06两点确定一条直线
两点确定一条直线公式
两点确定一条直线公式
两点确定一条直线公式如下：
点斜式：已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)
直线方程是y-y1=k(x-x1)
但要注意两个特例：
a当直线的斜率为0°时直线的方程是y=y1；
b当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，直线方程是x=x1；两点式：已知直线l上的两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1≠x2) 直线方程是(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)
也要注意两个特例：
A、当x1=x2时，直线方程是x=x1
B、当y1=y2时，直线方程是y=y1。
斜截式：已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为b；
直线方程为y=kx+b。
直线方程一般式斜率
直线方程的一般式：Ax+By+C=0（A≠0&&B≠0）【适用于所有直线】。
斜率是指一条直线与平面直角坐标系横轴正半轴方向的夹角的正切值，即该直线相对于该坐标系的斜率，一般式公式：k=-A/B。
横截距是指一条直线与横轴相交的点(a,0)与原点的距离，一般式的公式：a=-C/A。
纵截距是指一条直线与纵轴相交的点(0,b)与原点的距离，一般式的公式：b=-C/B。
人教版七年级上数学第4章：4.2直线、射线、线段(含答案)
4.2直线、射线、线段知识要点:1.定义：一点在空间沿着一个方向及它的相反方向运动，所形成的图形就是直线．2.直线性质（1）经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了3.定义：直线上的一点和它一旁的部分叫做射线．4.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长5.定义：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段．6.特征：线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短．一、单选题1．如图所示，已知线段AD＞BC，则线段AC与BD的关系是（）A．AC＞BD B．AC＝BD C．AC＜BD D．不能确定2．下列说法：①过一点可以作无数条直线；②两点确定一条直线；③两直线相交，只有一个交点；④过平面内三点只能画一条直线．其中正确的个数是( )A．4个B．3个C．2个D．1个3．下列画图语句中正确的是（）A．画射线OP=5cm B．画射线OA的反向延长线C．画出A、B两点的中点D．画出A、B两点的距离4．已知点P在直线a上，也在直线b上，但不在直线c上，且直线a，b，c两两相交．符合以上条件的图形是()A. B. C. D.5．若点B在直线AC上，AB=10，BC=5，则A、C两点间的距离是（）A．5 B．15 C．5或15 D．不能确定6．如图，点C在线段AB上，点D是AC的中点，如果CB=CD，AB=7cm，那么BC的长为（）A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm7．下列说法错误的是（）A．两点之间的所有连线中，线段最短B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行C．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行D．同一个平面上，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直8．下列说法正确的是( )A．射线PA和射线AP是同一条射线B．射线OA的长度是12cmC．直线ab、cd相交于点MD．两点确定一条直线9．下列表示线段的方法中，正确的是( )A．线段A B．线段AB C．线段ab D．线段Ab10．在开会前，工作人员进行会场布置，如图为工作人员在主席台上由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”摆放整齐的茶杯，这样做的理由是（）A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线C．垂线段最短D．过一点可以作无数条直线二、填空题11．如图，使用直尺作图，看图填空：延长线段______ 到______，使BC=2AB．12．已知线段AB与直线CD互相垂直，垂足为点O，且AO＝5 cm，BO＝3 cm，则线段AB 的长为______________．13．下列说法中①两点之间，直线最短；②经过直线外一点，能作一条直线与这条直线平行；③和已知直线垂直的直线有且只有一条；④在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．正确的是__________．(只需填写序号)14．如图，线段AB的长为8厘米，C为线段AB上任意一点，若M为线段AC的中点，N 为线段CB的中点，则线段MN的长是________三、解答题15．已知:线段a、b.求作：线段AB，使AB=2b-a.16．已知∠1和线段a,b，如图（1）按下列步骤作图（不写作法,保留作图痕迹）①先作∠AOB，使∠AOB=∠1.②在OA边上截取OC，使OC=a.③在OB边上截取OD，使OD=b.（2）利用刻度尺比较OC+OD与CD的大小.17．如图．B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD=3：2：5，E、F分别是AB、CD的中点，且EF=24，求线段AB、BC、CD的长．18．如图，已知线段AB，反向延长AB到点C，使AC=12AB，D是AC的中点，若CD=2，求AB的长.答案1．A2．B3．B4．D5．C6．A7．B8．D9．B10．B11．AB， C.12．8 cm或2 cm.13．②、④.14．4cm15．解：在直线l上顺次截取AD=b，DC=b，在线段AC上截取CB=a，则线段AB为所求作的线段.16．解：(1)根据以上步骤可作图形，如图，(2)通过利用刻度尺测量可知OC+OD>CD.17．设AB=3x，则BC=2x，CD=5x，∵E、F分别是AB、CD的中点，∴BE=32x，CF=52x，∵BE+BC+CF=EF,且EF＝24，∴32x+2x+52x=24，解得x=4，∴AB=12，BC=8，CD=20．18．∵D是AC的中点，∴AC=2CD，∵CD=2cm，∴AC=4cm，∵AC= 12 AB，∴AB=2AC，∴AB=2×4 cm =8cm。
初中数学定义、定理及性质全集
1、直线的性质：两点确定一条直线。
2、两点的所有连线中，线段最短。
（即两点之间，线段最短。
）3、余角定义：如果两个角的和等于90̊，就说这两个角互为余角。
性质：等角的余角相等。
【补角定义、性质略】4、垂线的性质（1）：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（2）：垂线段最短。
5、平行公理（1）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
（2）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
6、平行线的判定：（1）同位角相等，两直线平行。
（2）内错角相等，两直线平行。
（3）同旁内角互补，两直线平行。
7、平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等。
（2）、（3）略。
8、几个距离：（1）两点之间的距离。
（2）点到直线的距离。
（3）两条平行线的距离。
9、几种图形变换：平移、旋转、轴对称。
10、三角形三边关系定理：三角形两边的和大于第三边。
11、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180º。
多边形的内角和等于（n-2）・180°；多边形的外角和等于360º；12、三角形的外角定理：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
13、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
全等三角形的判定：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL(Rt∆专用）。
14、角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
15、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
16、等腰三角形的性质：（1）等边对等角。
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
判定：等角对等边。
17、等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每个都等于60°；判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形。
高等几何模拟试题
《高等几何》试题（A ）一、 填空题（每题3分共15分）1、 是仿射不变量， 是射影不变量2、 直线30x y +=上的无穷远点坐标为3、 过点（1,i,0）的实直线方程为4、 二重元素参数为2与3的对合方程为5、 二次曲线22611240x y y -+-=过点(1,2)P 的切线方程 二、 判断题（每题2分共10分）1、两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形 （ ）2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变 （ ）3、一个角的内外角平分线调和分离角的两边 （ ）4、欧氏几何是射影几何的子几何，所以对应内容是射影几何对应内容的子集 （ ）5、共线点的极线必共点，共点线的极点必共线 （ ） 三、(7分)求一仿射变换，它使直线210x y +-=上的每个点都不变，且使点（1,-1）变为（-1，2）四、（8分）求证:点(1,2,1),(1,1,2),(3,0,5)A B C --三点共线，并求,t s 使,(1,2,3)i i i c ta sb i =+=五、(10分)设一直线上的点的射影变换是/324x x x +=+证明变换有两个自对应点，且这两自对应点与任一对对应点的交比为常数。
六、（10分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。
七、（10分）（1）求点（5，1，7）关于二阶曲线222123121323236240x x x x x x x x x ++---=的极线（2）已知二阶曲线外一点P 求作其极线。
（写出作法，并画图） 八、（10分）叙述并证明德萨格定理的逆定理 九、（10分）求通过两直线[1,3,1],[1,5,1]a b -交点且属于二级曲线222123420u u u +-=的直线十、（10分）已知,,,,A B P Q R 是共线不同点，如果(,)1,(,)1,(,)PA QB QR AB PR AB =-=-求《高等几何》试题（B ）一、 填空题（每题3分共15分）1、 仿射变换//71424x x y y x y ⎧=-+⎨=++⎩的不变点为2、 两点决定一条直线的对偶命题为3、 直线[i ,2,1-i] 上的实点为4、 若交比(,)2AB CD = 则(,)AD BC =5、 二次曲线中的配极原则 二、判断题（每题2分共10分）1、不变直线上的点都是不变点 （ ）2、在一复直线上有唯一一个实点 （ ）3、两点列的底只要相交构成的射影对应就是透视对应 （ ）4、射影群⊃仿射群⊃正交群 （ ）5、二阶曲线上任一点向曲线上四定点作直线，四直线的交比为常数 （ ） 三、(7分)经过(3,2)(6,1)A B -和的直线AB 与直线360x y +-=相交于P ，求 ()ABP 四、（8分）试证：欧氏平面上的所有平移变换的集合构成一个变换群 五、（10分）已知直线1234,,,L L L L 的方程分别为：210,320,70,510x y x y x y x -+=+-=-=-=求证四直线共点，并求1234(,)L L L L六、(10分)利用德萨格定理证明：任意四边形各对对边中点的连线与二对角线中点的连线相交于一点七、（10分）求（1）二阶曲线22212313230x x x x x -+-=过点的切线方程 （2）二级曲线222123170u u u +-=在直线L[1，4，1] 上的切点方程八、（10分）叙述并证明德萨格定理定理（可用代数法）九、（10分）已知二阶曲线（C ）：221121332460x x x x x x +++=（1） 求点(1,2,1)P 关于曲线的极线（2） 求直线123360x x x -+=关于曲线的极点十、（10分）试证：圆上任一点与圆内接正方形各顶点连线构成一个调和线束《高等几何》试题（C ）一、填空题（每题3分共15分）6、 直线20x y +-=在仿射变换//213x x y y x y ⎧=+-⎨=-+⎩下的像直线7、 X 轴Y 轴上的无穷远点坐标分别为 8、 过点（1,-i ,2）的实直线方程为9、 射影变换'230λλλ--=自对应元素的参数为 10、二级曲线222123170u u u +-=在直线上[1,4,1]的切点方程三、 判断题（每题2分共10分）1、仿射变换保持平行性不变 （ ）2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变 （ ）3、线段中点与无穷远点调和分离两端点 （ ）4、 如果P 点的极线过Q 点，则Q 点的极线也过P 点 （ ）5、不共线五点可以确定一条二阶曲线 （ ）三、(7分)已知OX 轴上的射影变换'213x x x -=+，求坐标原点，无穷远点的对应点 四、（8分）已知直线,,a c d 的方程分别为123123120,00x x x x x x x +-=-+==， 且2(,)3ab cd =-求直线b 的方程。
06两点确定一条直线
