简单的平面图形的面积及其变式公式
面积计算公式的推导“化归”是如何发生的
在小学数学课堂学习中，平面图形面积计算 公式的推导是十分重要的部分。
虽然各种图形面 积计算公式的推导都依赖于“化归”这一数学思 想，但从战术的角度来看，化归的方式却各有不 同，这些不同的化归方式，学生是怎么想到的？目前在课堂教学过程中，教师往往把化归方式直接 呈现给学生,学生只是用教师提供的方式见证了 果然是可以化归的。
但学生疑惑的是：老师是怎 么想到这种化归方式的呢？这里试着从这个角度来谈谈教师在平行四 边形、三角形、梯形、圆形的面积计算公式推导过 程中，如何凸显思想的发生，以及如何来充分实 现这些教学内容中蕴藏的数学教育价值的。
©平行四边形面积:怎么想到割补化归的在平行四边形的面积计算公式推导中，老师 会开门见山地问学生:你有办法把平行四边形转 化成长方形吗?有的学生看过书，会说剪掉一个“化归”是如何发生的◊俞正强吴新君角拼过去，就是长方形。
老师就会说:大家来试试看。
于是全体学生来一番操作演示，学生明白了平行四边形确实是可以转化为长方形的，记住公式，问题就解决了。
这样看似成功的教学后面，掩盖着这样一个问题：为什么要把平行四边形转化为长方形？你是怎么想到把平行四边形转化为长方形的呢?这两个问题，是平行四边形这一推导过程有别于长方形面积计算公式推导的数学价值所在。
这两个问题该怎么解决呢？我们提供如下过程。
环节一:用面积板来讨论平行四边形的面积。
问题:这个平行四边形（如图1)的面积是多少？图1【设计意图】在长方形面积计算公式的推导中，曾经安排学生用1平方厘米的单位正方形来摆一摆，这就形成了面积板这一教学用具的表象。
事实上，所有平面图形求面积的方法都只是在利用面积板无法直接解决时的变通方法。
103 —.J，彳衣f l2020.7-82020.7-8彳舦#m学版:环节二:讨论——你是怎么数的？问题:半个、小半个怎么数呢？（如图2)图2【设计意图】两个环节中面积单位的规整让 学生主动完成了两次等积变形的过程。
高考复习数学立体几何初步第7章 第2节 空间几何体的表面积与体积
第二节空间几何体的表面积与体积————————————————————————————————[考纲传真]了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．1．多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积．()(2)球的体积之比等于半径比的平方．()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．()(4)已知球O 的半径为R ，其内接正方体的边长为a ，则R ＝32a .( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD.32 cmB [S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π，∴r 2＝4，∴r ＝2(cm)．] 3．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图7-2-1，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )图7-2-1A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛B [设米堆的底面半径为r 尺，则π2r ＝8，所以r ＝16π，所以米堆的体积为V ＝14×13π·r 2·5＝π12×⎝ ⎛⎭⎪⎫16π2×5≈3209(立方尺)．故堆放的米约有3209÷1.62≈22(斛)．故选B.]4．(2016·全国卷Ⅱ)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A ．12π B.323π C ．8πD ．4πA [设正方体棱长为a ，则a 3＝8，所以a ＝2.所以正方体的体对角线长为23，所以正方体外接球的半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2＝12π，故选A.]5．(2017·郑州质检)某几何体的三视图如图7-2-2所示(单位：cm)，则该几何体的体积是________cm 3.图7-2-2323 [由三视图可知该几何体是由棱长为 2 cm 的正方体与底面为边长为 2 cm 的正方形、高为2 cm 的四棱锥组成，V ＝V 正方体＋V 四棱锥＝8 cm 3＋83 cm 3＝323cm 3.](1)某几何体的三视图如图7-2-3所示，则该几何体的表面积等于( )图7-2-3A ．8＋22B ．11＋2 2C ．14＋2 2D ．15(2)(2016·全国卷Ⅰ)如图7-2-4，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )图7-2-4A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π(1)B (2)A [(1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为4＋22＋2＋2＝8＋22，两底面的面积和为2×12×1×(1＋2)＝3.所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋2 2.(2)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图．设球的半径为R ，则43πR 3－18×43πR 3＝283π，解得R ＝2.因此它的表面积为78×4πR 2＋34πR 2＝17π.故选A.][规律方法] 1.(1)多面体与旋转体的表面积等于侧面面积与底面面积之和．(2)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的处理．2．若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解．[变式训练1] (2016·全国卷Ⅲ)如图7-2-5，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )【导学号：31222245】图7-2-5A ．18＋36 5B ．54＋18 5C ．90D ．81B [由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×35)×2＝54＋18 5.故选B.](1)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3B.4π3C.5π3D ．2π(2)(2016·天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图7-2-6所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m 3.图7-2-6(1)C (2)2 [(1)过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示．由于V 圆柱＝π·AB 2·BC ＝π×12×2＝2π， V 圆锥＝13π·CE 2·DE ＝13π·12×(2－1)＝π3，所以该几何体的体积V ＝V 圆柱－V 圆锥＝2π－π3＝5π3.(2)由三视图知，四棱锥的高为3，底面平行四边形的一边长为2，对应高为1，所以其体积V ＝13Sh ＝13×2×1×3＝2.][规律方法] 1.若所给定的几何体是柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．2．若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法(转换的原则是使底面面积和高易求)、分割法、补形法等方法进行求解．3．若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．[变式训练2] 一个几何体的三视图如图7-2-7所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.图7-2-783π [由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为V ＝13π×12×1×2＋π×12×2＝83π.]111V 的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()A．4π B.9π2C．6π D.32π3B[由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10，要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r，则r＝2.此时2r＝4＞3，不合题意．因此球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大．