结构力学-第五章-力法2

§5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算
D X 1 =1 F E G H
X2=1 F EI1 EI1 H EI 2 EI2 B C G
D E
F
G H
15 kN
EI3
8 A B 8 C
A 11.2
11.2
A
B
C
120 kN m
●
M 1 ( kN m)
M 2 ( kN(e) m)
M P ( kN m)
方法二：利用叠加原理，按下式计算内力：
M M1 X 1 M 2 X 2 M n X n M P M i X i M P
i 1 n
Q Q1 X 1 Q2 X 2 Qn X n QP Qi X i M P N N1 X 1 N 2 X 2 N n X n N P Ni X i M P
11 12 21 22 n1 n 2 1n X 1 1P 0 X 0 2n 2P 2 nn 0 X n nP
系数和自由项的计算： 所有系数和自由项为基本结构在已知力作用下的位 移，可用位移计算公式求得，平面结构的计算式为：
M i2 N i2 kQi 2 ii ds ds ds EI EA GA
ij ji
ip
MiM j EI
ds
(4) 解方程求未知力。
1 Δ2p 代入式(a)并消去公因子 将 11 、 、Δ1p、 得 22 3EI
212 X 1 5400 0 160 X 2 4800 0
解得
X 1 25.5kN X 2 30.0kN
X1 、 X 2 即为原刚架上铰C两侧截面上的剪力和轴力。
M1
B
4
A
M2
B
4
4
60 kN
D C
E
240
M p (kN m)
A
B
1 1 2 4800 Δ2 P 5 240 4 ＝ EI 2 3 3EI
Δ1P 1 5 5400 240 ( 2 4 1) ＝ EI 6 3EI
§5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算
X1 X 2 X1 C E
60 kN
D C
E
60 kN
X2 D
4m A 3m
EI= 常数
B 1m 1m 3m
EI= 常数
A B
原结构
基本体系
§5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算
(2) 列出力法典型方程。
11 X 1 12 X 2 Δ1P 0 21 X 1 22 X 2 Δ2 P 0
§5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算
D X 1 =1 F E G
X2=1 F EI1 EI1 H EI 2 EI2 B C G
H
EI3
8 A B 8 C
A 11.2
11.2
22 [
1
22
1 1 2 5 4 4 2 EI 2 3 160 3EI
4
A
M1
X2 =1 D C E
B
4
4
A
M2
B
4
由图的 M 1 与 M 2 的对称性,有
21 12 0
§5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算
1D
C E
X2 =1 D C E
X 1 =1
1
4
A
4、求多余未知力 将以上所得各位移系数和自由项代入力法典型方程即有
2l l ql 3 X1 X2 0 3EI 6 EI 24 EI l 2l X1 X2 0 思考：荷载作用下，超静定结构的 6 EI 3EI 反力与梁的刚度有关吗？ 解得：
1 2 X 1 ql 15
X2
1 2 ql 60
(3) 计算系数及自由项。 作MP、M1、M2图。注意δ11与δ22都包括两部分，令M1图 、 左边柱、中间柱的计算结果分别为 11 11
由M1图得
83 ， 11 3EI 3
83 11 3EI 2
83 83 83 83 161.4 11 11 11 3EI 3 3EI 2 3 1.6 EI 3 3.12 EI EI
§5-3 荷载作用下超静ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ结构的内力计算
(5)计算杆端弯矩，作出的最后弯矩图。
M AD M 1 X 1 M 2 X 2 M P 4 ( 25.5) 4 ( 30.0) 240 （外侧受拉） 18.0 (kN m ) M DA 1 ( 25.5) 25.5 (kN m) （内侧受拉）
n1 X 1 n 2 X 2 nn X n nP 0
上式由n个多余约束处n个变形条件组成的荷载作用下n 次超静定结构的力法基本方程，称为力法的典型方程。
§5-2 力法的基本概念
物理意义： 基本结构在 X1 、 X2 、 …Xn 和荷载共同作用下沿 n 个多余未 知力方向的位移应与原结构的相应位移相等。 位移符号采用两个下标： 第一个下标表示位移的方向；
M EB ( 1) ( 25.5) 25.5 (kN m)
最后弯矩图
25.5 25.5
（内侧受拉）
25.5 25.5 18.0 M (kN m) 18.0
A
B
弯矩图具有反对称 性质，这是由荷载与结 构的对称性决定的。
§5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算
例5-3 用力法计算图（a）所示排架，作弯矩图。已 EI 2 3.12 EI ， 知 EI 3 1.6 EI ， EI 1 0.68 EI 。忽略排架顶 部拉杆的轴向变形, 将拉杆视为刚性杆。
Ni N j EA
ds
kQi Q j GA
ds
MiM P NN kQ Q ds i P ds i P ds EI EA GA
对具体结构，一般只计算其中一项或两项，如梁和 刚架只考虑弯矩项等。
§5-2 力法的基本概念
求得系数和自由项后，代入力法典型方程求解多余 未知力X1、X2、…、Xn，计算内力、绘制内力图，最终 内力计算可采用两种方法： 方法一：将多余未知力和外荷载同时作用于基本结构， 根据静力平衡条件计算内力。