06两点确定一条直线一．选择题（共10小题）1．工人师傅在给小明家安装晾衣架时，一般先在阳台天花板上选取两个点，然后再进行安装．这样做的数学原理是（）A．过一点有且只有一条直线B．两点之间，线段最短C．连接两点之间的线段叫两点间的距离D．两点确定一条直线2．在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是（）A．1枚 B．2枚 C．3枚 D．任意枚3．若平面内有点A、B、C，过其中任意两点画直线，则最多可以画的条数是（）A．3条 B．4条 C．5条 D．6条4．下列说法中正确的是（）A．射线AB和射线BA是同一条射线B．射线就是直线C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线D．延长直线AB5．经过同一平面内A、B、C三点中的每两点可画出直线的条数为（）A．0条 B．1条 C．3条 D．3条或1条6．在开会前，工作人员进行会场布置，如图为工作人员在主席台上由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”摆放整齐的茶杯，这样做的理由是（）A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线C．垂线段最短D．过一点可以作无数条直线7．下列事实可以用“两点确定一条直线”来解释的有（）个①墙上钉木条至少要两颗钉子才能牢固；②农民拉绳播秧；③解放军叔叔打靶瞄准；④从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设．A．1 B．2 C．3 D．48．平面上有五个点，其中只有三点共线．经过这些点可以作直线的条数是（）A．6条 B．8条 C．10条D．12条9．过两点有且只有（）条直线．A．3 B．2 C．1 D．010．下列说法正确的是（）A．两点确定两条直线B．三点确定一条直线C．过一点只能作一条直线D．过一点可以作无数条直线二．填空题（共2小题）11．下列三个现象：①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，只要尽可能沿着线段AB架设，就能节省材料；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行树在一条直线上．其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有（填序号）12．小朋友在用玩具枪瞄准时，总是用一只眼对准准星和目标，用数学知识解释为：．06两点确定一条直线参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．工人师傅在给小明家安装晾衣架时，一般先在阳台天花板上选取两个点，然后再进行安装．这样做的数学原理是（）A．过一点有且只有一条直线B．两点之间，线段最短C．连接两点之间的线段叫两点间的距离D．两点确定一条直线【分析】直接利用直线的性质分析得出答案．【解答】解：工人师傅在给小明家安装晾衣架时，一般先在阳台天花板上选取两个点，然后再进行安装．这样做的数学原理是：两点确定一条直线．故选：D．【点评】此题主要考查了直线的性质，正确把握直线的性质是解题关键．2．在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是（）A．1枚 B．2枚 C．3枚 D．任意枚【分析】根据直线的性质，两点确定一条直线解答．【解答】解：∵两点确定一条直线，∴至少需要2枚钉子．故选：B．【点评】本题考查了直线的性质，熟记两点确定一条直线是解题的关键．3．若平面内有点A、B、C，过其中任意两点画直线，则最多可以画的条数是（）A．3条 B．4条 C．5条 D．6条【分析】根据两点确定一条直线，判断即可．【解答】解：平面内有点A、B、C，过其中任意两点画直线，则最多可以画的条数是3条，故选：A．【点评】此题考查了直线的性质：两点确定一条直线，熟练掌握直线的性质是解本题的关键．4．下列说法中正确的是（）A．射线AB和射线BA是同一条射线B．射线就是直线C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线D．延长直线AB【分析】根据表示射线时，端点字母必须在前，射线AB和射线BA端点字母不同，因此不是同一条射线；射线是直线的一部分；经过两点有且只有一条直线；直线是无限延伸的进行分析即可．【解答】解：A、射线AB和射线BA不是同一条射线，故选项错误；B、射线是直线的一部分，故选项错误；C、经过两点有一条直线，并且只有一条直线，故选项正确；D、直线是无限长的，故选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了直线、射线的表示和性质，关键是掌握射线和直线的表示方法，以及关系．5．经过同一平面内A、B、C三点中的每两点可画出直线的条数为（）A．0条 B．1条 C．3条 D．3条或1条【分析】答题时首先知道两点确定一直线，然后讨论点的位置关系．【解答】解：当3点都在一条直线上时，3点只能确定一条直线，当3点有2点在一条直线上时，可以确定3条直线，故选：D．【点评】本题主要考查直线的知识点，关键是知道两点确定一直线．6．在开会前，工作人员进行会场布置，如图为工作人员在主席台上由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”摆放整齐的茶杯，这样做的理由是（）A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线C．垂线段最短D．过一点可以作无数条直线【分析】根据直线的性质：两点确定一条直线可得答案．【解答】解：由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”摆放整齐的茶杯，这样做的理由是两点确定一条直线，故选：B．【点评】此题主要考查了直线的性质，关键是掌握两点确定一条直线．7．下列事实可以用“两点确定一条直线”来解释的有（）个①墙上钉木条至少要两颗钉子才能牢固；②农民拉绳播秧；③解放军叔叔打靶瞄准；④从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由题意，认真分析题干，用数学知识解释生活中的现象．【解答】解：①②③现象可以用两点可以确定一条直线来解释；④现象可以用两点之间，线段最短来解释．故选：C．【点评】本题主要考查两点确定一条直线和两点之间线段最短在实际生活中的应用，应注意理解区分．正确确定现象的本质是解决本题的关键．8．平面上有五个点，其中只有三点共线．经过这些点可以作直线的条数是（）A．6条 B．8条 C．10条D．12条【分析】根据两点确定一条直线，作出草图即可得解．【解答】解：如图，共有8条直线．故选：B．【点评】本题主要考查了两点确定一条直线的性质，根据题意画出图形，利用数形结合的思想求解更加形象直观．9．过两点有且只有（）条直线．A．3 B．2 C．1 D．0【分析】根据直线的公理，过两点有且只有一条直线，即可得出答案．【解答】解：根据直线的公理，过两点有且只有一条直线．故选：C．【点评】本题主要考查了直线的公理，过两点有且只有一条直线，比较简单．10．下列说法正确的是（）A．两点确定两条直线B．三点确定一条直线C．过一点只能作一条直线D．过一点可以作无数条直线【分析】根据直线的性质两点确定一条直线对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、应为两点确定一条直线，故本选项错误；B、三点确定一条直线或三条直线，故本选项错误；过一点可以作无数条直线，故C选项错误，D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了直线的性质，熟记两点确定一条直线是解题的关键．二．填空题（共2小题）11．下列三个现象：①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，只要尽可能沿着线段AB架设，就能节省材料；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行树在一条直线上．其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有①③（填序号）【分析】直接利用直线的性质进而分析得出答案．【解答】解：①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上，可用“两点确定一条直线”来解释；②从A地到B地架设电线，只要尽可能沿着线段AB架设，就能节省材料，可用“两点之间线段最短”来解释；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行树在一条直线上，可用“两点确定一条直线”来解释；其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有①③．故答案为：①③．【点评】此题主要考查了直线的性质，正确应用直线的性质是解题关键．12．小朋友在用玩具枪瞄准时，总是用一只眼对准准星和目标，用数学知识解释为：两点确定一条直线．【分析】根据两点确定一条直线的知识解答．【解答】解：∵准星与目标两点，∴利用的数学知识是：两点确定一条直线．故答案为：两点确定一条直线．【点评】本题考查了两点确定一条直线的性质，是基础知识，需要熟练掌握．。
【常考题】初一数学上期末试卷(带答案)
13．n(n+2)﹣1【解析】【分析】仔细观察每一个图形中黑棋子的个数与图形序列号的关系找到规律利用规律求解即可【详解】观察知：第1图有1×3﹣1=2个黑棋子；第2图有2×4﹣1=7个黑棋子；第3图有3×
解析：[n(n+2)﹣1]．
【解析】
【分析】
仔细观察每一个图形中黑棋子的个数与图形序列号的关系，找到规律，利用规律求解即可．
A．点A和点CB．点B和点D
C．点A和点DD．点B和点C
8．下列各数：（-3）2，0， ， ，（-1）2009，-22，-（-8）， 中，负数有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
9．中国海洋面积是2897000平方公里，2897000用科学记数法表示为（）
A．2.897×106B．28.94×105C．2.897×108D．0.2897×107
15．一根长80cm的弹簧，一端固定．如果另一端挂上物体，那么在正常情况下物体的质量每增加1kg可使弹簧增长2cm，正常情况下，当挂着xkg的物体时，弹簧的长度是____cm．(用含x的代数式表示)
16．如果你想将一根细木条固定在墙上，至少需要钉2个钉子，这一事实说明了：_______．
17．小红的妈妈买了4筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重后的记录分别为 ， ， ， ，小红快速准确地算出了4筐白菜的总质量为__________千克．
即：白色正方形5n+3个，黑色正方形n个，
故第n个图案中白色正方形比黑色正方形多4n+3个
故选D.
【点睛】
此题考查规律型：图形的变化类，解题关键在于找到规律.
11．D
解析：D
【解析】
【分析】
直线的两点式方程、直线的一般式方程 课件
5.对于直线 Ax＋By＋C＝0，当 B≠0 时，其斜率为_－__AB__，
在 y 轴上的截距为_－__CB__；当 B＝0 时，在 x 轴上的截距 为__－__CA__；当 AB≠0 时，在两轴上的截距分别为_－__CA__， __－__CB___.
1.判断题 (1)经过任意两点的直线都可以用(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x －x1)来表示.( √ ) (2)不经过原点的直线都可以用方程ax＋by＝1 表示.(× ) (3)一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程可以写成两 点式或斜截式或点斜式.( √ ) (4)若方程 Ax＋By＋C＝0 表示直线，则 A·B≠0.( × )
系数满足的条件 B＝0 A＝0 A·B≠0 C＝0
探究点二 直线Ax＋By＋C＝0能化为截距式的条件是什么？ 提示 当A，B，C≠0时，直线Ax＋By＋C＝0能化为截距式. 解 因为直线 l 经过点 A(－5，6)，B(－4，8)，所以由两点 式，得8y－－66＝－x＋4＋55， 整理得 2x－y＋16＝0，化为截距式得－x8＋1y6＝1， 所以直线 l 的一般式方程为 2x－y＋16＝0，截距式方程为 －x8＋1y6＝1.图形如图所示：
C.y＝x＋2
D.yy－－11＝1x＋＋22，整理得 y＝x＋
3. 答案 A
3. 若 方 程 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 表 示 直 线 ， 则 A 、 B 应 满 足 的 条 件 为 ()
A.A≠0
B.B≠0
C.A·B≠0
D.A2＋B2≠0
解析 方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A、B不能同
(2)设 BC 的中点为 M(x0，y0)， 则 x0＝5＋2 0＝52，y0＝（－4）＋2 （－2）＝－3.∴M52，－3， 又 BC 边上的中线经过点 A(－3，2). ∴由两点式得－y－3－22＝52x－－（（－－33）），即 10x＋11y＋8＝0. 故 BC 边上的中线所在直线的方程为 10x＋11y＋8＝0.
人教版(2024版)七上数学 6.2.2 线段的比较与运算 课件
解：如图所示
（1）作射线 ；
（2）在 上截取 = 2，
（3）在线段 上截取 = ．
则 = 2 − ．即为所求线段．
05
课堂小结
度量法
比较线段的长短
尺规作图
线段的比较
与运算
关于线段的
基本事实
叠合法
两点之间，线段最短
线段的运算
中点、三等分点、四等分点
直线不经过这个点
一个点在直线外，也可以说__________________．
4．当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线
相交
交点
______，这个公共点叫做它们的______．
03
新知讲解
不同于直线和射线，线段有长度，因而可以比较线段的长短，
并能进行一 些运算。为进行线段的比较与运算，需要画一条线段
1
4.已知线段AB，延长AB到C，使BC＝ AB，延长BA到D，使AD
2
＝2AB，M，N分别是BC，AD的中点，若MN＝18 cm，求AB的长．
D
A
N
1
2
B MC
1
2
解：设AB＝x cm，则BC＝ AB＝ xcm，
1
2
4
1
2
BM＝ BC＝ cm，AD＝2xcm，AN＝ AD＝x cm，
由MN＝18 cm，
解： ∵ C、D为线段AB的三等分点，
∴ AC=CD=DB，
∵点E为AC的中点，
1
则AE=EC= AC，
2
∴ CD+EC=DB+AE，
∵ ED=EC+CD=12(cm)，
∴ DB+AE=EC+CD=ED=12(cm)，
两点坐标确定直线方程公式
两点坐标确定直线方程公式直线方程是解析几何中的重要概念，它描述了平面上的一条直线。
在解析几何中，我们经常需要根据给定的两点坐标来确定直线方程。
本文将介绍如何根据两点坐标确定直线方程的公式，并解释其中的推导过程。
在平面直角坐标系中，假设有两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们的目标是找到一条直线经过这两点。
设该直线的斜率为k，截距为b。
根据直线的特点，可以得到以下两个重要的关系式：1.斜率 k 的计算公式：斜率（k）定义为直线上任意一点的纵坐标变化量与横坐标变化量的比值。
根据两点坐标A(x1, y1)和B(x2, y2)，斜率可以通过以下公式计算：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)通过上式，我们可以根据给定的两点坐标，计算出直线的斜率。
2.截距 b 的计算公式：拿到斜率 k 后，我们可以通过以下公式来计算截距 b：b = y1 - k * x1通过上述公式，我们可以根据给定的两点坐标，计算出直线的截距。
根据斜率和截距的计算公式，我们可以得到基于两点坐标的直线方程公式。
在直线方程 y = kx + b 中，k 为斜率，b 为截距。
将上述计算公式代入直线方程，可以得到最终的直线方程公式。
由此可得，两点坐标确定直线方程的公式为：y = ((y2 - y1) / (x2 - x1))x + (y1 - ((y2 - y1) / (x2 - x1))x1)在确定了直线方程后，我们就可以利用该方程来计算其他点的纵坐标值，或者判断其他点是否在该直线上。
