大学物理上册《刚体定轴转动》PPT课件.pdf

转轴
i
转轴 Z
O ri
vi
转动平面
Ｐ
1、 质点系对固定点的角动量定理
设有一质点系，共有 n个质点，其第 i个质点受力为
n1
Fi外＋ f ji
j1
则i质点对固定点 o的角动量定理为
ri ( Fi外
n1
f ji )
j1
d dt (ri mi vi )
n
ri Fi外
i1
n n1
dn
ri
i j1
f ji
2-5 角动量 角动量守恒定律 一 质点的角动量
1 力矩
M rF rF sin
定义 ：作用于质点的力 对惯性系中某参考点的 力矩，等于力的作用点 对该点的位矢与力的矢 积，即
M 的方向垂直于 r和 F所决定的 平面，指向用右手法则确定。
M rF
在直角坐标系中，表示式为
M x yF z zF y M y zF x xF z
注意：
何时 M 为零？
a. F 0
b. 力的作用线与轴相交 c. 受到有心力作用
讨论：
以下各系统哪些量守恒？
F
机械能守恒，动量不守恒 机械能守恒，动量也守恒
F
机械能不守恒，动量守恒
动量不守恒，角动量守恒
2.匀速圆周运动的质点受到向心力的作用，所 以其角动量一定守恒。
L
rO
mv F
O’
r
L
mv F
M z xF y yF x
注意：
r 1. 为物体相对于指定参考点的位矢，所以求物体所
受的力矩时必须先指明参考点，相对于不同的参考点，
r 对应的位矢 不同。物体所受的力矩不同。
2.何时 M 为零？
a. F 0
b. 力的作用线与轴相交 c. 受到有心力作用
3.如果力 F 的方向始终指向一个固定点，则该力就称为
平行于 Z轴
垂直于 Z轴
oi ri
vi
ｒiZ
Δｍi Ｐ
ｒio
Li ri
mi vi riZ
mi vi O
质点系对轴的角动量定理
质点系对 z轴的角动量定理为
d M iz dt
(rim i vi sin i )
d (
dt
质点系内各质点均绕同一轴、并以相同角速度
周运动，则这时
ri mi vi )
作圆
M iz
有心力 ，该固定点称为这个力的 力心 。 受到有心力作用的物体，相对于力心，其所受力矩为零。
2 质点的角动量定理
M rF
F dP dt
M r dP d (r P) dr P
dt dt
dt
P mv dr
v dt
dr P v mv 0 dt
M d (r P) dt
定义： L r P —— 角动量
dL M
小球使之在光滑的桌面上作圆周运动，球的
速率 vo ，半径为 ro 。 问：当缓慢拉下绳的另一端，圆的半径变为 r 时，小球的速率 v是多少？
解：因为通过转轴的合力矩为零，所以小球的角动量 守恒
Z
vo
ro
L
mrovo mr v
v
ro vo
r
F
2-6 刚体的定轴转动 一 刚体定轴转动的描述
：在外力作用下，形状和大小都不发生变化 的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）
d [( dt
mi ri 2 ) ]
令转动惯量 J
m ri
—— 刚体 转动 时 惯性大小的 量 度
d
M iz
J dt
dLz dt
d
M iz
J dt
J
式中 Lz＝Jω，即为质点系对 z轴的角动量的表示 式。也适用于刚体系统。
三 刚体的转动定律
d
M iz J
J
dt
绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上 的合外力矩 成正比，与刚体的 转动惯量 成反比 .
dt
i
(ri
1
mi vi )
一对内力的力矩之和：
M ' r j f ji ri f ji
r j f ji ri f ji
(r j ri ) f ji
rij f ji
0
f ji
i
j
ri
rij
rj
O
零，因此内力矩之总和为零
的力矩之和为
n
ri Fi外
i1
dn
( dt i 1
ri
mi vi )
作用于质点系的外力矩的矢量和等于质点系 角动量对时间的变化率， 这就是质点系对固定点 的角动量定理。
大小 L rm v sin
o r mv
90
A
L rmv mr 2 （圆运动）
3. 质量为 m的汽车 ,以速率 v沿直线运动 ,求它对 O点的角 动量为多少 ?对 P点的角动量为多少 ?
LP 0 LO mvd
P
m
d
v
d o
求角动量时必须先指明参考点 !
若 M 0 ，则 L r mv 常数
质点所受外力对某参考点的力矩为零，则质点 对该参考点的角动量守恒。这就是质点的角动 量守恒定律。
注意：
内力不改变系统的总角动量！
问题 :
当我们用力 F 推门时，该 力可以分解为垂直于门轴方向的 力和平行于门轴方向的力，平行 于门轴方向的力对门的转动是否 起作用？
F //
Fra Baidu bibliotekF⊥ F
M i rio Fi
垂直于 Z轴
Fi Fi FiZ rio Fi rio FiZ
rio ri riZ
Z
rio Fi ri Fi riZ Fi
dt
—— 角动量定理
作用在质点上的力矩等于质点角动量对时间的变 化率。此即质点对固定点的角动量定理。
t
Mdt
t0
L
L0
角动量
t
Mdt
t0
叫冲量矩
1. L r P L mvr sin
L 的方向符合右手法则 .
z
L mv
r
2.质点在垂直于 z 轴平面
上以角速度 作半径为 r
z
的圆运动，相对圆心
Lr prm
ω
M iZ ri Fi
Φi表示 F i⊥与 r i的夹角
垂直于 Z轴
M iZ ri Fi sin i
3. 整个刚体受合外力矩沿 Z轴的分量：
MZ
M iZ
ri Fi sin i
F iZ F i
oi
ｒiZ
ri
F i⊥
p φi
ｒio
O
第 i 个质点对 O点角动量
Z ω
Li rio mi vi rio ri riZ
小贴士：
刚体转动定律在定轴转动中的地位相当于牛顿第二 定律在质点力学中的地位，且由此可以看出，定轴转动中的转 动惯量相当于质点力学中的质量，都是惯性大小的量度。
刚体的运动形式：平动、转动 .
平动：若刚体中所有点 的运动轨迹都保持完全相同， 或者说刚体内任意两点间的 连线总是平行于它们的初始 位置间的连线 .
刚体平动
质点运动
转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动 . 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
+ 刚体的一般运动 质心的平动
绕质心的转动
刚体绕某一固定轴转动时 ,其上各质元都在垂直于 转轴的平面内作圆周运动 ,且所有质元的矢径在相同的 时间内转过的角度相同 ,根据这一特点 ,常取垂直于转轴 的平面为参考系 ,这个平面称转动平面 。虽然刚体上各 质元的线速度、 加速度一般是不同的，但由于各质元 的相对位置保持不变 ,所以描述各质元运动的角量 ,如角 位移、 角速度 和角加速度都是一样的。因此描述刚体 的运动时 ,用角量最为方便。