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(完整版)初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧

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(完整版)初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧最短路径问题中,关键在于,我们善于作定点关于动点所在直线的对称点,或利用平移和展开图来处理。

这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。

理论依据:“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“点关于线对称”,“线段的平移”“立体图形展开图”。

教材中的例题“饮马问题”,“造桥选址问题”“立体展开图”。

考的较多的还是“饮马问题”。

知识点:“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“点关于线对称”,“线段的平移”。

“饮马问题”,“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题”,出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路:找点关于线的对称点实现“折”转“直”,近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

一、两点在一条直线异侧例:已知:如图,A,B在直线L的两侧,在L上求一点P,使得PA+PB最小。

解:连接AB,线段AB与直线L的交点P ,就是所求。

(根据:两点之间线段最短.)二、两点在一条直线同侧例:图所示,要在街道旁修建一个奶站,向居民区A、B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使从A、B到它的距离之和最短.解:只有A、C、B在一直线上时,才能使AC+BC最小.作点A 关于直线“街道”的对称点A′,然后连接A′B,交“街道”于点C,则点C 就是所求的点.三、一点在两相交直线内部例:已知:如图A是锐角∠MON内部任意一点,在∠MON的两边OM,ON上各取一点B,C,组成三角形,使三角形周长最小.解:分别作点A关于OM,ON的对称点A′,A″;连接A′,A″,分别交OM,ON于点B、点C,则点B、点C即为所求分析:当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时,三角形的周长最小例:如图,A.B两地在一条河的两岸,现要在河上建一座桥MN,桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?(假设河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)解:1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E,2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置,MN为所建的桥。

精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题最全资料之欧阳史创编

精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题最全资料之欧阳史创编

初中数学竞赛专题讲解最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题,旨在寻找图〔由结点和路径组成的〕中两结点之间的最短路径.算法具体的形式包含:①确定起点的最短路径问题即起始结点,求最短路径的问题.②确定终点的最短路径问题与确定起点的问题相反,该问题是终结结点,求最短路径的问题.③确定起点终点的最短路径问题即起点和终点,求两结点之间的最短路径.④全局最短路径问题求图中所有的最短路径.【问题原型】“将军饮马〞,“造桥选址〞,“费马点〞•【涉及知识】“两点之间线段最短〞,“垂线段最短〞,“三角形三边关系〞,“轴对称〞,“平移〞•【出题布景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等.【解题思路】找对称点实现“折〞转“直〞,近两年呈现“三折线〞转“直〞等变式问题考查.【十二个根本问题】一、根底过关1.如下图,是一个圆柱体,底面周长为10,高为6, —只蚂蚁要从外壁的A处到内壁的B处吃一食物,求蚂蚁所走的最短程.2.如右图是一个长方体木块,AB = 3,BC = 4,CD = 2,假设一只蚂蚁在点A处,它要沿舎木块正面爬到点D处,那么蚂蚁爬行的最短路径是。

3.正方形A8CD的边长为8, M在DC上,且DM =2, N是AC上的一动点,DN + MN的最小值为。

4.在菱形43CD中,AB = 2f ABAD = 60°,点E是A3的中点,P是欧阳史创编2021..02.10对角线AC 上的一个动点,那么PE+PB 的最小值为5 •如图,在 AABC 中,AC = BC = 2f ZACB = 90°, D 是 BC边的中点,£是汕边上一动点 ,那么EC + ED 的最小值为 气第1题 _____ D 第2题—86."是的直 B径,AB = 2, OC 是的半径,OCA.AB,点£>SAC±, D 为AC 敢三等分点,点P 是半径OC 上的一个动 点,那么AP+PD 的最小值为7•如图,点P 关于OA 、0B 的对称点区分为C 、D,连接CD, 交0A 于M,交0B 于N,假设CD=18cm,贝(JAPMN 的缺为 8•如图,ZA0B = 30°,点M 、N 区分在边OA 、0B 上,且0M =1, 0N=3,点 P 、Q 区分在边 OB 、0A 上,那么 MP + PQ+QN 的最小值是.9•如图,在锐角 AABC 中,AB = 4 血,ZBAC = 45° , ZBAC 的平分线交BC 于点D, M 、N 区分是AD 和AB 上的动点,那么 BM+MN 的最小值是.的第8题第6题 二、例二,…..例1 ::直线尸卜+1与〉•轴交于A,与兀轴交于D,抛物 = —x 2+bx + c 与直线交于A 、E 两点,与x 轴交于B 、C 两点,厶y=B线且—(1, 0).当APAE 是直角三角形且以P 为 翌一点M,使的值最年夜,例2:如图,抛物线y \ y=ax 2 + bx + c 的极点P附坐/ 3丿交x轴于A、B两点,交y轴于点c(o,_Q.(1)求抛物线的表达式.(2)把厶ABC?尧AB的中点E旋转180。