需要注意的是，由于计算过程可能涉及除法运算，需要注意分母不能为零。
当两点坐标的横坐标相同时，即 x2 - x1 = 0 时，直线为垂直于 x 轴的情况，此时直线的方程无法用上述公式表示。
在编程实现时，可以对于这种情况进行特殊处理。
以上是根据两点坐标确定直线方程的公式及其推导过程。
通过这种方法，我们可以轻松地求解出直线的方程，从而更好地理解和应用解析几何的知识。
坐标求直线方程
坐标求直线方程
在几何学中，我们经常需要求解通过给定两个点的直线方程。
这个过程称为“坐标求直线方程”。
通过两点可以确定一条直线，我们可以利用这两点的坐标来求解直线的方程。
假设我们有两个点A和B，它们的坐标分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)。
我们试图找到通过这两点的直线方程。
直线的方程通常写为y = mx + b，其中m是直线的斜率，而b是直线的截距。
我们首先计算斜率m。
斜率m的计算公式为： m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
将点A和B的坐标代入上述公式，我们可以计算出直线的斜率m。
接下来，我们可以选择一个点（例如A或B）代入直线方程y = mx + b，通过解方程求解截距b的值。
下面我们通过一个具体的例子来说明坐标求直线方程的过程：
假设我们有两点A(2, 3)和B(5, 6)。
我们需要求解通过这两点的直线方程。
首先计算斜率m： m = (6 - 3) / (5 - 2) = 1
接下来选择任意一个点代入直线方程，我们选择点A(2, 3)： 3 = 1 * 2 + b b = 1
所以通过点A和B的坐标所确定的直线方程为： y = x + 1
通过以上步骤，我们成功地求解出通过给定两点的直线方程。
在几何学和数学中，坐标求直线方程是一个重要且基础的概念。
通过理解斜率和截距的概念，我们可以轻松地求解通过任意两点的直线方程，并且在图形上进行准确的表示和分析。
过两点的直线方程
过两点的直线方程
直线是平面几何中最基本的图形之一，用于描述物体之间的位置
关系和运动轨迹。
在平面直角坐标系中，一条直线可以由两个点的坐
标确定，因此我们可以通过这两个点的坐标，计算出直线的方程。
直线方程的一般形式是y = kx + b，其中k是斜率，b是截距。
斜率表示直线在坐标系中的倾斜程度，截距则表示直线与y轴的交点。
因此，如果我们已知两点的坐标，就可以通过计算斜率和截距，得出
直线的方程。
举个例子，假设我们要求过点（2，3）和（4，5）的直线方程。
我们首先需要计算斜率：
k = (y2 - y1) / (x2 - x1)
k = (5 - 3) / (4 - 2)
k = 1
接下来，我们可以用其中任意一个点的坐标来计算截距。
为了方便，我们选择点（2，3）：
b = y - kx
b = 3 - 1 * 2
b = 1
因此，过点（2，3）和（4，5）的直线方程为y = x + 1。
值得一提的是，如果两个点的x坐标相同，那么这条直线垂直于
x轴，斜率不存在。
在这种情况下，我们可以用另一种形式的直线方程来表示，即x = a，其中a为直线与y轴的交点。
总之，直线方程是平面几何中的一个基本工具，它可以用于解决
许多与位置和运动有关的问题。
通过计算斜率和截距，我们可以方便
地求出过两点的直线方程，从而更好地理解和描述物体之间的关系。
直线的认识与判定
直线的认识与判定直线是平面上最基本的几何元素之一，对于几何学的学习和应用至关重要。
本文将介绍直线的基本概念、特性以及根据给定条件判定直线的方法。
一、直线的基本概念直线是由无限多个点连成的，这些点在同一条直线上并且无限延伸。
直线不弯曲也不中断，呈现出无限延伸的性质。
直线常用小写字母l来表示。
二、直线的特性1. 直线上的任意两点可以确定一个直线。
2. 直线没有厚度和宽度，只有无限的长度。
3. 直线可以延伸到无限远，也可以延伸到无限近。
三、直线的标志形式直线可以用多种方式来标识，常见的有以下几种形式：1. 两点标志法：通过直线上的两个不同点来标志直线。
例如，直线AB可以表示为AB。
2. 点斜式标志法：通过直线上一点的坐标以及直线的斜率来标志直线。
例如，直线的斜率为k，过直线上一点P(x₁, y₁)，则直线可以表示为y - y₁ = k(x - x₁)。
3. 截距式标志法：通过直线上的截距来标志直线。
例如，直线与x轴的交点为a，与y轴的交点为b，则直线可以表示为x/a + y/b = 1。
四、判定直线的方法根据给定的条件，可以用不同的方法来判定直线。
下面介绍几种常见的判定方法：1. 两点确定一条直线：如果已知直线上的两个不同点A和B，可以确立这两点确定一条直线的关系。
2. 直线的斜率相等：如果两条直线的斜率相等，那么它们是平行的。
如果两条直线的斜率互为相反数，那么它们是垂直的。
3. 直线的截距相等：如果两条直线与x轴和y轴的交点分别相等，那么这两条直线是重合的。
4. 直线的方程相等：如果两条直线的方程相等，那么它们是同一条直线。
五、应用案例以下是几个应用案例，通过给定的条件，来判定直线之间的关系：1. 已知直线AB过点C，判断直线AC和直线BC是否共线。
解法：若直线AC和直线BC共线，则直线AC和直线AB的斜率相等，即斜率为AC = 斜率BC。
2. 已知直线AB与直线CD平行，判断直线AC和直线BD是否平行。
关于直线的基本事实
1.关于直线的基本事实是什么？
答：直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线，即：两点确定一条直线；直线没有端点，可以无限延长。
直线由无数个点构成，直线是面的组成成分，并继而组成体。
没有端点，向两端无限延伸，长度无法度量。
直线是轴对称图形，它有无数条对称轴，其中一条是它本身，还有所有与它垂直的直线（有无数条）对称轴。
在平面上过不重合的两点有且只有一条直线，即不重合两点确定一条直线。
在球面上，过两点可以做无数条类似直线。
《两点确定一条直线》
两点确定一条直线--在现实世界中的影子“两点确定一条直线”是《几何原本》中的公设一是一条最基本的性质，我们把它当作一条数学公理。
在日常生活中处处都可以看到这条公理的身影，例如，我们在排队时，队头站好两个人，后边的人只要只需要看着前面的与自己相邻的人，一个个的排下来就可以排成一支整齐的队伍！这是因为我们的视线是直线，如果只能看到自己前边一个人的话，就说明所有人都在同一直线上了；又如，打靶的时候士兵的眼睛通过枪上的准星瞄准靶心，只要保证眼睛、准星、靶心在同一直线上，就可以确定命中了；再如，在宇宙中也能找到这条公理的身影，日食和月食这两个现象就是都与此公理有关（因为光是沿直线传播的，日、月食的成因如下图所示）
“探索者”编辑部张迪撰文2010.05.11。
2020春北师大版本数学中考一轮-第06讲-平面直角坐标系与一次函数(培优)-讲义(教师版)
学科教师辅导讲义学员编号：年级：中考课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第06讲-平面直角坐标系及一次函数授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①会画平面直角坐标系，掌握坐标平面内点的坐标特征；②理解一次函数的概念，会利用待定系数法确定一次函数的表达式；③体会一次函数与二元一次方程的关系，能用一次函数解决简单实际问题。
授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识梳理(一)、平面直角坐标系与点的坐标特征1．平面直角坐标系如图，在平面内，两条互相垂直的数轴的交点O称为原点，水平的数轴叫x轴（或横轴）_，竖直的数轴叫y轴（或纵轴）__，整个坐标平面被x轴、y轴分割成四个象限．2．各象限内点的坐标特征点P(x，y)在第一象限x＞0，y＞0；点P(x，y)在第二象限x＜0，y＞0；点P(x，y)在第三象限x＜0，y＜0；点P(x，y)在第四象限x＞0，y＜0.3．坐标轴上的点的坐标特征点P(x，y)在x轴上y＝0，x为任意实数；点P(x，y)在y轴上x＝0，y为任意实数；体系搭建点P (x ，y )在坐标原点x ＝0，y ＝0.(二)、特殊点的坐标特征1．对称点的坐标特征点P (x ，y )关于x 轴的对称点P 1的坐标为(),x y -；关于y 轴的对称点P 2的坐标为(),x y -；关于原点的对称点P 3的坐标为(),x y --．2．与坐标轴平行的直线上点的坐标特征平行于x 轴：横坐标_不同 _，纵坐标__相同___；平行于y 轴：横坐标__相同__，纵坐标_不同 _． 3．各象限角平分线上点的坐标特征第一、三象限角平分线上的点横坐标与纵坐标___相同_____， 第二、四象限角平分线上的点横坐标与纵坐标___互为相反数_____． 4．点的平移将点P(x ，y)向右(或向左)平移a 个单位，可以得到对应点(x ＋a ，y)[或(x －a ，y)]；将点P(x ，y)向上(或向下)平移b 个单位，可以得到对应点(x ，y ＋b)[或(x ，y －b)]． (三)、距离与点的坐标的关系1．点与原点、点与坐标轴的距离点P (x ，y )到x 轴和y 轴的距离分别是|y |和|x |，点P (x ，y )到坐标原点的距离为x 2＋y 2. 2．坐标轴上两点间的距离(1)在x 轴上两点P 1(x 1,0)，P 2(x 2,0)间的距离|P 1P 2|＝12x x -. (2)在y 轴上两点Q 1(0，y 1)，Q 2(0，y 2)间的距离|Q 1Q 2|＝12y y -.(3)在x 轴上的点P 1(x 1,0)与y 轴上的点Q 1(0，y 1)之间的距离|P 1Q 1|＝x 12＋y 12. (四)、函数有关的概念及图象1．函数的概念一般地，在某一变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有__唯一_确定的值与它对应，那么就说y 是x 的函数，x 是自变量．2．常量和变量在某一变化过程中，保持一定数值不变的量叫做常量；可以取不同数值的量叫做变量． 3．函数的表示方法函数主要的表示方法有三种：(1)解析法；(2)___列表法_____；(3)图象法． 4．函数图象的画法(1) 列表_：在自变量的取值范围内取值，求出相应的函数值；(2) 描点_：以x 的值为横坐标，对应y 的值作为纵坐标，在坐标平面内描出相应的点；(3) _连线_：按自变量从小到大的顺序用光滑曲线连接所描的点．(五)、函数自变量取值范围的确定1．自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母____不为零______的实数． 2．当自变量以二次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为_____非负数_____． 3．当自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中，它的取值范围是使底数不为零的实数．4．在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．(六)、一次函数和正比例函数的定义一般地，如果y ＝kx ＋b (k ，b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数．特别地，当b ＝_0_时，一次函数y ＝kx ＋b 就为y ＝kx (k 是常数，k ≠0)，这时y 叫做x 的正比例函数． (七)、一次函数的图象与性质1．一次函数的图象(1)一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－b k ，0的一条直线．(2)正比例函数y ＝kx(k≠0)的图象是经过点(0,0)和(1，k)的一条直线．(3)因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两个点即可． 2．一次函数图象的性质函数系数取值大致图象经过的象限函数性质y＝kx(k≠0)k＞0 _一_、三_ y随x增大而增大k＜0 __二、四_ y随x增大而减小y＝kx＋b (k≠0)k＞0，b＞0 一、_二、三y随x增大而增大k＞0，b＜0 一、三、四k＜0，b＞0 一、二、四y随x增大而减小k＜0，b＜0 二、三、四一次函数y＝kx＋b的图象可由正比例函数y＝kx的图象平移得到，b＞0，上移b个单位；b＜0，下移|b|个单位．(八)、利用待定系数法求一次函数的解析式因为在一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)中有两个未知数k 和b ，所以，要确定其关系式，一般需要两个条件，常见的是已知两点坐标P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)代入得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝a 1k ＋b ，b 2＝a 2k ＋b，求出k ，b 的值即可，这种方法叫做__待定系数法_ ．(九)、一次函数与方程、方程组及不等式的关系1．y ＝kx ＋b 与kx ＋b ＝0直线y ＝kx ＋b 与x 轴交点的横坐标是方程kx ＋b ＝0的解，方程kx ＋b ＝0的解是直线y ＝kx ＋b 与x 轴交点的横坐标．2．y ＝kx ＋b 与不等式kx ＋b ＞0从函数值的角度看，不等式kx ＋b ＞0的解集为使函数值大于零(即kx ＋b ＞0)的x 的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x 轴上方时，y ＞0，因此kx ＋b ＞0的解集为一次函数在x 轴上方的图象所对应的x 的取值范围．3．一次函数与方程组两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点．考点一：平面直角坐标系内点的坐标特征例1、 若点P(a ，a －2)在第四象限，则a 的取值范围是( )A ．－2＜a ＜0B ．0＜a ＜2C ．a ＞2D ．a ＜0【解析】故选B ．例2、在平面直角坐标系中，如果mn ＞0，那么点(m ，|n|)一定在( )A ．第一象限或第二象限B ．第一象限或第三象限C ．第二象限或第四象限D ．第三象限或第四象限【解析】故选A.考点二：图形的变换与坐标例1、 在如图所示的方格纸中，把每个小正方形的顶点称为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”．根据图形，解决下面的问题： (1)请描述图中的格点△A′B′C′是由格点△ABC 通过哪些变换方式得到的？ (2)若以直线a ，b 为坐标轴建立平面直角坐标系后，点C 的坐标为(－3,1)，请写出格点△DEF 各顶点的坐标，并求出△DEF 的面积．【解析】(1)先将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90°，再向右平移5个单位得到△A′B′C′(或先平移再旋转也可)．(2)D(0，－2)，E(－4，－4)，F(2，－3)． S △DEF ＝6×2－12×4×2－12×2×1－12×6×1＝4.例2、在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(－4,5)，(－1,3)．