锐角三角函数及其实际应用
锐角三角函数有哪些实际应用场景
锐角三角函数有哪些实际应用场景锐角三角函数在咱们的日常生活中那可是有着超级多的实际应用场景呢，简直无处不在！先来说说建筑领域吧。
你知道吗，建筑工人在盖房子的时候，可离不开锐角三角函数的知识。
比如说，要建造一个有特定倾斜角度的屋顶，这就需要计算出屋顶的角度以及所需材料的长度和数量。
想象一下，工人们站在高高的脚手架上，拿着测量工具，认真地计算着角度和长度。
他们的眼神专注，手中的工具就像是神奇的魔法棒，通过锐角三角函数，把一堆堆的建筑材料变成了坚固又美观的房子。
再讲讲导航和地图。
当我们使用手机导航去一个陌生的地方时，导航软件会根据我们的位置和目的地，计算出最佳的路线。
这背后可就有锐角三角函数的功劳啦！它帮助确定我们与目的地之间的直线距离和实际行走的路程。
就像有一次我自己出门旅行，在一个完全陌生的城市里，靠着导航找到了一家特别棒的小吃店。
那个时候我就在想，要是没有这些数学知识的支撑，我可能还在街头瞎转悠，找不到美食的方向呢。
还有测量山峰的高度。
测量人员没办法直接爬到山顶去测量，那怎么办呢？这时候就轮到锐角三角函数登场啦！他们在山脚下选好测量点，测量出观测点与山顶的角度，再结合测量点与山底的距离，就能算出山峰的高度。
这就像是解开了一个神秘的谜题，让人充满了成就感。
在航海中，锐角三角函数也发挥着重要作用。
船员们需要根据星星的位置和角度来确定船只的方向和位置。
想象一下，在浩瀚的大海上，满天繁星闪烁，船员们依靠着锐角三角函数的知识，勇敢地驶向目的地，是不是特别酷？在日常生活中，我们装修房子的时候，如果想要在墙上挂一幅画，而且要保证画是水平的，那就得用到锐角三角函数来测量和计算。
又比如，我们要搭建一个秋千，要确定秋千的绳子长度和角度，让秋千荡起来既安全又有趣，这也需要锐角三角函数的帮忙。
甚至在体育比赛中也有它的身影。
比如滑雪运动员在从山坡上滑下来的时候，他们需要根据山坡的角度和自己的速度来调整姿势和控制方向，以确保安全和取得好成绩。
锐角三角函数的实际应用
解：(1)在Rt△BCD中，∠DBC＝15°，sin∠DBC＝ CD，
∴CD＝BDsin∠DBC≈20×0.26＝5.2 m，
BD
∴CD的值为5.2 m；
(2)如解图，作DH⊥AB，垂足为H. 则FH＝ED＝1.6 m， 在Rt△BCD中， ∵∴解∠c得oCsB1＝5C°9≈01＝°9.，4BBDCm∠＝，CBB2DC0 ＝≈01.59°7，，BD＝20 m， ∴EF＝BC≈19.4 m， 在Rt△AEF中， ∵∠AEF＝45°，∠AFE＝90∴AF＝EF＝BC≈19.4 m， ∴AB＝AF＋FH＋BH≈19.4＋1.6＋5.2＝26.2 m， 即楼房AB约为26.2 m．
满分技法 锐角三角函数的实际应用常见模型
抱 子 型
满分技法
锐角三角函数的实际应用常见模型
背靠背型
注：在“抱子型”及“背靠背型”中，若只知两个直角 三角形两条直角边之和或之差，则需要列方程求解.
m，
∴∠DCF＝∠EDC＝60°，
∴∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝90°，
∴在Rt△ADC中，AD2＋CD2＝AC2，
∴( 2 3 x＋ 4 3 解得x31＝4＋34
)2＋42＝( 2x)2， 3，x2＝4－4 3 (舍去)，
∴AB＝4＋4 3≈10.8 m.
∴电线杆的高AB约10.8 m．
练习1、如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，
练习3、如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已 知BC＝4米，AB＝6米，中间平台宽度DE＝1米，EN、DM、 CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB＝ 31°，DF⊥BC于F，∠CDF＝45°.求DM和BC的水平距离 BM的长度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin 31°≈0.52， cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60)
锐角三角形函数及应用
锐角三角形函数及应用锐角三角形是指三个内角都小于90的三角形。
在锐角三角形中，我们可以应用一些函数来求解各种问题。
以下是一些锐角三角形函数及其应用的例子：1. 正弦函数：在锐角三角形ABC中，以角A为锐角，边BC为斜边，则正弦函数可以定义为sin A = BC / AC。
我们可以利用正弦函数来求解各种问题，如求解角度、边长等。
例如，已知角度A和边长BC，可以通过sin A = BC / AC来求解边长AC。
2. 余弦函数：在锐角三角形ABC中，以角A为锐角，边BC为斜边，则余弦函数可以定义为cos A = AC / BC。
我们可以利用余弦函数来求解各种问题，如求解角度、边长等。
例如，已知角度A和边长AC，可以通过cos A = AC / BC来求解边长BC。
3. 正切函数：在锐角三角形ABC中，以角A为锐角，边BC为斜边，则正切函数可以定义为tan A = BC / AC。
我们可以利用正切函数来求解各种问题，如求解角度、边长等。
例如，已知角度A和边长BC，可以通过tan A = BC / AC来求解边长AC。
4. 余切函数：在锐角三角形ABC中，以角A为锐角，边BC为斜边，则余切函数可以定义为cot A = AC / BC。
我们可以利用余切函数来求解各种问题，如求解角度、边长等。
例如，已知角度A和边长AC，可以通过cot A = AC / BC来求解边长BC。
通过这些函数，我们可以在求解锐角三角形问题时进行角度和边长之间的转换。
例如，已知一个锐角三角形的两边和一个角度，我们可以利用正弦、余弦、正切函数来求解其余的角度和边长。
此外，锐角三角形函数还可以应用于实际生活中的一些问题。
例如，在建筑设计中，我们需要计算一座斜塔的高度。
我们可以通过测量角度和斜塔与地面的距离，利用正切函数来求解其高度。
同样，在地理测量中，我们可以利用正弦、余弦、正切函数来计算两地之间的距离和方位角。
总之，锐角三角形函数是求解锐角三角形问题的重要工具，其应用广泛且实用。
【中考数学考点复习】第六节 锐角三角函数及其应用 课件(共33张PPT)
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第1题图
第六节 锐角三角函数及其应用
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改编条件：题干改变“测量点的高度”；“两个非特殊角”改为“两个 特殊角” 2．(2020 贺州)如图，小丽站在电子显示屏正前方 5 m 远的 A1 处看“防溺 水六不准”，她看显示屏顶端 B 的仰角为 60°，显示屏底端 C 的仰角为 45°，已知小丽的眼睛与地面距离 AA1＝1.6 m， 3．求电子显示屏高 BC 的值．(结果保留一位小数． 4．参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)．
第 6 题图
第六节 锐角三角函数及其应用
解：如解图，延长 BC 交 MN 于点 F， 由题意得 AD＝BE＝3.5 米，AB＝DE＝FN＝1.6 米，
在 Rt△MFE 中，∠MEF＝45°，∴MF＝EF，
在 Rt△MFB 中，∠MBF＝33°，
∴MF＝BF·tan33°＝(MF＋3.5)·tan33°，
第六节 锐角三角函数及其应用
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3. ．如图，为测量电视塔观景台 A 处的高度，某数学兴趣小组在电视塔 附近一建筑物楼顶 D 处测得塔 A 处的仰角为 45°，塔底部 B 处的俯角为 22°.已知建筑物的高 CD 约为 61 米，请计算观景台的高 AB 的值．(结果 精确到 1 米，参考数据：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40)
形的边角 1. 三边关系：a2＋b2＝c2
关系
2. 两锐角关系：∠A＋∠B＝90° 3. 边角关系：sinA＝cosB＝ a ；cosA＝sinB＝ b；
tanA＝
a
c
；tanB＝
b
c
图②用
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1.仰角、俯角：如图③，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线 锐角三角 所成的锐角称为__仰__角____，当从高处观测低处的目标时，视线与水平 函数的实 线所成的锐角称为___俯__角___ 际应用 2．坡度(坡比)、坡角：如图④，坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡
初中锐角三角函数及应用
初中锐角三角函数及应用锐角三角函数是指角度小于90度的三角函数，包括正弦、余弦和正切。
这些函数在数学和物理学中有着广泛的应用。
首先，我们来介绍一下锐角三角函数的定义和性质。
在一个直角坐标系中，对于一个锐角ABC（角A小于90度）, 我们可以定义正弦函数sinA 为点B的纵坐标除以斜边AC的长度，余弦函数cosA 为点B的横坐标除以斜边AC的长度，正切函数tanA 为点B的纵坐标除以横坐标。
其中，sinA、cosA和tanA都是角A的函数。
这些函数有许多重要的性质。
首先，它们的定义域都是锐角的正数集合，即(0,90)。
其次，它们的值域都是(-1,1)，即在定义域内，这些函数的值都在-1到1之间变化。
此外，正弦函数和余弦函数还具有周期性，周期为360度或2π弧度。
也就是说，对于一个锐角A，sin(A+360k) = sinA，cos(A+360k) = cosA，其中k 为整数。
在应用方面，锐角三角函数有着广泛的作用。
首先，它们被广泛应用于三角计算。
例如，我们可以利用正弦定理或余弦定理，通过已知边和角来求解三角形的其他未知边和角。
这在测量、建筑、工程等领域都有着重要的应用。
其次，锐角三角函数在物理学中也有着重要的应用。
例如，对于一个斜抛运动的物体，我们可以利用正弦函数和余弦函数来分析其垂直和水平方向上的运动。
它们可以帮助我们计算物体的落点、飞行时间、最大高度等。
另外，锐角三角函数还与周期函数和图像有着密切的关系。
它们的图像可以通过函数的周期性来得到。