八年级数学最短路径问题知识点

八年级数学最短路径问题知识点

八年级数学最短路径问题知识点教学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题,旨在寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最瀛路径.算法具体的形式包括:E确定起点的最短路径问题■即已知起始结点,求最短路径的问题.②确定终点的最短路径问题•与确定包点的问题相反,该问题是已知终结结点,求最短路径的问题,③确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点,求两结点之间的最短路径.④全局最短路径问题-求图中所有的最理路径.【问题原型】“将军饮马北"造桥选址)〃费马点【涉及知识「俩点之间线段最短”「,垂线段最短1 “三角形三边关系,"轴对称,“平移二【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等,【解题思路】我对称点实现“折”转"直北近两年出现三折线”转“直”等变式问题考查.【例题及解析】例1 如图1,在直角梯形ABCD 中,ZABC=90°, AD〃BC, AD=4, AB=5, BC=6, 点P是AB上一个动点,当PC+PD的和最小时,PB的长为()(A)l (B)2 (C)2.5 (D)3分析此题首先要确定P点的位看可以延长CB (或DA)的一倍,即CB=BM,再连接MD交AB于点P(大家可以思考一下P点的正确性与合理性一可运用两点之间,线段最短这一性质).我们可以通过AMPBS/WPA,从而求出PB的长,故选D.例2如图2, AABC礼AB=AC=13, BC=10, AD是BC边上的中线,F为AD上的动点,E 为AC边上的动点,则CE+EF的最小值为分析显然,本题需要确定两个动点E和F,那么,怎样确定这两个点呢?我们可以过点B 作BE1AC交AD于点F,从而确定了E和F点(大家可以用从直线外一点与直线上所有点的连线中,垂线段最短来加以说明).此时,CF + EF = BE.用与囱=;殖・比^;班”。

,构造■方程,求出BE =号,即CE + EF的最小值为号.例3如图3,已知平面直角坐标系中,A (2, -3), B(4, -1).(1)若点P(x, 0)是x 轴上的一个动点,当APAB 的周长最短时,求x 的值; (2)若C D 是x 轴上的两个动点,且D(a, 0), CD=3,当四边形ABCD 的周长最短时,求a 的值;(3)设M, N 分别为x 轴、y 轴上的动点,问:是否存在这样的点M(m, 0)和N(0, n),使得四边形ABMN 的周长最短?若存在,求出叫n 的值.若不存在,请说明理由.⑴如图3,找出A (或B)关于x 轴的对称点A1,连结AiB 交x 轴 于点P.设直线AB 的解析式为y=kix+bi.将AQ 3)、B (4, -1)代入,得产 +" =3,1% + 4 = . I,解之叶…16, = 7.故 y =-2彳+7,⑵如图4,过A 点作x 轴的平行线,并截取A%=3.画点A1关于x 轴的对称点生,连结A?B 交x 轴于点C,再在x 轴上截取CD=3,可得周长最短的四边形ABCD (大家也可以利 用两点之间,线段最短,来证明最短周长的正确性).由题意,可知4(5,3).设4B 的直线悬 析式为)=&七+ b 2. 将代人,得 产 + % = 3, i 倏 +% =-1,故y = 4*-17, 当,=0时/ = y -3 = 44 4如图5,我们可以先分别找出A 、B 关于y 轴和x 轴的对称点Ai 和&,再连结ABi,分别交x 轴和y 轴干点M 与N,此时,四边形ABMN 的周长是最短的(同样, 可以用两点之间,线段最短来加以证明).设AB 的直线解析式为y=k3x+b.将4(-2, 一)”©「)代入,得产 + 4 : 1,分析与解 解之得h =4,6) = -17(3)I - 24, + 65 ; . 3, u .1 解之得A 56「.亨故厂参-{■.当x =0 时,=-Y,■ 当)• =0时,Z =京.所以…的值分别为右等例4如图6,四边形ABCD是正方形,M是对角线BD上的任意一点.⑴当点M在何处时,AM+CM的值最小?⑵当点M在何处时,AM+BM+CM的值最小?并说明理由.图6 困7分析(1)(如图6,显然,连结AC与BD的交点即为M点(可利用两点之间,线段最短来证明).(2)如图7,以AB为边在正方形外画等边三角形ABE,连结EC交BD于点M.此时,MA+MB+MC=EC(其中,ABMN 为等边三焦形,且YEBNgACBM,所以MA+MB=EM). 若在BD上(除M点之外)任取一点M,,过点Mi作MiNi〃MN交BN 或延长线于点Ni, 连结ENi.可利用两点之间线段最短,证明MiA+M】B+MiOEC,从而得出MA+.MB+ MC最短.。