(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；(2)请作出△ABC 关于y 轴对称的△A′B′C′；(3)写出点B′的坐标． 【解析】(1)(2)如图所示．(3)B′(2,1)．考点三：函数图象的应用例1、如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t，蚂蚁到O 点的直线距离为s，则s关于t的函数图象大致为( )【解析】 C 本题是典型的数形结合问题，通过对图形的观察，可以看出s与t的函数图象应分为三段：(1)当蚂蚁从点O到点A时，s与t成正比例函数关系；(2)当蚂蚁从点A到点B时，s不变；(3)当蚂蚁从点B回到点O时，s与t成一次函数关系，且回到点O时，s为零．例2、在全民健身环城越野赛中，甲、乙两选手的行程y(千米)随时间(时)变化的图象(全程)如图所示．有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20千米．其中正确的说法有( )A．1个 B．2个C．3个 D．4个【解析】 C 因为利用图象可判断①②④正确，③错误，故选C.考点四：函数自变量取值范围的确定例1、已知函数关系式y＝x－1，则自变量x的取值范围是__________．【解析】x≥1 ，由题意得x－1≥0，所以x≥1.例2、函数y＝13－x中自变量x的取值范围是( )A．x≤3 B．x＜3C．x≠3 D．x＞3【解析】B，因为由题意得3－x＞0，所以x＜3.考点五：一次函数的图象与性质例1、已知一次函数y＝mx＋n－2的图象如图所示，则m，n的取值范围是( ) A．m＞0，n＜2 B．m＞0，n＞2C．m＜0，n＜2 D．m＜0，n＞2【解析】 D 因为从图象上知，图象自左而右是“下降”的，交y轴于正半轴，所以m＜0，n－2＞0，即m＜0，n＞2.例2、如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y=ax，②y=bx，③y=cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为a＜c＜b．【解析】根据三个函数图象所在象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线越陡，|k|越大，则b＞c．则b＞c＞a，故答案为：a＜c＜b．考点六：确定一次函数的解析式例1、如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过A(－2，－1)，B(1,3)两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．(1)求该一次函数的解析式；(2)试求△DOC的面积．【解析】(1)把A ，B 点代入得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－2k ＋b ，3＝k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝43，b ＝53.，∴y＝43x ＋53.(2)由(1)得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53，则OC ＝54，OD ＝53.∴△DOC 的面积＝12×54×53＝2524.例2、如图，已知直线y=x +3的图象与x ，y 的轴交于B ，A 两点，直线l 经过A 点，与线段OB 交于点C 且把△AOB 面积分为2：1两部分． （1）求线段OA ，OB 的长； （2）求直线l 的解析式．【解析】（1）∵令x=0，则y=3；令y=0，则x=﹣3，∴A （0，3），B （﹣3，0）；（2）∵△ABC 与△AOC 的高相等，B （﹣3，0），线段OB 交于点C 且把△AOB 面积分为2：1两部分， ∴C （﹣1，0）或（﹣2，0）． 设直线l 的解析式为y=kx +b （k ≠0），当C （﹣1，0）时，，解得；当C （﹣2，0）．时，，解得．故直线l 的解析式为y=3x +3或y=x +3．考点七、一次函数与方程(组)、不等式的关系例1、如图，已知函数y ＝ax ＋b 和y ＝kx 的图象交于点P ，则根据图象可得二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，y ＝kx 的解是__________．【解析】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2如图所示，二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，y ＝kx 的解就是直线y ＝ax ＋b 与直线y ＝kx 的交点，所以点P 的坐标就是方程组的解，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2.例2、如图，直线y 1＝kx ＋b 过点A(0,2)，且与直线y 2＝mx 交于点P(1，m)，则不等式组mx ＞kx ＋b ＞mx －2的解集是__________．【解析】 1＜x ＜2，由图象可知，当x ＞1时，mx ＞kx ＋b ，把(1，m)和(0,2)代入y 1＝kx ＋b ，得b ＝2，m ＝k ＋2，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝mx －2，得x ＝2，因为y 3＝mx －2平行于y 2＝mx ，所以当x ＜2时，kx ＋b ＞mx －2，故原不等式组的解集为1＜x ＜2.考点八：一次函数的应用例1、小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁，图中折线O —A —B —C 和线段OD 分别表示两人离学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分)之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：(1)小聪在天一阁查阅资料的时间为__________分钟，小聪返回学校的速度为__________千米/分； (2)请你求出小明离开学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分)之间的函数关系； (3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？【解析】(1)15，415；(2)由图象可知，s 是t 的正比例函数． 设所求函数的解析式为s ＝kt(k≠0)，代入(45,4)，得4＝45k ，解得k ＝445.∴s 与t 的函数关系式为s ＝445t(0≤t≤45)． (3)由图象可知，小聪在30≤t≤45的时段内s 是t 的一次函数，设函数解析式为s ＝mt ＋n(m≠0)．代入(30,4)，(45,0)，得⎩⎪⎨⎪⎧30m ＋n ＝4，45m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－415，n ＝12.∴s＝－415t＋12(30≤t≤45)．令－415t＋12＝445t，解得t＝1354.当t＝1354时，s＝445×1354＝3.答：当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米．例2、一次函数y=﹣2x+4的图象如图，图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A、B两点坐标．（2）求图象与坐标轴所围成的三角形的面积是多少．【解析】（1）对于y=﹣2x+4，令y=0，得﹣2x+4=0，∴x=2；∴一次函数y=﹣2x+4的图象与x轴的交点A的坐标为（2，0）；令x=0，得y=4．∴一次函数y=﹣2x+4的图象与y轴的交点B的坐标为（0，4）；（2）S△AOB=•OA•OB=×2×4=4．∴图象与坐标轴所围成的三角形的面积是4．P(Practice-Oriented)——实战演练➢课堂狙击1．在平面直角坐标系中，点(－3,3)所在的象限是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】 B2．下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是( )A．y＝1x－3B．y＝1x－3实战演练②以B为直角顶点，可过B作直线垂直于AB，与y轴交于一点，这一点也符合P点的要求；③以P为直角顶点，与y轴共有2个交点．所以满足条件的点P共有4个．故选B．6、已知一次函数y=kx+b，y随着x的增大而减小，且kb＜0，则在直角坐标系内它的大致图象是（）A． B． C． D．【解析】∵一次函数y=kx+b，y随着x的增大而减小∴k＜0，又∵kb＜0，∴b＞0，∴此一次函数图象过第一，二，四象限．故选A．7．函数y＝x－4的自变量x的取值范围是__________．【解析】x≥4由x－4≥0，得x≥4.8．如果一次函数y＝mx＋3的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是__________．【解析】m＜09．一次函数y＝x＋2的图象不经过第__________象限．【解析】四∵k＝1＞0，b＝2＞0，∴图象经过第一、二、三象限．10．已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点(0,2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的解析式．【解析】将点(0,2)代入解析式y＝kx＋b(k≠0)中，得b＝2.则一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)与x 轴的交点横坐标为－b k ＝－2k.由题意可得12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k ×2＝2，则k ＝±1. 所以一次函数的解析式为y ＝x ＋2或y ＝－x ＋2.11. 如图，一次函数y=ax +b 的图象经过点（1，2），点（﹣1，6），且与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ． （1）求出这个一次函数的解析式；（2）求出一次函数图象与两坐标轴围成的图形的面积．【解析】（1）∵一次函数y=ax +b 的图象经过点（1，2），点（﹣1，6）， ∴，解得，∴这个一次函数的解析式为y=﹣2x +4；（2）∵当x=0时，y=4，∴y 轴交于点A （0，4）， ∵当y=0时，x=2，∴与x 轴交于点B （2，0）， ∴一次函数图象与两坐标轴围成的图形的面积：×2×4=4．➢ 课后反击1．在平面直角坐标系中，点A(2,3)与点B 关于x 轴对称，则点B 的坐标为( )A ．(3,2)B ．(－2，－3)C ．(－2,3)D ．(2，－3) 【解析】 D2．下列函数中，自变量x 的取值范围为x ＜1的是( )A ．y ＝11－xB ．y ＝1－1xC ．y ＝1－xD ．y ＝11－x ＋1－x【解析】 D3．一次函数y=x﹣1的图象向上平移2个单位后，不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】因为一次函数y=x﹣1的图象向上平移2个单位后的解析式为：y=x+1，所以图象不经过四象限，故选D4．若点P(a，a－b)在第四象限，则点Q(b，－a)在( )A．第四象限B．第三象限C．第二象限 D．第一象限【解析】A 由题意，得a＞0，a－b＜0，所以a＜b，所以b＞a＞0，－a＜0.5．在一次“寻宝”游戏中，“寻宝”人找到了如图所标示的两个标志点A(2,3)，B(4,1)，A，B两点到“宝藏”点的距离都是10，则“宝藏”点的坐标是( )A．(1,0) B．(5,4)C．(1,0)或(5,4) D．(0,1)或(4,5)【解析】 C6．函数y=|2x|的图象是（）A．B．C．D．【解析】函数y=|2x|，当x≥0时，y=2x；当x≤0时，y=﹣2x，故图象C符合，故选C7、若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则直线y=bx+k的图象大致是（）A．B．C．D．【解析】故选：D．8．已知直线y＝kx＋b经过点(k,3)和(1，k)，则k的值为( )A． 3 B．± 3 C． 2 D．± 2【解析】 B9．在平面直角坐标系中，把直线y＝x向左平移一个单位长度后，其直线解析式为( ) A．y＝x＋1 B．y＝x－1 C．y＝x D．y＝x－2【解析】A10．一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示．则下列结论错误的是( )A．摩托车比汽车晚到1 h B．A，B两地的路程为20 kmC．摩托车的速度为45 km/h D．汽车的速度为60 km/h【解析】C ∵摩托车的速度为(180－20)÷4＝40(km/h)，∴C错误．11．如图，直线y=x﹣2分别交x轴、y轴于A、B两点，O是原点．（1）求△AOB的面积．（2）过△AOB的顶点B画一条直线把△AOB分成面积相等的两部分，求出直线解析式．【解析】（1）令y=x﹣2中x=0，则y=﹣2，∴点B（0，﹣2）；令y=x﹣2中y=0，则x﹣2=0，解得：x=3，∴点A（3，0）．S△AOB=OA•OB=×2×3=3．（2）作出线段AO的中点C，连接BC，如图所示．∵点A（3，0），∴点C（，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），将点B（0，﹣2）、C（，0）代入y=kx+b中，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y=x﹣2．12．为了提高身体素质，有些人选择到专业的健身中心锻炼身体，某健身中心的消费方式如下：普通消费：35元/次；白金卡消费：购卡280元/张，凭卡免费消费10次再送2次；钻石卡消费：购卡560元/张，凭卡每次消费不再收费．以上消费卡使用年限均为一年，每位顾客只能购买一张卡，且只限本人使用．（1）李叔叔每年去该健身中心健身6次，他应选择哪种消费方式更合算？（2）设一年内去该健身中心健身x次（x为正整数），所需总费用为y元，请分别写出选择普通消费和白金卡消费的y与x的函数关系式；（3）王阿姨每年去该健身中心健身至少18次，请通过计算帮助王阿姨选择最合算的消费方式．【解析】（1）35×6=210（元），210＜280＜560，∴李叔叔选择普通消费方式更合算．（2）根据题意得：y普通=35x．当x≤12时，y白金卡=280；当x＞12时，y白金卡=280+35（x﹣12）=35x﹣140．∴y白金卡=．（3）当x=18时，y普通=35×18=630；y白金卡=35×18﹣140=490；令y白金卡=560，即35x﹣140=560，解得：x=20．当18≤x≤19时，选择白金卡消费最合算；当x=20时，选择白金卡消费和钻石卡消费费用相同；当x≥21时，选择钻石卡消费最合算．1．在平面直角坐标系中，点P （﹣20，a ）与点Q （b ，13）关于原点对称，则a+b 的值为（ ）A ．33B ．﹣33C ．﹣7D ．7【解析】选：D ．2．已知函数y=ax+b 经过（1，3），（0，﹣2），则a ﹣b=（ ）A ．﹣1B ．﹣3C ．3D ．7【解析】选：D ．3．