例如，正弦函数的图像是一个周期为2π的曲线，具有对称性和单调性，而余弦函数的图像是一个周期为2π的曲线，也具有对称性和反单调性。
此外，锐角三角函数还与三角恒等式有着重要的联系。
三角恒等式是指对于锐角A和B，成立的恒等关系。
利用三角恒等式，我们可以化简复杂的三角函数表达式，简化计算过程。
总的来说，锐角三角函数是数学中一类重要的函数，具有广泛的应用。
它们不仅在三角计算和几何题目中有着重要作用，还与物理学、周期函数和三角恒等式等有着紧密的联系。
锐角三角函数(余弦、正切)
振动与波动
余弦函数在振动和波动的研究中有广泛 应用。例如，简谐振动的位移、速度和 加速度都可以表示为余弦函数的形式。
03
正切函数
正切函数的定义与性质
正切函数的定义
正切函数是锐角三角函数的一种，定义为直角三角形中锐角的对边与邻边的比 值，记作tan(α)，其中α为锐角。
正切函数的性质
正切函数具有连续性、周期性、奇偶性等性质。在区间(0,π/2)和(π/2,π)内，正 切函数是单调递增的，而在区间(-π/2,0)和(π/2,3π/2)内，正切函数是单调递减 的。
01
余弦函数和正切函数的定义
余弦函数和正切函数是锐角三角函数的重要组成部分，它们分别描述了
直角三角形中锐角对应的邻边和斜边的比值，以及锐角对应的对边和邻
边的比值。
02
基本性质和应用
余弦函数和正切函数具有周期性、奇偶性等基本性质，这些性质在解决
几何、物理和工程问题中有着广泛的应用。例如，在计算角度、长度、
工程学中的应用
结构设计
在建筑和机械工程中，锐 角三角函数用于设计各种 结构，如桥梁、建筑和机 器部件。
控制系统
在控制工程中，锐角三角 函数用于设计和分析控制 系统，以确保系统的稳定 性和性能。
信号处理
在电子和通信工程中，锐 角三角函数用于信号处理， 如滤波、调制和解调等。
06
总结与展望
锐角三角函数的总结
正切函数的图像与周期性
正切函数的图像
正切函数的图像是一条周期函数，其周期为π，且在每一个周期 内，图像呈现出先增后减的趋势。
正切函数的周期性
由于正切函数的周期为π，因此对于任意整数k，tan(x+kπ) = tan(x)，即正切函数在每个周期内具有相同的形状，但位置会随 着k的变化而变化。
锐角三角函数及应用经典例题
锐角三角函数及应用经典例题锐角三角函数是指在单位圆上，从原点出发，与 x 轴正半轴之间的夹角小于90° 的角的三角函数。
其中包括正弦函数sinα、余弦函数cosα、正切函数tanα，以及它们的倒数函数cscα、secα、cotα。
锐角三角函数在数学中有广泛的应用，尤其在几何、物理以及工程学中涉及到角度测量、距离计算等方面经常用到。
下面我们来看一些经典的例题，以加深对锐角三角函数的理解：例题1：已知在锐角 ABC 中，边长 BC = 5, AC = 13、求角 A 的正弦值 sinA、余弦值 cosA 和正切值 tanA。
解答：由于边长BC=5,AC=13，我们可以根据勾股定理求得边长AB=√(AC^2-BC^2)=12角 A 的正弦值 sinA = BC / AC = 5 / 13，余弦值 cosA = AB / AC = 12 / 13，正切值 tanA = BC / AB = 5 / 12例题2：已知在锐角 ABC 中，角B = 35°，边长 BC = 8、求角 A 的正弦值 sinA、余弦值 cosA 和正切值 tanA。
解答：由于已知角B = 35°，边长 BC = 8，我们可以根据正弦函数的定义求得角 A 的正弦值为 sinA = BC / AC。
由于 sinA = BC / AC，我们可以得到 AC = BC / sinA = 8 /sin(180° - A - B)。
根据余弦定理，可以计算出边长AC = √(AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cosB)。
代入已知的B = 55° 和 BC = 8，我们可以求得AC = √(AB^2 +8^2 - 2 * AB * 8 * cos35°)。
我们可以进一步根据余弦函数的定义计算 AB 的值，即 cosA = AB / AC，所以 AB = AC * cosA。
中考数学复习《锐角三角函数及其实际应用》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《锐角三角函数及其实际应用》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 特殊角的三角函数值【命题规律】1.考查内容：主要考查 30°，45°，60°角的正弦，余弦，正切值的识记、正余弦的转换及由三角函数值求出角度. 2.考查形式：①三类特殊角的三角函数值识记；②与非负性结合，通过三角函数值求角度；③正弦余弦、正切余切之间的相互转化，判断关系式是否成立；④在实数运算中涉及三类特殊角的三角函数值运算(具体试题见实数的运算部分)．【命题预测】特殊角的三角函数值作为识记内容在实数运算中考查的可能性比较大，而单独考查也会出现．1. sin 60°的值等于( ) A . 12B .22 C . 32D . 3 1. C2. 下列式子错误．．的是( ) A . cos 40°＝sin 50° B . tan 15°·tan 75°＝1 C . sin 225°＋cos 225°＝1 D . sin 60°＝2sin 30°2. D 【解析】逐项分析如下：选项 逐项分析正误 A cos40°＝sin(90°－40°)＝sin50° √ B tan15°·tan75°＝1tan75°×tan75°＝1√ C sin 2A ＋cos 2A ＝1√ D∵sin60°＝32，2sin30°＝2×12＝1，∴sin60°≠2sin30° ×3. 已知α，β均为锐角，且满足|sin α－12|＋（tan β－1）2＝0，则α＋β＝________．3. 75° 【解析】由于绝对值和算术平方根都是非负数，而这两个数的和又为零，于是它们都为零．根据题意，得|sin α－12|＝0，（tan β－1）2＝0，则sin α ＝12，tan β ＝1，又因为α、β均为锐角，则α＝30°，β＝45°，所以α＋β＝30°＋45°＝75°. 命题点2 直角三角形的边角关系【命题规律】1.考查内容：在直角三角形中，三边与两个锐角之间关系的互化.2.考查形式：已知一边及某锐角的三角函数值，求其他量，或结合直角坐标系求锐角三角函数值．【命题预测】直角三角形的边角关系是解直角三角形实际应用问题的基础，值得关注．4. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么cos α的值是( ) A . 34B . 43C . 35D . 454. D 【解析】如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，∵A (4，3)，∴OB ＝4，AB ＝3，∴OA ＝32＋42＝5，∴cos α＝OB OA ＝45.5. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6 cm .则BC 的长度为( )A . 6 cmB . 7 cmC . 8 cmD . 9 cm5. C 【解析】∵sin A ＝BC AB ＝45，∴设BC ＝4a ，则AB ＝5a ，AC ＝（5a ）2－（4a ）2＝3a ，∴3a ＝6，即a ＝2，故BC ＝4a ＝8 cm.6. 已知：如图，在锐角△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，AD ⊥BC 于D. 在Rt △ABD 中，sin ∠B ＝ADc ，则AD ＝c sin ∠B ；在Rt △ACD 中，sin ∠C ＝________，则AD ＝________． 所以c sin ∠B ＝b sin ∠C ，即bsin B ＝csin C ， 进一步即得正弦定理：asin A ＝b sin B ＝c sin C.(此定理适合任意锐角三角形) 参照利用正弦定理解答下题：在△ABC 中，∠B ＝75°，∠C ＝45°，BC ＝2，求AB 的长．6. 解：∵sin C ＝AD AC ＝ADb ，∴AD ＝b sin C ，由正弦定理得：BC sin A ＝ABsin C ，∵∠B ＝75°， ∠C ＝45°， ∴∠A ＝60°， ∴2sin 60°＝ABsin 45°，∴AB ＝2×22÷32＝263.命题点3 锐角三角函数的实际应用【命题规律】1.考查内容：主要考查利用几何建模思想，将实际问题抽象为几何中的直角三角形的有关问题，并根据直角三角形的边角关系解决实际问题.2.考查形式：①仰角、俯角问题；②方位角问题；③坡度、坡角问题；④测量问题等．【命题预测】锐角三角函数的实际应用是将实际问题转化为几何问题并加以解决的数学建模题型，是全国命题的趋势．7. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等，小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C 为水平线)，测角仪B′D 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为( )A .11－sin α B . 11＋sin α C . 11－cos α D . 11＋cos α7. A 【解析】在Rt △PCB ′中，sin α＝PCPB ′，∴PC ＝PB ′·sin α，又∵B ′D ＝AC ＝1，则PB ′·sin α＋1＝P A ，而PB ′＝P A ，∴P A ＝11－sin α.8. 如图①是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，则点B 到CD 的距离为________cm (参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766.结果精确到0.1 cm ，可用科学计算器)．8. 14.1 【解析】如解图 ，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，∵BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，∴∠CBE ＝20°，在Rt △CBE 中，BE ＝BC ·cos ∠CBE ≈15×0.940＝14.1(cm)．第8题图 第9题图 第10题图9. 如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里．(结果取整数．参考数据：sin 55°≈0.8，cos 55°≈0.6，tan 55°≈1.4)9. 