实变函数论大纲简介

实变函数论简介

课程号：06110190

课程名称：实变函数论英文名称：The function theory of real variables 周学时：3-0 学分：3

预修要求：数学分析

内容简介：

《实变函数》的内容包含四大部分：第一部分为勒贝格测度，包括勒贝格测度的引人，内测度，外测度，可测集的性质；第二部分为可测函数，包括可测函数的基本性质，可测函数的收敛性，可测函数的构造；第三部分为勒贝格积分，包括勒贝格积分的引人，积分性质，积分序列的极限，R积分L积分的比较等；第四部分为函数空间LP.

选用教材或参考书：

《实变函数与泛函分析概要》郑维行，王声望，高等教育出版社

《实变函数论》教学大纲

一、课程的教学目的和基本要求

实变函数是数学系的重要基础课，也是近代数学中最重要，最基本的一个分分支，同时这门课程又是许多后续课程如泛函分析，概率论，微分几何等的基础。

本课程的教学目的是使学生掌握实变函数的基本概念，基本知识，诸如集合论，勒贝格测度论，可测函数，勒贝格可积函数，并了解为什么要引入

勒贝格测度，勒贝格可积函数理论及整套理论的系统性。通过本学科的学习，培

养学生逻辑思维能力及论证能力，并用所学的知识解决某些数学分析中遗留下的

问题，为日后更高阶段的学习，特别是泛函分析及研究生阶段的实分析学习打下

坚实的基础。

二．相关教学环节安排

1．每章2学时习题课，

2．每周布置作业，量为2-3小时。

3．

三．课程主要内容及学时分配

每周3学时，共17周。

主要内容：

（一）集与点集（10学时）

1．集及其运算1学时

2．映射，集的对等，可列集※1学时

3．一维开集，闭集及其性质2学时

4．开集的构造※2学时

5．集的势，序集※2学时

6．习题课2学时

（二）勒贝格测度（10学时）

1．有界点集的内、外测度，可测集※2学时

2．可测集的性质※2学时

3．关于测度的几点评注2学时

4．环与环上定义的测度2学时

5．习题课2学时

（三）可测函数（10学时）

1．可测函数的基本性质※3学时

2．可测函数的收敛性※3学时

3．可测函数的构造※2学时

4．习题课2学时

（四）勒贝格积分（12学时）

1．勒贝格积分的引入※2学时

2．积分的性质※2学时

3．积分序列的极限2学时

4．R积分与L积分的比较※2学时

5．乘积测度与傅比尼定理2学时

6．习题课2学时

（五）函数空间Lp（8学时）

1．Lp空间，完备性※2学时

2．Lp空间的可分性2学时

3．付里叶变式概要2学时

4．习题课2学时

（六）复习课（3学时）

四．教材及主要参考书

《实变函数与泛函分析概要》郑维行，王声望，高等教育出版社