实变函数论大纲简介
实变函数课程主要内容提要
实变函数课程主要内容提要《实变函数》---- 课程主要内容提要学完一门课程，读者应该自己学会把握课程的重点。
学习永远是自己的大事，任何人无法代替。
但作为一种引导，现将本课程主要内容简要列出，供学习参考，互相交流！内容重要程度:*** > ** > * * 第一章集合论* 1. 集合族之交、并、补、差的运算；*** 2. 集合的分解；集合列的极限运算；特征函数；** 3. 集合的基数与可数、不可数集；* 4. 极限点(聚点)、孤立点、导集的性质；** 5. 闭集、闭包、开集、内点的概念以及闭集、开集的性质；** 6.Gδ集、Fσ集、σ-代数、Borel集、稠密集；*** 7. Cantor三分集的概念及其性质；* 8. 点集间距离的概念。
** 第二章 Lebesgue可测集与Lebesgue测度*** 1. Lebesgue外测度的概念及其性质:单调性、次可加性、距离外测度性质、可测分离可加性；** 2. Lebesgue可测集的概念及其性质：交、并、补、差的运算性质；*** 3. Lebesgue测度的基本性质：可数可加性；测度与极限运算的交换性；** 4. Lebesgue可测集与Borel集的关系；等测包与等测核的存在性；* 5. 不可测集的存在性。
*** 第三章可测函数*** 1. 可测函数的基本概念及其运算性质；** 2. 简单函数的概念；简单函数逼近定理；*** 3. 可测函数列处处收敛、几乎处处收敛、一致收敛、近一致收敛和依测度收敛的概念及其相互关系：Egoroff定理；Lebesgue定理；Riesz定理；* 4. 依测度Cauchy列的概念；*** 5. 可测函数与连续函数的关系：卢津(Lusin)定理及其推论；*** 第四章 Lebesgue积分* 1. 非负简单可测函数的Lebesgue积分：基本概念；积分与极限的交换性；** 2. 非负可测函数的Lebesgue积分：基本概念与简单性质；*** 3. 三大基本定理：Levi定理、Lebesgue基本定理和Fatou引理；对积分域的可数可加性；Chebyshev(契比雪夫)不等式；** 4. 一般可测函数的Lebesgue积分：基本概念与简单性质；积分的绝对连续性；*** 5. 控制收敛定理: Lebesgue控制收敛定理, 有界收敛定理，依测度型控制收敛定理；L1-收敛；** 6. 可积函数与连续函数的关系；积分的平均连续性；*** 7. Lebesgue积分与Riemann积分的关系；** 8. Fubini定理以及Lebesgue积分的几何意义；卷积与分布函数的概念。
数学与统计学院数学与应用数学专业课程教学大纲实变函数论教学
数学与统计学院数学与应用数学专业课程教学大纲实变函数论教学大纲（试行草案）（ 2008年8月试行）一、说明（一）课程性质《实变函数论》是数学与应用数学专业、信息与计算科学、统计学等专业的一门专业必修课．实变函数论是现代分析数学的基础理论之一，主要采用集合分析的方法研究实函数的性质，它的建立使人们扩大与深化了对实函数的认识，其结果在概率论、泛函分析、拓扑学、微分方程等许多数学分支中有广泛的应用.（二））教学目标及要求通过本课程的学习，可以使学生了解与掌握近代抽象分析的基本思想，有助于发展学生分析论证和逻辑思维的能力，同时可以加深对数学分析知识的理解.（三）教学内容本课程教学内容主要有：集合与基数，R n 中的点集、测度、可测函数、Lebesgue 积分论.（四）教学时数及学分72学时，学分：4分.二、本文一 集合与基数(12学时)[[教教学学要要点点]]1、集合及其代数与极限运算.2、映射，集合的对等与基数，基数的比较.3、可数集，可数集的性质与判断，典型可数集（有理数集等）.4、不可数集，[0，1]的不可数性，不可数集的判断.[[教教学学内内容容]]1、 集合及其运算集合的概念；集合的代数运算（并、交、差、余）与集合的极限运算（上、下限集、极限集）2、对等与基数映射、1—1对应.与对等；基数概念.，基数的比较，Bernstein 定理.．3、可数集合可数集的概念；可数集的性质；一些典型的可数集．4、不可数集合不可数集的概念；区间[a ，b]及1R 、mR 、∞E 的基数.；最大基数的不存在性. 二 R n 中的点集(10学时)[[教教学学要要点点]]1、R n 中点集的拓扑性质及判断.2、R n 中有界点集的性质，聚点定理，有限复盖定理.3、直线上开集、闭集与完备集的构造，Cantor 集的构造与性质.