精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题

精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题

初中数学竞赛专题讲解最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题,旨在寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径.算法具体的形式包括:①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点,求最短路径的问题.②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反,该问题是已知终结结点,求最短路径的问题.③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点,求两结点之间的最短路径.④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径.【问题原型】“将军饮马”,“造桥选址”,“费马点”.【涉及知识】“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“三角形三边关系”,“轴对称”,“平移”.【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等.【解题思路】找对称点实现“折”转“直”,近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查.【十二个基本问题】一、基础过关图(2)EB DACP图(3)DAOCP1.如图所示,是一个圆柱体,底面周长为10,高为6,一只蚂蚁要从外壁的A 处到内壁的B 处吃一食物,求蚂蚁所走的最短程 .2.如右图是一个长方体木块,已知3,4,2AB BC CD ===,假设一只蚂蚁在点A 处,它要沿着木块侧面爬到点D 处,则蚂蚁爬行的最短路径是 。

3.正方形ABCD 的边长为8,M 在DC 上,且2DM =,N 是AC 上的一动点,DN MN +的最小值为 。

4.在菱形ABCD 中,2AB =,060BAD ∠=,点E 是AB 的中点,P 是对角线AC 上的一个动点,则PE PB +的最小值为5.如图,在ABC ∆中,2AC BC ==,090ACB ∠=,D 是BC 边的中点,E 是AB 边上一动点,则EC ED +的最小值为6.AB 是⊙O的直径,2AB =,OC 是⊙O 的半径,OC AB ⊥,点D 在AC上,D 为AC 的三等分点,点P 是半径OC 上的一个动点,则AP PD +的最小值为 7.如图,点P 关于OA 、OB 的对称点分别为C 、D ,连接CD ,交OA 于M ,交OB 于N ,若CD =18cm ,则△PMN 的周长为8.如图,∠AOB =30°,点M 、N 分别在边OA 、OB 上,且OM =1,ON =3,点P 、Q 分别在边OB 、OA 上,则MP +PQ +QN 的最小值是 .9.如图,在锐角△ABC 中,AB =42,∠BAC =45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ,M 、N 分别是AD 和AB 上的动点,则BM +MN 的最小值是 .DAMBA第1第2第3第4二、例题讲解例1:已知:直线112y x =+与y 轴交于A ,与x 轴交于D ,抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点,与x 轴交于B 、C 两点,且B 点坐标为 (1,0).(1)求抛物线的解析式;(2)动点P 在x 轴上移动,当△PAE 是直角三角形且以P 为直角顶点时,求点P 的坐标.(3)在抛物线的对称轴上找一点M ,使||AM MC -的值最大,求出点M 的坐标.例2:如图,抛物线2y ax bx c =++的顶点P的坐标为1⎛ ⎝⎭,交x 轴于A 、B 两点,交y轴于点(0C ,.(1)求抛物线的表达式.(2)把△ABC绕AB的中点E旋转180°,得到四边形ADBC.判断四边形ADBC的形状,并说明理由.(3)试问在线段AC上是否存在一点F,使得△FBD的周长最小,若存在,请写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.例3:如图,在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A、B 分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点.(1)点D的坐标为;(2)若E为边OA上的一个动点,当△CDE的周长最小时,求点E的坐标.例4:如图,在直角坐标系中有四个点, A(-8,3),B(-4,5)C(0,n),D(m,0),当四边形ABCD 周长最短时,求m n。