11 【解析】∵∠A ＝30°，∴PM ＝12PA ＝9海里．∵∠B ＝55°， sin B ＝PM PB ，∴0.8＝9PB ，∴PB ≈11海里．10. 如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10 m 的A 处测得旗杆顶端B 的仰角为60°，测角仪高AD 为1 m ，则旗杆高BC 为__________m ．(结果保留根号)10. 103＋1 【解析】如解图，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ，则AE ＝CD ＝10 m ，在Rt △AEB 中，BE ＝AE·tan 60°＝10×3＝10 3 m ，∴BC ＝BE ＋EC ＝BE ＋AD ＝(103＋1)m . 11. 如图，大楼AB 右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE ，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C 的俯角为30°，测得大楼顶端A 的仰角为45°(点B 、C 、E 在同一水平直线上)，已知AB ＝80 m ，DE ＝10 m ，求障碍物B 、C 两点间的距离．(结果精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)11. 解：如解图，过点D 作DF ⊥AB ，垂足为点F ，则四边形FBED 为矩形，∴FD ＝BE ，BF ＝DE ＝10，FD ∥BE ，由题意得：∠FDC ＝30°，∠ADF ＝45°，∵FD ∥BE ， ∴∠DCE ＝∠FDC ＝30°， 在Rt △DEC 中，∠DEC ＝90°，DE ＝10，∠DCE ＝30°， ∵tan ∠DCE ＝DE CE ，∴CE ＝10tan 30°＝103，在Rt △AFD 中，∠AFD ＝90°，∠ADF ＝∠FAD ＝45°， ∴FD ＝AF ，又∵AB ＝80，BF ＝10，∴FD ＝AF ＝AB －BF ＝80－10＝70，∴BC ＝BE －CE ＝FD －CE ＝70－103≈52.7(m )． 答：障碍物B 、C 两点间的距离约为52.7 m ．12.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3. (1)求新坡面的坡角α；(2)天桥底部的正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．12. 解：(1)∵新坡面AC 的坡度为1∶3，∴tan α＝13＝33， ∴α＝30°.答：新坡面的坡角α的度数为30°.(2)原天桥底部正前方8米处的文化墙PM 不需要拆除． 理由如下：如解图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ， ∵坡面BC 的坡度为1∶1， ∴BD ＝CD ＝6米，∵新坡面AC 的坡度为1∶3， ∴CD ∶AD ＝1∶3， ∴AD ＝63米，∴AB ＝AD －BD ＝(63－6)米＜8米，故正前方的文化墙PM 不需拆除． 答：原天桥底部正前方8米处的文化墙PM 不需要拆除．13.如图，某无人机于空中A 处探测到目标B ，D ，从无人机A 上看目标B ，D 的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC 为 60 m ，随后无人机从A 处继续水平飞行30 3 m 到达A′处． (1)求A ，B 之间的距离；(2)求从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值．13. 解：(1)如解图，过点D 作DE ⊥AA′于点E ，由题意得，AA ′∥BC ，∴∠B ＝∠FAB ＝30°， 又∵AC ＝60 m ，在Rt △ABC 中，sin B ＝AC AB ，即12＝60AB，∴AB ＝120 m .答：A ，B 之间的距离为120 m ．(2)如解图，连接A′D ，作A′E ⊥BC 交BC 延长线于E ， ∵AA ′∥BC ，∠ACB ＝90°， ∴∠A ′AC ＝90°，∴四边形AA′EC 为矩形， ∴A ′E ＝AC ＝60 m ， 又∵∠ADC ＝∠FAD ＝60°， 在Rt △ADC 中，tan ∠ADC ＝AC CD ，即5＝60CD，∴CD ＝20 3 m ，∴DE ＝DC ＋CE ＝AA′＋DC ＝303＋203＝50 3 m ， ∴tan ∠AA ′D ＝tan ∠A ′DE ＝A′E DE ＝60503＝235，答：从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值为235.中考冲刺集训一、选择题1.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( )A . 斜坡AB 的坡度是10° B . 斜坡AB 的坡度是tan 10°C . AC ＝1.2tan 10° 米D . AB ＝ 1.2cos 10°米第1题图 第2题图 第3题图2.如图，以O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB＝α，则点P 的坐标是( )A . (sin α，sin α)B . (cos α，cos α)C . (cos α，sin α)D . (sin α，cos α)3.一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要( )A . 4sin θ 米2B . 4cos θ 米2C . (4＋4tan θ) 米2 D . (4＋4tan θ) 米24.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A ，B ，P ，Q 四点均在正方形网格的格点上，线段AB ，PQ 相交于点M ，则图中∠QMB 的正切值是( )A . 12B . 1C . 3D . 2第4题图 第5题图 第6题图5.如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公大楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i ＝1∶3，则大楼AB 的高度约为(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)( )A . 30.6B . 32.1C . 37.9D . 39.46. 如图，钓鱼竿AC 长6 m ，露在水面上的鱼线BC 长3 2 m ，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′为3 3 m ，则鱼竿转过的角度是( )A . 60°B . 45°C . 15°D . 90°二、填空题7. 如图，点A(3，t)在第一象限，射线OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是________．第7题图 第8题图 第9题图8. 如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为______米．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73) 9. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．(精确到1米，参考数据：3≈1.73)三、解答题10. 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°. 已知教学楼AB高4米．(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；(结果保留根号．．．．．．)(2)求旗杆CD的高度．11. 图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40 cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°，由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素，结果精确到0.1 cm.温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，3≈1.73)．12. 阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β tan (α±β)＝tan α±tan β1∓tan α tan β利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，例如：tan 75°＝tan (45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－1×33＝2＋ 3 根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算下列问题： (1)计算sin 15°；(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度，已知李三站在离纪念碑底7米的C 处，在D 点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC 为 3 米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．答案与解析：1. B第2题解图2. C 【解析】如解图，过点P 作PC ⊥OB 于点C ，则在Rt △OPC 中，OC ＝OP ·cos ∠POB ＝1×cos α＝cos α，PC ＝OP ·sin ∠POB ＝1×sin α＝sin α，即点P 的坐标为(cos α，sin α)．3. D 【解析】在Rt △ABC 中，∠BAC ＝θ，CA ＝4米，∴BC ＝CA ·tan θ＝4tan θ.地毯长为(4＋4tan θ)米，宽为1米，其面积为(4＋4tan θ)×1＝(4＋4tan θ)米2.4. D 【解析】如解图，将AB 平移到PE 位置，连接QE, 则PQ ＝210，PE ＝22，QE ＝42，∵△PEQ 中，PE 2＋QE 2＝PQ 2，则∠PEQ ＝90°，∴tan ∠QMB ＝tan ∠P ＝QEPE＝2.