[[教教学学内内容容]]1． 聚点、内点、界点度量空间、n 维欧氏空间；聚点、内点、边界点的定义及性质，聚点定理．2． 开集、闭集与完备集开集、闭集的定义；开集、闭集的性质；有限复盖定理；完备集．3． 直线上开集、闭集与完备集的构造直线上开集的构造；直线上闭集与完备集的构造，Cantor 三分集.．三 Lebesgue 测度论(14学时)[[教教学学要要点点]]1、外测度的定义及性质.2、卡氏条件，可测集的定义及性质.3、可测集类，Borel 集，δG 集、σF 集.[[教教学学内内容容]]1、外测度外测度概念；外测度的性质2、可测集卡氏条件与可测集定义；. 可测集的性质.3、可测集类区间、开集、闭集的可测性；.σ—代数与Borel 集.；δG 与σF 型集；可测集的构造；不可测集 四 可测函数(16学时)[[教教学学要要点点]]1、可测函数的定义及其等价形式，典型的可测函数（连续函数、单调函数、简单函数等）2、可测函数的性质，可测函数关于四则运算及极限运算的封闭性.3、可测函数列的构造，依测度收敛与几乎处处收敛的概念及其关系，Egoroff 定理，Riesz 定理、Lebesgue 定理.4、可测函数的构造，Lusin 定理.[[教教学学内内容容]]1、可测函数及其性质可测函数定义及其等价形式；可测函数的性质（四则运算、极限运算、可测函数与简单函数的关系）；.命题的a.e.成立.2、Egoroff 定理Egoroff 定理及其证明.3、可测函数的结构，Lusin 定理Lusin 定理及证明；Lusin 定理的意义4、依测度收敛依测度收敛的定义； Riesz 定理、Lebesgue 定理五 积分理论(20学时)[[教教学学要要点点]]1、有界函数的L 积分，一般L 可积函数的定义、性质及判定，积分的绝对连续性及应用.2、积分极限定理及应用.3、L 积分与R 积分的关系.4、Fubini 定理5、有界变差函数6、不定积分与绝对连续函数7、L 积分的N —L 公式，分部积分法[[教教学学内内容容]]1、L 积分的定义R 可积的等价条件，R 积分的缺陷；L 上、下积分，L 可积的定义及可积条件； L 积分与R 积分的关系.2、L 积分的性质L 积分的线性性质，积分不等式性质.3、积分的绝对连续性非负函数情形；一般函数情形；一般L 积分的性质．4、积分极限定理L 控制收敛定理；Levi 定理；Fatou 定理5、Fubini 定理截面定理；Fubini 定理6、有界变差函数有界变差函数的定义；有界变差函数的性质7、不定积分不定积分的定义；绝对连续函数概念；L 积分的N —L 公式，分部积分公式．.三、参考教材1、程其襄等．实变函数与泛函分析基础．北京：高等教育出版社，1983．2、江泽坚，吴智泉．实变函数论．北京：高等教育出版社，1994．3、郑维行，王声望．实变函数与泛函分析概要．北京：高等教育出版社，2003．注：*为选讲内容。
《实变函数》教学大纲
《实变函数》课程教学大纲一、课程性质与目标（一）课程性质实变函数是高等师范院校数学专业的一门专业必修课程，是重要的专业基础课，这部分内容为学生进一步学习其它数学分支如泛函分析和科学研究提供必不可少的基础知识。
而且对加深对数学分析及其它有关课程的理解有着至关重要的作用。
它的任务是使学生掌握近代抽象分析的基本思想，为进一步钻研现代数学理论打下初步基础。
（二）课程目标通过实变函数这一学科的学习，应使学生较好的掌握测度与积分这个基本的数学工具，特别是极限与积分顺序的交换。
并且在一定程度上掌握集的分析方法。
通过这门学科的教学，要加强对学生的抽象思维能力，逻辑推理能力的培养。
在某些与中学教材相关的教学内容中，要引导学生在学习新知识的同时要加深对相关的中学教材的内容及背景的理解，使他们在今后的教学实践能用较高的观点处理中学教材。
为培养成人师范学生较强的教学能力打下坚实的基础。
采用课堂讲授，倡导和实施启发式和交互式教学法，组织课程教学。
二、课程内容与教学（一）课程内容1、课程内容选编的基本原则（1）、把握理论、技能相结合的基本原则。
（2）、注意教学内容与其他相关课程的联系和渗透。
2、课程基本内容（1）集合（2）点集（3）测度论（4）可测函数（5）积分论（二）课程教学1、注重数学思想与数学素养的培养，阐述所讲内容在整个理论体系中的作用和地位。
2、加强建立数学模型的思想和训练，提高学生的数学素养和创新能力。
3、在传授基础理论和基本技能的同时，加强学生分析实际问题和解决实际问题的能力。
4、注重课堂讲授、习题课、习题批改等环节。