深圳某科技公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台同一种型号的检测设备，全部运往大运赛场A 、B 两馆，其中运往A 馆18台、运往B 馆14台；运往A 、B 两馆的运费如表1：出发地目的地甲地乙地A 馆 800元/台 700元/台B 馆500元/台600元/台（1）设甲地运往A 馆的设备有x 台，请填写表2，并求出总运费元y （元）与x （台） 的函数关系式； （2）要使总运费不高于20200元，请你帮助该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案； （3）当x 为多少时，总运费最小，最小值是多少？【解析】（1）根据题意得：甲运往A 馆有x 台，乙运往A 馆的有（18﹣x ）台，甲地运往B 馆的设备有（17﹣x ）台，乙地运往B 馆的设备有14﹣（17﹣x ）=（x ﹣3）台， ∴y=800x+700（18﹣x ）+500（17﹣x ）+600（x ﹣3），=200x+19300（3≤x ≤17）；出发地目的地甲地乙地A 馆x 台（台）B 馆（台） （台） 直击中考（1）、特殊点的坐标特征1．对称点的坐标特征点P (x ，y )关于x 轴的对称点P 1的坐标为(),x y -；关于y 轴的对称点P 2的坐标为(),x y -；关于原点的对称点P 3的坐标为(),x y --．2．与坐标轴平行的直线上点的坐标特征平行于x 轴：横坐标_不同 _，纵坐标__相同___；平行于y 轴：横坐标__相同__，纵坐标_不同 _． 3．点的平移将点P(x ，y)向右(或向左)平移a 个单位，可以得到对应点(x ＋a ，y)[或(x －a ，y)]；将点P(x ，y)向上(或向下)平移b 个单位，可以得到对应点(x ，y ＋b)[或(x ，y －b)]．（2）、一次函数的图象与性质1．一次函数的图象(1)一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－b k ，0的一条直线．(2)正比例函数y ＝kx(k≠0)的图象是经过点(0,0)和(1，k)的一条直线．重点回顾(3)因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两个点即可（3）、一次函数与方程、方程组及不等式的关系1．y＝kx＋b与kx＋b＝0直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标是方程kx＋b＝0的解，方程kx＋b＝0的解是直线y＝kx＋b与x 轴交点的横坐标．2．y＝kx＋b与不等式kx＋b＞0从函数值的角度看，不等式kx＋b＞0的解集为使函数值大于零(即kx＋b＞0)的x的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x轴上方时，y＞0，因此kx＋b＞0的解集为一次函数在x轴上方的图象所对应的x的取值范围．名师点拨1、自变量的取值必须使含自变量的代数式有意义，主要体现在以下几种：①含自变量的解析式是整式：自变量的取值范围是全体实数；②含自变量的解析式是分式：自变量的取值范围是使得分母不为0的实数；③含自变量的解析式是二次根式：自变量的取值范围是使被开方式为非负的实数；④含自变量的解析式既是分式又是二次根式时：自变量的取值范围是它们的公共解，一般列不等式组求解；⑤当函数解析式表示实际问题时：自变量的取值必须使实际问题有意义．2、一次函数的k值决定直线的方向，如果k＞0，直线就从左往右上升，y随x的增大而增大；如果k＜0，直线就从左往右下降，y随x的增大而减小；而b值决定直线和y轴的交点，如果b＞0，则与y轴的正半轴相交；如果b＜0，则与y轴交于负半轴；当b＝0时，一次函数就变成正比例函数，图象过原点. 学霸经验➢本节课我学到➢我需要努力的地方是。
6.2--直线、射线、线段教案-七年级上册数学人教版
6.2.1直线、射线、线段课时目标1.结合实例,理解并掌握两点确定一条直线的性质,并能初步应用.2.进一步认识直线、射线、线段之间的区别和联系,逐步掌握用字母表示直线、射线、线段,会根据语言描述画出相应的图形,会用语句描述简单的图形,发展应用意识.3.能在现实情境中,经历画图的数学活动过程,提高学生的动手操作与实践能力.学习重点理解并掌握两点确定一条直线的性质,会用字母表示图形和根据语言描述画出图形.学习难点理解画图语言,建立图形与语言之间的联系.课时活动设计问题引入教师出示墨盒,请一名同学演示使用墨盒弹出一条直线的过程.问题:使用墨盒弹出一条直线,其关键是什么?为什么这样弹出的线是直的?设计意图:从实际问题入手,设置悬念,激发学生的学习兴趣.探究新知探究1两点确定一条直线问题1:经过一个点能画几条直线?经过两个点呢?动手试一试.学生动手按要求画图,并进行小组交流,教师巡视小组活动情况,及时给予指导,最后选取一名学生代表回答问题.解:经过一个点能画出无数条直线,经过两个点只能画出一条直线.教师归纳总结:经过画图与思考,可以得到一个基本事实:经过两点有一条直线,并且只有一条直线.简单说成:两点确定一条直线.追问:在日常生活和生产中常常用到这个基本事实,你能找出一些生活中应用这一基本事实的例子吗?解:建筑工人砌墙时,经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩,然后拉一条直的参照线;植树时,只要定出两个树坑的位置,就能使同一行树坑在一条直线上.(答案不唯一,合理即可)如图,因为两点确定一条直线,所以除了用一个小写字母表示直线(如直线l),我们还经常用一条直线上的两个点来表示这条直线.探究2点与直线、直线与直线的位置关系问题2:观察下图,说一说点和直线有哪些位置关系?解:点A在直线l上,点B在直线l外.或者说,直线l经过点A,直线l不经过点B.问题3:如图,直线a与直线b有什么位置关系?解:直线a和b相交于点O.教师归纳:当两条不同的直线有一个公共点时,就称这两条直线相交,这个公共点叫作它们的交点.探究3射线、线段的表示方法问题4:类比直线的表示方法,想一想射线该如何表示?学生小组讨论,归纳方法,教师总结.归纳:射线用它的端点和射线上的另一点来表示(表示端点的字母必须写在前面)或用一个小写字母来表示.记作:射线OA或射线d.思考:射线OA和射线AO一样吗?解:射线OA和射线AO不一样.问题5:类比直线的表示方法,想一想线段该如何表示?学生尝试归纳:(1)线段用表示端点的两个大写字母表示.记作:线段AB(或线段BA);(2)用一个小写字母表示.记作:线段a.连接AB,就是要画出以A,B为端点的线段;延长线段AB,是指按从端点A到B 的方向延长(如图1);延长线段BA,是指按从端点B到A的方向延长,这时也可以说反向延长线段AB(如图2).探究4直线、射线、线段的区别与联系观察图形,小组合作交流,教师总结.总结:直线、射线、线段三者的联系:线段和射线都是直线的一部分.(1)将线段向一个方向无限延长就形成了射线;(2)将线段向两个方向无限延长就形成了直线.直线、射线、线段的区别:设计意图:进一步提升学生用数学的观点解决相关实际问题的能力,提高学生分析问题、解决问题的能力.典例精讲例1如图,有几条直线?几条射线?几条线段?分别说出它们的名称.解:图中有1条直线,可表示为直线AB(AC,CD,BC,BD,AD);有8条射线,其中能用图中字母表示的有6条,它们分别为射线AC,射线CA,射线CD,射线DC,射线DB,射线BD;有6条线段,它们分别为线段AC,线段AD,线段AB,线段CD,线段CB,线段DB.例2读下列语句,并按照语句画出图形:(1)直线l经过A,B两点,点B在点A的左边;(2)直线AB,CD都经过点O,点E不在直线AB上,但在直线CD上.解:(1)如图所示.(2)如图所示.设计意图:通过对例题的讲解,强化学生对知识的理解、掌握和应用.巩固训练1.下面几种表示直线的写法中,错误的是(B)A.直线aB.直线MaC.直线MND.直线MO2.在墙上钉一根木条需要两个钉子,其根据是两点确定一条直线.3.如图所示,点A在直线l上,点B在直线l外.4.如图所示,直线AB和直线CD相交于点P;直线AB和直线EF相交于点O;点R是直线CD和直线EF的交点.5.如图所示,图中共有3条线段,它们是线段AB,线段AC,线段BC;共有6条射线,它们是射线AF,射线AD,射线BF,射线BD,射线CF,射线CD.6.根据下列语句画出图形:(1)直线l经过A,B,C三点,点C在点A与点B之间;(2)两条直线m与n相交于点P;(3)线段a,b相交于点O,与线段c分别交于点P,Q.解:(1)如图所示.(2)如图所示.(3)如图所示.7.探索规律:(1)若直线l上有2个点,则射线有4条,线段有1条;(2)若直线l上有3个点,则射线有6条,线段有3条;(3)若直线l上有4个点,则射线有8条,线段有6条;(4)若直线l上有n个点,则射线有2n条,线段有1n(n-1)条.2设计意图:检测学习效果,强化学生对新知的理解和掌握.课堂小结1.知识方面:(1)直线、射线、线段的定义;(2)直线、射线、线段的表示方法;(3)直线、射线、线段的区别与联系.2.学习方法:自主学习与合作探究.3.数学思想:类比思想.设计意图:通过归纳本节课学习的主要内容,让学生自觉对所学知识进行梳理,帮助学生进行知识建构.课堂8分钟.1.教材第163页练习第1,2,3题,第166页习题6.2第1,2,3题,第185页复习题6第4题.2.作业.教学反思6.2.2线段的比较与运算第1课时比较线段的长短课时目标1.会用尺规画一条线段等于已知线段,会比较两条线段的长短,培养学生的动手操作能力.2.理解两点间距离的意义,培养学生的抽象概括能力.3.能从实际问题中抽象出数学问题,理解并掌握“两点之间,线段最短”的性质.学习重点会比较两条线段的长短;在现实情境中,理解并掌握线段的性质“两点之间,线段最短”.学习难点线段长短的比较.课时活动设计情境引入下页每幅图中的小朋友谁高谁矮?你是依据什么判断的?学生回答:甲同学:第一幅图片中两人一样高,理由是男生和女生的脚在同一平面上,头顶平齐.乙同学:第二幅图片中的女生个子高,因为女生的头顶高过男生的头顶.丙同学:第三幅图片中没办法比较谁高谁矮,因为虽然男生的头部高过了女生的头部,但是男生的脚下踩着小板凳呢.老师认为他们三个的说法都有道理.除了以上方法,还有没有别的方法可以比较谁高谁矮?设计意图:从实际情境入手,激发学生的学习兴趣.探究新知探究1线段的长短比较1.线段长短的比较方法.问题1:有一根长木棒,如何从它上面截下一段,使截下的木棒等于另一根木棒的长?教师出示长短不同的两根木棒.学生先思考,小组讨论探索,总结出解决问题的方法.解:方法一,两根小木棒一头对齐,就可以比较;方法二,用刻度尺测量两根小木棒更科学.上面的实际问题可以转化为数学问题:已知线段AB,画一条线段等于已知线段AB.学生独立思考,尝试动手操作,小组讨论交流,教师参与学生小组讨论,指导学生探索问题的解决方法.解:方法一:用刻度尺量出已知线段长,在画出的射线(或直线)上量出相同长度的一条线段.方法二:先用直尺画直线l,再用圆规在直线l上截取CD=AB.如图所示,CD即为所求.追问:观察方法二,你发现它与方法一有什么不同?解:方法二使用了直尺和圆规,并且直尺上没有刻度.教师总结:用无刻度的直尺和圆规作图就是尺规作图.问题2:下图中的两个人是如何比较身高的?解:(1)用测量工具分别测量出他们的实际身高来比较;(2)两个人同时站在同一地面,看头顶高度进行比较.从两个人比较身高的实际问题可以转化为数学问题:如何比较两条线段的长短?学生先小组交流,总结出比较方法,教师评价学生总结出的比较方法,并用教具请一名学生进行演示.总结:(1)度量法:用刻度尺分别测量出它们的长度进行比较.(2)叠合法:把一条线段移到另一条线段上,使它们的一个端点对齐,通过观察另一端点的位置判断结果.2.线段长短的比较结果.学生通过上面的讨论,总结出线段比较结果.教师用教具(三根木棒)演示线段比较方法,评价学生得出的比较结果,再用多媒体演示两条线段的比较方法和比较结果.板书:(1)(2)(3)AB<CD AB>CD AB=CD 探究2线段的基本事实问题3:如图,从A地到B地有四条道路,除它们外能否再修一条从A地到B 地的最短道路?学生讨论交流,在图上画出最短路线.解:能.连接AB,最短路线如图所示.追问1:你能得出线段的性质吗?联想以前所学知识及生活常识,小组讨论.得出结论:1.连接两点的线段的长度,叫作两点间的距离.2.线段的性质:两点的所有连线中,线段最短.简单说成:两点之间,线段最短.追问2:举例说明线段的性质在生活中的应用.解:答案不唯一,如用这个方法可以解决修路问题.设计意图:利用生活情境学习数学,提高学生用数学的眼光观察世界的能力.典例精讲例1如图,这是A,B两地之间的公路,在进行公路工程改造计划时,为使A,B 两地的行程最短,应如何设计线路?请在图中画出,并说明理由.解:如图所示.理由:两点之间,线段最短.例2把原来弯曲的河道改直,A,B两地间的河道长度有什么变化?解:河道长度变短了,原因:两点之间,线段最短.设计意图:通过对例题的讲解,强化学生对知识的理解、掌握和应用.巩固训练1.对下列两个现象的解释,正确的是(D)A.均用两点之间线段最短来解释B.均用经过两点有且只有一条直线来解释C.现象1用两点之间线段最短来解释,现象2用经过两点有且只有一条直线来解释D.现象1用经过两点有且只有一条直线来解释,现象2用两点之间线段最短来解释2.如图,从A地到B地共有5条路,人们往往选择第③条,请用几何知识解释其原因:两点之间,线段最短.3.如图,固定窗帘架只需固定其中的两点,这样做有什么根据?解:根据是两点确定一条直线.设计意图:检测学习效果,强化对新知的理解和掌握.课堂小结本节课我们学习了哪些内容?设计意图:通过归纳本节课学习的主要内容,让学生自觉对所学知识进行梳理,帮助学生进行知识构建.课堂8分钟.1.教材第166页练习第1题,第166页习题6.2第6,9,10题.2.作业.第1课时比较线段的长短1.线段长短的比较:(1)度量法;(2)叠合法:尺规作图.2.基本事实:两点之间,线段最短.3.两点间的距离.教学反思第2课时线段的运算课时目标1.理解线段等分点的意义,培养学生的抽象概括能力.2.会用尺规作图的方法进行线段的和差运算,培养学生的动手操作能力.3.丰富对线段的大小关系的认识,会分析线段的和差关系,进一步提高学生的识图能力.学习重点分析线段的和差关系,认识线段的中点和各等分点.学习难点线段上中点的表示方法及其应用,线段的和差运算.课时活动设计问题引入上节课,我们已经学习了如何比较线段的长短,那么我们怎么才能知道一条长的线段比一条短的线段长多少呢?如何表示这两条线段的总长度呢?学生思考,小组讨论交流.设计意图:从实际问题入手,激发学生的学习兴趣.探究新知探究1线段的和差与画法问题1:设线段a>b,怎样表示线段a+b和线段a-b?学生自主学习教材相关内容,然后师生共同完成该问题的解决.教师在黑板上演示,学生在练习本上画一画.教师演示:在直线上做线段AB=a,再在AB的延长线上作线段BC=b,线段AC 就是a与b的和,记作AC=a+b(如图1所示).在线段AB上作线段BD=b,那么线段AD就是a与b的差,记作AD=a-b(如图2所示).探究2 线段的等分点 1.线段的中点.教师活动:用多媒体演示,取线段AB 上一点M ,移动线段AM 到线段MB 上,当AM 与MB 完全重合时,线段AM =MB.教师总结:取线段AB 上一点M ,点M 把线段AB 分成相等的两条线段AM 与MB ,点M 叫作线段AB 的中点.几何语言:AM =MB =12AB2.线段的等分点.思考:线段AB 有没有三等分点?你能不能找到?怎样确定的?小组交流. 那么,线段AB 有没有四等分点呢?通过类比线段的中点,可得出线段的三等分点、四等分点等.