2021年中考上海初中数学最短路径问题汇总

2021年中考上海初中数学最短路径问题汇总

2021年中考上海初中数学最短路径问题汇总1、初中数学最短路径问题的商量以及解决策略最短路径问题中,关键在于,我们擅长作定点关于动点所在直线的对称点,或利用平移和展开图来处理。

这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。

理论根据:“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“点关于线对称”,“线段的平移”“立体图形展开图”。

教材中的例题“饮马问题”,“造桥选址问题”“立体展开图”。

考的较多的还是“饮马问题”。

解题总思路:找点关于线的对称点实现“折”转“直”,利用平移把“折”转“直”,利用平面展开图把“折”转“直”。

1、运用轴对称解决距离最短问题利用对称的性质,通过等线段代换,将所求路线长转化为两定点之间的距离。

基本思路是运用轴对称及两点之间线段最短的性质,将所求线段之和转化为一条线段的长,是解决距离之和最小问题,不管题目如何改变,运用时要2、抓住直线同旁有两点,这两点到直线上某点的距离和最小这个核心,全部作法都相同.留意:利用轴对称解决最值问题应留意题目要求,依据轴对称的性质、利用三角形的三边关系,通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.解决这类最值问题时,要仔细审题,不要只留意图形而忽视题意要求,审题不清导致答非所问.1、两点在一条直线异侧例:已知:如图,A,B在直线L的两侧,在L上求一点P,使得PA+PB最小。

解:连接AB,线段AB与直线L的交点P,就是所求。

〔依据:两点之间线段最短.〕2、两点在一条直线同侧例:图所示,要在街道旁修建一个奶站,向居民区A、B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使从A、B到它的距离之和最短.解:只有A、C、B在始终线上时,才能使AC+BC最小.作点A关于直线“街道”的对称点A′,然后连接3、A′B,交“街道”于点C,则点C就是所求的点.应用1在边长为2㎝的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点,连接PB、PQ,则△PBQ周长的最小值为____________㎝〔结果不取近似值〕.ADEPBC2如下图,正方形的面积为12,是等边三角形,点在正方形内,在对角线上有一点,使的和最小,则这个最小值为〔〕A.B.C.3D.3已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=DC=5,点P在BC上移动,则当PA+PD取最小值时,△APD 中边AP上的高为〔〕A、B、C、D、33、一点在两相交直线内部例:已知:如图A是锐角∠MON内部任意一点,在∠MON的两边OM,ON上各取一点B,C,组成三角形,使三角形周长最小.解:分别作点A关于OM,ON的4、对称点A′,A″;连接A′,A″,分别交OM,ON于点B、点C,则点B、点C即为所求分析:当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够表达在一条直线上时,三角形的周长最小4、两个点在矩形内部例:已知矩形ABCD内有两个点M、N,过M击球到CD边P,然后击到BC边Q,然后到N,则小球所走的最短路线?二、利用平移确定最短路径选址通过平移,除去固定部分的长,使其余几段的和正好为两定点之间的距离。