三、课程实施与评价（一）学时、学分本课程总学时为54学时。
学生修本课程部分内容，成绩合格，可获3学分。
本大纲的完成需54学时。
由于课时的限制，主要以讲授第一章、第二章和第三章为主；在教学过程中，根据实际情况，计划可能要作一些调整。
（二）教学基本条件1、教师教师应具有良好的师德和较高的专业素质与教学水平，一般应具备讲师以上职称或本专业硕士以上学位。
实变函数大纲
课程号：20101340课程名称：实变函数总学时：68学分：4课程教学目的以Lebesgue测度与Lebesgue积分理论为核心内容，为学生提供近代分析的基础知识和基本训练，提高分析论证能力。
第一章第一章集合一、基本内容：集合以及集合列的上、下极限，集合的势，p进制表示法，n维空间中的点集，Bolzano —Weirstrass定理。
二、基本要求σ域的概念1、1、了解集合的基本运算及集合列的上、下限集、-2、2、了解势的定义与Bernstein定理、Zermelo选择公理3、3、可数集与连续势以及p进制表示4、4、了解聚点、内点、边界点以及Bolzano－Weirstrass定理5、5、了解开集、闭集以及Borel有限覆盖定理三、三、建议课时安排（15学时）σ域的概念 3学时1、集合的基本运算及集合列的上、下限集、-2、势的定义与Bernstein定理Zermelo选择公理3学时3、可数集与连续势以及p进制表示 3学时4、聚点、内点、边界点以及Bolzano－Weirstrass定理 3学时5、开集、闭集以及Borel有限覆盖定理3学时第二章测度论一、基本内容：外测度与可测集的定义及性质，开集的可测性，Lebesgue可测集的结构二、基本要求1、掌握外测度的定义及性质2、掌握可测集的定义及性质3、了解开集的可测性和L－可测集的结构三、建议课时安排（12学时）1、外测度的定义及性质4学时2、可测集的定义及性质4学时3、开集的可测性和L－可测集的结构4学时第三章可测函数一、一、基本内容：可测函数的定义及性质，可测函数的逼近理论二、二、基本要求：1、了解可测函数的定义及性质2、Egoroff定理、Lusin定理4、了解几乎处处收敛和依测度收敛三、三、建议课时安排：（11学时）1、可测函数及其运算3学时2、Egoroff定理、Lusin定理4学时3、几乎处处收敛与依测度收敛4学时第四章Lebesgue积分一、基本内容：可测函数的积分，Lebesgue积分的极限定理，Lebesgue积分与Riemann积分之间的关系，重积分与累次积分，Fubini定理，微分与积分的关系二、基本要求：1、1、了解非负可测函数的积分，Levi引理和Fatou引理2、2、掌握一般可测函数的积分，积分的绝对连续性以及Lebesgue积分极限定理3、3、了解积分的连续性4、4、弄清Lebesgue积分与Riemann积分的关系，以及Riemann可积的充要条件5、5、弄清重积分与累次积分之间的关系以及Fubini定理6、6、了解微分与积分的关系三、建议课时安排：（20学时）1、非负可测函数的积分，Levi引理和Fatou引理4学时2、一般可测函数的积分，积分的绝对连续性以及Lebesgue控制收敛定理4学时3、积分的连续性2学时4、4、Lebesgue积分与Riemann积分的关系，以及Riemann可积的充要条件3学时5、5、重积分与累次积分之间的关系以及Fubini定理3学时6、6、微分与积分的关系4学时第五章pL空间简介一、一、基本内容：pL空间定义，Holder不等式，Minkowski不等式，p L空间中的收敛与完备性、可分性，2L空间中的内积，正交系，广义Fourier级数，Bessel不等式与Parseval不等式二、二、基本要求：1、1、了解pL空间定义，Holder不等式，Minkowski不等式2、2、了解pL空间中的收敛与完备性、可分性3、3、了解2L空间中的内积，正交系4、了解广义Fourier级数，Bessel不等式与Parseval不等式三、三、建议课时安排（10学时）1、1、pL空间定义，Holder不等式，Minkowski不等式3学时2、2、pL空间中的收敛与完备性、可分性2学时3、3、2L空间中的内积，正交系2学时4、4、广义Fourier级数，Bessel不等式与Parseval不等式3学时教材及主要参考书1、1、周民强，实变函数论，北京大学出版社，2001年2、2、周性伟，实变函数，科学出版社，1998年3、3、江泽坚、吴智泉编著，实变函数论北京人民出版社1978。