由2R＝3，即R＝3 2.故球的最大体积V＝43πR3＝92π.][迁移探究1]若本例中的条件变为“直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积．[解]将直三棱柱补形为长方体ABEC-A′B′E′C′，则球O是长方体ABEC-A′B′E′C′的外接球，∴体对角线BC′的长为球O的直径．因此2R＝32＋42＋122＝13，故S球＝4πR2＝169π.[迁移探究2]若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．[解]如图，设球心为O，半径为r，则在Rt △AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2， 解得r ＝94，则球O 的体积V 球＝43πr 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫943＝243π16.[规律方法] 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．2．若球面上四点P ，A ，B ，C 中P A ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．[变式训练3] (2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256πC [如图，设球的半径为R ，∵∠AOB ＝90°，∴S △AOB ＝12R 2.∵V O -ABC ＝V C -AOB ，而△AOB 面积为定值，∴当点C 到平面AOB 的距离最大时，V O -ABC 最大，∴当C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，体积V O -ABC 最大为13×12R2×R＝36，∴R＝6，∴球O的表面积为4πR2＝4π×62＝144π.故选C.][思想与方法]1．转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．2．求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高．[易错与防范]1．求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理，防止重复计算．2．底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．课时分层训练(三十九)空间几何体的表面积与体积A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.22π3 B.42π3C．22πD．42πB[依题意知，该几何体是以2为底面半径，2为高的两个同底圆锥组成的组合体，则其体积V＝13π(2)2×22＝423π.]2．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()【导学号：31222246】A.32π3B．4πC．2π D.4π3D[依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R，则2R＝12＋12＋(2)2＝2，解得R＝1，所以V＝4π3R3＝4π3.]3．(2016·山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图7-2-8所示，则该几何体的体积为()图7-2-8A.13＋23πB.13＋23πC.13＋26πD ．1＋26πC [由三视图知，该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为22，从而该几何体的体积为13×12×1＋12×43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝13＋26π.故选C.]4．某几何体的三视图如图7-2-9所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )【导学号：31222247】图7-2-9A ．2 B.92 C.32D ．3D [由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底＝12×(1＋2)×2＝3，∴V＝13x·3＝3，解得x＝3.]5．(2016·江南名校联考)一个四面体的三视图如图7-2-10所示，则该四面体的表面积是()图7-2-10A．1＋ 3 B．2＋ 3C．1＋2 2 D．2 2B[四面体的直观图如图所示．侧面SAC⊥底面ABC，且△SAC与△ABC均为腰长是2的等腰直角三角形，SA＝SC＝AB＝BC＝2，AC＝2.设AC的中点为O，连接SO，BO，则SO⊥AC，∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO.又OS＝OB＝1，∴SB＝2，故△SAB与△SBC均是边长为2的正三角形，故该四面体的表面积为2×1 2×2×2＋2×34×(2)2＝2＋ 3.]二、填空题6．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______．【导学号：31222248】7 [设新的底面半径为r ，由题意得13×π×52×4＋π×22×8＝13×π×r 2×4＋π×r 2×8， ∴r 2＝7，∴r ＝7.]7．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．12 [设正六棱锥的高为h ，棱锥的斜高为h ′. 由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23，∴h ＝1，∴斜高h ′＝12＋(3)2＝2，∴S 侧＝6×12×2×2＝12.]8．某几何体的三视图如图7-2-11所示，则该几何体的体积为________．图7-2-11136π [由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为π×12×2＋12×13π×12×1＝136π.]三、解答题9．如图7-2-12，在三棱锥D -ABC 中，已知BC ⊥AD ，BC ＝2，AD ＝6，AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10，求三棱锥D -ABC 的体积的最大值．图7-2-12[解] 由题意知，线段AB ＋BD 与线段AC ＋CD 的长度是定值，∵棱AD 与棱BC 相互垂直，设d 为AD 到BC 的距离，4分则V D -ABC＝AD ·BC ×d ×12×13＝2d ， 当d 最大时，V D -ABC 体积最大.8分 ∵AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10， ∴当AB ＝BD ＝AC ＝CD ＝5时， d 有最大值42－1＝15.此时V ＝215.12分10．四面体ABCD 及其三视图如图7-2-13所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H .图7-2-13(1)求四面体ABCD 的体积； (2)证明：四边形EFGH 是矩形．[解] (1)由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1，∴AD ⊥平面BDC ，3分∴四面体ABCD 的体积V ＝13×12×2×2×1＝23.5分(2)证明：∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH ∩平面ABC ＝EH ，8分∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH . 同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形． 又∵AD ⊥平面BDC ，∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG . ∴四边形EFGH 是矩形.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图7-2-14所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )图7-2-14A ．1B ．2C ．4D ．8B [如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r ，圆柱的底面半径为r ，高为2r ，则表面积S ＝12×4πr 2＋πr 2＋4r 2＋πr ·2r ＝(5π＋4)r 2.又S ＝16＋20π，∴(5π＋4)r 2＝16＋20π，∴r 2＝4，r ＝2，故选B.]2．