利用轴对称求最短距离

利用轴对称求最短距离

轴对称知识在近来的中考题中，经常出现，笔者浏览最近几年各地的中考试题，发现各地中考试题除考察轴对称图形的基本知识和性质，还考察了利用轴对称知识解决最短距离问题，这类问题在各地中考试题中，屡见不鲜，如何利用轴对称的性质解决最短距离问题呢？根据本人多年从事初三数学教学工作的一些体会。概括一些一些常见的题型。

一、基础知识

如图直线l 同侧有两点A 、B ，在直线l 上找点P ，使得PA+PB 最短，并简要说明理由。解：作点关于直线l 的对称点A ′，连A ′B 交直线l 于点P,则点P 即为所求，此时PA+PB=PA ′+PB= A ′B 。

A 1

二、典型例题：

A 组（1）以菱形为载体的最短距离问题：

如图所示，菱形ABCD 中， ∠ BAD=60°，AB=4，M 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PM+PB 的最小值是_________。

解：∵菱形ABCD 是以AC 为对称轴的轴对称图形。 ∴点B 关于直线AC 的对称点为点D,

A

B

L

P

连接DM 交AC 于点P,则PM+PB 的最小值即为线段DM,此时DM=32 ∴PM+PM 的最小值为32.

（2）以矩形为载体求最短距离问题

在矩形ABCD 中，AB=2，AD=4，E 为为边CD 中点。P 为边BC 上的任一点，求PA+EP 的最小值。

解：作点A 关于BC 的对称点A ′，连A ′E 交BC 于点P,则点P 为所求，此时PA+PE 的最小值即为A ′E,

过点E ，作EF ⊥AB ， A ′E=2243 =5 ∴PA+PE 的最小值为5。

M

A A 1

E

D

如图所示，正方形ABCD 的边长为2，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上找一点P,使PD+PE 最小，则这个最小值为_________.

解：∵正方形ABCD 是以AC 为对称轴的轴对称图形。 ∴点B 关于点D 关于AC 对称 ∵BE 即为PD+PE 的最小值 ∴PD+PE 的最小值为2

(4) 以圆形为载体的最短距离问题：

如图，⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB, ∠ABC=60°，P 是OB 上一动点，求PA+PC 的最小值。

解：延长AO 交⊙O 于点A 1，则点A 关于直线OA 的对称点为A 1，连A 1C 交OB 于点P ，则PA+PC 的最小值为A 1C ，连AC ，RT

△A A 1

C 中，COS300

=41C A A 1C=4 2

3

=32，PA+PC 的最小值是32

D

B 组：以二次函数为载体的最短距离问题：

已知：如图，抛物线y=x ²+2x-3与x 轴交与

A 、

B 两点，与y 轴交与点C,,对称轴上存在一点P,使得△PB

C 的周长最小，请求出点P 的坐标。

解：∵点A 、B 关于对称轴对称 ∴连AC

C 组：拓展延伸

（1） 如图，△ABC 中，∠BAC=40°，D 为AC 边中点，AE 平分

∠BAC ，且

AE=AC,点F 是AB 边上的一动点，若AE=3，求FD+FE

的最小值。

解：作点E 交于AC 的对称点M ，连DM ，交AB 于点F,则点F 即

为所求，此时，FD+FE 的最小值为MD ， 易知∠1=∠2=∠3=20° ∴∠MAC=60°， 易证AM=AE ，而AE=AC ， ∴AM=AC

∴△AMC 为等边三角形，而D 为AC 中点 ∴MD ⊥AC

Rt △ADM 中，tan60°=AD

MD

∴MD=23

即FD+FE 的最小值为23

(2)在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在X 轴、Y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D 为边OB 的中点。

①若E 为边OA 上的一个动点，当？CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；

C

A

E

H

B M F

D

②若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标。

解①：作点D 关于X 轴对称点D ′，连D ′C 交X 轴与点E,则点E 即为所求D(1,0)

解②：∵EF=2，取CM=2作D 关于X 轴对称点D ′，连D ′M,交X 轴于点E,∵M(1,4) D ′(0，-2)则D ′M 的解析式

Y=kx+b 4=k+b b=-2

D ′M 的解析式为 y=bx-2 令y=0 ∴ x=3

1

E(31，0)

F(3

7

，0)

(3)（2010南通）已知抛物线Y=aX ²+bx+c 经过A(-4,3)、

B(2,0)

x

两点，当X=3,和X=-3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等。经过C(0，-2)的直线l 与x 轴平行，O 为坐标原点。

(1) 求直线AB 和这这点抛物线的解析式；

(2) 以A 为圆心，AO 为半径的圆记为⊙A,判断直线L 与⊙A 的位置关系，并说明理由；

(3) 设直线AB 上点D,的横坐标为-1，P （M,N ）是抛物线Y=ax ²+bx+c 上的动点当△PDO 的周长最小时，求四边形CODP 的面积。 综上所诉，笔者认为：利用轴对称知识解决最小值问题，只要在复杂的图形找到基本图形—A 点关于直线L 的对称点A ′，连AA ′B ，就能解决关于轴对称图形求最小值问题。 解：（1）设直线AB 的解析式为y ＝px ＋q

则⎩⎪⎨⎪⎧3＝－4p ＋q 0＝2p ＋q 解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－21q ＝1

∴直线AB 的解析式为y ＝－2

1x ＋1 ·························· 2分

∵当x ＝3和x ＝－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标

相等

∴抛物线的对称轴为y 轴，∴b ＝0，∴y ＝ax 2

＋c 把A （－4，3）、B （2，0）代入，得：

⎩⎪⎨⎪⎧3＝16a ＋c 0＝4a ＋c 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝41c ＝－1

∴抛物线的解析式为y ＝4

1x 2

－14分

（2）∵A （－4，3），∴AO ＝2243

＋＝5，即⊙A 的半径为5 ∵经过点C （0，－2）的直线l 与x 轴平行

∴直线l 的解析式为y ＝－2，∴点A 到直线l 的距离为

5