第4题解图第5题解图5. D 【解析】如解图，设AB 与DC 的延长线交于点G ，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，过点B 作BH ⊥ED 于点H ，则可得四边形GDEF 为矩形．在Rt △BCG 中，∵BC ＝12，i BC ＝BG CG ＝33，∴∠BCG ＝30°，∴BG ＝6，CG ＝63，∴BF ＝FG －BG ＝DE －BG ＝15－6＝9，∵∠AEF ＝α＝45°，∴AF ＝EF ＝DG ＝CG ＋CD ＝63＋20，∴AB ＝BF ＋AF ＝9＋20＋63≈39.4(米)．6. C 【解析】∵sin ∠CAB ＝BC AC ＝326＝22，∴∠CAB ′＝45°，∵sin ∠C ′AB ′＝B ′C ′AC ′＝336＝32，∴∠C ′AB ′＝60°，∴∠CAC ′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°.第7题解图7. 92【解析】如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B.∵点A(3，t)在第一象限，∴OB ＝3，AB ＝t ，在11 Rt △ABO 中，tan α＝AB OB ＝t 3＝32，解得t ＝92. 8. 2.9 【解析】在Rt △AMD 中，DM ＝tan ∠DAM ×AM ＝tan 45°×4＝4米，在Rt △BMC 中，CM ＝tan ∠MBC ×BM ＝tan 30°×12＝4 3 米，故CD ＝CM －DM ＝43－4≈2.9米．9. 208 【解析】在Rt △ABD 中，BD ＝AD·tan ∠BAD ＝90×tan 30°＝303，在Rt △ACD 中，CD ＝AD·tan ∠CAD ＝90×tan 60°＝903，BC ＝BD ＋CD ＝303＋903＝1203≈208(米)．10. 解：(1)∵在教学楼B 点处观测旗杆底端D 处的俯角是30°，∴∠ADB ＝30°，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°，∠ADB ＝30°，AB ＝4(米)，∴AD ＝AB tan ∠ADB ＝4tan 30°＝43(米)． 答：教学楼与旗杆的水平距离是4 3 米．(也可先求∠ABD ＝60°，利用tan 60°去计算得到结论)(2)∵在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，∠CAD ＝60°，AD ＝4 3 米，∴CD ＝AD·tan 60°＝43×3＝12(米)．答：旗杆CD 的高度是12米．11. 解：∵tan ∠OBC ＝tan 30°＝OC BC ＝33， ∴OC ＝33BC ， ∵sin ∠OAC ＝sin 75°＝OC OA≈0.97， ∴33BC 40≈0.97， ∴BC ≈67.1(cm )．12. 解：(1)sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30° ＝22×32－22×12 ＝6－24. (2)在Rt △BDE 中，∠BDE ＝75°，DE ＝CA ＝7，tan ∠BDE ＝BE DE ，即tan 75°＝BE 7＝2＋3， ∴ BE ＝14＋73，又∵AE ＝DC ＝3，∴AB ＝BE ＋AE ＝14＋73＋3＝14＋83(米)，答：纪念碑的高度是(14＋83)米．。
锐角三角函数及应用
锐角三角函数1. 锐角三角函数的定义：如图所示：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边。
（1）∠A 的正弦：sinA ＝a cA ∠的对边＝斜边； （2）∠A 的余弦：b cA ∠的邻边＝斜边； （3）∠A 的正切：a bA A ∠∠的对边＝的邻边； （4）∠A 的余切：A b A a ∠∠的邻边＝的对边 （是正切的倒数）。
2.30°，45°，60°角的三角函数值：1sin 302︒=，2sin 452︒=，3sin 602︒=； 3cos302︒=，2cos 452︒=，1cos 602︒=； 3tan 303︒=，tan 451︒=，tan 603︒=。
例题1：求下列各式的值：（1）22cos 60sin 60︒+︒ （2）cos 45tan 45sin 45︒-︒︒3.锐角三角函数之间的关系：（1）平方的关系：22sin cos 1A A +=；（2）商的关系： sin tan cos A A A=; （3）互余两角的三角函数关系：sin(90)cos A A ︒-=，cos(90)sin A A ︒-=。
注意：锐角的正弦和正切值随着角度的增大而增大；锐角的余弦值随着角度的增大而减小；对于锐角A 有0sin 1,0cos 1,tan 0,A A A <<<<>且他们都没有单位。
4.直角三角形的有关性质及判定：（1）直角三角形的性质：①直角三角形两个锐角互余；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③在直角三角形中，如果有一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半；④在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的锐角等于30︒；⑤在直角三角形中，两条直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222a b c +=；⑥1122Rt S ch ab ==（h 为斜边上的高），外接圆半径R ＝2c ＝斜边上的中线，内切圆半径r ＝2a b c +-。
锐角三角函数的应用举例
03 锐角三角函数在物理问题 中应用
力学中角度与力关系问题
斜面问题
在斜面问题中，锐角三角函数可以用 来描述物体在斜面上的重力分量、摩 擦力等，从而解决物体在斜面上的运 动问题。
矢量合成与分解
在力学中，锐角三角函数可以用来进 行矢量的合成与分解，例如求解两个 力的合力或分力。
运动学中速度与加速度关系问题
运动轨迹计算
研究星体的运动轨迹是天文学的重要任务之一。利用锐角三角函数和相关物理原理，可 以计算出星体的运动速度、方向以及轨迹形状等信息，有助于深入了解宇宙的运行规律
和星体的性质。
06 总结与展望
回顾本次课程重点内容
锐角三角函数的基本概念
本次课程详细讲解了锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义、 性质以及基本关系式，为后续应用打下了坚实基础。
锐角三角函数的应用举例
目 录
• 锐角三角函数基本概念 • 锐角三角函数在几何问题中应用 • 锐角三角函数在物理问题中应用 • 锐角三角函数在优化问题中应用 • 锐角三角函数在实际问题中应用举例 • 总结与展望
01 锐角三角函数基本概念
锐角三角函数定义
正弦函数（sine）
在直角三角形中，锐角的正弦值等于对边长 度除以斜边长度。
已知两边和夹角求第三边
利用余弦定理或正弦定理可以求出第三边。
面积与体积计算问题
三角形面积计算
已知三角形的两边和夹角，可以利用正弦定理求出面 积。
多边形面积计算
将多边形划分为多个三角形，分别求出每个三角形的 面积后相加。
立体几何体积计算
在立体几何中，锐角三角函数可以用于计算一些特殊 几何体的体积，如圆锥、式进行求解，避 免了计算二阶导数的复杂性。
05 锐角三角函数在实际问题 中应用举例
锐角三角函数帮你解决生活中的问题
锐角三角函数帮你解决生活中的问题锐角三角函数是学好三角学及本章内容的关键和基础. 锐角三角函数, 既是本章的重点，也是难点. 此内容又是数形结合的典范. 这涉及数学各个分支，又在工程，测量，军事，工业，农业，航海，航空等诸领域都有应用. 因而，对本单元的学习必须引起足够的重视，特别是在日常生活中的应用更加广泛，下面举几例与同学们共赏一、车厢离地面多少米？问题1：如图，自卸车厢的一个侧面是矩形ABCD ，AB ＝3米，BC ＝0.5米，车厢底部离地面1.2米，卸货时，车厢倾斜的角度060=θ，问此时车厢的最高点A 离地面多少米？（精确到1米）【思路解析：】此题只需求出点A 到CE 的距离，于是过A 、D 分别作AG ⊥CE ，DF ⊥CE ，构造直角三角形，解Rt △AHD 和Rt △CDF 即可求解．过点A 、D 分别作CE 的垂线AG 、DF ，垂足分别为G 、F ，过D 作DH ⊥AG 于H ，则有：23323360sin 0=⨯=⋅=CD DF 41215.060cos 0=⨯=⋅=AD AH 于是A 点离地面的高度为42.141233≈++（米）． 所以，车厢的最高点A 离地面约为4米．点评：本题只要将实际问题转化为解直角三角形的问题，然后，运用三角函数的有关知识即可解决．二、如何将角橱搬进房间？问题2：如图1所示是某立式家具（角书橱）的横断面，请你设计一个方案（角书橱高2米，房间高2.6米，所以不从高度方面考虑方案的设计），按此方案可以使该家具通过如图2中的长廊搬入房间，在图2中把你的设计方案画成草图，并说明按此方案可把家问题一图HG FDCB A具搬入房间的理由（注：搬动过程中不准拆卸家具，不准损坏墙壁）．问题二图1问题二图2【思路解析：】如说理图所示，作直线AB ，延长DC 交AB 于E ，由题意可知，△ACE 是等腰直角三角形，所以CE ＝0.5，DE ＝DC ＋CE ＝2，作DH ⊥AB 于H ，则245sin 2sin 0==∠⋅=HED DE DH ，∵5.12<，∴可按此方案设计图将家具从长廊搬入房间． 答案：设计方案草图如图所示．设计方案图设计方案说理图．点评：本题是一道比较贴近生活的实际问题，学生看到题目感到比较亲切、自然，但本题重点考查学生综合运用所学知识解决实际问题的探究和创新能力．本题还反映了生活中常见的实际情况，很有创意，并充分体现了学数学用数学的价值，角书橱过长廊进入房间，必须要放倒倾斜搬进，不能正面直入，方案的设计也多种多样．三、是否有进入危险区域的可能？问题3：一艘渔船正以30海里／小时的速度由西向东追赶鱼群，在A 处看见小岛C 在船的北偏东600方向，40分钟后，渔船行至B 处，此时看见小岛C 在船的北偏东300方向，已知以小岛C 为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？【思路解析】此题是一个重要题型——航海问题，解这类题要弄清方位角、方向角的概念，正确地画出示意图，然后根据条件解题．此题可先求出小岛C 与航向（直线AB ）的距离，再与10海里进行比较得出结论．解：过C 作AB 的垂线CD 交AB 的延长线于点D ∵CD AD =30cot ，CDBC =060cot ， ∴030cot ⋅=CD AD ，60cot ⋅=CD BD ，∴20)60cot 30(cot 0=-=-CD BD AD ∴31033320=-=CD ， ∵310＞10．∴这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域．点评：正确解答这类问题，第一步，根据材料提供的生活背景，画出几何图形，并把实际问题数学化，分析出作为一个数学问题的已知条件和问题。
