结构力学位移法PPT_图文

6．校核。
用位移法分析超静定结构时，把只有角位移没有线位移结构，称无侧移 结构，如连续梁； 又把有线位移的结构，称为有侧移结构。如铰接排架 和有侧移刚架等。
位移法应用举例
例题1 试计算图示连续梁，绘弯矩图。各杆EI相同。
22.5
5、依M=M1X1+ M2X2+ MP绘弯矩图
例题2 试计算图示刚架，绘弯矩图。各杆EI相同。 Z1 Z2
(a)
(b )
(c)
1）求qA1,qA1见上图(b) (d
(e)
(f)
(g )
2）求qA2,qA2见图(c) 3）叠加得到
由平衡条件得杆端剪力：见图(g)
等截面直杆的转角位移方程，或典型单元刚度 方程。
4）当考虑典型单元上同时也作用荷载时的单元 刚度方程
MfAB
MfBA
式中，MfAB、MfBA——为两端固定梁在荷载单独作 用下的杆端弯矩(固端弯矩或载常数)
四、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B ΔAB
B'
QBA
五、一端固定、另一端定向支承梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B
B' MBA
× ×
表9－1 等截面单跨超静定梁的杆端弯矩和剪力
28
29
30
31
32
9.3 基本未知量数目的确定
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
§9-5 用位移法分析具有剪力静定杆的刚架
§ 9-6 对称性的利用
对称结构在对称荷载作用下，其变形曲线、弯矩图 和轴力图呈对称形，但剪力图是呈反对称形； 对称结构在反对称荷载作用时则相反。
• 在位移法典型方程中，每个系数都是单位 结点位移所引起的附加约束的反力，它的 大小与结构刚度有关刚度愈大则反力也愈 大。故把系数称为结构的刚度系数，把典 型方程称为刚度方程，把位移法也叫刚度 法。
无论刚架、连续梁、铰接排架还是组合结 构，也无论结构形式有多大差异，也不管基 本未知量的类型有什么不同，只要结构的位 移法基本未知量数目相同，位移法方程形式 都是相同的。
42.8
A
23.8 14.9
5B
18.6
C 8.9
26.7
条件的校核。
D
M图（kN•m ）
E 3.6
3.97F
58
59
M1图 求得Z1＝25/10, Z2=65/40
M2图
MP图
M图（kN.m）
MBA=3×25/10＋0＋0＝7.5kN.m(左拉) MBC=8×25/10＋4×65/40－24＝2.5kN.m(下拉)
3、绘单位弯矩图、荷载弯矩图并计算各系数
例3、试用位移法分析图示刚架。
q=20kN/m
A 4I0 B
D 5I0 C 4I0
3I0
E
3I0
F
4m
5m
4m
2m 4m
（1）基本未知量 Z 1、 Z 2、Z3
（2）基本体系
计算杆件线性刚度i， 设EI0=1，则
2m 4m
q=20kN/m A
Z2
Z3 D
θA P
MAB A
βAB θA
QAB
q EI θB βAB
l
B
ΔAB
B' MBA
QBA
θA P
MAB A
βAB θA
QAB
q EI θB βAB
l
B
ΔAB
B' MBA
QBA
推导： 已知简支梁两端作用有集中外力偶MAB、MBA，同时 B支座有支座位移D，用单位荷载法求位移qA、qB，然 后将杆端力QAB、MAB、QBA、 MBA表示成位移的函 数形式。推导是对静定梁在荷载和支座移动下，求梁 两端转角位移的过程。
五、解题示例 q
A
øB B øB
l
l
原结构
Z1
q
A
øB B øB
基本体系
Z1= 14EI/l
CA
B
C
2EI/l 3EI/l
ql2/8M1图 ql2/8
A C
B
C
Mp图
A
2
ql/28
ql2/14 ql2/8
4ql/7
B
C
A
B
M图
3ql/28Q图
C 3ql/7
六、小结
12
9.2 等截面直杆的物理方程（转角位移方程）
用位移法的典型方程方法计算各外部因素（载荷、支座 位移等）作用下的各类结构内力的步骤归纳如下：
1．确定原结构的基本结构和基本未知量； 2．列位移法的基本方程（典型方程）； 3．计算系数和自由项。首先作图和图，然后用平衡条件计算系数和自由项； 典型方程法的计算步骤 4．解联立方程组求基本未知量； 5．求结构内力，并作内力图；
Z1= øB
øB
R11
B øB
C
R1P q
(d’)A
B
C
C
以图（b’）、（c’）（d’）分别 代替图（b）、（c）、（d）：
(a)原结构：
A
q øB
B øB
l
l
(b)基本体系：
A
Z1= øB
R=0 q øB
B øB
(c)
A
Z1= øB
øB
R11
B øB
(d)
A
R1P q B
C 1、基本体系
2、平衡条件
一、为什么要研究等截面直杆的转角位移方程
1、位移法是以等截面直杆（单跨超静定梁）作为其计 算基础的。
2、等截面直杆的杆端力与荷载、杆端位移之间恒具有 一定的关系——“转角位移方程 ” 。
3、渐近法中也要用到转角位移方程。
二、杆端力的表示方法和正负号的规定
1、弯矩：MAB表示AB杆A端的弯矩。对杆端而 言，顺时针为正，逆时针为负；对结点而言，顺时 针为负，逆时针为正。
i=3/ 4 i=1/ 2
2m 4m
i=3/ 4 i=1/2
r11=3+4+3=10
kr12=r21=2
r13=r31=?
