离散数学 格与布尔代数

1
f(2∨3)=f(6)={a,b} f(2∧3)=f(1)=Φ f(2∨6)=f(6)={a,b} f(2∧6)=f(2)={a} 可见它们同构。

Φ
3 2 1


{b} {a} Φ
f(2)∪f(3)={a}∪{b}={a,b} f(2)∩f(3)={a}∩{b}=Φ f(2)∪f(6)={a}∪{a,b}={a,b} f(2)∪f(6)={a}∪{a,b}={a}
*9. a≤b a∨b=b a∧b=a
证明：下面只证明a≤b a∨b=b 先证a≤b a∨b=b 设 a≤b，又b≤b ∴ a∨b≤ b 又∵ b≤a∨b 由反对称得 a∨b=b 再证 a∨b=b a≤b 已知 a∨b=b ∵ a≤ a∨b ∴ a≤b。 最后得 a≤b a∨b=b
a,b,cA, 则以下命题等价： (1) a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c) (2) a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c) 证明: (1)(2) (a∨b)∧(a∨c) =((a∨b)∧a)∨((a∨b)∧c) =a∨(a∧c)∨(b∧c)（吸收） =a∨(b∧c) （吸收） 同理可证(2)(1)成立。
三. 格的性质
5. ∨和∧都满足结合律。即 (a∨b)∨c =a∨(b∨c) ， (a∧b)∧c =a∧(b∧c) 。 证明：⑴先证明(a∨b)∨c ≤a∨(b∨c) ∵ a≤ a∨(b∨c) b≤b∨c ≤ a∨(b∨c) (性质1) 即a∨(b∨c) 为{a，b}的上界。 ∴ (a∨b) ≤a∨(b∨c) 又 ∵ c≤b∨c ≤ a∨(b∨c) (性质1) 即a∨(b∨c) 为{a∨b ，c}的上界 ∴ (a∨b)∨c ≤a∨(b∨c) ⑵同理可证 a∨(b∨c)≤(a∨b)∨c 最后由反对称得 (a∨b)∨c =a∨(b∨c)
3.分配格的判定：






定理2：设<A,≤>是格，则是分配格的充要条件是对 a,b,c∈A，a∧(b∨c)≤(a∧b)∨c. 证明：“”因为<A,≤>是分配格，所以 a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c) 因为(a∧c)≤c，所以， a∧(b∨c)≤(a∧b)∨c. “”由格不等式， (a∧b)∨c≤(a∨c)∧(b∨c) 所以只需要证明(a∨c)∧(b∨c)≤(a∧b)∨c。 由已知条件 (a∨c)∧(b∨c)≤((a∨c)∧b)∨c ≤ ((a∧b)∨c)∨c =(a∧b)∨c 即(a∨c)∧(b∨c)=(a∧b)∨c
定理：设<A,∨,∧>中的二元运算满足交换律、结合律、吸收 律，则可以定义一个偏序≤，使<A,≤>是格。



证明：规定关系≤如下：a,bA a≤ba∨b=b. 先证≤是偏序关系。 （1）由性质7，∨和∧必满足幂等律。所以对aA， 有a∨a=a，即a≤a ，所以≤有自反性。 （2）对a,bA，若a≤b且b≤a，则有a∨b=b且 b∨a=a，由交换律 a=b∨a=a∨b=b，即≤有反对称性。 （3）对a,b,cA，若a≤b且b≤c，则有a∨b=b且 b∨c=c，由结合律， a∨c= a∨(b∨c)=(a∨b)∨c=b∨c=c 所以a≤c，即≤有传递性。 所以<A, ≤>是一个偏序集。
3. 格同构的保序性
定理：设f是A1到A2的双射，则f是格<A1,≤1> 到 <A2, ≤2> 的同构映射，当且仅当 对任何a,b∈A1, a≤1b f (a)≤2f(b). 证明：令<A1,∨1,∧1>和 <A2,∨2,∧2>是格<A1,≤1> 和 <A2, ≤2>诱导的代数系统， 1).必要性：已知 f是格<A1,≤1> 到<A2, ≤2> 的同构映 射，（证出：任取a,b∈A1, a≤1b f (a)≤2f(b) ） a) 先证 a≤1b f (a)≤2f(b) 任取a,b∈A1,设a≤1b ，由格同态保序性得 f(a)≤2 f(b) b)再证f (a)≤2f(b) a≤1b 设 f (a)≤2f(b)， ∴ f(a)=f(a)∧2f(b)=f(a∧1b) ∵f 是双射，∴ a=a∧1b 所以 a≤1b 即 a≤1b f (a)≤2f(b) 。