师生共同:AM =MN =NB =13AB AM =MN =NP =PB =14AB问题2:直线上线段AB =8 cm,在AB 的延长线上画线段BC =5 cm,线段AC 的长度是多少?如果在AB 上画线段BC =5 cm,那么线段AC 的长度是多少?有的同学认为两个问题答案一样,有的同学认为不一样,小组交流,师生一起订正.解:在AB 的延长线上画线段BC =5 cm,AC =AB +BC =8+5=13(cm).在AB 上画线段BC =5 cm 时,一种可能是在AB 的延长线上画线段BC =5 cm,AC =AB +BC =8+5=13(cm);另一种可能是在线段AB 上画线段BC =5 cm,AC =AB -BC =8-5=3(cm).设计意图:进一步提升学生用数学的观点解决相关实际问题的能力,提高学生分析问题、解决问题的能力,渗透分类讨论的数学思想.典例精讲例1 若AB =6 cm,C 是线段AB 的中点,D 是线段CB 的中点,求线段AD 的长是多少?解:如图所示.因为C 是线段AB 的中点, 所以CB =AC =12AB =12×6=3(cm). 因为D 是线段CB 的中点, 所以CD =12CB =12×3=1.5(cm).所以AD =AC +CD =3+1.5=4.5(cm).例2 如图,线段AB =4 cm,BC =6 cm,若D 为线段AB 的中点,E 为线段BC 的中点,求线段DE 的长.解:因为D 为线段AB 的中点,线段AB =4 cm,所以DB =12AB =12×4=2(cm).因为E 为线段BC 的中点,线段BC =6 cm,所以BE =12BC =12×6=3(cm).所以DE =DB +BE =2+3=5(cm).设计意图:通过对例题的讲解,强化学生对知识的理解、掌握和应用.巩固训练1.有下列四种说法:③因为AM =MB ,所以M 是线段AB 的中点;③在线段AM 的延长线上取一点B ,如果AB =2AM ,那么M 是线段AB 的中点;③因为M 是线段AB 的中点,所以AM =MB =12AB ;③因为点A ,M ,B 在同一条直线上,且AM =BM ,所以M 是线段AB 的中点.其中正确的是( C ) A.③③③B.③ C .③③③ D.③③2.画线段AB =50 mm,在线段AB 上取一点C ,使得5AC =2AB ,在AB 的延长线上取一点D,使得AB=10BD,那么CD=35mm.3.如下图,AC=CD=DE=EB,图中和线段AD长度相等的线段有线段DB,线段CE.以点D为中点的线段有线段CE,线段AB.4.如下图,已知线段a,b,c,画一条线段,使它等于a+b-c(用尺规和刻度尺两种方法).解:尺规法:作AB=a,BC=b,CD=c.如图所示.线段AD=a+b-c,即为所求.刻度尺法:在直线上作线段AB=a,再在线段AB的延长线上作线段BC=b,则线段AC=a+b.在线段AC上作线段CD=c,则线段AD=a+b-c.如下图所示.线段AD=a+b-c,即为所求.设计意图:检测学习效果,强化对新知的理解和掌握.课堂小结本节课你有哪些收获?设计意图:通过归纳本节课学习的主要内容,让学生自觉对所学知识进行梳理,帮助学生进行知识构建.课堂8分钟.1.教材第166页练习第2,3题,第166页习题6.2第4,5,7,8题.2.作业.教学反思。
参考线测量方法
参考线测量方法
参考线测量方法有多种，以下是其中一些常用的方法：
1. 两点法：选择两个已知点，确定一条直线作为参考线，然后通过测量其他点到这条直线的距离，来计算出其他点的坐标。
2. 角度法：选择一个已知点和已知方位角，确定一条直线作为参考线，然后通过测量其他点到这条直线的角度，来计算出其他点的坐标。
3. 距离法：选择一个已知点和已知距离，确定一条直线作为参考线，然后通过测量其他点到这条直线的距离，来计算出其他点的坐标。
4. 三点法：选择三个已知点，确定一个平面作为参考面，然后通过测量其他点到这个平面的距离，来计算出其他点的坐标。
5. 坐标法：直接使用已知的坐标值来确定参考线或参考面，然后通过测量其他点到这些已知点的距离或角度，来计算出其他点的坐标。
以上是参考线测量的一些常见方法，具体使用哪种方法取决于测量任务的要求和条件。
06两点确定一条直线
06 两点确定一条直线一．选择题（共10 小题）1．工人师傅在给小明家安装晾衣架时，一般先在阳台天花板上选取两个点，然后再进行安装．这样做的数学原理是（）A．过一点有且只有一条直线B．两点之间，线段最短C．连接两点之间的线段叫两点间的距离D．两点确定一条直线2．在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是（）A．1 枚B．2 枚C．3 枚D．任意枚3．若平面内有点A、B、C，过其中任意两点画直线，则最多可以画的条数是（）A．3 条B．4 条C．5 条D．6 条4．下列说法中正确的是（）A．射线AB 和射线BA是同一条射线B．射线就是直线C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线D．延长直线AB5．经过同一平面内A、B、C 三点中的每两点可画出直线的条数为（）A．0 条B．1 条C．3 条D．3条或1 条6．在开会前，工作人员进行会场布置，如图为工作人员在主席台上由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”摆放整齐的茶杯，这样做的理由是（A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线C．垂线段最短D．过一点可以作无数条直线7．下列事实可以用“两点确定一条直线”来解释的有（）个①墙上钉木条至少要两颗钉子才能牢固；②农民拉绳播秧；③解放军叔叔打靶瞄准；④从A 地到B 地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设．A．1 B．2 C．3 D．48．平面上有五个点，其中只有三点共线．经过这些点可以作直线的条数是（）A．6 条B．8 条C．10 条D．12 条9．过两点有且只有（）条直线．A．3 B．2 C．1 D．010．下列说法正确的是（）A．两点确定两条直线B．三点确定一条直线C．过一点只能作一条直线D．过一点可以作无数条直线二．填空题（共2 小题）11．下列三个现象：①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上；②从A 地到B 地架设电线，只要尽可能沿着线段AB架设，就能节省材料；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行树在一条直线上．其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有（填序号）12．小朋友在用玩具枪瞄准时，总是用一只眼对准准星和目标，用数学知识解释为：．06 两点确定一条直线参考答案与试题解析一．选择题（共10 小题）1．工人师傅在给小明家安装晾衣架时，一般先在阳台天花板上选取两个点，然后再进行安装．这样做的数学原理是（）A．过一点有且只有一条直线B．两点之间，线段最短C．连接两点之间的线段叫两点间的距离D．两点确定一条直线【分析】直接利用直线的性质分析得出答案．【解答】解：工人师傅在给小明家安装晾衣架时，一般先在阳台天花板上选取两个点，然后再进行安装．这样做的数学原理是：两点确定一条直线．故选：D．【点评】此题主要考查了直线的性质，正确把握直线的性质是解题关键．2．在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是（）A．1 枚B．2 枚C．3 枚D．任意枚【分析】根据直线的性质，两点确定一条直线解答．【解答】解：∵两点确定一条直线，∴至少需要2 枚钉子．故选：B．【点评】本题考查了直线的性质，熟记两点确定一条直线是解题的关键．3．若平面内有点A、B、C，过其中任意两点画直线，则最多可以画的条数是（）A．3 条B．4 条C．5 条D．6 条【分析】根据两点确定一条直线，判断即可．【解答】解：平面内有点A、B、C，过其中任意两点画直线，则最多可以画的条数是3 条，故选：A．【点评】此题考查了直线的性质：两点确定一条直线，熟练掌握直线的性质是解本题的关键．4．下列说法中正确的是（）A．射线AB 和射线BA是同一条射线B．射线就是直线C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线D．延长直线AB【分析】根据表示射线时，端点字母必须在前，射线AB和射线BA 端点字母不同，因此不是同一条射线；射线是直线的一部分；经过两点有且只有一条直线；直线是无限延伸的进行分析即可．【解答】解：A、射线AB 和射线BA 不是同一条射线，故选项错误；B、射线是直线的一部分，故选项错误；C、经过两点有一条直线，并且只有一条直线，故选项正确；D、直线是无限长的，故选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了直线、射线的表示和性质，关键是掌握射线和直线的表示方法，以及关系．5．经过同一平面内A、B、C 三点中的每两点可画出直线的条数为（）A．0 条B．1 条C．3 条D．3条或1 条【分析】答题时首先知道两点确定一直线，然后讨论点的位置关系．【解答】解：当3点都在一条直线上时，3点只能确定一条直线，当3点有2点在一条直线上时，可以确定3 条直线，故选：D．【点评】本题主要考查直线的知识点，关键是知道两点确定一直线．6．在开会前，工作人员进行会场布置，如图为工作人员在主席台上由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”摆放整齐的茶杯，这样做的理由是（）A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线C．垂线段最短D．过一点可以作无数条直线【分析】根据直线的性质：两点确定一条直线可得答案．【解答】解：由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”摆放整齐的茶杯，这样做的理由是两点确定一条直线，故选：B．【点评】此题主要考查了直线的性质，关键是掌握两点确定一条直线．7．下列事实可以用“两点确定一条直线”来解释的有（）个①墙上钉木条至少要两颗钉子才能牢固；②农民拉绳播秧；③解放军叔叔打靶瞄准；④从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由题意，认真分析题干，用数学知识解释生活中的现象．【解答】解：①②③现象可以用两点可以确定一条直线来解释；④现象可以用两点之间，线段最短来解释．故选：C．【点评】本题主要考查两点确定一条直线和两点之间线段最短在实际生活中的应用，应注意理解区分．正确确定现象的本质是解决本题的关键．8．平面上有五个点，其中只有三点共线．经过这些点可以作直线的条数是（）A．6 条B．8 条C．10 条D．12 条【分析】根据两点确定一条直线，作出草图即可得解．【解答】解：如图，共有8 条直线．【点评】本题主要考查了两点确定一条直线的性质，根据题意画出图形，利用数形结合的思想求解更加形象直观．9．过两点有且只有（）条直线．A．3 B．2 C．1 D．0【分析】根据直线的公理，过两点有且只有一条直线，即可得出答案．【解答】解：根据直线的公理，过两点有且只有一条直线．故选：C．【点评】本题主要考查了直线的公理，过两点有且只有一条直线，比较简单．10．下列说法正确的是（）A．两点确定两条直线B．三点确定一条直线C．过一点只能作一条直线D．过一点可以作无数条直线【分析】根据直线的性质两点确定一条直线对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、应为两点确定一条直线，故本选项错误；B、三点确定一条直线或三条直线，故本选项错误；过一点可以作无数条直线，故C选项错误，D 选项正确．故选：D．【点评】本题考查了直线的性质，熟记两点确定一条直线是解题的关键．．填空题（共2 小题）11．下列三个现象：①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，只要尽可能沿着线段AB架设，就能节省材料；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行树在一条直线上．其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有①③ （填序号）【分析】直接利用直线的性质进而分析得出答案．【解答】解：①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上，可用“两点确定一条直线”来解释；②从A地到B地架设电线，只要尽可能沿着线段AB架设，就能节省材料，可用“两点之间线段最短”来解释；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行树在一条直线上，可用“两点确定一条直线”来解释；其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有①③．故答案为：①③．【点评】此题主要考查了直线的性质，正确应用直线的性质是解题关键．12．小朋友在用玩具枪瞄准时，总是用一只眼对准准星和目标，用数学知识解释为：两点确定一条直线．【分析】根据两点确定一条直线的知识解答．【解答】解：∵准星与目标两点，∴利用的数学知识是：两点确定一条直线．故答案为：两点确定一条直线．【点评】本题考查了两点确定一条直线的性质，是基础知识，需要熟练掌握．。
直线的两点式方程