3
2
A
Z 1=1
DA
i=1 3B
i=1 C i=1
4
E 1.5
F
4m
5m
4m
r22=4+3+2=9 r23=r32=?
i=1
B 2
4 Z 2=1 D
i=1 2 C i=1 3
E
F1
要使基本结构在荷载和基本未知量共同作用下的受力和 原结构受力相同，故本例中R1和R2应该为零
上式既为二个未知量的位移法典型方程
计算系数和自由项
可根据单位弯矩图、 以及荷载弯矩图,取隔离体, 由平衡条件求得系数和自由项
计算附加刚臂中 由Z1=1，Z2=1及 荷载单独作用下 产生的反力矩时 。取结点B为隔离 体，运用力矩平 衡方程可求得有 关刚臂中的反力 矩系数和自由项
1角2线
2角1线
1角2线
1角1线
1角1线
9.4 位移法典型方程及算例
图（a）中刚架在刚结
点B有一个独立角位移
，编号为Z1；另外结
a图
点A、B、C有一个独
立水平线位移，编号
为Z2，基本未知量和
基本结构见图（b）。
b图
基本结构在外荷载q
单独作用下引起的
弯矩图，记为MP图
，见图（C）。它引
c图
起附加刚臂和附加
计算附加链杆中 产生的反力时。 取横梁ABC部 分为隔离体用投 影方程，可求得 相应的系数和自 由项
将求得的系数和自由项代入典型方程，可得：
求解方程组，得基本未知量的值为：
在计算位移法典型方程中的系数和自由项时，已经作出单 位弯矩图、 以及荷载弯矩图,可用叠加法求最后内力和作 弯矩图
M=M1Z1+ M2Z2+ MP绘弯矩图
（3）求解未知力，将超静定结构化为静定结构。
核心是化未知为已知
5
一般情况下结构上一个自由刚结点在平面上有三个 位移分量（互相垂直的两个线位移和一个转角位移） ，见图 (a)对受弯直杆应用轴向刚度条件，刚架的位 移未知量变化见图 (b)
(a)
(b)
位移法也是计算超静定结构的基本方法之一. P
力法计算,9个基本未知量 位移法计算, 1个基本未知量
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本章主要内容
§9－1 位移法的基本概念 §9－2 等截面直杆的物理方程 §9－3 位移法基本结构和基本未知量数目的确定 §9－4 位移法典型方程和算例 §9－5 用位移法分析具有剪力静定杆的刚架 §9－6 对称性的利用 §9－7 直接按平衡条件建立位移法方程 §9－8 用位移法计算结构由于支座位移
和温度变化引起的内力 §9－9混合法
已有的知识： （1）结构组成分析；
（2）静定结构的内力分析和位移计算；
（3）超静定结构的内力分析和位移计算 力法；已解得如下单跨梁结果。
回顾力法的思路：
（1）解除多余约束代以基本未知力，确定基本 结构、基本体系；
（2）分析基本结构在未知力和“荷载”共同作 用下的变形，消除与原结构的差别，建立 力法典型方程；
一、基本未知量
1、结点角位移 2、结点线位移
B
C
C
B
C
B
A
D
二、基本假设
1、小变形假设。 2、不考虑轴力和弯曲内力、弯曲变形之间相互影响。
（采用上述假设后，图示刚架有3个基本未知量。）
三、如何确定基本未知量
1、在刚结点处加上刚臂 2、在结点会发生线位移的方向上加上链杆。 3、附加刚臂与附加链杆数目的总和即为基本未知量数目 。（见上例）
A
9/8
i=1 B
i=1
1/2 C i=1
D Z 3=1 r33=(1/6)+(9/16)=35/48
i=3/ 4 i=1/ 2
2m 4m
r31=r13= –9/8
E 9/8
r32=r23= –1/2
1/2 F
4m
5m
4m
（5）计算自由项：R1P、R2P、R3P
(1/8) × 20×42=40
q=20kN/m