《最短路径问题》2021文档PPT

《最短路径问题》2021文档PPT
D.P、Q都是m上到A、B距离相等 的点
2.如图,∠AOB=30°,∠AOB内有一定点P,且
OP=10.在OA上有一点Q,OB上有一点R.若
△PQR周长最小,则最小周长是( A )
A.10
B.15
C.20
D.30
3.如图,牧童在A处放马,其家在B处,A、B到河岸的距离分 别为AC和BD,且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米,则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家,所走的最短距离 是 1000 米.
图中实线表示铺设的管道,则所需要管道最短的是( D )
Q P
Q P
MA
l Q
P
M
l
C
B
M Q
l
P
M
l
D
典例精析
例1 如图,已知点D、点E分别是等边三角形ABC
中BC、AB边的中点,AD=5,点F是AD边上的动
点,则BF+EF的最小值为( B )
A.7.5
B.5
C.4
D.不能确定
解析:△ABC为等边三角形,点D是BC边的中点,即点B与点 C关于直线AD对称.∵点F在AD上,故BF=CF.即BF+EF的最小 值可转化为求CF+EF的最小值,故连接CE即可,线段CE的长 即为BF+EF的最小值.
C
D 河
A
B
4.如图,边长为1的正方形组成的网格中,△AOB的顶点均在格 点上,点A、B的坐标分别是A(3,2),B(1,3).点P在x轴 上,当PA+PB的值最小时,在图中画出点P.
y
B
A
O
P
x
B'
拓展提升
5.(1)如图①,在AB直线一侧C、D两点,在AB上找一点P,使

最短路径问题(11月2日)

最短路径问题(11月2日)

最短路径问题(11月2日)年级:八年级上课型:新授课备课人:马少军时间:2021年11月2日先生姓名家长签字:课题:13.4 课题学习最长途径效果学习目的:1.能应用轴对称处置复杂的最长途径效果.(重点)2.体会图形的变化在处置最值效果中的作用;3.能经过逻辑推理证明所求距离最短,感悟转化思想(难点)教学进程一、温故知新(1)图①中从点A走到点B哪条路最短?其依据是两点之间。

(2)图②中点C与直线AB上一切的连线中哪条线最短?其依据是直线外一点到直线上各点的连线中。

二、深化思索探求新知按要求画图,并说明理由. 直线l上放置了一些皮球.1、如图〔1〕,小红与小明位于直线l的异侧.〔1〕哪个球离小红最近?在图中标注字母M,理由是:;〔2〕小明要在直线l上拿一个皮球送给小红,为使所走路程最短,他应取哪个球呢?聪明的你能不能帮小明设计一条最正确的途径呢?假定能,请你在图中画出字母N,这样作的理由是:.2、如图〔2〕,小红与小明位于直线l的同侧.小明取直线l上的哪个皮球给小红,所走路程最短呢?猜猜看,在图中标出来,并说说你这样猜的依据是什么?二、实践运用稳固新知1、如图,牧马人从A地动身,到一条蜿蜒的河边l饮马,然后到B地.牧马人到河的什么中央饮马,可使所走的途径最短?〔1〕你能将这个实践效果翻译成数学效果吗?〔2〕请你在图中画出最长途径;〔3〕你能表达一下你作图的步骤吗?〔4〕你能证明你作出的途径就是最短的吗?2、在正方形ABCD的对角线BD上找一点P,使点P到BC边的中点E与到点C的距离和最小〔即PE+PC最小〕.写出做法3、点E、F区分是△ABC的边AB和AC上的两个定点,在BC边上能否找到点M,使△EFM的周长最小.写出做法三、课堂小结:1、你知道什么是最长途径〔距离和最小〕效果了吗?2、你能用〝作对称、拉直线〞的方法处置两点在直线的同侧的最长途径效果吗?3、当一线变两线〔如拓展效果1〕或一点变两点〔如拓展效果2〕时你能用平移的方法将分散的线段靠拢来吗?4、……〝最长途径效果〞解题歌谣两定点,不时线;〔标题特征〕求一点,和最小;〔所求效果〕两种状况分清楚:〔两种类型的题〕两点站两旁,直线来帮助;〔两定点在直线的异侧〕两点在同旁,对称来帮助. 〔两定点在直线的同侧〕四、课后延伸1、在等边△ABC中,高AD=6,在AD上找一点P,使点P到AC边的中点E与到点C的距离和最小.写出做法五.中考链接.(2021·铜仁中考)如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,D是AB的中点,DE⊥DF,点E,F区分在AC,BC上,求证:DE=DF.。