下面证对a,bA，a∧b为{a，b}的下确界。 由定义，a≤b a∨b=b此时 a=a∧(a∨b)=a∧b， 反之，若a∧b=a，则a∨b=(a∧b)∨b=b 因此a≤b a∧b=a a）(a∧b)∧a=(a∧a)∧b=a∧b,有a∧b≤a (a∧b)∧b=a∧b,有a∧b≤b。 b）对xA，若x≤a，x≤b，则有 x∧a=x， x∧b=x，所以有 x∧(a∧b)=(x∧a)∧b=x∧b=x, 即x≤a∧b， 由a），b）得a∧b是{a，b}的下确界。 同理可证，a∨b为{a，b}的上确界。 因此<A, ≤>是格。
8. ∨和∧不一定满足分配律。但有分配不等式： a a∨(b∧c)≤ (a∨b)∧(a∨c) ， e b (a∧b)∨(a∧c)≤ a∧(b∨c) 。 d


c
证明：⑴ ∵ a≤a∨b a≤a∨c ∴a ≤(a∨b)∧(a∨c) ∵ b∧c≤b≤ a∨b b∧c≤c≤ a∨c ∴ b∧c ≤(a∨b)∧(a∨c) 于是有 a∨(b∧c) ≤(a∨b)∧(a∨c) 由对偶原理得 a∧(b∨c)≥ (a∧b)∨(a∧c) 。 即 (a∧b)∨(a∧c)≤ a∧(b∨c) 。
Байду номын сангаас
三. 格的性质
6. ∨和∧都满足吸收律。即 a∨( a∧b) =a， a∧(a∨b) =a。 证明：⑴显然有 a≤a∨( a∧b) ⑵证明 a∨( a∧b) ≤a ∵ a≤ a a∧b ≤a ∴ a∨( a∧b) ≤a 最后由反对称得 a∨( a∧b) =a， 7. <A,∨,∧>是代数系统，如果∨和∧是满足吸收律的二 元运算，则∨和∧必满足幂等律。 证明：任取a∈A ∵ ∨和∧是满足吸收律。 ∴有 a∨a= a∨(a∧(a∨b))=a
三. 格的性质
<A,∨,∧>是由格<A,≤>诱导的代数系统。a,b,c,d∈A 1. a≤a∨b b≤a∨b a∧b≤a a∧b≤b 2.如果a≤b，c≤d，则 a∨c≤b∨d，a∧c≤b∧d。 证明：如果a≤b，又b≤b∨d, 由传递性得a≤b∨d, 类似由c≤d， d≤b∨d，由传递性得c≤b∨d, 这说明b∨d是a,c的上界，而a∨c是a,c的上确界，所以 a∨c≤b∨d。 推论：在一个格中，任何 a,b,c∈A，如果b≤c，则 a∨b≤a∨c，a∧b≤a∧c。
几个特殊格
一. 分配格
1. 定义： <A,∨,∧>是由格<A,≤>诱导的代数系统。 如果对a,b,c∈A，有 a∨(b∧c) =(a∨b)∧(a∨c) ， a∧(b∨c)= (a∧b)∨(a∧c) 则称<A,≤>是分配格。

