连续函数离散化

连续函数离散化 Prepared on 22 November 2020

连续函数离散化

替换法

传递函数是控制系统应用最广泛的模型描述形式，连续系统为Ｓ域的传递函数G(S)，离散系统为Ｚ域的脉冲传递函数G(Z)。

替换法的基本思想：

对给定的连续系统模型G(S)，设法找到Ｓ域到Ｚ域的某种映射关系，将Ｓ域的变量映射到Ｚ平面上，由此得到与连续系统G(S)相对应的离散系统的脉冲传递函数G(Z)。然后，再由G(Z)通过Ｚ反变换得到系统的时域离散模型——差分方程，从而快速求解。

根据Ｚ变换理论，Ｓ域到Ｚ域的最基本的映射关系是：

Ts e Z =或Z T

s ln 1= 其中Ｔ是采样周期

若直接将这个映射关系代入G(S)得到G(Z)将会很复杂，不便于计算，实际应用中是利用Ｚ变换理论的基本映射关系进行简化处理，得到近似的离散模型。

简单替换法

由幂级数展开式： +++++=!!212n x x x e n

x

取近似式：Ts e Z Ts +≈=1

或：T

Z s 1-= 用此式代入G(S)就得到G(Z)，这就是简单替换法，又称Euler 法。

例：二阶连续系统s s s U s Y s G 50400)()()(2+==

，001.0=T 解：简单替换法T

Z s 1-=代入G(s) 001.0=T 代入

双线性替换法 取近似式：2121Ts Ts

e Z Ts -+

==或)1()1(2+-=Z T Z s 用此式代入G(S)就得到G(Z)，这就是双线性替换法，又称Tustin 变换。相当于数值积分法中的梯形法，有较好的性能。 例：二阶连续系统s

s s U s Y s G 50400)()()(2+==，001.0=T 用双线性替换法建立差分方程。 解：双线性替换：)

1()1(2+-=z T z s 代入G(s) 001.0=T 代入

域离散相似法

离散相似法将连续系统模型处理成与之等效的离散模型的一种方法。设计一个离散系统模型，使其中的信息流与给定的连续系统中的信息流相似。或者是根据给定的连续系统数学模型，通过具体的离散化方法，构造一个离散化模型，使之与连续系统等效。

连续系统模型

离散化模型

)(t u 经采样后是离散信号)(t u *，加保持器)(s Gh 后，将离散信号)(t u *转

化成连续信号)(~t u

，并作用于连续系统G(S)上输出)(~t y 。 离散模型：[])()()

()()(S G S Gh Z U Z Y Z G Z ==

例：二阶连续系统s

s s U s Y s G 50400)()()(2+==，001.0=T 以零阶保持器采用离散相似法求出差分方程 解：零阶保持器S

e s G TS

h --=1)( 001.0=T 代入

)()(0

1110111m n a s a s a s b s b s b s b s G n n n m m m m >++++++++=---- 经过z 变换后可以写成 对于s

s s G 50400)(2+=经过z 变换