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初中数学竞赛专题讲解最短路径问

欧阳光明(2021.03.07)
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题,旨在寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径.算法具体的形式包含:
①确定起点的最短路径问题即已知起始结点,求最短路径的问题.
②确定终点的最短路径问题与确定起点的问题相反,该问题是已知终结结点,求最短路径的问题.
③确定起点终点的最短路径问题即已知起点和终点,求两结点之间的最短路径.
④全局最短路径问题求图中所有的最短路径.
【问题原型】“将军饮马”,“造桥选址”,“费马点”.
【涉及知识】“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“三角形三边关系”,“轴对称”,“平移”.
【出题布景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等.
【解题思路】找对称点实现“折”转“直”,近两年呈现“三折线”转“直”等变式问题考查.
【十二个基本问题】
*欧阳光明*创编2021.03.07
*欧阳光明创编
2021.03.07
B
C
D 图(2)
E D
A
C
P
【问题10】 作法
图形 原理
在直线l 上求一点P ,使
PB PA -的值最年夜.
作直线AB ,与直线l 的
交点即为P .
三角形任意两边之差小
于第三
边.PB PA -≤AB .
PB PA -的最年夜值=
AB .
【问题11】 作法
图形 原理
在直线l 上求一点P ,使
PB PA -的值最年夜.
作B 关于l 的对称点B '作直线A B ',与l 交点即
为P .
三角形任意两边之差小
于第三
边.PB PA -≤AB '.
PB PA -最年夜值=
AB '.
【问题12】“费马点” 作法
图形
原理
△ABC 中每一内角都小于120°,在△ABC 内求一点P ,使PA+PB+PC 值最小.
所求点为“费马点”,即满足∠APB =∠BPC =∠APC =120°.以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ,连CD 、BE 相交于P ,点P 即为
所求.
两点之间线段最短. PA+PB+PC 最小值=
CD .
一、基础过关
1.如图所示,是一个圆柱体,底面周长为10,高为6,一只蚂蚁要从外壁的A 处到内壁的B 处吃一食物,求蚂蚁所走的最短程.
2.如右图是一个长方体木块,已知3,4,2AB BC CD ===,假设一只蚂蚁在点A 处,它要沿着木块正面爬到点D 处,则蚂蚁爬行的最短路径是。

3.正方形ABCD 的边长为8,M 在DC 上,且2DM =,N 是AC 上的一动点,DN MN +的最小值为。

4.在菱形ABCD 中,2AB =,060BAD ∠=,点E 是AB 的中点,P 是对角线AC 上的一个动点,则PE PB +的最小值为
5.如图,在ABC ∆中,2AC BC ==,090ACB ∠=,D 是BC 边的中点,E 是
AB 边上一动点,则EC ED +的最小值为
l B
A l
P
A
B
l A B
l
B
P
A
B'
A
B C P
E
D
C
B
A
B
A
第1题
第2题 第3题 第4题
*欧阳光明*创编 2021.03.07
6.AB 是⊙O 的直径,2AB =,OC 是⊙O 的半径,OC AB ⊥,点D 在AC 上,D 为AC 的三等分点,点P 是半径OC 上的一个动点,则AP PD +的
最小值为
7.如图,点P 关于OA 、OB 的对称点辨别为C 、D ,连接CD ,交OA 于M ,交OB 于N ,若CD =18cm ,则△PMN 的周长为
8.如图,∠AOB =30°,点M 、N 辨别在边OA 、OB 上,且OM =1,ON =3,点P 、Q 辨别在边OB 、OA 上,则MP +PQ +QN 的最小值是.
9.如图,在锐角△ABC 中,AB =4
2
,∠BAC =45°,∠BAC 的平分
线交BC 于点D ,M 、N 辨别是AD 和AB
最小值是.
例1:已知:直线112
y x =+与y 轴交于A ,与x 轴交于D
,抛物线
2
12
y x bx c =
++与直线交于A 、E 两点,与x 轴交于B 、C 两点,且B
点坐标为 (1,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)动点P 在x 轴上移动,当△PAE 是直角三角形且以P 为直角极点时,求点P 的坐标.
(3)在抛物线的对称轴上找一点M ,使||AM MC -的值最年夜,求出点M 的坐标.
例2:如图,抛物线2y ax bx c =++的极点P 轴于A 、B 两点,交y 轴于点(0C ,
. (1)求抛物线的表达式.
(2)把△ABC 绕AB 的中点E 旋转180°判断四边形ADBC (3)试问在线段AC 上是否存在一点F 若存在,请写出点F 例3:如图,在平面直角坐标系中,矩形
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点,极点A 、B 辨别在x 轴、y 轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D 为边OB 的中点. (1)点D 的坐标为;
(2)若E 为边OA 上的一个动点,当△CDE 的周长最小时,求点E 的坐标.
例4:如图,在直角坐标系中有四个点, A(8,3),B(4,5)C(0,n),D(m,0),当四边形ABCD 周长最短时,求m
n。