《实变函数》教学大纲
《实变函数》教学大纲一、课程名称：《实变函数论》二、课程性质：数学与应用数学专业必修课，信息与计算科学专业选修课先修课程：数学分析、高等代数、复变函数论、常微分方程等课程三、课程的地位及教学目的《实变函数》是在数学分析的基础上发展起来的一门学科，是数学专业的一门重要的专业基础课。
其内容主要是以n维欧氏空间上的实值函数为对象，介绍勒贝格测度和勒贝格积分理论。
《实变函数》这一课程无论在思想方法上，还是在理论上都把数学分析往前推进了一步，在经典数学与现代数学之间起着承前启后的作用。
教学目的是通过对该课程的学习，使学生掌握《实变函数》的基本理论和基本方法，特别是勒贝格测度理论和勒贝格积分理论，进一步充实、拓宽和加深已经学过的数学基础知识和分析功底，提高对数学概念和数学方法的认识水平，同时也提高学生分析抽象问题和解决应用问题的能力，为今后从事《分析学》领域的研究工作打下坚实的基础。
四、教学原则与教学方法按照数学学科的特点和规律，《实变函数》这一课程应采取精讲、讨论与自学相结合的手段。
考虑到《实变函数》这一课程具有高度的抽象性，在教学过程中应主要采用精讲的方式，个别内容可以进行讨论或留给学生自学。
采取教师讲授、师生互动讨论式和问题式的教学方法，充分调动学生的学习积极性，达到教学目的。
五、总学时68课时（含复习考试）六、课程教学内容要点及建议学时分配第一章集合（10学时）一、教学目的与要求通过对这一章内容的学习，让学生理解和掌握（1）集合的运算，重点是无穷集合的运算及集合的极限运算；（2）掌握基数概念，理解并较熟练应用伯恩斯坦定理；（3）掌握可数集和不可数集的基本知识。
二、教学原则与教学方法综合运用线性代数，数学分析的相关知识，将集合的运算推广到无穷多个集合上；引入集合间的对等概念进而给出基数概念，进而讨论与此有关的一系列相关问题，如集合列的收敛性、可数集、不可数集的性质的讨论等。
教学方法以讲解和讨论为主。
1.1 集合的概念1.2* 集合的运算（2课时）1.3* 对等与基数（4课时）1.4* 可数集与不可数集（4课时）1.5 半序集与Zorn引理（简单介绍）作业要求：完成13~15道基础性练习题，1~2提高性练习题。
实变函数教学大纲
《实变函数》教学大纲一、教学目的和要求实变函数是高等师范院校数学专业的一门必修课程。
是重要的专业基础课，对于进一步学习近代数学理论、加深对数学分析及其它有关课程的理解有着至关重要的作用。
它的任务是使学生掌握近代抽象分析的基本思想，为进一步钻研现代数学理论打下初步基础。
二、课程的教学内容该课程主要讲授经典的Lebesgue积分理论，尽量用比较简捷的方法在R n上得出主要结果。
使用Caratheodory外测度定义可测性。
详细介绍与Lebesgue 积分理论相关的有关概念：集合的势；直线上的开集、闭集和完全集的构造；测度与可测集；可测函数与依测度收敛等。
简单介绍Peano曲线；测度平移不变性；不可测集；Stieltjes积分等。
第一章集合与映射 10学时1.重点介绍映射、象与原象、一族集合的交、并、余集的象与原象、集合及其运算、集合的基数、可列集。
2.简单介绍不可列集、半序集、选择公理、Zorn引理等。
第二章点集 10学时1.系统介绍n维欧氏空间；点集的内点、外点、聚点、界点、孤立点以及点集的内部、导集、闭包等概念和相互间的关系。
2.重点介绍用邻域作为工具的这一最基本方法，以及直线上非空开集的构造定理。
3.重要例子——Cantor集及其性质。
4.简单了解Peano曲线。
第三章测度 14学时1.系统介绍建立Lebesgue测度的过程以及外测度的概念。
2.重点介绍Caratheodory条件，可测集的性质及Gδ和Fσ型集，Borel集。
3.简单介绍测度的平移不变性，不可测集。
第四章可测函数 12学时1.系统介绍可测函数的概念及可测函数的性质。
2.重点介绍依测度收敛及和它与几乎处处收敛、一致收敛之间的关系。
第五章 Lebesgue积分 18学时1.系统介绍Lebesgue积分的概念及其性质。
2.重点介绍积分的极限定理，黎曼积分与勒贝格积分的关系。
第六章微分与积分 8学时1.系统介绍有界变差函数和绝对连续函数的概念，有界变差函数的可微性与可积性。
(0195)《实变函数》复习大纲、样题及
（0195）《实变函数》复习大纲第一章集合论一、基本内容：集合、集合的运算、对等、基数、可数集、不可数集二、基本结论1、集合的运算规律2、可数集的性质（1）任何无限集必含有可数子集（2）可数集的子集至多是可数的。
