , yi ) 2
( i 0, ... , n 1)
注：此法亦称为预测-校正法 /* predictor-corrector method */。 可以证明该算法具有 2 阶精度，同时可以看到它是个单 步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。后面将 看到，它的稳定性高于显式欧拉法。
2.1 2.1 拉格朗日插值 欧拉方法 2.1 2.2 拉格朗日插值 梯形方法
2.3
改进的欧拉方法
2.1
欧拉方法
欧拉方法 /* Euler’s Method */
欧拉公式：
向前差商近似导数
y( x0 ) y( x1 ) y( x0 ) h
记为
x0 x1
y( x1 ) y( x0 ) hy( x0 ) y0 h f ( x0 , y0 )
2
h2 2
y( xi ) O( h3 )
欧拉法具有 1 阶精度。
2.1
欧拉方法
欧拉公式的改进：
隐式(后退)欧拉法 /* implicit Euler method */
y( x1 ) y( x0 ) h
x0 x1
向后差商近似导数
y( x1 )
y ( x1 ) y0 h f ( x1 , y ( x1 ))
在工程和科学计算中，所建立的各种IVP问题，绝大多数 很难甚至不可能给出解析解，其主要原因在于积分工具的 局限性。
§1. 引言
要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0< x1<…< xn= b 处的近似值 yi y( xi ) ( i 1, ... , n) 思 利用数值解法求解。 路
(n 0,1, 2,...)
1 yn 1 yn (k1 k2 ) 改进的Euler方法： 2 2 xn k 0.1( y ) 1 n yn 2( xn 0.1) k 0.1( y k ) 2 n 1 yn k1
(n 0,1, 2,...)
方
法
简单
精度低 稳定性最好
精度低, 计算量大
显式欧拉 隐式欧拉
梯形公式
精度提高
计算量大
改进欧拉法 /* modified Euler’s method */
2.３
改进欧拉方法
Step 1: 先用显式欧拉公式作预测，算出 y i 1 y i h f ( x i , y i ) Step 2: 再将 yi 1 代入隐式梯形公式的右边作校正，得到