30 3 1


a

2


5
b

c d


e
定理1：设<A,≤>是格，对任意的
<A,≤> <B,≤>
例：下列三个偏序集中，哪个不是格，哪个是 格．
a b

1


a


c
2

3
b d


c e
d
e

4


5



6
2. 平凡格：所有全序都是格，称之为平凡格。
3. 由格诱导的代数系统 设<A, ≤>是格,在A上定义二元运算∨和∧为:a,b∈A a∨b={a,b}的上确界. a∧b={a,b}的下确界. 称<A,∨,∧>是由格<A,≤>诱导的代数系统. 4. 子格：设<A,≤>是格, <A,∨,∧>是 a 由<A,≤>诱导的代数系统。B是A的 b c d 非空子集，如果∧ e 和∨在B上封闭，则 a a 称<B, ≤>是<A, ≤> a b c b c 的子格。 d b c e f e f 例： <B,≤>，<C,≤> d g g 是否是<A,≤> <A,≤> <B,≤> <C,≤> 的子格。
1).充分性：已知，任取a,b∈A1, a≤1b f (a)≤2f(b). a) 证 f(a∧1b)=f(a)∧2f(b) 令a∧1b=c ∴ c≤1a c≤1b 由已知得 f(c)≤2f(a) 和f(c)≤2f(b). 所以 f(c)≤2f(a)∧2f(b)---------⑴ 再证 f(a)∧2f(b)≤2 f(c) ： 由于f(a),f(b)∈A2 , 又∧2的封闭性得 f(a)∧2f(b)∈A2 , 又由f:A1A2是双射，必有d∈A1, 使得 f(a)∧2f(b)=f(d) 所以 f(d)≤2f(a) f(d)≤2f(b) 由已知条件得： d≤1a d≤1b ∴ d≤1a∧1b=c 由d≤1c，得f(d)≤2f(c) 即 f(a)∧2f(b)≤2 f(c) --------⑵ 由⑴⑵得 f(a)∧2f(b)=f(c) 即 f(a∧1b)=f(a)∧2f(b) 。 b)类似可证 f(a∨1b)=f(a)∨2f(b) 所以 f是它们的同构映射
四.格的同态与同构
1.定义：设<A1,≤1> 和<A2, ≤2>是两个格，由它 们诱导的代数系统分别是<A1,∨1,∧1>和 <A2,∨2,∧2>，如果存在映射f:A1A2 使得对任何 a,b∈A1, f(a∨1b)=f(a)∨2f(b) f(a∧1b)=f(a)∧2f(b) 则称f是<A1,∨1,∧1>到 <A2,∨2,∧2>的同态映射。 也 称<f(A1),≤2>是<A1,≤1> 的同态像。 如果 f 是双射的，就称f是<A1,∨1,∧1>到 <A2,∨2,∧2>，的格同构，也称格<A1,≤1> 和 <A2, ≤2>同构。

二. 格的对偶原理
格的对偶原理：设P是对任何格都为真的命题，如 果 将P中的≤换成≥，∧换成∨，∨换成∧，就得到命 题P’ , 称P’为P的对偶命题，则P’对任何格也是为真的 命题。 例如：P: a∧b≤a P’: a∨b≥a {a,b}的最大下界≤a {a,b}的最小上界≥a
定理3 . 设<A, ≤>是分配格，对任何a,b,c∈A, 如果有 a∧b=a∧c 及 a∨b=a∨c则必有 b=c。
证明：任取a,b,c∈A, 设有 a∧b=a∧c 及 a∨b=a∨c b=b∨(a∧b) (吸收律) 30 =b∨(a∧c) (代换) 2 3 5 =(b∨a)∧(b∨c) (分配) 1 =(a∨b)∧(b∨c) (交换) =(a∨c)∧(b∨c) (代换) a = (a∧b)∨c (分配) c b = (a∧c)∨c (代换) d =c (吸收律) e
三. 格的性质
3. ∨和∧都满足交换律。即 a∨b=b∨a，a∧b=b∧a。 4. ∨和∧都满足幂等律。即 a∨a=a a∧a=a 证明：由性质1 得 a≤a∨a (再证a∨a≤a) 又≤自反得a≤a, 这说明a是a的上界，而a∨a是a的上 确界，所以 a∨a≤ a。最后由反对称得 a∨a=a 。 由对偶原理得 a∧a=a
例如<A,≤>, A={1,2,3,6}, ≤是A上整除关系。 <P(E), >, E={a,b} 它们诱导的代数系统分别是<A,∨,∧>和<P(E),∪,∩> 其中∨和∧分别是求两个数的最小公倍数和最大公约数.

6


{a,b}

f A P(E) 6 {a,b}

2

3
{a}

{b}
格 (Lattice)
一 . 基本概念
1. 格的定义 <A,≤>是偏序集，如果任何a,b∈A,使得{a,b}都 有下确界和上确 界，则称<A,≤> 24。 36。 30。 2。 是格。 12。 6。 １5。 1。 10。 右图的三个偏 ６。 4。 3。 序集中，哪个 2。 5。 ２。 ３。 3。 不是格， １。 １。 哪个是格。 <C,≤>
2. 格同态的保序性
定理：设f是格<A1,≤1> 到<A2, ≤2> 的同态映 射，则对任何a,b∈A1, 如果a≤1b, 则 f(a)≤2f(b). 证明：令<A1,∨1,∧1>和 <A2,∨2,∧2>是格<A1,≤1> 和 <A2, ≤2>诱导的代数系统， 任取a,b∈A1,设a≤1b, 则 a∧1b=a f(a∧1b)=f(a) 即 f(a)∧2f(b)=f(a) 所以 f(a)≤2f(b).