即或为有限集或为可数集。
（3）可数个可数集的并集是可数集。
（4）若A中每个元素由n个互相独立的记号所决定,各记号跑遍一个可数集A={}nxxxa,,,21Λ,()()()nkxxxkkk.,2,1;,,21ΛΛ==则A为可数集。
3、常见的可数集：有理数及其无限子集。
三、基本要求：1、理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。
2、掌握集之间的并、交、差、余运算。
3、掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。
4、理解集列的收敛、单调集列的概念。
5、掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。
6、理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。
7、理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为C的集合的性质，理解不存在最大基数的定理的意义。
四、重点：正确应用集合的运算规律，证明有关集合的等式，用可数集合的性质证明某个集合是可数集合。
五、学习主要事项：集合的基数概念十分抽象，它是集合元素“个数”的推广，我们是用“对等”的方法加以定义的。
即对待的集合必有相同的基数，例如，所有可数集合有相同的基数，但是有理数集与无理数集的基数却不同，有理数集是可数集合，而无理数集是不可数集合。
我们还应该注意到，无穷集合是可以与其真子集对等的，这是无穷集合的本质特征。
第二章点集一、基本内容：度量空间、聚点、内点、界点、邻域、开集、闭集、闭包、完备集、有界集以及直线上开集和闭集的构造定理。
二、基本结论1、开集的运算性质：开集关于任意并及有限交运算是封闭的。
2、闭集的运算性质：闭集关于任意交及有限并运算是封闭的。
3、开集、闭集具有对偶性。
4、Cantor 集合的构造及性质：Cantor 集是不可数的完备的疏朗集，测度为零。
实变函数教学大纲
实变函数教学大纲一、引言实变函数是高等数学中的重要概念之一，它与实数的性质密切相关。
本教学大纲旨在介绍实变函数的基本知识和概念，帮助学生建立对实变函数的正确理解和应用能力。
二、教学目标1. 理解实变函数的定义，并能正确应用；2. 掌握实变函数的基本性质，包括有界性、连续性、可导性等；3. 能够分析实变函数的图像和性态，包括单调性、极值点、拐点等；4. 能够解决与实变函数相关的典型问题，包括求导、求极限等；5. 培养学生的创新思维和问题解决能力。
三、教学内容1. 实数与实变函数1.1 实数的定义与性质1.2 实变函数的定义与表示方式1.3 实变函数的定义域与值域2. 实变函数的基本性质2.1 实变函数的有界性2.2 实变函数的连续性2.3 实变函数的可导性2.4 实变函数的单调性与极值点2.5 实变函数的拐点与凹凸性3. 实变函数的图像与性态3.1 绘制实变函数的图像3.2 分析实变函数的性态，包括单调性、极值点、拐点等4. 实变函数的应用4.1 求实变函数的导数4.2 求实变函数的极限4.3 实变函数在数学建模中的应用案例四、教学方法1. 理论讲授：通过讲解理论知识，梳理实变函数的定义和基本性质；2. 示例分析：选择典型的实例，通过分析解决问题的步骤和方法，增加学生的实际应用能力；3. 互动探讨：通过问题导向的方式引导学生思考和讨论，激发学生的主动性和创造性思维；4. 实践训练：提供丰富的练习题和实际应用题，让学生进行实践演练，巩固知识和技能。
五、教材及参考书目1. 主教材：实变函数教程，作者：XXX，出版社：XXX2. 参考书目：实变函数导论，作者：XXX，出版社：XXX实变函数与泛函分析，作者：XXX，出版社：XXX六、教学评估与考核1. 平时成绩：包括出勤率、课堂表现和参与度等；2. 作业成绩：包括课后习题和实践应用题等；3. 期中考试：考察对基础知识和理论的掌握程度；4. 期末考试：考察对实变函数知识的综合应用和理解能力。
《实变函数》教学大纲
《实变函数》课程教学大纲一、教学大纲说明（一）课程的性质、地位、作用和任务实变函数论是数学专业的一门必修课程，它是重要的数学分支，它所讨论的测度结构是数学的四大结构之一。
实变函数在概率论、泛函分析、偏微分方程、计算数学、近代物理都有广泛的应用。
本课程的任务是使学生掌握近代分析的基本思想，加深对数学分析的理解，培养学生的数学素质，为进一步学习近代数学理论打下初步基础。