锐角三角函数的实际应用
锐角三角函数的实际应用一、仰角、俯角问题例1. 某数学课外活动小组利用课余时间，测量了安装在一幢楼房顶部的公益广告牌的高度．如图，矩形CDEF 为公益广告牌，CD为公益广告牌的高，DM为楼房的高，且C、D、M三点共线．在楼房的侧面A处，测得点C与点D的仰角分别为45°和37.3°，BM＝15米．根据以上测得的相关数据，求这个广告牌的高(CD的长)．(结果精确到0.1米，参考数据：sin37.3°≈0.6060，cos37.3°≈0.7955，tan37.3°≈0.7618)例2.如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面成57.5°角，在离电线杆6米处安置测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°.已知测角仪AB的高为1.5米，求拉线CE的长．(结果精确到0.01米，参考数据：sin57.5°≈0.843，cos57.5°≈0.537，tan57.5°≈1.570，3≈1.732，2≈1.414)二、坡度、坡角问题例3. 如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE＝45°，坝高BE＝20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡角∠F＝30°，求AF的长度．(结果精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)例4. 如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB，BC表示连接缆车站的钢缆，已知A，B，C 三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA′，BB′，CC′分别为110米，310米，710米，钢缆AB的坡度i1＝1∶2，钢缆BC的坡度i2＝1∶1，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)三、测量问题例5、为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥．建桥过程中需测量河的宽度(即两平行河岸AB与MN之间的距离)．在测量时，选定河对岸MN上的点C处为桥的一端，在河岸点A处，测得∠CAB＝30°，沿河岸AB前行30米后到达B处，在B处测得∠CBA＝60°.请你根据以上测量数据求出河的宽度．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73；结果保留整数)例6、如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC＝4米，AB＝6米，中间平台宽度DE＝1米，EN、DM、CB为三根垂直于A B的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB＝31°，DF⊥BC于F，∠CDF＝45°.求DM和BC的水平距离BM的长度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)四、方向角问题例7：某海域有A、B两个港口，B港口在A港口北偏西30°的方向上，距A港口60海里．有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处．求该船与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号)．例8：如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心（记为点M）位于海滨城市（记作点A）的南偏西15°，距离为612千米，且位于临海市（记作点B）正西方向603千米处．台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东60°的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭．（1）滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由．（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？巩固练习：1、如图，线段AB，CD表示甲、乙两幢居民楼的高，两楼间的距离BD是60米．某人站在A处测得C点的俯角为37°，D点的俯角为48°(人的身高忽略不计)，求乙楼的高度CD.(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin48°≈710，tan48°≈1110)2. 张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，山坡与水平面成30°角(即∠MAN＝30°)，在山坡底部A处测得大树顶端点C的仰角为45°，沿坡面前进20米，到达B处，又测得树顶端点C的仰角为60°(图中各点均在同一平面内)，求这棵大树CD的高度．(结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.732)3.如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF＝3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD.(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20)4、如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:3，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度．5、如图，某军港有一雷达站，军舰停泊在雷达站的南偏东方向36海里处，另一艘军舰位于军舰的正西方向，与雷达站相距海里．求：（1）军舰在雷达站的什么方向？（2）两军舰的距离．（结果保留根号）6、（某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D，又测得点A的仰角为45°。
中考复习专题之-锐角三角函数实际应用
事故船位于巡逻艇的北偏东58°方向上，巡逻艇立刻前往A处救援，已知巡逻艇每分钟行驶120米，请估计几分
钟可以到达事故船A处．
（结果保留整数．参考数据： 3 1.73
cos53 3
， sin 53 4
， tan 53 54
， ）
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名校模拟
10．（2023·安徽亳州·校联考模拟预测）如图，某数学兴趣小组为了测量塔AB的高度，他们先在水平地面上的
典例2．先化简，再求值
6a a2
9
1
2a 3 a3
其中 a 2sin30 3
典例3．如图，在△ABC中，C 90 , tan A 3 , ABC 的平分线BD交AC于点D，CD= 3.求AB的 3
长？
典例剖析
典例4．如图，△ABC的顶点B，C的坐标分别是1，0，0，3 且 ABC 90 A 30，求点A的坐标？
求观测点B到A船的距离（结果精确到0.1海里）．
参考数据：
sin 67.4 12 , cos 67.4 5 ,sin 67.6 0.925, cos 67.6 0.381, 2 1.4临沂·统考一模）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能 环保的举措，某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度，如图，已知测倾器的高度为 1.5米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC=33°，在与点A相距3米的测点D处安置测倾器，测得点M 的仰角∠MEC=45°(点A，D与N在一条直线上)．求电池板离地面的高度MN的长
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名校模拟
11．（2023·安徽亳州·统考一模）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量 距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB、CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下 测量方案：无人机在AB、CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为120m，此时观测到楼AB底部点A 处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行48m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中 点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确
锐角三角函数及其应用