直线的两点式方程两点确定一条直线，若点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是直线l上的不同两点，你能求出直线l的方程吗？你能得出直线l的两点式方程吗？1．直线的两点式方程(1)定义：如图所示，直线l经过点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，则方程y－y1y2－y1＝__x－x1x2－x1__叫做直线l的两点式方程，简称两点式．(2)说明：与坐标轴__垂直(或平行)__的直线没有两点式方程．[归纳总结]直线的两点式方程应用的前提条件是：x1≠x2，y1≠y2，即直线的斜率不存在及斜率为零时，没有两点式方程．当x1＝x2时，直线方程为x＝x1；当y1＝y2时，直线方程为y＝y1．2．直线的截距式方程(1)定义：如图所示，直线l与两坐标轴的交点分别是P1(a,0)、P2(0，b)(其中a≠0，b≠0)，则方程为__xa＋yb＝1__叫做直线l的截距式方程，简称截距式．(2)说明：一条直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距．与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式．[归纳总结](1)截距式是两点式的特例，当已知直线上的两点分别是与两坐标轴的交点(原点除外)时，由两点式可得直线方程的形式为xa＋yb＝1(ab≠0)，即为截距式．用截距式可以很方便地画出直线．(2)直线方程的截距式在结构上的特点：直线方程的截距式为xa＋yb＝1，x项对应的分母是直线在x轴上的截距，y项对应的分母是直线在y轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两轴上的截距，如：x 3－y 4＝1，x 3＋y4＝－1就不是直线的截距式方程．3．中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则有⎩⎨⎧x ＝__x 1＋x22__y ＝__y 1＋y22__．此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式． 预习自测1．过点A (5,6)和点B (－1,2)的直线方程的两点式是( B ) A ．y －5x －6＝y ＋1x －2B ．y －62－6＝x －5－1－5C ．2－6y －6＝1－5x －5D ．x －62－6＝y －5－1－5[解析] 由两点式方程得，直线方程为y －62－6＝x －5－1－5，故选B ．2．在x 、y 轴上的截距分别是－3,4的直线方程是( A ) A ．x －3＋y4＝1B ．x 3＋y－4＝1C ．x －3－y4＝1D ．x 4＋y－3＝1[解析] 由截距式方程可得，直线方程为x －3＋y4＝1，故选A ．3．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( A ) A ．－32B ．－23C ．25D ．2[解析] 直线方程为y －91－9＝x －3－1－3化为截距式为x －32＋y 3＝1，则在x 轴上的截距为－32．4．点P 1(5，－2)、点P 2(－7,6)，则线段P 1P 2的中点M 的坐标为__(－1,2)__. [解析] M (5－72，－2＋62)，即M (－1,2)．5．在△ABC 中，已知点A (5，－2)、B (7,3)，且边AC 的中点M 在y 轴上，边BC 的中点N 在x 轴上.(1)求点C 的坐标； (2)求直线MN 的方程．[解析] (1)设点C (x ，y )，由题意得5＋x 2＝0，3＋y2＝0．得x ＝－5，y ＝－3.故所求点C 的坐标是(－5，－3)． (2)点M 的坐标是(0，－52)，点N 的坐标是(1,0)直线MN 的方程是y －0－52－0＝x －10－1即5x －2y －5＝0．命题方向1 ⇨直线的两点式方程典例1 已知A (－3,2)、B (5，－4)、C (0，－2)，在△ABC 中， (1)求BC 边所在的直线方程； (2)求BC 边上的中线所在直线的方程．[解析] (1)∵BC 边过两点B (5，－4)、C (0，－2) ∴由两点式得y －(－4)(－2)－(－4)＝x －50－5即2x ＋5y ＋10＝0．故BC 边所在的直线方程为2x ＋5y ＋10＝0． (2)设BC 的中点为M (x 0，y 0)则x 0＝5＋02＝52，y 0＝(－4)＋(－2)2＝－3．∴M (52，－3)又BC 边上的中线经过点A (－3,2)． ∴由两点式得y －2－3－2＝x －(－3)52－(－3)即10x ＋11y ＋8＝0．故BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0．『规律方法』 对直线的两点式方程的理解：(1)方程也可写成y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2，两者形式有异但实质相同；(2)当直线斜率不存在(x 1＝x 2)或斜率为零(y 1＝y 2)时，不能用两点式表示；(3)如果将直线两点式转化为：(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)，此时只要直线上两点不重合，都可以用它表示出来(即这个变形方程可以表示过任意已知两点的直线)．〔跟踪练习1〕求经过下列两点的直线方程：(1)A (2,5)、B (4,3)；(2)A (2,5)、B (5,5)；(3)A (2,5)、B (2,7)． [解析] (1)直线的两点式方程为y －53－5＝x －24－2，即x ＋y －7＝0．(2)由于点A 与点B 的纵坐标相等，所以不能用两点式方程，所求的直线方程为y ＝5． (3)由于点A 与点B 的横坐标相等，所以不能用两点式方程，所求的直线方程为x ＝2. 命题方向2 ⇨直线的截距式方程典例2 直线l 过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l 的方程. [思路分析] 由于直线在两坐标轴上的截距之和为12，因此直线l 在两坐标轴上的截距都存在且不为零，故可设为截距式直线方程．[解析] 设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1则a ＋b ＝12.① 又直线l 过点(－3,4)，∴－3a ＋4b＝1.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝9b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝16．故所求的直线方程为x 9＋y 3＝1或x －4＋y16＝1即x ＋3y －9＝0或4x －y ＋16＝0．『规律方法』 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． 〔跟踪练习2〕已知直线过点P (2,3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程． [解析] 设直线与两坐标轴的交点为(a,0)、(0，b )． (1)当ab ≠0时，直线方程为x a ＋yb ＝1．由点P 在此直线上，有2a ＋3b ＝1，①又由已知得|a |＝|b |，②联立方程①②可得a ＝b ＝5或a ＝－1，b ＝1 所以直线方程为x ＋y －5＝0或x －y ＋1＝0．(2)当a ＝b ＝0时，直线过原点和P (2,3)，易知直线方程为3x －2y ＝0． 综上所述，所求直线方程为x ＋y －5＝0或x －y ＋1＝0或3x －2y ＝0．典例3 已知直线l 过点P (2，－1)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程. [错解] 由题意，设直线l 的方程为x a ＋ya ＝1∵直线l 过点(2，－1)，∴2a ＋－1a ＝1∴a ＝1，则直线l 的方程为x ＋y －1＝0． [错因分析] 错解忽略了过原点时的情况．[思路分析] 截距式方程中a ≠0，b ≠0，即直线与坐标轴垂直或直线过原点时不能用截距式方程．注意在两坐标轴上存在截距的直线不一定有截距式方程，此时在x 、y 轴上的截距均为0，即过原点．[正解] 设直线l 在两坐标轴上的截距为a ． 若a ＝0，则直线l 过原点，其方程为x ＋2y ＝0； 若a ≠0，则直线l 的方程可设为x a ＋ya ＝1∵直线l 过点(2，－1)，∴2a ＋－1a ＝1∴a ＝1，则直线l 的方程为x ＋y －1＝0．综上所述，直线l 的方程为x ＋2y ＝0或x ＋y －1＝0．[警示] (1)直线的截距式方程不能表示与坐标轴平行的直线，也不能表示过原点的直线，解题时不要忽视截距为0的情形．(2)直线在两坐标轴上的“截距”是直线与坐标轴交点的横、纵坐标，而不是“距离”． 〔跟踪练习3〕已知斜率为－43的直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为6，求直线l 的方程．[错解] 设l ：y ＝－43x ＋b令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝34b ．由题意得12·b ·⎝⎛⎭⎫34b ＝6．∵b >0，∴b ＝4∴直线l 的方程为y ＝－43x ＋4．[错因分析] 上述解法的错误主要在于“误把直线在两坐标轴上的截距当作距离”． [正解] 设l ：y ＝－43x ＋b令x ＝0，得y ＝b ； 令y ＝0，得x ＝34b ．由题意，得12·|b |·⎪⎪⎪⎪34b ＝6 ∴b 2＝16，∴b ＝±4．故直线l 的方程为y ＝－43x ±4．分类讨论思想典例4 直线l 与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2，两截距之差为3，求直线l 的方程.[思路分析] 已给出了截距间的关系――→设截距分别为a 、b12ab ＝2|a －b |＝3――→讨论a 、ba 、b 的值―→直线方程[解析] 设直线l 在x 轴，y 轴上的截距分别为a 、b ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝2|a －b |＝3，①当a ≥b 时，①可化为⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝2a －b ＝3解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝－4(舍去)． 当a <b 时，①可化为⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝2b －a ＝3解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝－1(舍去)． 所以，直线l 的截距方式方程为x 4＋y ＝1或x ＋y4＝1．『规律方法』 利用截距求面积：(1)截距式方程是两点式的一种特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点)，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长时较方便．(2)从题意看，本题只告诉了截距之间的关系，因此解题时，设出了直线的截距式，由于不知截距的大小，因此，需要进行分类讨论．〔跟踪练习4〕已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，若直线过定点A (－3,4)，求直线l 的方程．[解析] 由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，则12|3k ＋4||－4k －3|＝3，显然k >0时不成立．解得k 1＝－23，k 2＝－83．所以直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0． 1．下列语句中正确的是( B )A ．经过定点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过任意两个不同点P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb ＝1表示D ．经过定点的直线都可以用y ＝kx ＋b 表示[解析] A 、D 不能表示斜率不存在的直线，C 不能表示k ＝0或不存在的直线． 2．已知直线l 的两点式方程为y －0－3－0＝x －(－5)3－(－5)，则l 的斜率为( A )A ．－38B ．38C ．－32D ．32[解析] 由两点式方程y －0－3－0＝x －(－5)3－(－5)，知直线l 过点(－5,0)、(3，－3)，所以l 的斜率为0－(－3)(－5)－3＝－38．3．直线l 过点M (－1,2)，分别与x 、y 轴交于A 、B 两点，若M 为线段AB 的中点，则直线l 的方程为__2x －y ＋4＝0__.[解析] 设A (x,0)、B (0，y )． 由M (－1,2)为AB 的中点∴⎩⎨⎧x ＋02＝－10＋y 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝4．由截距式得l 的方程为x －2＋y4＝1，即2x －y ＋4＝0． 4．过点P (1,2)且在两坐标轴上截距和为0的直线方程为__y ＝2x 或－x ＋y ＝1__. [解析] 当直线在两坐标轴上截距都为0时，即直线过原点，方程为：y ＝2x ． 当直线不过原点时，设方程为x a ＋y－a ＝1，代入P (1,2)得，a ＝－1，故方程为：－x ＋y＝1．5．已知A (3,0)、B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是__3__. [解析] 直线AB 的方程为x 3＋y4＝1∴y ＝4－4x3∴xy ＝x (4－43x )＝4x －43x 2＝－43(x 2－3x )＝－43[(x －32)2－94]＝－43(x －32)2＋3∴当x ＝32时，xy 取最大值3．一、选择题1．直线x 2－y5＝1在x 轴、y 轴上的截距分别为( B )A ．2,5B ．2，－5C ．－2，－5D ．－2,5[解析] 将x 2－y 5＝1化成直线截距式的标准形式为x 2＋y －5＝1，故直线x 2－y5＝1在x 轴、y轴上的截距分别为2、－5．2．已知点M (1，－2)、N (m,2)，若线段MN 的垂直平分线的方程是x2＋y ＝1，则实数m的值是( C )A ．－2B ．－7C ．3D ．1[解析] 由中点坐标公式，得线段MN 的中点是(1＋m 2，0)．又点(1＋m2，0)在线段MN的垂直平分线上，所以1＋m4＋0＝1，所以m ＝3，选C ．3．如右图所示，直线l 的截距式方程是x a ＋yb＝1，则有( B )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0[解析] 很明显M (a,0)、N (0，b )，由图知M 在x 轴正半轴上，N 在y 轴负半轴上，则a >0，b <0．4．已知△ABC 三顶点A (1,2)、B (3,6)、C (5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为( A )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y ＋8＝0C ．2x ＋y －12＝0D ．2x －y －12＝0[解析] 点M 的坐标为(2,4)，点N 的坐标为(3,2)，由两点式方程得y －24－2＝x －32－3，即2x＋y －8＝0．5．如果直线l 过(－1，－1)、(2,5)两点，点(1 008，b )在直线l 上，那么b 的值为( D ) A ．2 014 B ．2 015 C ．2 016D ．2 017[解析] 根据三点共线，得5－(－1)2－(－1)＝b －51 008－2，得b ＝2 017．6．两直线x m －y n ＝1与x n －ym＝1的图象可能是图中的哪一个( B )[解析] 直线x m －yn ＝1化为y ＝n m x －n ，直线x n －ym＝1化为 y ＝mnx －m ，故两直线的斜率同号，故选B ．7．直线l 与直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率是( B )A ．23B ．－23C ．32D ．－32[解析] 因为直线l 与直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，所以可设P (a,1)，Q (b ，b －7)，∵线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，∴1＝a ＋b 2，－1＝1＋b －72，解得a ＝－2，b ＝4，∴P (－2,1)，Q (4，－3)，直线l 的斜率为－3－14＋2＝－23，故选B ．8．过P (4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有( B ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条[解析] 解法一：设直线方程为y ＋3＝k (x －4)(k ≠0)． 