第5章扭转应力、强度和刚体条件(4,5)

d τ G γ Gρ dx
(b)
结论：横截面上任一点的剪应力与该点到圆心的距离成正 比。
T
3.静力学方面
dA
dA T
A
o

dA
d G dA T dx A
d 2 G dA T dx A
d T dx G I p
I p 2 dA 极惯性矩
max T T 3
Wp πd 16
T [ ] π 3 d 16
16T 3 16(1.5 103 N m) 0.0535 m d 6 π[ ] π(50 10 Pa)
3
取： d 54 mm
2. 确定空心圆轴内、外径
3 πdo Wp 14 16
3


A 63.66MPa
max
T Wp
32

1000 0.04 3 (1 0.5 4 ) 16
max 84.88MPa
min
Td Ip 2 42.44MP a
[例5-4]一厚度为30mm、内直径为230mm 的空心圆管， 承受扭矩T=180 kN· m 。试求管中的最大剪应力，使用： (1)薄壁管的近似理论；(2)精确的扭转理论。 解：(1) 利用薄壁管的近似理论可求得
§5-4 等直圆杆扭转时的应力·强度条件
推导应力公式的思路：
变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系
观察变形 提出假设
deformation geometric relation physical relation
Examine the deformation then propose the hypothesis
C Me2
B
C
（2）求轴的最大切应力, 并指出其位置
M1
M2
max
Tmax Wt
Tmax πD 4 (1 ) 16
3
A l
B l T
C
34.5MPa
max
最大切应力发生在截面的周边上,且 垂直于半径.
max
二.斜截面上的应力
F 0
dA dA cos sin
WP Ip
d4
32
Ip d /2
D
o

d3
16
max
圆环
Ip
WP
D4
32
Ip

d4
32
Ip D2

D4
32
3
1
4
max


D
16
1
4
d
D
[例5-3]内外径分别为20mm和40mm的空心圆截面轴，受 扭矩T=1kN· m作用，计算横截面上A点的剪应力及横截 面上的最大和最小剪应力。 TA 1000 0.015 解： A 0.04 4 Ip (1 0.5 4 )
3
max ) / max 9% 62.2MPa ( max max
例5-5 图示空心圆轴外径D=100mm,内径d=80mm, M1=6kN· m, M2=4kN· m, 材料的切变模量 G=80GPa. （1） 画轴的扭矩图； （2） 求轴的最大切应力,并指出其位置.
T 1.55103 max 23MPa [ ] 3 Wt 0.07 16
此轴满足强度要求。
例 5-9 已知 T=1.5 kN . m，[ ] = 50 MPa，试根据强度条 件设计实心圆轴与 = 0.9 的空心圆轴，并进行比较。 解：1. 确定实心圆轴直径
max [ ]
[例5-6] 如图所示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120mm， BC段直径d2=100mm。扭转力偶矩为MA=22kN.m， MB=36kN· m，Mc=14kN· m。已知材料的许用剪应 力 [ ] 80MPa ，试校核该轴的强度。 解： 求得两段的扭矩， 并绘出扭矩图。 AB段之扭矩比BC段之扭 矩大，但两段轴的直径 不同，需要分别校核两 段轴的强度。
两轴材料、长度均相同,故两轴的重量比等于两轴的横截面
面积之比
π 2 2 2 2 ( D d ) 2 2 D ( 1 ) A2 4 2 2 2 1 . 194 ( 1 0 . 8 ) 0.512 2 π 2 A1 d 1 d1 4
在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻,即节省材料.
例 5-9 R0＝50 mm的薄壁圆管，左、右段的壁厚分别 为 1 5 mm，2 4 mm，m = 3500 N . m/m，l = 1 m， [] 50 MPa，试校核圆管强度。
解：1. 扭矩分析
2. 强度校核
危险截面： 截面 A与 B
ml TA 44.6 MPa [ ] 2 2 2πR0 1 2πR0 1 ml TB 2 27.9 MPa [ ] B 2 2 2πR0 2 2πR0 2
a T
b