（二）课程教学的目的和要求通过本课程的学习,使学生较好地掌握实变函数论的基本思想、理论和方法，为后继专业课程、为进一步学习近代数学理论打下良好基础。
1．掌握－集合的运算, 集合的势, 可数集合, 连续势; 开集，闭集; 可测集定义、运算性质, 测度的性质, 可测集的结构; 可测函数及其性质, 依测度收敛，Riese定理, Egoroff定理, 可测函数的结构, Lebesgue积分的定义、性质, 积分的极限定理, R积分与L积分的关系，R可积的新的充要条件.2．理解－不可测集, R n中可测集上的可测函数，多元函数的Lebesgue积分, 乘积测度, Fubini定理, L空间的定义.单调函数的可微性, p3．了解－半序集，选择公理与Zorn引理, 用内外测度相等定义可测集，两种可测集定义的等价性, L-SL空间中的收敛概测度与L-S积分, 有界变差函数的连续性与可导性, 有界变差函数与绝对连续函数, p念.（三）课程教学方法与手段本课程采用讲授、习题课和自学相结合的方法.老师讲授百分之八十的基本内容, 其余内容由学生自学、教师辅导.（四）课程与其他课程的联系实变函数论是数学分析的后继课程,也涉及线性代数的知识, 因而先修课程有：数学分析、高等代数和解析几何.泛函分析，现代概率论、现代偏微分方程理论、计算数学理论等课程在本课程后开设.（五）教材与教学参考书教材：曹广福,《实变函数论与泛函分析》上册,高等教育出版社，2004年教学参考书：1、周民强,《实变函数》,北京大学出版社，1995年6月2、程其襄等,《实变函数与泛函分析基础》,高等教育出版社，1999年6月3、郑维行等,《实变函数与泛函分析概要》,高等教育出版社，2005年4、夏道行等,《实变函数论与泛函分析》，高等教育出版社，1985年6月二、教课程的教学内容、重点和难点第一章集合教学内容：集合的定义及其运算, 集合序列的上、下限集, 域与 －域，势的定义与Bernstein定理, 可数集合, 连续势, p进位表数法, 聚点, 内点, 边界点, Bolzano-weirstrass定理, 开集, 闭集, 完全集, 直线上点集重点：集合及其运算, 集合的势, 可数集合, 不可数集合, 聚点，内点，边界点, 开集，闭集，完全集，Cantor三分集难点：集列的上、下极限集, 集合的基数问题的证明. 正确理解、运用聚点等基本概念和有关定理第二章测度论教学内容：外测度, 可测集及其性质，开集的可测性, Lebesgue可测集的结构重点：可测集定义及运算性质, 测度的性质, 可测集的结构难点：可测集的概念、可测集结构的理解和应用第三章可测函数教学内容：可测函数的定义, 可测函数的性质, Egoroff定理, Lusin定理, 依测度收敛重点：可测函数定义及其性质，可测函数的结构，可测函数的收敛难点：依测度收敛, 可测函数各种收敛的关系第四章积分理论教学内容：有界可测函数积分的定义及其性质, Lebesgue积分的性质, 一般可测函数的积分, Riemann积分与Lebesgue积分的关系, 非负可测函数积分的极限, 控制收敛定理, 乘积空上测度, FubiniL空间的定义, p L空间中的收定理, 有界变差函数的连续性与可导性, 有界变差函数与绝对连续函数, p敛概念重点：Lebesgue积分的定义、性质, 积分的极限定理, R积分与L积分的关系，R可积的新的充要条L空间的定义件, pL空间中的收难点：积分的极限定理理解及应用, Fubini定理, 有界变差函数的连续性与可导性, p敛概念三、学时分配。
1.《实变函数论》考试大纲
《实变函数论》考试大纲一、课程简介《实变函数》是我校数学与统计各专业的一门重要专业基础课，它不仅是学习泛函分析、概率论、数理统计、测度论、计算方法、数理方程、随机过程等后继课程的一种工具，而且是一种高级思维模式；它不仅传播一门知识，而且培养一种思维品质。
因此，这门课程的好坏直接影响到21世纪人才的培养，进而影响到我国的科技发展水平与现代化进程。
实变函数论是现代数学的重要基础，人们常以实变函数理论的出现作为现代数学现代分析数学诞生的标志。
实变函数的中心任务是建立一种较之旧的黎曼积分更为灵活、有效的勒贝格（Lebesgue）积分理论。
采用集合论的思想方法研究数学分析中的问题是实变函数的主要特点。
目前，实变函数理论已渗透到现代数学的许多分支，它在数学各个分支的应用成为现代数学的显著特征。