令y ＝0得x ＝3＋4kk ，令x ＝0得y ＝－4k －3．由题意，3＋4k k ＝－4k －3，解得k ＝－34或k ＝－1．因而所求直线有两条，∴应选B ．解法二：当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设直线在坐标轴上截距为(a,0)，(0，a )，a ≠0，则直线方程为x a ＋ya＝1，把点P (4，－3)的坐标代入方程得a ＝1．∴所求直线有两条，∴应选B ． 二、填空题9．已知点P (－1,2m －1)在经过M (2，－1)、N (－3,4)两点的直线上，则m ＝__32__.[解析] 解法一：MN 的直线方程为：y ＋14＋1＝x －2－3－2，即x ＋y －1＝0代入P (－1,2m －1)得m ＝32．解法二：M 、N 、P 三点共线 ∴4－(2m －1)－3＋1＝4－(－1)－3－2，解得m ＝32．10．已知直线l 的斜率为6，且在两坐标轴上的截距之和为10，则此直线l 的方程为__6x －y ＋12＝0__.[解析] 设l ：y ＝6x ＋b ，令y ＝0得x ＝－b6．由条件知b ＋⎝⎛⎭⎫－b6＝10，∴b ＝12． ∴直线l 方程为y ＝6x ＋12．解法2：设直线l ：x a ＋y b ＝1，变形为y ＝－bax ＋b ．由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ －b a ＝6，a ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝12，a ＝－2． ∴直线l 方程为x －2＋y 12＝1.即6x －y ＋12＝0． 三、解答题11．求分别满足下列条件的直线l 的方程：(1)斜率是34，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6； (2)经过两点A (1,0)、B (m,1)；(3)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．[解析](1)设直线l 的方程为y ＝34x ＋b ． 令y ＝0，得x ＝－43b ∴12|b ·(－43b )|＝6，b ＝±3． ∴直线l 的方程为y ＝43x ±3． (2)当m ≠1时，直线l 的方程是y －01－0＝x －1m －1，即y ＝1m －1(x －1) 当m ＝1时，直线l 的方程是x ＝1．(3)设l 在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b ．当a ≠0，b ≠0时，l 的方程为x a ＋y b＝1； ∵直线过P (4，－3)，∴4a －3b＝1． 又∵|a |＝|b |∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a －3b ＝1a ＝±b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7b ＝－7． 当a ＝b ＝0时，直线过原点且过(4，－3)∴l 的方程为y ＝－34x ． 综上所述，直线l 的方程为x ＋y ＝1或x 7＋y －7＝1或y ＝－34x ． 12．△ABC 的三个顶点分别为A (0,4)、B (－2,6)、C (－8,0).(1)分别求边AC 和AB 所在直线的方程；(2)求AC 边上的中线BD 所在直线的方程；(3)求AC 边的中垂线所在直线的方程；(4)求AC 边上的高所在直线的方程；(5)求经过两边AB 和AC 的中点的直线方程．[解析] (1)由A (0,4)，C (－8,0)可得直线AC 的截距式方程为x －8＋y 4＝1，即x －2y ＋8＝0． 由A (0,4)，B (－2,6)可得直线AB 的两点式方程为y －46－4＝x －0－2－0，即x ＋y －4＝0． (2)设AC 边的中点为D (x ，y )，由中点坐标公式可得x ＝－4，y ＝2，所以直线BD 的两点式方程为y －62－6＝x ＋2－4＋2，即2x －y ＋10＝0． (3)由直线AC 的斜率为k AC ＝4－00＋8＝12，故AC 边的中垂线的斜率为k ＝－2.又AC 的中点D (－4,2)所以AC 边的中垂线方程为y －2＝－2(x ＋4)即2x ＋y ＋6＝0．(4)AC 边上的高线的斜率为－2，且过点B (－2,6)，所以其点斜式方程为y －6＝－2(x ＋2)，即2x ＋y －2＝0．(5)AB 的中点M (－1,5)，AC 的中点D (－4,2)∴直线DM 方程为y －25－2＝x －(－4)－1－(－4)即x －y ＋6＝0．13．已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，点M 在此抛物线上，点N 在y 轴上，以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，求点M 的坐标.[解析] 容易求得抛物线与x 轴的交点分别为(－3,0)、(1,0)不妨设A (－3,0)、B (1,0)，由已知，设M (a ，b )、N (0，n )根据平行四边形两条对角线互相平分的性质，可得两条对角线的中点重合．按A 、B 、M 、N 两两连接的线段分别作为平行四边形的对角线进行分类，有以下三种情况：①若以AB 为对角线，可得a ＋0＝－3＋1，解得a ＝－2；②若以AN 为对角线，可得a ＋1＝－3＋0，解得a ＝－4；③若以BN 为对角线，可得a ＋(－3)＝1＋0，解得a ＝4．因为点M 在抛物线上，将其横坐标的值分别代入抛物线的解析式，可得M (－2,3)或M (－4，－5)或M (4，－21)．。
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06 两点确定一条直线
一．选择题（共10 小题）1．工人师傅在给小明家安装晾衣架时，一般先在阳台天花板上选取两个点，然后再进行安装．这样做的数学原理是（）A．过一点有且只有一条直线B．两点之间，线段最短
C．连接两点之间的线段叫两点间的距离D．两点确定一条直线2．在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是（）
A．1 枚B．2 枚C．3 枚D．任意枚
3．若平面内有点A、B、C，过其中任意两点画直线，则最多可以画的条数是（）A．3 条B．4 条C．5 条D．6 条
4．下列说法中正确的是（）
A．射线AB 和射线BA是同一条射线
B．射线就是直线
C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线
D．延长直线AB
5．经过同一平面内A、B、C 三点中的每两点可画出直线的条数为（）A．0 条B．1 条C．3 条D．3条或1 条
6．在开会前，工作人员进行会场布置，如图为工作人员在主席台上由两人拉着
一条绳子，然后以“准绳”摆放整齐的茶杯，这样做的理由是（
A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线
C．垂线段最短D．过一点可以作无数条直线
7．下列事实可以用“两点确定一条直线”来解释的有（）个
①墙上钉木条至少要两颗钉子才能牢固；
②农民拉绳播秧；
③解放军叔叔打靶瞄准；
④从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．平面上有五个点，其中只有三点共线．经过这些点可以作直线的条数是（）A．6 条B．8 条C．10 条D．12 条
9．过两点有且只有（）条直线．
A．3 B．2 C．1 D．0
10．下列说法正确的是（）
A．两点确定两条直线B．三点确定一条直线C．过一点只能作一条直线D．过一点可以作无数条直线
二．填空题（共2 小题）
11．下列三个现象：①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上；
②从A地到B地架设电线，只要尽可能沿着线段AB架设，就能节省材料；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行树在一条直线上．其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有（填序号）12．小朋友在用
玩具枪瞄准时，总是用一只眼对准准星和目标，用数学知识解释为：．
06 两点确定一条直线
参考答案与试题解析
一．选择题（共10 小题）1．工人师傅在给小明家安装晾衣架时，一般先在阳台天花板上选取两个点，然后再进行安装．这样做的数学原理是（）A．过一点有且只有一条直线
B．两点之间，线段最短C．连接两点之间的线段叫两点间的距离
D．两点确定一条直线
【分析】直接利用直线的性质分析得出答案．
【解答】解：工人师傅在给小明家安装晾衣架时，一般先在阳台天花板上选取两个点，然后再进行安装．
这样做的数学原理是：两点确定一条直线．
故选：D．
【点评】此题主要考查了直线的性质，正确把握直线的性质是解题关键．
2．在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是（）
A．1 枚B．2 枚C．3 枚D．任意枚
【分析】根据直线的性质，两点确定一条直线解答．
【解答】解：∵两点确定一条直线，
∴至少需要2 枚钉子．
故选：B．
【点评】本题考查了直线的性质，熟记两点确定一条直线是解题的关键．
3．若平面内有点A、B、C，过其中任意两点画直线，则最多可以画的条数是（）A．3 条B．4 条C．5 条D．6 条
【分析】根据两点确定一条直线，判断即可．
【解答】解：平面内有点A、B、C，过其中任意两点画直线，则最多可以画的条
数是3 条，
故选：A．
【点评】此题考查了直线的性质：两点确定一条直线，熟练掌握直线的性质是解本题的关键．
4．下列说法中正确的是（）
A．射线AB 和射线BA是同一条射线
B．射线就是直线
C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线
D．延长直线AB
【分析】根据表示射线时，端点字母必须在前，射线AB 和射线BA 端点字母不同，因此不是同一条射线；射线是直线的一部分；经过两点有且只有一条直线；直线是无限延伸的进行分析即可．
【解答】解：A、射线AB 和射线BA 不是同一条射线，故选项错误；
B、射线是直线的一部分，故选项错误；
C、经过两点有一条直线，并且只有一条直线，故选项正确；
D、直线是无限长的，故选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了直线、射线的表示和性质，关键是掌握射线和直线的表示方法，以及关系．
5．经过同一平面内A、B、C 三点中的每两点可画出直线的条数为（）A．0 条B．1 条C．3 条D．3 条或1 条
【分析】答题时首先知道两点确定一直线，然后讨论点的位置关系．
【解答】解：当3 点都在一条直线上时，3 点只能确定一条直线，当3 点有2 点在一条直线上时，可以确定3 条直线，
故选：D．
【点评】本题主要考查直线的知识点，关键是知道两点确定一直线．
6．在开会前，工作人员进行会场布置，如图为工作人员在主席台上由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”摆放整齐的茶杯，这样做的理由是（）
A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线
C．垂线段最短D．过一点可以作无数条直线
【分析】根据直线的性质：两点确定一条直线可得答案．
【解答】解：由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”摆放整齐的茶杯，这样做的理由是两点确定一条直线，
故选：B．
【点评】此题主要考查了直线的性质，关键是掌握两点确定一条直线．
7．下列事实可以用“两点确定一条直线”来解释的有（）个
①墙上钉木条至少要两颗钉子才能牢固；
②农民拉绳播秧；
③解放军叔叔打靶瞄准；
④从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由题意，认真分析题干，用数学知识解释生活中的现象．
【解答】解：①②③现象可以用两点可以确定一条直线来解释；
④现象可以用两点之间，线段最短来解释．故选：C．
【点评】本题主要考查两点确定一条直线和两点之间线段最短在实际生活中的应用，应注意理解区分．正确确定现象的本质是解决本题的关键．
8．平面上有五个点，其中只有三点共线．经过这些点可以作直线的条数是（）A．6 条B．8 条C．10 条D．12 条
【分析】根据两点确定一条直线，作出草图即可得解．
【解答】解：如图，共有8 条直线．
【点评】本题主要考查了两点确定一条直线的性质，根据题意画出图形，利
用数形结合的思想求解更加形象直观．
9．过两点有且只有（）条直线．
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】根据直线的公理，过两点有且只有一条直线，即可得出答案．
【解答】解：根据直线的公理，过两点有且只有一条直线．
故选：C．
【点评】本题主要考查了直线的公理，过两点有且只有一条直线，比较简单．
10．下列说法正确的是（）
A．两点确定两条直线B．三点确定一条直线
C．过一点只能作一条直线D．过一点可以作无数条直线【分析】根据直线的性质两点确定一条直线对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、应为两点确定一条直线，故本选项错误；B、三点确定一条直线或三条直线，故本选项错误；过一点可以作无数条直线，故C选项错误，D 选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了直线的性质，熟记两点确定一条直线是解题的关键．．填空题（共2 小题）
11．下列三个现象：
①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上；
②从A地到B地架设电线，只要尽可能沿着线段AB架设，就能节省材料；
③植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行树在一条直线上．
其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有①③ （填序号）
【分析】直接利用直线的性质进而分析得出答案．
【解答】解：①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上，可用“两点确定
一条直线”来解释；
②从A地到B地架设电线，只要尽可能沿着线段AB架设，就能节省材料，可用“两点之间线段最短”来解释；
③植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行树在一条直线上，可用“两点确定一条直线”来解释；
其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有①③．
故答案为：①③．
【点评】此题主要考查了直线的性质，正确应用直线的性质是解题关键．
12．小朋友在用玩具枪瞄准时，总是用一只眼对准准星和目标，用数学知识解释为：两点确定一条直线．
【分析】根据两点确定一条直线的知识解答．
【解答】解：∵准星与目标两点，
∴利用的数学知识是：两点确定一条直线．故答案为：两点确定一条直线．【点评】本题考查了两点确定一条直线的性质，是基础知识，需要熟练掌握．。