锐角三角函数的实际应用中的常见概念(1)铅垂线：重力线方向的直线；(2)水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线；(3)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角；(4)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角；(5)坡角：坡面与水平面的夹角；(6)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h 表示坡的铅直高度，用l 表示坡的水平宽度，用i 表示坡度，即αtan ==lh i ，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡；(7)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角．注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东.1.如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．2.如图，AD是△ABC的中线，tanB＝13，cosC＝22，AC＝ 2.求：(1)BC的长；(2)sin∠ADC的值．1.如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（）A. B. C. D.2.如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC值为3.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD＝3m，坝高AE＝DF＝6m，坡角α＝45°，β＝30°，求BC的长．1.已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=2.四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90°，tan∠ABD=，AB=20，BC=10，AD=13，求线段CD长.12月31日作业1.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=．2.已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，则△ABC的面积等于．3.如图，已知，在△ABC中，AB＝AC＝25，sinB＝255，D为边BC的中点，E为边BC的延长线上一点，且CE＝BC.连接AE，F为线段AE的中点．求：(1)线段DE的长；(2)∠CAE的正切值．。
锐角三角函数在教育领域的应用有哪些
锐角三角函数在教育领域的应用有哪些锐角三角函数可是数学里的一个重要角色呢！在咱们的教育领域中，它的应用那可真是不少。
先来说说在建筑设计方面。
就像上次我去参观一个新建的小区，看到工人们正在建造一座漂亮的亭子。
那个亭子的屋顶可不是随便设计的，得用到锐角三角函数。
设计师要计算出屋顶的坡度和角度，才能保证雨水能够顺利地流下来，而且还要让亭子看起来美观又稳固。
他们得根据亭子的高度、宽度，运用正弦、余弦这些函数来确定屋顶的倾斜程度。
如果计算不准确，那可就麻烦啦，要么雨水积在屋顶上，时间长了会损坏结构；要么就是样子太难看，影响整个小区的景观。
在物理学中，锐角三角函数也大有用处。
比如说，研究斜面上物体的运动。
想象一下，一个小球从斜面上滚下来，我们要知道它的速度、加速度，就得借助锐角三角函数。
老师在课堂上给我们做实验的时候，把斜面的角度一调整，小球滚动的情况就大不一样。
通过测量斜面的角度，再结合重力加速度这些知识，就能算出小球的运动状态。
这可太神奇了，让我们一下子就明白了那些抽象的物理概念。
在测量领域，那更是离不开锐角三角函数。
有一次学校组织我们去测量操场上旗杆的高度。
我们没有那种长长的尺子能直接量，怎么办呢？这时候就用到了三角函数的知识。
我们在地上立了一根已知长度的杆子，然后分别测量出杆子和旗杆的影子长度。
通过影子长度和杆子长度的比例关系，再利用正切函数，就能算出旗杆的高度啦。
当时大家都特别兴奋，觉得自己像小科学家一样，用学到的知识解决了实际问题。
还有航海领域，船员们在大海上航行，要确定自己的位置和方向，就得依靠锐角三角函数。
他们通过测量星星的角度，或者灯塔与船只之间的夹角，来计算出船只的位置和航行路线。
这就像是在茫茫大海中找到了指引方向的明灯，让船只能够安全地到达目的地。
在日常生活中，锐角三角函数也常常出现。
比如我们爬楼梯的时候，如果想知道楼梯的倾斜程度是不是适合我们的步伐，就可以用三角函数来计算一下角度。
或者是在安装家具的时候，比如要把一个架子固定在墙上，就得保证架子与墙面的角度合适，这也得用到三角函数来测量和计算。
2024年中考数学总复习考点梳理第四章第六节锐角三角函数及其实际应用
/
/
)
间接
sin45°，cos30°
解答题(三
求值 2020 25(3)
4 30°，45° ，cos45°，
/
/
)
tan30°
解答题(三
第六节 锐角三角函数及其实际应用
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命题点2 锐角三角函数的实际应用(6年2考) 课标要求 1.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际 问题； 2.在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置．(2022年版课 标将“能用”改为“运用”)
题情境 海等，该考法试题详见练习册.
第六节 锐角三角函数及其实际应用
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教材改编题课前测
1. [北师九下P25习题改编]如图为东西
流向且河岸平行的一段河道，A，B分别
为两岸上一点，且点B在点A的正北方向，
由点A向正东方向走a米到达点C，此时测
第1题图
得点B在点C的北偏西55°方向上，则河道AB的宽为( D )
背靠背 、俯
实验楼
角
30°， 45°
结果保 留根号
教学楼 的高度
人教九下 P75例4( 改变角度
背景)
第六节 锐角三角函数及其实际应用
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命题趋势·新考法分析 新考法— 《关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》和《课程标准(2022年版)》中均指出： —真实问 情境创设的真实性．近两年真实问题情境全国新增考查较多，如河南、陕西、武汉、威
第六节 锐角三角函数及其实际应用
考点 4 锐角三角函数的实际应用(6年2考)
在视线与水平线所成的锐角中，视线 仰角、
在水平线上方的角叫仰角，视线在水 俯角
平线下方的角叫俯角，如图
应用锐角三角函数解实际问题
应用锐角三角函数解实际问题锐角三角函数是数学中一个重要的概念，它能够帮助我们解决日常生活中的实际问题。
本文将从四个方面来讨论锐角三角函数在实际问题中的应用。
首先，锐角三角函数可以解决根据两条边求三角形面积的问题。
设有一个三角形ABC，其中AB=2，BC=3，则可以使用锐角三角函数求解这个三角形的面积。
首先，我们需要根据已知条件计算出三角形ABC的内角度数，即α=60°，可以由两条边求出其它边的长度AC=2.5。
然后，我们可以使用锐角三角函数中的S=1/2absinα公式，来求出三角形ABC的面积，即S=1/2*2*3*sin60°=3.464。
其次，锐角三角函数可以解决根据两个内角和外角求三角形面积的问题。
设有一个三角形ABC，其中A=60°，B=30°，C=90°，则可以使用锐角三角函数求解这个三角形的面积。
首先，我们需要根据已知条件计算出三角形ABC的边长，即AB=2，BC=2，可以由两个内角求出外角的长度AC=3。
然后，我们可以使用锐角三角函数中的S=1/2a bsinα公式，来求出三角形ABC的面积，即S=1/2*2*2*sin90°=2.000。
此外，锐角三角函数还可以用来解决求抛物线焦点距离中心点的问题。
假设有一个抛物线y=-1/4x^2，其中x为横坐标，y为纵坐标，则可以使用锐角三角函数求出抛物线的焦点距离中心点的距离为2。
首先，我们需要根据抛物线的模型求出抛物线的焦点坐标(0,1/2)，然后通过三角函数来求出焦点距离中心点的距离，即a=√(0-1/2)^2+(1/2)^2=√2。
最后，锐角三角函数还可以应用于光学中，用来求解折射率等问题。
假设有一个简单的透镜系统，镜片一边入射面和出射面之间有n条光线，可以使用锐角三角函数求出透镜系统的折射率。
这里，我们可以先分别求出入射面和出射面的角度α1、α2，再用反射率的定义，即n1sinα1=n2sinα2，求出折射率n2。
第21课时 锐角三角函数及其实际应用
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第21课时 锐角三角函数及其实际应用
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4. (2019陕师大附中模拟)某校在“建设特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成 宣传牌(AB)，放置在教学楼的顶部(如图所示)．小明在操场上的点D处，用1米高 的测角仪CD，从点C处测得宣传牌的底部B的仰角为37°，然后向教学楼正方向走 了4米到达点F处，又从点E处测得宣传牌的顶部A的仰角为45°.已知教学楼高BM ＝17米，且点A，B，M在同一直线上，求宣传牌AB的高度．(结果精确到0.1米， 参考数据： 3 ≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
中考数学复习课件
第21课时 锐角三角函数及其实际应用
(每年必考1道，3分)
目 录 1 点对点“过”考点
2 典例“串”考点 3 陕西5年真题、副题“明”考法
第21课时 锐角三角函数及其实际应用
点对点“过”考点
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【对接教材】北师：九下第一章P1－P27； 人教：八下第十七章P21－P39，九下第二十八章P60－P85.
计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长(结果
精确到1米)．(参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，
tan23°≈0.42，sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45)
第2题图
第21课时 锐角三角函数及其实际应用
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解：如解图，过点B作BD⊥MN，垂足为D，过点C作CE⊥MN，垂足为E.