三棱锥P -ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D -ABE 的体积为V 1，P -ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________.14 [设点A 到平面PBC 的距离为h .∵D ，E 分别为PB ，PC 的中点，∴S △BDE ＝14S △PBC ， ∴V 1V 2＝V A -DBEV A -PBC＝13S △BDE ·h 13S △PBC ·h＝14.] 3．(2016·全国卷Ⅰ)如图7-2-15，已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形，P A ＝6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面P AB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G.图7-2-15(1)证明：G 是AB 的中点；(2)在图中作出点E 在平面P AC 内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积．[解] (1)证明：因为P 在平面ABC 内的正投影为D ， 所以AB ⊥PD.因为D在平面P AB内的正投影为E，所以AB⊥DE.3分因为PD∩DE＝D，所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG.又由已知可得，P A＝PB，所以G是AB的中点.5分(2)在平面P AB内，过点E作PB的平行线交P A于点F，F即为E在平面P AC内的正投影.7分理由如下：由已知可得PB⊥P A，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥P A，EF⊥PC.又P A∩PC＝P，因此EF⊥平面P AC，即点F为E在平面P AC内的正投影．连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD＝23CG.10分由题设可得PC⊥平面P AB，DE⊥平面P AB，所以DE∥PC，因此PE＝23PG，DE＝13PC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且P A＝6，可得DE＝2，PE＝2 2. 在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2，所以四面体PDEF的体积V＝13×12×2×2×2＝43.12分。
平面图形与单位换算的知识要点
第七讲平面图形知识要点一、单位换算高级单位的名数转化成低级单位的名数，乘单位间的进率；反之，除以进率．二、部分平面图形的周长、面积公式三、组合图形有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合，拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算，我们称这样的图形为不规则图形．本专题介绍一些较复杂、不规则图形的面积的求法，主要通过将复杂图形分解成熟悉的基本图形，或将不规则图形进行划归为基本图形，或者用等积变换等方法进行转化．点睛题-例1 在_____里填上合适的数．2时＝_____分；8米＝_____分米＝_____厘米；5000千克＝_____吨；60毫米＝_____厘米．解：2×60＝120(分)；8×10＝80(分米)；8×100＝800(厘米)；5000÷1000＝5(吨) 60÷10＝6(厘米)答：120，80，800，5，6．变式训练11．8.2平方米＝_____平方分米2．14时＝_____分，4时32分＝_____时(填分数)，3.25小时＝_____小时_____分例2 一个长方形操场，长和宽的比是3∶2，周长是250米，这个操场的面积是多少平方米？解：每份的长度是：250÷(3＋2＋3＋2)＝250÷10＝25(米)长方形的长为：3×25＝75(米)长方形的宽为：2×25＝50(米)长方形操场的面积为：75×50＝3750(平方米)答：这个操场的面积是3750平方米．变式训练21．一个长方形的周长36分米，宽是长的45，长方形的面积是多少平方分米．2．一块长方形地的周长是120米，宽比长短13，它的面积是多少平方米．例3 点A是所在边DE上的中点，2BC＝BD，阴影部分S△ABC＝5，那么S△ABD＝_____，S△ACE＝_____．解：S△ABD＝2S△ABC＝2×5＝10；S△ACE＝S△ACD＝10＋5＝15．变式训练31．如图，已知ABCD是平行四边形，AC是对角线，AC＝3CG，AE＝EF＝FB，△EFG的面积是6平方厘米，求平行四边形ABCD的面积．1 22．如图，在△ABC中，D、E和F分别为AC、AB、AD的中点．△DEF的面积是4平方厘米．BC ＝5厘米，求△ABC 以BC 为底时，它的高是多少厘米？3．如图，BD 、DE 、EC 的长分别是2、4、2，F 是线段AE 的中点，△ABC 的BC 边上的高为4，求△DFE 的面积．3 44．如图，AD ＝DE ＝EC ，F 是BC 中点，G 是FC 中点，如果△ABC 的面积是24平方厘米，则阴影部分是_____平方厘米．例4 图中小正方形边长为10厘米，大正方形边长为12厘米．求阴影部分的面积． 解：S 阴＝S 正方形EFGD ＋S 正方形ADCB －S △FEG －S △BEC －S △AGB＝+−⨯⨯−+⨯⨯−−⨯⨯2211110121010（1012）12（1210）12222＝50变式训练41．求阴影部分的面积．（1）（2）例5 求图中阴影部分的面积(单位：厘米)． 解：根据题干分析可得：阴影部分的面积＝半圆的面积－三角形的面积3.14×(20÷2)2÷2－20×(20÷2)÷2＝157－100＝57(平方厘米)， 答：阴影部分的面积是57平米厘米． 变式训练51．如图，四边形ABCD 是平行四边形，圆O 的半径r ＝3cm ．求阴影部分面积．1 22．求图中阴影部分的面积．例6 如图，在长方形ABCD 中，△ABP 的面积是30平方厘米，△CDQ 的面积为45平方厘米，则阴影部分的面积是_____． 解：30＋45＝75(平方厘米)； 答：阴影部分的面积是75平方厘米． 变式训练61．如图，长方形被其内的一些直线划分了若干块，已知边上有3块面积分别是13、35、49.那么图中阴影部分的面积是多少？1 22．在图中，平行四边形ABCD 的边BC 长10厘米，直角三角形ECB 的直角边EC 长8厘米．已知阴影部分的总面积比三角形EFG 的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD 的面积． 例7 图中ABCD 是长方形，三角形EFD 的面积比三角形ABF 的面积大10平方厘米．其中AB ＝6厘米，BC ＝10厘米．求ED 的长？解：设ED的长度为x厘米，则10×(6＋x)÷2－10×6＝1010×(6＋x)÷2＝706＋x＝14x＝8答：ED的长度是8厘米．变式训练7：1．图中，AB＝8厘米，CD＝4厘米，BC＝6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18平方厘米．求ED的长．1 2 32．图中长方形长6cm，宽4cm，已知阴影①比阴影②面积少3cm2，求EC的长．3．图中阴影①比阴影②面积小48平方厘米，AB＝40cm，求BC的长．例8图中，阴影部分的面积是8平方厘米，求图中空白部分的面积．解：r2＝8×2＝16(平方厘米)空白部分的面积为：3.14×16－8＝50.24－8＝42.24(平方厘米)．答：图中空白部分的面积是42.24平方厘米．变式训练81．图中的阴影部分的面积是25平方厘米，求圆环的面积．1 2 32．求阴影部分的面积3．如图所示，圆的周长是16.4厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等．图中阴影部分的周长是多少厘米？基础闯关一、选择题(每小题3分，共12分)1．一个正方形、长方形和圆的周长相等，那么它们的面积相比( )A．正方形大B．圆大C．长方形大D．相等2．图中阴影甲的面积比阴影乙的面积大多少( )A．6cm2B．8cm2C．4cm2D．10cm22 33．在图中，梯形的上底是6cm，下底4cm，阴影部分的面积是10cm2，空白部分的面积是( )cm2．A．12.5 B．25 C．50 D．154．一个梯形，下底是上底的2倍，如果上、下底长度不变，高增加4厘米，面积就增加24平方厘米，那么原来梯形的上底长是( )A．6厘米B．4厘米C．8厘米二、填空题(每小题3分．共18分)1．用木条做成一个长方形框，如果把它拉成一个平行四边形，周长_____，面积_____(填变大了、变小了或不变)．2．一个等腰三角形的两边长分别是2cm和4.5cm，则这个三角形的周长是_____cm．3．一个直角三角形的三条边总和是6分米，已知三条边的比是3∶4∶5．这个直角三角形的面积是_____平方厘米．4．桃李园准备修建一个半径为9米的半圆形花坛，为了美观，花坛的周围要围上装饰栏杆，栏杆长为_____米．