结构在一定的外因作用下，内力和位移间恒有一定 的关系。因此，也可把结构的某些位移作为基本未 知量，求出这些位移，再据以确定结构的内力
三、解题思路
(a) A
q øB
B øB
l
l
(b) A (c) A (d) A
øB B
q
øB
øB B
øB
Bq
C
(b’) A
Z1= øB
R=0 q
øB B øB
C
C
(c’) A C
位移法典型方程的物理意义：
基本结构在外荷载和结点位移共同作用下，在每一个附加约 束中产生的反力等于零。它反映了基本结构受力与原结构是相 同的，实质上代表了原结构的静力平衡方程。
对于具有n个独立结点位移的结构则可建立n个方程如下
几点说明
（1）主系数、副系数、刚度系数、自由项。 （2）两类系数：附加刚臂上的反弯矩；附加链杆上的反力。 （3）位移法的实质：以结点未知位移表示的静力平衡条件。
A
i=1 B
i=1
(1/12) × 20×52=41.7
D
C i=1
E
R1P=40–41.7= –1.7 R2P=41.7 R3P=0
i=3/ 4 i=1/ 2
2m 4m
F
4m
5m
4m
（6）建立位移法基本方程： （7）解方程求结点位移：
（8）绘制弯矩图
（9）校核 结点及局部杆 件的静力平衡
47.8
M=M1Z1＋M2Z2＋MP
MCB=4×25/10＋8×65/40＋24＝47kN.m(上拉)
MCD=0＋4×65/40＋0＝6.5kN.m(左拉)
MCE=0＋4×65/40－60＝－53.5kN.m(上拉)
MEC=0＋（－4）×65/40－20＝ － 26.5kN.m(上拉)
60
61
62
63
R11+R1P=0
因为：R11=r11Z1 (见下图）
C
所以： r11Z1 +R1P=0
Z1=－ R1P／ r11
C A
C
Z1= １
øB
r11
B øB
C
四、解题步骤
（1）选取位移法法基本体系； （2）列位移法基本方程； （3）绘单位弯矩图、荷载弯矩图； （4）求位移方程各系数，解位移法方程 （5）依M=M1Z1+M2Z2+…….+MP绘弯矩图，进而绘剪 力图、轴力图。
P
A MAB0
B MBA0
2、剪力：QAB表示AB杆A端的剪力。正负号规定同“ 材力”。
P
A QAB0
B QBA0
3、固端弯矩、固端剪力：单跨超静定梁仅由于荷载作 用所产生的杆端弯矩称为固端弯矩，相应的剪力称为固端 剪力。用MfAB、 MfBA、QfAB、QfBA 表示。
三、两端固定梁的转角位移方程
链杆的反力矩和反
力，分别用R1P、
R2P（图C）
基本结构在Z1=1及
d图
Z2=1单独作用下产d、e
图）。用r11、r21
、r12、r22表示在
相应的附加约束中
产生的反力矩及反
e图
力。
设基本结构在外荷载和独立结点位移Z1 及Z2分别作用下， 在附加刚臂和链杆中产生的反力矩和反力之和为R1及R2， 由叠加法可得其表达式为:
4I0 B Z 1 5I0 C 4I0
3I0
E
3I0
F
4m
5m
4m
（3）位移法方程
r11Z 1+ r12Z 2+ r13Z 3+R1P=0 r21Z 1+ r22Z 2+ r23Z 3+R2P=0
r31Z 1+ r32Z 2+ r33Z 3+R3P=0 （4）计算系数：r11、r12、r13、r21、r22、r23、r31、r32、r33
4、确定线位移的方法
（1）由两个已知不动点所引出的不共线的两杆交点也 是不动点。
（2）把刚架所有的刚结点（包括固定支座）都改为铰 结点，如此体系是一个几何可变体系，则使它变为几何不 变体系所需添加的链杆数目即等于原结构的独立线位移数 目。
4、确定线位移的方法
35
5、确定角位移的方法
36
如何确定基本未知量举例：