东60°方向，C点位于O点的北偏西45°方向(或西北方向)
第21课时 锐角三角函数及其实际应用
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坡度(坡比) 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比)，用字母i表
第十七讲 锐角三角函数及其实际应用(解析版)
第十七讲锐角三角函数及其实际应用命题点1 特殊角的三角函数及其相关计算1．（2021•天津）tan30°的值等于（ ）A．B．C．1D．2【答案】A【解答】解：tan30°＝．故选：A．2．（2019•怀化）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（ ）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A【解答】解：∵∠α为锐角，且sinα＝，∴∠α＝30°．故选：A．命题点2 直角三角形的边角关系3．（2021•云南）在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sin A＝，则AB的长是（ ）A．B．C．60D．80【答案】D【解答】解：∵AC＝100，sin A＝，∴BC＝60，∴AB＝＝80，故选：D．4．（2021•宜昌）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：法一、如图，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，∴AB＝＝＝3，∴cos∠ABC＝＝＝．故选：B．法二、在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∴cos∠ABC＝cos45°＝．故选：B．5．（2021•玉林）如图，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有（ ）A．h1＝h2B．h1＜h2C．h1＞h2D．以上都有可能【答案】A【解答】解：如图，分别作出△ABC底边BC上的高为AD即h1，△PQR底边QR上的高为PE即h2，在Rt△ADC中，h1＝AD＝5×sin55°，在Rt△PER中，h2＝PE＝5×sin55°，∴h1＝h2，故选：A．6．（2020•遵义）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）A．+1B．﹣1C．D．【答案】B【解答】解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝，∴tan22.5°＝＝＝﹣1，故选：B．7．（2021•上海）如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线．（1）求AC的长；（2）求tan∠FBD的值．【答案】（1）AC的长为6 （2）．【解答】解：（1）∵AC⊥BD，cos∠ABC＝＝，BC＝8，∴AB＝10，在Rt△ACB中，由勾股定理得，AC＝＝＝6，即AC的长为6；（2）如图，连接CF，过F点作BD的垂线，垂足E，∵BF为AD边上的中线，即F为AD的中点，∴CF＝AD＝FD，在Rt△ACD中，由勾股定理得，AD＝＝＝2，∵三角形CFD为等腰三角形，FE⊥CD，∴CE＝CD＝2，在Rt△EFC中，EF＝＝＝3，∴tan∠FBD＝＝＝．解法二：∵BF为AD边上的中线，∴F是AD中点，∵FE⊥BD，AC⊥BD，∴FE∥AC，∴FE是△ACD的中位线，∴FE＝AC＝3，CE＝CD＝2，∴在Rt△BFE中，tan∠FBD＝＝＝．命题点3 锐角三角函数的实际应用类型一解一个直角三角形8．（2021•福建）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km．据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于（ ）A．2km B．3km C．km D．4km【答案】D【解答】解：∵∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝4（km）．故选：D．9．（2021•金华）如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（ ）A．4cosα米B．4sinα米C．4tanα米D．米【答案】A【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC＝2米，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴cosα＝＝，∴DC＝2cosα（米），∴BC＝2DC＝2×2cosα＝4cosα（米）．故选：A．类型二背靠背型10．（2021•重庆）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND．甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°，测得点C距离通信基站MA的水平距离CB为30m；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m，测得山坡DF的坡度i＝1：1.25．若ND＝DE，点C，B，E，F在同一水平线上，则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为（参考数据：≈1.41，≈1.73）（ ）A．9.0m B．12.8m C．13.1m D．22.7m【答案】C【解答】解：在Rt△MCB中，∠MCB＝60°，CB＝30m，tan∠MCB＝，∴MB＝CB•tan∠MCB＝30×≈51.9（m），∵山坡DF的坡度i＝1：1.25，EF＝50m，∴DE＝40（m），∵ND＝DE，∴ND＝25（m），∴两个通信基站顶端M与顶端N的高度差＝40+25﹣51.9＝13.1（m），故选：C．11．（2021•嘉峪关）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：方案设计：如图2，宝塔CD垂直于地面，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数（A，D，B在同一条直线上）．数据收集：通过实地测量：地面上A，B两点的距离为58m，∠CAD＝42°，∠CBD＝58°．问题解决：求宝塔CD的高度（结果保留一位小数）．参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．根据上述方案及数据，请你完成求解过程．【答案】宝塔的高度约为33.4m【解答】解：设CD＝xm，在Rt△ACD中，AD＝，在Rt△BCD中，BD＝，∵AD+BD＝AB，∴，解得，x≈33.4．答：宝塔的高度约为33.4m．12．（2021•遂宁）小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B、C处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A处测得B在北偏西45°方向，C在北偏东30°方向，他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向．（1）求∠C的度数；（2）求两棵银杏树B、C之间的距离（结果保留根号）．【答案】（1）30°（2）（10+10）米【解答】解：（1）设AD与BC交于点F，由题意得BE∥AD，∵BE∥AD且∠EBF＝60°，∴∠BFA＝∠EBF＝60°，∵∠BFA＝∠C+∠CAD且∠CAD＝30°，∴∠C＝∠BFA﹣∠CAD＝30°；（2）过点B作BG⊥AD于G．∵BG⊥AD，∴∠AGB＝∠BGD＝90°，在Rt△AGB中，AB＝20米，∠BAG＝45°，AG＝BG＝20×sin45°＝（米），在Rt△BGF中，∠BFG＝60°，∴BF＝＝＝（米），FG＝＝＝（米），∵∠C＝∠CAD＝30°，∴CF＝AF＝AG+FG＝（10+）（米），∴BC＝BF+CF＝（10+10）米，答：两棵银杏树B、C之间的距离为（10+10）米．类型三母子型考向1 同一个观测点观测两个位置点13．（2021•怀化）政府将要在某学校大楼前修一座大桥．如图，宋老师测得大楼的高是20米，大楼的底部D处与将要修的大桥BC位于同一水平线上，宋老师又上到楼顶A处测得B和C的俯角∠EAB，∠EAC分别为67°和22°，宋老师说现在我能算出将要修的大桥BC的长了．同学们：你知道宋老师是怎么算的吗？请写出计算过程（结果精确到0.1米）．其中sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈【答案】41.7米【解答】解：过C作CF⊥AE于F，如图所示：则FC＝AD＝20米，AF＝DC，在Rt△ACF中，∠EAC＝22°，∵tan∠EAC＝＝tan22°≈，∴DC＝AF≈FC＝50（米），在Rt△ABD中，∠ABD＝∠EAB＝67°，∵tan∠ABD＝＝tan67°≈，∴BD≈AD＝（米），∴BC＝DC﹣BD＝50﹣≈41.7（米），即大桥BC的长约为41.7米．考向2 两个观测点观测同一个位置点14．（2021•临沂）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD ＝70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童（结果保留整数）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）【答案】6米【解答】解：∵CM＝3m，OC＝5m，∴OM＝＝4（m），∵∠CMO＝∠BDO＝90°，∠COM＝∠BOD，∴△COM∽△BOD，∴，即，∴BD＝＝2.25（m），∴tan∠AOD＝tan70°＝，即≈2.75，解得：AB＝6m，∴汽车从A处前行约6米才能发现C处的儿童．15．（2021•凉山州）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走2米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF 的坡比为i＝1：3（点E、C、B在同一水平线上）．（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；（2）求大树AB的高度（结果保留根号）．【答案】（1）2米（2）（6+4）米【解答】解：（1）过点D作DH⊥CE于点H，由题意知CD＝2米，∵斜坡CF的坡比为i＝1：3，∴，设DH＝x米，CH＝3x米，∵DH2+CH2＝DC2，∴，∴x＝2，∴DH＝2（米），CH＝6（米），答：王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米；（2）过点D作DG⊥AB于点G，设BC＝a米，∵∠DHB＝∠DGB＝∠ABC＝90°，∴四边形DHBG为矩形，∴DH＝BG＝2米，DG＝BH＝（a+6）米，∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝a（米），∴AG＝（a﹣2）米，∵∠ADG＝30°，∴，∴，∴a＝6+4，∴AB＝（6+4）（米）．