5．图中，以圆的半径为边长的正方形的面积是75平方厘米，阴影部分的面积为_____．5 66．如图，在长12厘米，宽6厘米的长方形中，梯形的面积比三角形的面积大24平方厘米，则梯形的上底长为_____厘米.三、解答题(每小题10分，共20分)1．求图中阴影部分的面积．1 22．如图，四个一样大的长方形和一个小的正方形拼成一个大正方形，其中大、小正方形的面积分别是64平方米和9平方米．求长方形的长、宽各是多少？名校培优1．一块长方形地的周长是130米，宽比长短38，它的面积是_____平方米．(5分)2．如图，△ABC的面积是1平方厘米，DC＝2BD，AE＝3ED，则△ACE的面积是_____平方厘米．(5分)2 33．在图中，ABCD是长方形，三条线段的长度如图所示，M是线段DE的中点，求四边形ABMD（阴影部分）的面积．(8分)4．如图，直角梯形ABCD的上底BC＝10厘米，下底AD＝14厘米，高CD＝5厘米，又三角形ABF、三角形BCE和四边形BEDF的面积相等．求三角形DEF的面积．(8分)4 55．求图中阴影部分的面积(单位：厘米)．(8分)6．如图所示，AB＝BC＝8厘米，求阴影部分的面积．(8分)6 77．如图，半圆S1的面积是14.13平方厘米，圆S2的面积是19.625平方厘米．那么长方形(阴影部分的面积)是多少平方厘米？(8分)。
专题17：《平面几何的面积(一)》小升初数学专题讲练 (思维导图+知识点精讲+例题分析+变式训练
2019-2020学年通用版数学小升初总复习专题汇编讲练专题17 平面几何的面积（一）1、三角形⑴特征：由三条线段围成的图形；内角和是180度；三角形具有稳定性；从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，一个三角形有三条高。
⑵计算公式：s=ah/2⑶分类①按角分A、锐角三角形：三个角都是锐角。
B、直角三角形：有一个角是直角。
等腰三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。
C、钝角三角形：有一个角是钝角。
②按边分A、不等边三角形：三条边长度不相等。
B、等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。
C、等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。
2、四边形⑴特征：①四边形是由四条线段围成的图形。
②任意四边形的内角和是360度。
③只有一组对边平行的四边形叫梯形。
④两组对边分别平行的四边形叫平行四边形，它简洁变形。
长方形、正方形是特殊的平行四边形；正方形是特殊的长方形。
⑵分类①长方形A、特征：对边相等，4个角都是直角的四边形。
有两条对称轴。
B、计算公式：c=2(a+b) s=ab②正方形A、特征：四条边都相等，四个角都是直角的四边形。
有4条对称轴。
B、计算公式：c=4a s=a²③平行四边形A、特征：两组对边分别平行的四边形；相对的边平行且相等；对角相等；相邻的两个角的度数之和为180度；平行四边形简洁变形。
B、计算公式：s=ah④梯形A、特征：只有一组对边平行的四边形；中位线等于上下底和的一半；等腰梯形有一条对称轴。
B、计算公式：s=(a+b)h/2=mh3、圆⑴圆的生疏圆是平面上的一种曲线图形。
圆中心的一点叫做圆心。
一般用字母o表示。
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。
一般用r表示。
在同一个圆里，有很多条半径，每条半径的长度都相等。
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
一般用d表示。
同一个圆里有很多条直径，全部的直径都相等。
总复习面积问题专题(课件)人教版六年级上册数学(共19张PPT)
AC和AD的中点. 求：三角形DEF的面积。
解：因为点D是BC的中点， SABC 40
所以BD=CD
所以 SACD
SABD
1 2
SABC
1 40 20 2
又因为点E是AC的中点，
A
F
E
所以AE=CE
所以 SADE
SCDE
1 2
SACD
1 20 10 2
B
D
C
【方法总结】在运用等底
因为点F是AD的中点，
解：由题意得：
因为SDABCD=2B12DBD h
h
∟
所以SADC DC h 2BD h 2SABD
1份
2份
二、三角形的面积问题
2.重要结论
导入4：在三角形ABC中，DC=3BD，三角形ABC的高为 h，那么三
角形ABD与三角形ADC的面积具有什么关系呢？
解：由题意得：
SABD BD h
变式 如图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O， 求证：三角形AOB与三角形COD面积相等．
解：因为在三角形ABC与三角形DCB中，底都是
BC，高都是AD与BC平行线段的距离，
所以 SABC =SDCB
所以 SABC -SBOC SDCB -SBOC
B
A
D
O
C
即证 SAOB SCOD
因为点D是AB的中点，SAED 30(cm2 )
B
所以AD=BD
所以 SBED SAED 30(cm2 )
D
所以 SABE 2SAED 2 30 60(cm2 )
又因为点E是AC的中点， 所以AE=CE
30
A
E
C
面积 (教案)2023-2024学年数学三年级上册-沪教版
面积（教案）2023-2024学年数学三年级上册-沪教版教学内容本节课将介绍面积的概念，包括平面图形的面积定义，以及如何计算简单图形的面积。
通过本节课的学习，学生将能够理解和运用面积的基本概念，并能够计算正方形和长方形的面积。
教学目标1. 理解面积的概念，包括面积的定义及其在生活中的应用。
2. 学会计算正方形和长方形的面积。
3. 培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
教学难点1. 面积概念的理解：学生可能对面积的概念感到陌生，需要通过实际例子和图形来帮助他们理解。
2. 面积计算方法的掌握：学生需要掌握计算正方形和长方形面积的方法，并能够灵活运用。
教具学具准备1. 教具：尺子、圆规、直角器等。
2. 学具：练习本、铅笔、橡皮等。
教学过程1. 引入：通过生活中的实例引入面积的概念，例如比较两个不同大小的桌子，让学生直观地感受面积的存在。
2. 讲解：讲解面积的定义，以及如何计算正方形和长方形的面积。
3. 练习：通过练习题让学生巩固面积的概念和计算方法。
4. 应用：通过实际例子让学生运用面积的概念和计算方法解决问题。
5. 总结：总结本节课的学习内容，强调面积的概念和计算方法。
板书设计1. 面积的定义：面积是指平面图形所占的面积大小。
2. 面积的计算方法：正方形的面积等于边长的平方，长方形的面积等于长乘以宽。
3. 练习题：计算给定正方形和长方形的面积。
作业设计1. 填空题：填空题包括面积的定义和计算方法。
2. 计算题：计算给定正方形和长方形的面积。
3. 应用题：通过实际例子让学生运用面积的概念和计算方法解决问题。
课后反思本节课通过实例引入面积的概念，讲解面积的定义和计算方法，并通过练习和应用让学生巩固和运用所学知识。
在教学过程中，要注意引导学生观察和思考，培养他们的观察能力和逻辑思维能力。
同时，要及时纠正学生的错误，并给予他们充分的练习机会。
重点关注的细节是“教学难点”的攻克和“教学过程”的合理设计。
这两个部分直接关系到学生对面积概念的理解和计算方法的掌握，是本节课的核心。
数学人教B版必修2课件：1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
S 正棱锥侧=12ch'.
名师点拨 一般棱柱、棱锥、棱台的侧面积的求法:因其结构特 征不一致,因此应该先分别计算各侧面的面积,然后再将各侧面面 积求和,即为相应的侧面积.
-15-
1.1.6 棱柱、棱锥、 棱台和球的表面积
目标导航
知识梳理
题型一 题型二 题型三 题型四
棱柱、棱锥、棱台的面积问题 【例1】
S正四棱锥表=S正四棱锥侧+S正四棱锥底=32+4×4=48(cm2).
反思 解决此类题目先利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的 直角三角形求解相应的元素,再代入面积公式求解.空间几何体的 表面积运算,一般先转化为平面几何图形的运算,再充分利用平面 几何图形的特性通过解三角形完成基本量的运算.
-17-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析 随堂练习
题型一 题型二 题型三 题型四
解析：(方法一)该组合体的上半部分是一个底面半径为2,母线长 为8的圆柱,下半部分是一个长、宽、高分别为8,8,4的长方体.
圆柱的表面积是2π×2×8+2π×22=40π, 长方体的表面积是(4×8+4×8+8×8)×2=256. 两几何体重叠面的面积为π×22=4π. 所以该组合体的表面积为S=40π+256-2×4π=256+32π.