例5:有一圆形油罐底面圆的周长为24m ,高为6m ,一只老鼠从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物,它爬行的最短路线长为几多? 练习1:桌上有一个圆柱形玻璃杯(无盖),高为12厘米,底面周长18厘米,在杯口内壁离杯
口3厘米的A 处有一滴蜜糖,一只小虫从桌上爬至杯子外壁,当它正好爬至蜜糖相对标的目的离桌面3厘米的B 处时,突然发明了蜜糖。

问小虫至少爬几多厘米才干达到蜜糖所在的位置。

练习2:如图,在一个长为2米,宽为1米的矩形草地上,如图堆放着一根长方体的木块,它的棱长和场地宽AD 平行且>AD ,木块的正视图是边长为0.2米的正方形,一只蚂蚁从点A 处,达到C 处需要走的最短路程是米.(精确到0.01米) 练习3:如图,一只蚂蚁从实心长方体的极点A 出发,沿长方体的概略爬到对角极点C1处(三条棱长如图所示),问怎样走路线最短?最短路线长为几多? 三、课后提升
1.如图所示,正方形ABCD 的面积为12,△ABE 是等边三角形,
A
D
E
P
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点E 在正方形ABCD 内,在对角线AC 上有一点P ,使PD+PE 的和最小,则这个最小值为( ) A .3.26.3 D 62.如图,在边长为2的菱形ABCD 中,∠ABC =60°,若将△ACD 绕点A 旋转,当AC′、AD′辨别与BC 、CD 交于点E 、F ,则△CEF 的周长的最小值为( ) A .2 B .32
C .32+
D .4
3.四边形ABCD 中,∠B =∠D =90°,∠C =70°,在BC 、CD 上辨
别找一点M 、N ,使△AMN 的周长最小时,∠AMN+∠ANM 的度数为( )
A .120°
B .130°
C .110°
D .140°
4.如图,三角形△ABC 中,∠OAB =∠AOB =15°,点B 在x 轴的正半轴,坐标为B(36,0).
OC 平分∠AOB ,点M 在OC 的延长线上,点N 为边OA 上的点,则MA +MN 的最小值是______.
5.已知A (2,4)、B (4,2).C 在y 轴上,D 在x 轴上,则四边形
ABCD 的周长最小值为,
此时 C 、D 两点的坐标辨别为. 6.已知A (1,1)、B (4,2).
(1)P 为x 轴上一动点,求PA+PB 的最小值和此时P (2)P 为x 轴上一动点,求PB PA -的值最年夜时P (3)CD 为x 轴上一条动线段,D 在C 点右边且A
B
M
N
AC+CD+DB的最小值和此时C点的坐标;
7.点C为∠AOB内一点.
(1)在OA求作点D,OB上求作点E,使△CDE的周长最小,请画出图形;
(2)在(1)的条件下,若∠AOB=30°,OC=10,求△CDE周长的最小值和此时∠DCE的度数.
8.(1)如图①,△ABD和△ACE均为等边三角形,BE、CE交于F,连AF,求证:AF+BF+CF=CD;
(2)在△ABC中,∠ABC=30°,AB=6,BC=8,∠A,∠C 均小于120°,求作一点P,使PA+PB+PC的值最小,试求出最小值并说明理由.
9.荆州护城河在CC'处直角转弯,河宽相等,从A处达到B处,需经过两座桥DD'、EE',护城河及两桥都是工具、南南标的目的,桥与河岸垂直.如何确定两座桥的位置,可使A到B点路径最短?
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