答：大树AB的高度是（6+4）米．考向3 两个观测点观测两个位置点16．（2021•湘潭）万楼是湘潭历史上的标志性建筑，建在湘潭城东北、湘江的下游宋家桥．万楼的外形设计既融入了皇家大院、一类寺庙的庄严典雅，也吸收了江南民居诸如马头墙、猫拱背墙、灰瓦等特色，而最为独特的还是万楼“九五至尊”的结构．某数学小组为了测量万楼主楼高度，进行了如下操作：用一架无人机在楼基A处起飞，沿直线飞行120米至点B，在此处测得楼基A的俯角为60°，再将无人机沿水平方向向右飞行30米至点C，在此处测得楼顶D的俯角为30°，请计算万楼主楼AD的高度．（结果保留整数，≈1.41，≈1.73）【答案】52米【解答】解：由题意可得，在Rt△ABE中，∵AB＝120米，∠ABE＝60°，∴BE＝＝＝60（米），AE＝sin60°•AB＝（米），在Rt△CDE中，∵∠DCE＝30°，CE＝BE+CB＝60+30＝90（米），∴DE＝tan30°•CE＝＝30（米），∴AD＝AE﹣DE＝60＝30≈52（米）．答：万楼主楼AD的高度约为52米．17．（2021•聊城）时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A处向正南方向走300米到达革命纪念碑B处，再从B处向正东方向走到党史纪念馆C处，然后从C处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D处，最后从D处回到A处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【答案】420米【解答】解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，如图所示：由题意得：∠CDF＝37°，CD＝200米，在Rt△CDF中，sin∠CDF＝＝sin37°≈0.60，cos∠CDF＝＝cos37°≈0.80，∴CF≈200×0.60＝120（米），DF≈200×0.80＝160（米），∵AB⊥BC，DF⊥BC，DE⊥AB，∴∠B＝∠DFB＝∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是矩形，∴BF＝DE，BE＝DF＝160米，∴AE＝AB﹣BE＝300﹣160＝140（米），在Rt△ADE中，tan∠DAE＝＝tan65°≈2.14，∴DE≈AE×2.14＝140×2.14＝299.60（米），∴BF＝DE≈299.60（米），∴BC＝BF+CF＝299.60+120≈420（米），答：革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为420米．类型四拥抱型18．（2021•自贡）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，≈1.73）【答案】10.4米【解答】解：由题意可知AB＝24米，∠BDA＝53°，∴tan∠BDA＝＝≈1.33，∴AD＝≈18.05（米）．∵tan∠CAD＝tan30°＝＝＝，∴CD＝18.05×≈10.4（米）．故办公楼的高度约为10.4米．19．（2021•安徽）学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，点B、C分别在EF、DF上，∠ABC＝90°，∠BAD＝53°，AB＝10cm，BC＝6cm．求零件的截面面积．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60．【答案】53.76（cm2）【解答】解：如图，∵四边形AEFD为矩形，∠BAD＝53°，∴AD∥EF，∠E＝∠F＝90°，∴∠BAD＝∠EBA＝53°，在Rt△ABE中，∠E＝90°，AB＝10cm，∠EBA＝53°，∴sin∠EBA＝≈0.80，cos∠EBA＝≈0.60，∴AE＝8cm，BE＝6cm，∵∠ABC＝90°，∴∠FBC＝90°﹣∠EBA＝37°，∴∠BCF＝90°﹣∠FBC＝53°，在Rt△BCF中，∠F＝90°，BC＝6cm，∴sin∠BCF＝≈0.80，cos∠BCF＝≈0.60，∴BF＝4.8cm，FC＝3.6cm，∴EF＝6+4.8＝10.8cm，∴S四边形EFDA＝AE•EF＝8×10.8＝86.4（cm2），S△ABE＝＝×8×6＝24（cm2），S△BCF＝•BF•CF＝×4.8×3.6＝8.64（cm2），∴截面的面积＝S四边形EFDA ﹣S△ABE﹣S△BCF＝86.4﹣24﹣8.64＝53.76（cm2）．20．（2021•山西）某公园为引导游客观光游览公园的景点，在主要路口设置了导览指示牌，某校“综合与实践”活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得AB＝100cm，BC＝80cm，∠ABC＝120°，∠BCD＝75°，四边形DEFG为矩形，且DE＝5cm．请帮助该小组求出指示牌最高点A到地面EF的距离（结果精确到0.1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，≈1.41）．【答案】153.1cm【解答】解：过点A作AH⊥EF于点H，交直线DG于点M，过点B作BN⊥DG于点N，BP⊥AH于点P，则四边形BNMP和四边形DEHM均为矩形，如图所示：∴PM＝BN，MH＝DE＝5cm，∴BP∥DG，∴∠CBP＝∠BCD＝75°，∴∠ABP＝∠ABC﹣∠CBP＝120°﹣75°＝45°，在Rt△ABP中，∠APB＝90°，sin45°＝，∴AP＝AB•sin45°＝100×＝50cm，在Rt△BCN中，∠BNC＝90°，sin75°＝，∴BN＝BC•sin75°≈80×0.97＝77.6cm，∴PM＝BN＝77.6cm，∴AH＝AP+PM+MH＝5077.6+5≈153.1cm．答：指示牌最高点A到地面EF的距离约为153.1cm．21．（2021•江西）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP 的长度），枪身BA＝8.5cm．（1）求∠ABC的度数；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，≈1.414）【答案】（1）113.6°（2）在规定范围内【解答】解：（1）过点B作BH⊥MP，垂足为H，过点M作MI⊥FG，垂足为I，过点P 作PK⊥DE，垂足为K，∵MP＝25.3cm，BA＝HP＝8.5cm，∴MH＝MP﹣HP＝25.3﹣8.5＝16.8（cm），在Rt△BMH中，cos∠BMH＝＝＝0.4，∴∠BMH＝66.4°，∵AB∥MP，∴∠BMH+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣66.4°＝113.6°；（2）∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°，∴∠NMI＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝180°﹣68.6°﹣66.4°＝45°，∵MN＝28cm，∴cos45°＝＝，∴MI≈19.80cm，∵KI＝50cm，∴PK＝KI﹣MI﹣MP＝50﹣19.80﹣25.3＝4.90≈4.9（cm），∴此时枪身端点A与小红额头的距离是在规定范围内．。
锐角三角函数在日常生活中有哪些用途
锐角三角函数在日常生活中有哪些用途锐角三角函数在日常生活中的用途那可真是不少！咱们先来说说建筑方面。
就拿盖房子来说吧，建筑工人师傅们在搭建脚手架的时候，可就得用到锐角三角函数的知识。
我之前亲眼见过一个建筑工人师傅，他站在地上，拿着测量工具，眼睛专注地盯着上面的架子，嘴里还念念有词。
我好奇凑过去一听，原来他在计算架子与地面形成的角度，用的就是锐角三角函数。
他跟我说，如果角度算不对，这脚手架搭得不稳当，那可就危险啦！再说说装修的时候，要安装一个斜着的窗户。
这时候就得算出窗户与墙面的夹角，才能保证窗户安装得既美观又实用。
工人师傅们会拿着尺子和量角器，在那比划来比划去，其实就是在运用锐角三角函数的原理呢。
还有测量山的高度。
有一次我去爬山，碰到一群搞测量的人。
他们站在山脚下，拿着各种仪器。
其中一个人拿着望远镜看向山顶，另外几个人在本子上记录着数据。
我好奇地问他们在干啥，他们说在测量这座山的高度。
原来他们是通过测量山脚下到山顶的角度，还有他们与山之间的距离，利用锐角三角函数来算出山的高度。
这可真神奇，我当时就在想，这小小的锐角三角函数居然有这么大的本事！在航海中，锐角三角函数也起着重要作用。
船长要确定船只的位置和航向，就得依靠对角度的测量和计算。
比如说，通过测量灯塔与船只的夹角，结合已知的距离，就能准确判断出船只的位置，避免触礁或者迷路。
在日常生活里，如果你想在墙上挂一幅画，要挂得正又好看，也得用到锐角三角函数。
你得先测量画框与墙面的角度，还有画框的长度和高度，这样才能确定钉子应该钉在哪个位置，画才能挂得稳稳当当，不会歪歪斜斜的。
还有啊，比如你想在院子里搭一个滑梯给小朋友玩。
滑梯的坡度太陡，小朋友滑下来速度太快不安全；坡度太缓，又滑得不痛快。
这时候就得通过锐角三角函数来计算出最合适的角度，让小朋友既能玩得开心又能保证安全。
甚至在拍照的时候，有时候为了拍出特别的效果，摄影师也会考虑角度的问题。
通过计算拍摄角度和距离，来达到想要的构图和视觉效果。
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第四单元 三角形
第18讲 锐角三角函数及其实际应用
1. (2019绍兴)如图①，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图①是此时的示意图，则图①中水面高度为( )
第1题图
A. 245
B. 325
C. 123417
D. 203417
2. (2019兰州)某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究，过程如下：
第2题图
问题提出：
如图①是某住户窗户上方安装的遮阳篷，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．
方案设计：
如图①，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC 的遮阳篷C D.
数据收集：
通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至这一天的正午时刻，太阳光线DA 与遮阳篷CD 的夹角①ADC 最大(①ADC ＝77.44°)；冬至这一天的正午时刻，太阳光线DB 与遮阳篷CD 的夹角①BDC 最小(①BDC ＝30.56°)；窗户的高度AB
＝
2 m.。