答案：C
-9-
1.1.6 棱柱、棱锥、 棱台和球的表面积
目标导航
123
知识梳理
重难聚焦
典例透析 随堂练习
【做一做2-2】 如果圆台的母线与底面成60°角,那么这个圆台的 侧面积与轴截面面积的比值为( )
A.2π
B.32π
C.2
3π 3
长方形面积知识点
长方形面积知识点一、知识概述《长方形面积知识点》①基本定义：长方形面积呢，就是这个长方形平面图形所占据的平面大小。
简单说，就是这个长方形里面能放下多少个小方格（当然得是同样大小的小方格）那种感觉。
②重要程度：在几何知识里那可相当重要啊。
它是我们认识平面图形面积计算的一个基础。
很多建筑设计、土地测量、装修等领域，比如你要知道一个房间地面或者墙面大概的大小，这个长方形面积知识可不能少。
③前置知识：你起码得知道长方形长和宽是什么吧。
长一般就是长方形较长的那两条边其中一条的长度，宽就是较短的那条边的长度。
还得对面积有个大概概念，就像刚刚说的由小方格组成一块大的地方那种。
④应用价值：就像刚刚说的，大到建筑行业测算房子的占地儿、墙面地面的面积，小到咱们在家给个长方形的桌子铺桌布，算需要多大面积的桌布，都得用到这个知识。
二、知识体系①知识图谱：在几何知识中，长方形面积就是计算简单平面图形面积的基础类型，往上走四边形面积之类的可能就会和它有关，往下的话像正方形面积（正方形其实就是特殊的长方形）这些都和它联系紧密得很。
②关联知识：和长方形周长知识就有关联。
周长是它四条边的长度之和，面积则是内部空间大小。
还和乘法运算知识有关联，毕竟求长方形面积要用到长乘宽（乘法运算）呢。
③重难点分析：难点呢，说实话我觉着是理解面积概念到底是什么。
面积不像长度能直接量出来。
很多人可能光记住公式，不理解实际意义。
关键的点在于准确找到长方形的长和宽以及正确运用公式。
④考点分析：在考试里那可是基础考点啊。
经常就是直接给你长方形的长和宽，让你求面积。
或者呢，给你已知长方形面积和其中一个边的长度，让你求另外一个边。
再有就是一些综合性题目里，算面积可能是其中一步。
三、详细讲解【公式定理类】①公式内容：长方形面积等于长乘以宽，公式就是S = a×b（S表示长方形面积，a表示长，b表示宽）。
②推导过程：我们可以想象把长方形划分成很多小正方形，每个小正方形边长是1个单位。
4.3.1定积分的简单应用(一)利用定积分求平面图形的面积
b
a
f ( x)dx F ' ( x)dx F ( x) |b a F (b) F (a )
a
b
牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系． 2.利用牛顿－莱布尼茨公式求定积分的关键是
确定f ( x)的原函数F ( x)
基本初等函数的导数公式
' 1.若f(x)=c，则f(x)=0 ' n-1 2.若f(x)=x n，则f(x)=nx (n R) ' 3.若f(x)=sinx，则f(x)=cosx ' 4.若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx
4
2 xdx) ( x 4)dx
4
8
8
0
2 xdx ( x 4)dx
4
8
2 2 3 1 2 40 8 2 8 x |0 ( x 4 x) |4 3 2 3
练习 1（课本变式题） ：
2 y 计算由曲线 2 x 和直线 y x 4所围成的图形的面积.
y 2x
解:
两曲线的交点
y 2 x (0,0), (8, 4). y x 4
直线与x轴交点为(4,0)
S S1 S2
4 0
S1
S2
y x4
2 xdx [
8
8
4
2 xdx ( x 4)dx]
4
8
(
4
0
2 xdx
2ห้องสมุดไป่ตู้
o
2
x
y
4
o
2 2
2
x
2
∵ s1 0 2 xdx x | 0 2 0 4
【平面图形的面积问题】2023年小升初数学无忧衔接 (通用版)(解析版)
平面图形的面积问题在初中几何中，随着变量和演绎推理证明等知识的进入，初中学生学习几何就需要提高相应的思维能力，比如抽象思维，推理等等。
难度自不必说，思维的层次也大为不同。
甚至一些证明，必须用演绎推理来完成，比如“两直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”，这个命题就需要演绎推理思维，学生必须要在自己的心中构建直观图形，难度加大了。
如“三角形的内角和等于180°”这个定理，在小学教材中是由实验得出的，学生较熟悉。
因此，在教学中既让学生通过实验得出结论，又要强调说明不能满足于实验，而必须从理论上给予严格论证。
求几何图形面积常见方法及运用：【解题技巧】常见模型例1．（2022春·六年级统考期末）下图中阴影部分的面积是( )平方厘米。
【答案】8平方厘米【分析】观察图形可知，小正方形部分阴影面积等于长方形空白处面积，如下图：阴影部分面积等于长是（2＋2）厘米，宽是2厘米长方形面积；根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。
【详解】（2＋2）×2＝4×2＝8（平方厘米）【答案】4平方厘米【分析】通过观察图形可知，把阴影部分通过“旋转”或“割补”法，把阴影部分拼成三角形的面积，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，求出大三角形的面积，再除以2，即可求出阴影部分的面积。
【详解】如图：4×4÷2÷2＝16÷2÷2＝8÷2＝4（平方厘米）变式1．（2023秋·北京西城·五年级统考期末）将等腰三角形ABC沿虚线对折，折下来的部分恰好拼成了一个长方形（如图）。
已知三角形ABC的底是6cm，高是4cm，图中涂色部分的面积是（）cm2。
A．24 B．12 C．6 D．3【答案】D【分析】如图：观察图形可知，三角形ABC左右两边的涂色小三角形完全一样，把左边的涂色小三角形平移至右边，与右边涂色小三角形组合成一个与①一样大的三角形；这样三角形ABC平均分成4份，涂色部分占其中的一份；根据三角形的面积＝底×高÷2，求出三角形ABC的面积，再除以4即是涂色部分的面积。
定积分的简单应用李用
b
a
f
x
g
xd. x
注：
两曲线围成的平面图形的面积的计算 例 1. 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2围成图形的面积.
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
解方程组
y y
x x2
x
y
00或xy
1 1
y
y y2 xx B
即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD
返回
(2)∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，
∴在区间[0,1]及[3,4]上的v(t)≥0，
在区间[1,3]上，v(t)≤0.
∴在t＝4 s时的路程为
1
3
4
s＝0(t2－4t＋3)dt－1(t2－4t＋3)dt＋3(t2－4t＋3)dt
＝(13t3－2t2＋3t)|10－(13t3－2t2＋3t)|31＋(13t3－2t2＋3t)|43＝4(m)．
图1.7 3
s 30 60 30 1350
2
二、变力沿直线所作的功
1、恒力作功
由物理学知道，如果物体在作直线运动的过
程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且这力
的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移
动了距离 s时，力 F 对物体所作的功为W F s .