由于思想方法独特，它的许多理论比起经典的分析学要深刻得多，应用起来也便利得多。
例如积分与极限交换不再要求一致收敛；重积分化为累次积分只需函数是可积的，等等。
另外，许多初等数学的基本概念和内容也需要实变函数的理论才能解释清楚。
二、考查目标主要考查学生对《实变函数》中基数，可列集，不可列集等；n维欧氏空间，开集，闭集，紧致集等；勒贝格测度，包括勒贝格测度的引入，内测度，外测度，可测集的性质；可测函数，包括可测函数的基本性质，可测函数的收敛性，可测函数的构造；勒贝格积分，包括勒贝格积分的引入，积分性质，积分序列的极限等各项知识的掌握情况，以及运用这些知识研究与解决分析问题的能力。
三、考试内容及要求第一章集合（一）考核知识点集合之间的交、差、余运算。
集列的上、下限集的概念及其交并表示。
单调集列的收敛。
――映射与集合对等及集合基数。
可数集，不可数集、基数为c的集合。
（二）考核要求掌握集合及其运算。
集的对等及其基数。
掌握集之间的交、差、余运算。
掌握集列的概念及其交并表示。
理解单调集列的概念。
掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。
实变函数课程教学大纲
《实变函数》课程教学大纲一、课程基本信息
二、课程目标及对毕业要求指标点的支撑
三、教学内容及进度安排
四、课程考核
注：各类考核评价的具体评分标准见《附录：各类考核评分标准表》
五、教材及参考资料
[1]程其襄, 张奠宙等. 实变函数与泛函分析基础（第四版）[M]. 北京: 高等教育出版社,
2019, ISBN: 9787040508109
[2]夏道行等. 实变函数论与泛函分析(第三版)[M], 北京: 高等教育出版社，2010, ISBN:
9787040274318
[3]江泽坚,吴智泉，纪友清.实变函数论(第三版)[M], 北京: 高等教育出版社，2007, ISBN:
9787040226430
[4]曹广福. 实变函数论与泛函分析(第三版)[M], 北京: 高等教育出版社, 2011, ISBN:
9787040316742
六、教学条件
需要多媒体教室，电脑要安装好Windows 7、Office 2010、MathType 6.9、Mathematica l1以上版本的正版软件。
附录：各类考核评分标准表
实变函数平时作业评分标准
实变函数设计评分标准
注：评分标准的分数段划分可以根据课程需要自行设计。
《实变函数》课程教学大纲
课程教学大纲《实变函数》（适用于数学与应用数学专业）数学系2007年8月课程编号：04024212《实变函数》课程教学大纲（Real variable function）适用专业：数学与应用数学，本科总学时：72 (均为理论) 学分：4制定单位：数学系执笔者：张菊芳审核人：高巧琴编写日期：2007年8月20日一、课程性质、目的和任务《实变函数论》是高等师范院校数学与应用数学专业的一门必修课程。
它主要应用点集分析的方法建立n维欧氏空间中点集的Lebesgue测度理论和点集上定义的Lebesgue 积分理论。
通过这门课程的教学应使学生掌握近代抽象分析的基本思想，系统掌握Lebesgue测度和Lebesgue 积分理论，着重培养学生的思维能力和逻辑推理能力，为进一步钻研现代数学理论打下基础。
该课程的内容可归结为三大论：集合论、测度论、积分论,主要讲解Cantor 开创的集合的基论，Lebesgue 关于集合测度、函数的可测性、可测函数积分的理论。
一元函数的Lebesgue 积分是核心内容。
二、课程教学的基本要求第一章集合1．重点：集合的基本概念、集合的基数（特别是可数基数与连续基数）、一一映射和Bernstein定理。
2．难点：上、下限集概念及做一一映射和判定集合的势。
注意区别有限集与无限集，能否与真子集对等是区别两者的关键。
3．教学基本要求§ 1.1 集合弄清集合的基本概念。
§ 1.2集合的运算熟练掌握集合的并、交、差等运算，正确地运用De.Morgan公式，熟悉上下极限集的并交表达式，掌握单调集列的极限集。
§ 1.3 映射、对等和集合的基数理解映射、对等和基数的概念，理解一一对应的思想，理解并能应用伯恩斯坦定理，掌握验证二集对等的基本方法。
§ 1.4 可数集合深刻理解可数集及其基数的定义，理解可数集是最小的无限集，掌握本节中几个定理及其证明方法，并能运用它们证明一个集合为可数集。
实变函数论教学大纲