F G H 15 kN
X1 F X2 G
15 kN
3.2 m
D
E
EI1 EI 1
8m
EI3 A B
EI 2 EI2 C
A B C
解: (1) 确定超静定次数并选定基本体系。 (2) 列出力法方程。 11 X 1 12 X 2 Δ1p 0
(a)
基本体系
21 X 1 22 X 2 Δ2 p 0
22
12 21
§5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算
M1 X1 1
M2
X2 1
q
MP
M 1M P 1 2 1 2 1 ql 3 1P ds ( l ql ) EI EI 3 8 2 24 EI
2P 0
§5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算
得两次超静定的力法基本方程
b 基本体系
X1
A
X2
11 X 1 12 X 2 Δ1p 0 21 X 1 22 X 2 Δ2 p 0
ij —— 位移系数，为基本结构在单位力
Xj=1单独作用下沿Xi方向产生的位移；
§5-2 力法的基本概念
力法的典型方程
i 1 i 1 n
n
§5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算
例5-1 绘制图示等跨、等刚度（EI为常数）连续梁的弯矩图
q l A B l C l D
1、确定超静定次数，选取基本结构 连续梁取简支梁式基本结构最便于计算。
X1
X2
基本体系
2、根据原结构已知变形条件，建立力法典型方程
原连续梁受力变形时，结点B、C处变形连续，左、右 截面不发生相对转角，力法典型方程： 1 11 X 1 12 X 2 1P 0
2 21 X 1 22 X 2 2 P 0
§5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算
3、求系数和自由项 用力法计算超静定梁和刚架，常忽略剪力和轴力对位 移的影响，而只考虑弯矩的影响。
M1 M2 X1 1
X2 1
11
M 1M 1 1 1 2 2l ds 2 ( l 1 1) EI EI 2 3 3EI M 2M 2 1 1 2 2l ds 2 ( l 1 1) EI EI 2 3 3EI M 1M 2 1 1 1 l ds ( l 1 1) EI EI 2 3 6 EI
3` 1
Structural Mechanics
结构力学
周 强
土木工程学院风工程试验研究中心 E-mail：qzhou85@126.com
§5-2 力法的基本概念
B C
超静定次数：
两次超静定
a 原结构
A B C
位移协调条件：
基本体系在X1方向的位移为零，Δ1=0
基本体系在X2方向的位移为零, Δ2=0
式中由柔度系数 ij 组成的矩阵称为柔度矩阵。根据位移互等 ij ji ，柔度矩阵是对称矩阵。 定理：
主对角线上的系数 11、 22 、…、 nn 称为主系数，恒为正。
主对角线外的系数 ij (i j ) 称为副系数，可为正、负或零。
§5-2 力法的基本概念
B
A1 y1c
c d
C l
(b)
D
再令图a与图b中的C d D相图乘，得
A1 y 2 c
A1 yC
1 2 1 1 l a c l b c 2 3 2 3 l l 2ac bc 6 6 l (2ac bc) 6
1 1 1 2 l l a d l b d ( ad 2bd ) 2 3 2 3 6
(3) 计算系数及自由项。
60 kN
（a）
D C E
M P、 作 M 2图 M 1、
240 A
M p (kN m)
B
X2 =1 D C E
1D
C
E
X1 =1
1
4
A
M1
B
4
A
M2
B
4
4
§5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算
两个梯形相乘,可将梯形划分为两个三角形相乘.
b a
A l
(a)
令图a与图b中的c d C相图乘，得
将结果相加，得最终图乘结果：
l l ( 2ac bc ) ( ad 2bd ) 6 6 l c(2a b) d (a 2b) 6
§5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算
计算ij
11
1 5 1 2 (2 4 1) 4 ( 4 2 1) 1 2 ( 1 1 1) 2 EI 6 2 3 E 1D 212 C 1 3EI X =1
对于 n 次超静定结构，力法基本未知量是 n 个多余未知 力X1、X2、…、Xn，从原结构去掉n个多余约束得到基本结 构。当原结构多余未知力作用处位移为零时，可建立n次超 静定结构的力法基本方程：
11 X 1 12 X 2 1n X n 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 n X n 2 P 0
第二个下标表示产生位移的原因。
ij —单位力 X j 1产生的沿 X i方向的位移，也称柔度系数；
iP —荷载产生的沿 X i方向的位移。
位移正负号规定：当位移 ij或 iP方向与所设相应力Xi 正方向相同时，位移为正，反之为负。
§5-2 力法的基本概念
力法基本方程的矩阵形式：
X1为负号表示其方向与所设方向相反，截面B 应为上 边缘受拉。
§5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算
5、绘制最终弯矩图
M M1 X1 M 2 X 2 M P
ql2 / 8
ql 2 / 15
ql2 / 60
§5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算
例5-2 用力法计算图示刚架，作弯矩图。 解:(1)确定超静定次数并选定基本结构。