2、变力所做的功
问题：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并
例 2 计算由曲线 y 2x ，直线 y x 4以及 x 轴所
围成的图形的面积.
y 2x
解: 两曲线的交点
y
2x
(0, 0), (8, 4).
y x 4
直线与x轴交点为(4,0)
棱锥台的表面积和体积的计算公式ppt课件
变式探究
1．(2012·厦门市期末)已知体
积为 3 的正三棱柱(底面是正三
角形且侧棱垂直底面)的三视图如 图所示，则此三棱柱的的高为 ()
1 A.3
2 B.3
C．1
4 D.3
解析：由俯视图的高等于侧视图的宽，正三棱柱的底面三角 形高为 3，故边长为 2.设正三棱柱的高为 h，则由正三棱柱的体 积公式，有 3＝12×2× 3×h，解得 h＝1.故选 C.
思路点拨：分析四棱锥 P-BCC1B1 与三棱柱 ABC-A1B1C1 的关系，找出它们的体积之间的内在联系．
解析：设三棱柱 ABC-A1B1C1 的高为 h，体积为 V′，则 VP-ABC＋VP-A1B1C1＝13S△ABC·h＝13×V′，从而四棱锥 P-BCC1B1 的体积 V＝23V′，所以 V′＝32V.故选 D.
S侧＝_12_(_C_＋__C__′)_h_′__(C′，C为上、下底面周长，
h′是斜高)，S表＝_______S_侧_＋__S_上__底_＋_.S下底
4．圆柱：S侧＝_C_l＝__2_π__rl_ (C为底面周长，r是底面圆的半径，
专题05平面直角坐标系中求图形面积(解析版)
专题05平面直角坐标系中求图形面积类型一、直接用公式求面积例1.如图，在平面直角坐标系中，点()0,4A b 为y 轴正半轴上一点，点()3,0B b 是x 轴正半轴上一点，其中b 满足()316b +=．（1）求点A ，B 的坐标．（2）点C 为x 轴上一点，且ABC 的面积为12，求C 点的坐标．【答案】（1）()0,4A ，()3,0B ；（2）点C 的坐标为()3,0-或()9,0【解析】（1）由()316b +=得1b =，∴()04A ，，()30B ，．（2）设点C 的坐标为()0x ，，则3BC x =-，由1（）可知4OA =，∴1432ABC S x =⨯⨯-= 12，解得：9x =或3-．∴点C 的坐标为()30-，或()90，．【变式训练1】在平面直角坐标系中，已知点(),0A a ，(),0B b ，a 、b 满足方程组24a b a b +=-⎧⎨-=-⎩，（1）求A 、B 两点的坐标；（2）C 为y 轴正半轴上一点，且6ABC S = ，请求出C 的坐标．【答案】（1）A （-3，0），B （1，0）；（2）C （0，3）【解析】（1）解方程组24a b a b +=-⎧⎨-=-⎩，解得：31a b =-⎧⎨=⎩，∴A （-3，0），B （1，0）；（2）由（1）可知：AB =4，∵S △ABC =12AB •OC =6，∴12×4×OC =6，解得OC =3，∴C （0，3）．故答案为：（1）A （-3，0），B （1，0）；（2）C （0，3）类型二、割补法求面积例1.如图，三角形ABC 的面积等于（）A ．12B ．1122C ．13D ．1132【答案】D【解析】过点A 作AD x ⊥轴于D ，如图所示：由题意可得，3BO =，3OC =，6AD =，3CD =，∴6OD =，∴ABC BOC ACDBODA S S S S ∆∆∆=--梯形111()222BO AD OD BO OC CD AD=+⋅-⋅⋅-⋅⋅111(36)63336222=+⨯-⨯⨯-⨯⨯54918222=--272=，即272ABC S ∆=，故选：D ．【变式训练1】如图，连接AB 、BC 、AC ，则△ABC 的面积是（）A ．312B ．3C ．212D ．2【答案】C【解析】长方形AGDE 的面积为：3×2=6，AGC 的面积：3×1÷2=1.5，CDB △的面积：2×1÷2=1，ABE △的面积：2×1÷2=1，故ABC 的面积为：6-1.5-1-1=2.5，故答案为：C ；【变式训练2】如图，三角形ABO 中，()2,3A --，()2,1B -，A B O ''' 是ABO 平移之后得到的图形，并且O 的对应点O '的坐标为()5,4．（1）作出ABO 平移之后的图形A B O ''' ，并写出A '、B '两点的坐标分别为A '______，B '_____；（2）()00,P x y 为ABO 中任意一点，则平移后对应点P 的坐标为______．（3）求ABO 的面积；【解析】（1）如图，△A 'B 'O '即为所求，A '、B '两点的坐标分别（3，1），（7，3）．故答案为：（3，1），（7，3）．（2）点P '的坐标为（x 0+5，y 0+4）．故答案为：（x 0+5，y 0+4）．（3）S △ABO =3×4-12×2×3-12×1×2-12×4×2=4．【变式训练3】在平面直角坐标系xoy 中，△ABC 的位置如图所示，点A ，B ，C 都在格点上．（1）分别写出下列顶点的坐标：A ________；B ________；（2）请在图中画出△ABC 关于y 轴对称的图形△A ′B ′C ′；（3）计算出△ABC 的面积．【答案】（1）(-1,6)，(-2,0)；（2）见解析；（3）152【解析】（1）由图知，点A 的坐标为(-1,6)，点B 的坐标为(-2,0)，故答案为：(-1,6)，(-2,0)（2）由图得，点C 的坐标为(-4,3)，则点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A ′，B ′，C ′坐标分别为(1,6)，(2,0)，(4,3)，依次连接A ′，B ′，C ′，即得△A ′B ′C ′，所得图形如图所示（3）过A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E则ABC AOD CED ADEC S S S S =-- 梯形111(36)31623222=⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯152=类型三、点的存在性问题例1.如图，在平面直角坐标系中，点B ，C 的坐标分别为(),2a a -、()3,2a a ，其中0a >，点A 为BC 的中点，若4BC =，解决下列问题：（1）BC 所在直线与x 轴的位置关系是；（2）求出a 的值，并写出点A ，C 的坐标；（3）在y 轴上是否存在一点P ，使得三角形PAC 的面积等于5？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）平行；（2）()1,2A ，()3,2C ；（3）存在，P 点坐标为()0,3-或()0,7【解析】（1）∵点B ，C 的坐标分别为(),2a a -、()3,2a a ，∴BC 所在直线与x 轴的位置关系是平行．故答案为：平行．（2）∵4BC =，∴()34a a --=，∴1a =，∴B （-1，2），C （3，2），∵A 为BC 的中点，∴()1,2A ．（3）存在点P ．设()0,P m ，∵2AC =，∴12252m ⨯⨯-=，∴3m =-或7.∴P 为()0,3-或()0,7．【变式训练1】如图，在直角坐标系中，已知()0,2A ，()3,0B ，()3,4C 三点．（1）求四边形AOBC 的面积；（2）是否存在点()0.5P x x ,，使2ABC AOBC S S = 四边形？若存在，求出点P 的坐标．