218.114.1实变函数论教学大纲(Functions of Real Variable)学分数 3 周学时 3+1一、说明1、课程名称：实变函数论（一学期课程）学时：（3+1）×182、教学目的和要求（1）课程性质：本课程是数学系基础课，为数学系本科学生所必修。
（2）基本内容：本课程主要是以n维Euclid空间及其上实值函数为背景，运用点集分析的方法建立测度与积分的理论，具体内容包括：集合、映射，R n中点集的拓朴，可测集和可测函数，积分理论，微分和不定积分。
（3）基本要求：通过本课程的学习，学生应熟练掌握关于可测集、可测函数的概念和性质，深刻理解并掌握Lebesgue积分的理论，并在学习过程中形成抽象思维能力和逻辑推理能力的一个飞跃。
3、教学方式：课堂讲授+习题课训练4、考试方式：闭卷笔试5、教材：《实变函数论与泛函分析》（上册），夏道行等编，高等教育出版社，1984《实变函数与泛函分析》，自编讲义参考书：《实变函数论》，那汤松，高等教育出版社，1958《Real and Abstract Analysis》, Hewitt E., Stromberg K., Springer-Verlag,1975.二、讲授纲要（其中学时数不包括习题课时间）第一章集合和R n中的点集（10学时）§1 集和集的运算（2学时）§2 映射和势（4学时）§3 R n中的点集（4学时）本章教学要求熟练掌握集合的代数运算和极限运算，能应用Bernstein定理确定一些集合的势，熟悉R n的点集拓扑中关于开集、闭集、稠密与疏朗等基本概念。
第二章测度（12学时）§1 外测度与可测集（4学时）§2 测度及其性质（4学时）§3 可测集类（4学时）本章教学要求：掌握外测度的概念，正确理解Caratheudory条件，熟练掌握测度及其性质，熟悉一些重要的可测集类，理解不可测集的典型例子。
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实变函数论简介
课程号：06110190
课程名称：实变函数论英文名称：The function theory of real variables 周学时：3-0 学分：3
预修要求：数学分析
内容简介：
《实变函数》的内容包含四大部分：第一部分为勒贝格测度，包括勒贝格测度的引人，内测度，外测度，可测集的性质；第二部分为可测函数，包括可测函数的基本性质，可测函数的收敛性，可测函数的构造；第三部分为勒贝格积分，包括勒贝格积分的引人，积分性质，积分序列的极限，R积分L积分的比较等；第四部分为函数空间LP.
选用教材或参考书：
《实变函数与泛函分析概要》郑维行，王声望，高等教育出版社
《实变函数论》教学大纲
一、课程的教学目的和基本要求
实变函数是数学系的重要基础课，也是近代数学中最重要，最基本的一个分分支，同时这门课程又是许多后续课程如泛函分析，概率论，微分几何等的基础。
本课程的教学目的是使学生掌握实变函数的基本概念，基本知识，诸如集合论，勒贝格测度论，可测函数，勒贝格可积函数，并了解为什么要引入
勒贝格测度，勒贝格可积函数理论及整套理论的系统性。
通过本学科的学习，培
养学生逻辑思维能力及论证能力，并用所学的知识解决某些数学分析中遗留下的
问题，为日后更高阶段的学习，特别是泛函分析及研究生阶段的实分析学习打下
坚实的基础。
二．相关教学环节安排
1．每章2学时习题课，
2．每周布置作业，量为2-3小时。
3．
三．课程主要内容及学时分配
每周3学时，共17周。
主要内容：
（一）集与点集（10学时）
1．集及其运算1学时
2．映射，集的对等，可列集※1学时
3．一维开集，闭集及其性质2学时
4．开集的构造※2学时
5．集的势，序集※2学时
6．习题课2学时
（二）勒贝格测度（10学时）
1．有界点集的内、外测度，可测集※2学时
2．可测集的性质※2学时
3．关于测度的几点评注2学时
4．环与环上定义的测度2学时
5．习题课2学时
（三）可测函数（10学时）
1．可测函数的基本性质※3学时
2．可测函数的收敛性※3学时
3．可测函数的构造※2学时
4．习题课2学时
（四）勒贝格积分（12学时）
1．勒贝格积分的引入※2学时
2．积分的性质※2学时
3．积分序列的极限2学时
4．R积分与L积分的比较※2学时
5．乘积测度与傅比尼定理2学时
6．习题课2学时
（五）函数空间Lp（8学时）
1．Lp空间，完备性※2学时
2．Lp空间的可分性2学时
3．付里叶变式概要2学时
4．习题课2学时
（六）复习课（3学时）
四．教材及主要参考书
《实变函数与泛函分析概要》郑维行，王声望，高等教育出版社。