A
横截面上距形心为的任 一点处应变 γ
E
O1
T

G D G' D' dx dx
O2 d

a
dx d d (a)
dx
Байду номын сангаас
b G O2 d G'
d/2

A
E
O1


D
结论：横截面上任一点的剪应变与该 点到圆心的距离成正比。
D'
2. 物理方面
剪应力方向垂直于半径。根据剪切胡克定律, 当剪应力不超 过材料的剪切比例极限时
例5-7 实心圆轴1和空心圆轴2（图a、b）材料,扭转力偶矩M 和长度l 均相等,最大切应力也相等.若空心圆轴的内外径之比
= 0.8 ,试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴
的重量比. 分析：设实心圆截面直径为d1,空心 圆截面的内、外径分别为 d2、 D2 ; 又扭 d l (a) d2 D2
低碳钢扭转破坏断口
铸铁扭转破坏试验演示
铸铁扭转破坏断口
铸铁扭转破坏试验过 程
铸铁扭转破坏断口
思考：低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破 坏的断口分别如图a及图b所示，试问为什么它们 的断口形式不同？
三.强度条件
τ max [ τ ] 即 Tmax [τ ] Wp
强度条件解决三问题 (1)校核杆的强度:已知荷载、截面尺寸、许用切应 力，验算构件是否满足强度条件； (2)设计截面:已知荷载、许用切应力 ,按强度条 件，确定截面尺寸； (3)确定许可载荷:已知杆的截面尺寸、许用切应力， 确定许用荷载。
M1
M2
A l
B l
C
解:（1）画轴的扭矩图
BC段 T1+Me2=0 A l
2
1
Me1
Me2
T1 = -4kN· m （ -） AB段 T2+Me2-Me1=0 （+）
B l T1
C Me2
T2 =2kN· m
最大扭矩发生在BC段 Tmax=4kN· m 2kN· m +
T2 Me1
_ 4kN· m
例5-8 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图， 许用剪应力 []=30M Pa, 试校核其强度。
解：①求扭矩及扭矩图 N 103 TBC m 2n
T
150103 (N m) 2 3.1415.4 1.55(kN m)
m
x
②计算并校核剪应力强度
变形的分布规律
Distribution regularity of deformation
应力的分布规律
static relation
Distribution regularity of stress
建立公式
Establish the formula
一、圆杆扭转时横截面上的应力
从三个方面 1. 变形几何方面 来推导应力：2.物理方面 3.静力学方面
16T π 3 do (1 4) 16
[ ]
16T do 76.3 mm 4 π (1 )[ ]
di do 68.7mm
取：do 76 mm， di 68 mm
3. 重量比较
π 2 2 (do di ) 4 39.5% π 2 d 4
空心轴远比 实心轴轻
D1 由 (1 0.5 ) 2 (1 0.5 ) 得 2 4 4 D T1 T 由 [ ] 3 3 D D1 4 (1 4 ) (1 ) 16 16 3 T1 D1 得 23 / 2 2.828 T D
2 2
D12
D 2
dAsin cos 0
dx



dy
sin 2
F 0 cos2
n
τ0 τ max
45 max 45 min
o o

x
低碳钢扭转试验演示
低碳钢扭转破坏断口
低碳钢扭转试验开始
低碳钢扭转试验结束
A
练习：一空心圆轴，内外径之比为α=0.5，两端受扭转力偶矩作 用，最大许可扭矩为Ｔ，若将轴的横截面面积增加一倍，内外 径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为Ｔ的多少倍？（按强 度计算）。 解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面积增大一 倍后内外径分别变为d1 、 D1 ，最大许可扭矩为Ｔ1
1.变形几何方面
观察到下列现象:
(1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离没变化 (2)纵向线仍近似为直线, 但都倾斜了同一角度γ (3）表面方格变为菱形。 平面假设： 变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性 平面一样绕轴线旋转了一个角度。