若不存在，请说明理由．【答案】（1）9；（2）存在，()189P --,或(18,9)【解析】如图，∵34C （，），∴33CD ==．∵()34C ，，30B （，），∴404CB =-=，∴4312DCBO S =⨯=四边形．∵()04D ，，()02A ，，∴422DA =-=，∴11236322DCA S =⨯⨯=⨯= ．∵DCA AOBC DCBO S S S =- 四边形四边形，∴1239AOBC S =-=四边形．（2）由（1）得1239AOBC S =-=四边形设存在点()0.5P x x ，，使△AOP 的面积为四边形AOBC 的面积的两倍．∵△AOP 的面积=122x x ⨯⨯=，∴29x =⨯，∴18x =±∴存在点P （18，9）或（-18，-9），使△AOP 的面积为四边形AOBC 的面积的两倍．【变式训练2】如图，A （0，3）是直角坐标系y 轴上一点，动点P 从原点O 出发，沿x 轴正半轴运动，速度为每秒2个单位长度，以P 为直角顶点在第一象限内作等腰Rt △APB ．设P 点的运动时间为t 秒．（1）若AB ∥x 轴，求t 的值；（2）如图2，当t ＝2时，坐标平面内有一点M （不与A 重合）使得以M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等，请直接写出点M 的坐标．【答案】（1）t 的值为1.5；（2）点M 的坐标为（3，7），（8，﹣3），（11，1）．【解析】（1）过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，如图所示．∵AO⊥x轴，BC⊥x轴，且AB∥x轴，∴四边形ABCO为矩形，∴AO=BC=3，∵△APB为等腰直角三角形，∴AP=BP，∠PAB=∠PBA=45°，∴∠OAP=90°-∠PAB=45°，∴△AOP为等腰直角三角形，∴OA=OP=3，∴t=3÷2=1.5（秒），故t的值为1.5；（2）当t=2时，OP=4，①如图3，若△ABP≌△MBP，则AP=PM，过点M作MD⊥OP于点D，∵∠AOP=∠PDM，∠APO=∠DPM，∴△AOP≌△MDP（AAS），∴OA=DM=3，OP=PD=4，∴M（8，-3）；②如图，若△ABP≌△MPB，连接AM，则AP=PB=BM，∠APB=∠MBP=90︒，∴AP∥MB，且AP=MB，∴四边形APBM是平行四边形，y轴于点E，又∠APB=∠MBP=90︒，∴四边形APBM是正方形，∴AP=AM，过点M作ME⊥同理可证△AOP≌△MEA（AAS），∴OA=EM=3，OP=AE=4，∴M（3，7）；③如图，若△ABP≌△MPB，则AP=BP=BM，过点M 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为点F 、G ，过点M 作MH ⊥BF 于点H ，∴四边形FGMH 是矩形，∴MH =FG ，MG =HF ，同理可证△AOP ≌△PFB ≌△BHM （AAS ），∴OA =PF =BH =3，OP =BF =MH =4，∴MG =HF =BF -BH =1，OG =OP +PF +FG =11，∴M （11，1）；综合以上可得点M 的坐标为（3，7），（8，-3），（11，1）．【变式训练3】在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为()1,0，点D 的坐标为()0,2．延长CB 交x 轴于点1A ，作第1个正方形111A B C C ；延长11C B 交x 轴于点2A ，作第2个正方形2221A B C C ，…，按这样的规律进行下去，第2021个正方形的面积是______．【答案】404235(2⨯【解析】()()1,0,0,2,A D 正方形ABCD ，1,2OA OD ∴==,,AD AB ===190,DAO ADO DAO BAA ∠+∠=︒=∠+∠1,ADO BAA ∴∠=∠190,DOA ABA ∠=∠=︒ 1,AOD A BA ∴ ∽1,AO OD A B AB ∴=15,2AO AB A B OD ∴== 正方形111A B C C，1113222A B A C ∴====⨯同理可得：22232442A B ⎛⎫=+==⨯ ⎪⎝⎭33332A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭······20212021202132A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以第2021个正方形的面积是22021404233=5.22⎡⎛⎫⎛⎫⨯⎢ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎣⎦故答案为：404235.2⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭。
第二单元 图形面积
底边慢慢向右移动，直到两斜边重合为止。这样就得到一个 长方形。 ③学生根据刚才的演示模仿操作，体会平移的过程。 3．归纳总结公式 (1)比较变化前的两个图形， 提问： 你发现了什么？互相讨论， 汇报讨论结果。根据讨论结果完成填空。 引导学生明确：你发现了什么?互相讨论，汇报讨论结果。 ①平行四边形转化为长方形后，面积没有改变。即长方形面 积等于平行四边形面积。(同时板书) ②这个长方形的长、宽分别与平行四边形的底、高相等。(同 时板书) (2)根据这些关系，你认为平行四边形的面积计算公式怎样推 导出来?强化理解推导过程。 板书： 平行四边形的面积＝底×高 4．教学字母公式 (1)介绍每个字母所表示的意义及读法。板书 S=a×h (2)说明在含有字母的式子里，字母和字母中间的乘号可以记 作“·”，也可以省略不写。所以平行四边形面积的计算公 式可以写成“S=a·h 或“S=ah”。(同时板书) (3)提问：计算平行四边形面积，需要知道哪些条件? 三、应用 1.一块平行四边形钢板(如下图)， 它的面积是多少? (得数保留
②学生画指定边上的高。 ③说一说，是怎么画的。 （4）提出问题。 师：三角形有几条不同的高？ 3、活动（三）：练一练。 （1）完成书 P、21 的“练一练”的第 1 题。 （2）完成书 P、21 的“练一练”的第 2—4 题。 三、总结。 谁能谈谈通过这节课的学习，你有什么感受？你还有什 么要问的？ 板书：
教学反思：
第三课时：动手做 教学内容： 书 P20 的例题及练习。 教学目的： 1、经历“动手做”课堂教学活动的过程，认识平行四边 形、三角形和梯形的高。 2、能借助三角尺画出平行四边形的高、三角形的高和梯 形的高。 3、通过动手操作、动眼观察、动脑思考等数学活动，自 主探索新知。 4、对周围环境中与图形有关的某些事物具有好奇心，能 主动参与教师组织的教学活动。 教学重点： 平行四边形的高。 教学准备： 平行四边形纸板、三角尺、剪刀等。 教学过程： 一、创设情境，提出问题。 1、实物投影呈现情境图。 2、提出问题： （1）“长方形的桌面”，它的形状是什么样子的？ （2）“尽可能大的长方形桌面”是什么意思？
高考理科第一轮课件(7.5空间几何体的面积与体积)
【解析】由三视图可知该几何体是圆锥，其底面圆半径为3，
母线长l=5, ∴S侧= 1 2π×3×5 2 =15π (cm2). 答案：15π
5.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是____.
