专题十六 椭圆、双曲线、抛物线

专题十六 椭圆、双曲线、抛物线

1．已知双曲线x 2

4－y

2

b 2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其

渐近线的距离等于( )．

A. 5 B ．4 2 C ．3 D ．5

答案： A [易求得抛物线y 2

＝12x 的焦点为(3,0)，故双曲线x 24－y 2

b

2＝1的右焦点为(3,0)，

即c ＝3，故32＝4＋b 2，∴b 2＝5，

∴双曲线的渐近线方程为y ＝±

5

2

x ，∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为⎪⎪⎪

⎪52×31＋5

4

＝

5.]

2．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝4 3，则C 的实轴长为( )．

A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．8

答案：C [抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4，2 3)在等轴双曲线C ；x 2－y 2＝a 2(a ＞0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4.]

3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3

2.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有

四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )．

A.x 28＋y 2

2＝1 B.x 212＋y 2

6＝1 C.x 216＋y 2

4

＝1

D.x 220＋y 2

5

＝1 答案：D [因为椭圆的离心率为

32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2，c 2＝3

4

a 2＝a 2－

b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2

.双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b 2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b ，y 2＝45b 2，y ＝±2

5b ，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C 的交

点坐标为⎝⎛

⎭⎫25b ，25b ，所以四边形的面积为4×25b ×25

b ＝16

5b 2＝16，所以b 2＝5，所以椭圆

方程为x 220＋y 2

5

＝1.]

4．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．

解析 直线l 的方程为y ＝3(x －1)，即x ＝33y ＋1，代入抛物线方程得y 2－4 33

y －4＝0，解得y A ＝

4 3

3

＋ 16

3＋162＝2 3(y B ＜0，舍去)，故△OAF 的面积为1

2

×1×2 3

＝ 3.

答案

3

圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择或者填空题，一个解答题．选择或者填空题有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系．

复习中，一要熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的基础知识、基本方法，在抓住通性通法的同时，要训练利用代数方法解决几何问题的运算技巧．

二要熟悉圆锥曲线的几何性质，重点掌握直线与圆锥曲线相关问题的基本求解方法与策略，提高运用函数与方程思想，向量与导数的方法来解决问题的能力.

必备知识

椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)，点P (x ，y )在椭圆上．

(1)离心率：e ＝c

a

＝

1－b 2a

2； (2)过焦点且垂直于长轴的弦叫通径，其长度为：2b 2

a .

双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，点P (x ，y )在双曲线上．

(1)离心率：e ＝c

a

＝

1＋b 2a

2； (2)过焦点且垂直于实轴的弦叫通径，其长度为：2b 2

a

.

抛物线y 2＝2px (p ＞0)，点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)在抛物线上． (1)焦半径|CF |＝x 1＋p 2

；

(2)过焦点弦长|CD |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ，|CD |＝2p sin 2(其中α为倾斜角)，1|CF |＋1

|DF |＝

2

p

；

(3)x 1x 2＝p 2

4

，y 1y 2＝－p 2；

(4)以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切，以抛物线焦点弦为直径的圆，必与准线相切．

必备方法

1．求圆锥曲线标准方程常用的方法 (1)定义法 (2)待定系数法

①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a 不具有p 的几何意义．

②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为x 2m ＋y 2

n ＝1(m ＞0，n ＞0)．

双曲线方程可设为x 2m －y 2

n ＝1(mn ＞0)．

这样可以避免讨论和繁琐的计算． 2．求轨迹方程的常用方法

(1)直接法：将几何关系直接转化成代数方程．

(2)定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程． (3)代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系．

(4)交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹．

注意：①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式；③化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.

椭圆、双曲线、抛物线定义的应用

圆锥曲线的定义是圆锥曲线问题的根本，利用圆锥曲线的定义解题是高考考查圆锥曲线

的一个重要命题点，在历年的高考试题中曾多次出现．需熟练掌握．

【例1】► 已知椭圆x 26＋y 22＝1与双曲线x 23－y 2

＝1的公共焦点F 1，F 2，点P 是两曲线的一

个公共点，则cos ∠F 1PF 2的值为( )．

A.14

B.13

C.19

D.3

5 [审题视点] [听课记录]

[审题视点] 结合椭圆、双曲线的定义及余弦定理可求．