【解析】由三视图知该几何体为组合体，由一个正四棱锥与一
个正方体叠加构成，其中正方体的棱长为3，正四棱锥的高为 1，底面正方形的边长为3，
名称
侧面展开图形状
侧面展开图
正n 棱台
n个全等的等腰梯形
（2）简单几何体的侧面积 2π rl ①S圆柱侧=_____（r为底面半径，l为侧面母线长）. π rl ②S圆锥侧=____（r为底面半径，l为侧面母线长）. π (r1+r2)l ③S圆台侧=_________（r1，r2分别为上、下底面半径，l为母线 长）. ch ④S直棱柱侧=___（c为底面周长,h为高）. 1 ch ⑤S正棱锥侧=_______(c为底面周长，h′为斜高). 2 1 c c h ⑥S正棱台侧=_____________(c′，c分别为上、下底面周长,h′ 2 为斜高）.
2.旋转体的表面积的求法
圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将曲面展 为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和. 【提醒】解题中要注意表面积与侧面积的区别，对于组合体的 表面积还应注意重合部分的处理.
【变式训练】（1）一个空间几何体的三视图如图所示，则该 几何体的表面积为(
（A） 48 （C） 8 17 48
)
（B） 8 17 32 （D） 80
【解析】选C.由三视图知几何体的直观图如图所示：
为以四边形ABCD为底面的直四棱柱，且 AB 17， AD=4， BC=2，则其侧面积为 2 4 2 17） 4 24 8 17， 两底面 （ （ 面积为 2 4 2） 4 24，故几何体的表面积为 48 8 17. 2
7.1柱 锥 台的侧面展开与面积
其中c为底面周长，h为高。
11
思考2:把正四棱锥侧面沿一条侧棱剪开再展开， 得到什么图形？侧面积怎么求？
h
h
a
正四棱锥
S正 棱 锥 侧
1 2
ch
c为正棱锥的底周长，h 为斜高，
即侧面等腰三角形的高。
12
思考3:把正三棱台侧面沿一条侧棱剪开再展开， 得到什么图形？侧面积怎么求？
S正棱台侧＝
和6cm,高是1.5cm.求三棱台的侧面积。
解：如图，O1,O分别是上、下底面中心，则 O1O=1.5, 连接A1O1并延长交B1C1于D1， A1
连接AO并延长交BC于D，过D1作D1E
⊥AD于E, 在Rt△D1ED中，
A
D1E=O1O=1.5, DE=DO-OE=DO-D1O1=
1 3
3 6 1
1（c 2
c'
)h'
h'
c、c分别为正棱台的上、
h'
下底的周长，h为斜高，
即侧面等腰梯形的高。
13
直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间 有何关系,如何转化？
c’ห้องสมุดไป่ตู้c
c’=0
S直棱柱侧 ch '
S正棱台侧
1 2
c '
ch'
S正棱锥侧
1 ch ' 2
14
例3、一个正三棱台的上、下底面边长分别为3cm
弧形长度公式：l n R
2
180
思考1: 把圆柱的侧面沿着一条母线剪开再展开， 得到什么图形?展开的图形与原图有什么关系？
r
l
长方形
宽＝ l
新人教版五年级上册数学第6单元多边形的面积教案
第六单元：多边形的面积教材分析本单元学习的内容主要包括：平行四边形、三角形、梯形和组合图形的面积四个部分。
它们的面积计算是在学生掌握了这些图形的特征以及长方形、正方形面积计算的基础上，以未知向已知转化为基本方法开展学习的。
这是进一步学习圆的面积和立体图形的表面积的基础。
学习组合图形的面积安排在平行四边形、三角形和梯形面积计算之后，也是利用转化的数学思想，让学生把不规则的平面图形转化为规则的平面图形来计算，降低了学生的学习难度，并巩固了学生对各种平面图形的特征的认识及面积计算，发展了学生的空间观念。
学情分析学生已经对空间观念和直观几何已有了较为丰富的经验。
在学习本单元之前，他们在生活中积累了有关图形认识和图形测量的经验，再加上已经学习了长方形、正方形、三角形的特征以及长方形、正方形的面积计算。
为此，学习本单元面积公式的推导过程中，教师应引导学生紧密联系生活实际，从已有的认知基础和生活经验出发，让学生在数、剪、拼、摆等操作活动中，完成对新知的构建。
所以引导学生利用转化的数学思想，在操作中学习新知是本单元教学的重要环节。
教师既要做好引导，又要注意不要包办代替，一定要学生在独立思考和合作交流的基础上进行操作，切忌由教师带着做。
通过实际操作活动，发展学生的空间观念，培养动手操作能力，为接下来学习圆的面积作好铺垫。
教学目标知识技能：掌握平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式，并能正确地计算相应图形的面积；了解简单组合图形面积的计算方法。
数学思考：在推理公式的过程中，引导学生应用转化的数学思想方法，经历计算公式的过程。
问题解决：能用有关图形的面积计算公式解决简单的实际问题。
在解决问题的过程中，感受数学和现实生活的密切联系，体会学数学、用数学的乐趣。
情感态度：培养学生认真思考、比较、推理和概况的能力。
教学重点：掌握平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式；会计算平行四边形、三角形和梯形的面积。
教学难点：渗透“转化”思想，培养学生运用转化的思考方法解决问题的能力和逻辑思维能力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
简单的平面图形的面积及其变式公式
1、长方形的面积=长×宽，用字母表示为S=ab
长方形的面积=长×宽，用字母表示为S=ab
长方形的面积=长×宽，用字母表示为S=ab
2、正方形的面积=边长×边长，用字母表示为S=a²
3、平行四边形的面积= 底×高，用字母表示为S= ah
平行四边形的底= 面积÷高，用字母表示为a= S÷h
平行四边形的高= 面积÷底，用字母表示为h= S÷a
4、三角形的面积=底×高÷2用字母表示为S=ah÷2
三角形的高= 2面积÷底用字母表示为h= 2S÷a
三角形的底= 2面积÷高用字母表示为a= 2S÷h
5、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2用字母表示为S= （a+b）h÷2 梯形的高= 2面积÷（上底+下底）用字母表示为h= 2S÷（a+b）梯形的上底= 2面积÷高-下底用字母表示为a= 2S÷h-b
梯形的下底= 2面积÷高-上底用字母表示为a= 2S÷h-a。