2021年精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题最全资料
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初中数学竞赛专题讲解最短路径问
题
欧阳光明(2021.03.07)
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题,旨在寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径.算法具体的形式包含:
①确定起点的最短路径问题即已知起始结点,求最短路径的问题.
②确定终点的最短路径问题与确定起点的问题相反,该问题是已知终结结点,求最短路径的问题.
③确定起点终点的最短路径问题即已知起点和终点,求两结点之间的最短路径.
④全局最短路径问题求图中所有的最短路径.
【问题原型】“将军饮马”,“造桥选址”,“费马点”.
【涉及知识】“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“三角形三边关系”,“轴对称”,“平移”.
【出题布景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等.
【解题思路】找对称点实现“折”转“直”,近两年呈现“三折线”转“直”等变式问题考查.
【十二个基本问题】
*欧阳光明*创编2021.03.07
*欧阳光明创编
2021.03.07
B
C
D 图(2)
E D
A
C
P
【问题10】 作法
图形 原理
在直线l 上求一点P ,使
PB PA -的值最年夜.
作直线AB ,与直线l 的
交点即为P .
三角形任意两边之差小
于第三
边.PB PA -≤AB .
PB PA -的最年夜值=
AB .
【问题11】 作法
图形 原理
在直线l 上求一点P ,使
PB PA -的值最年夜.
作B 关于l 的对称点B '作直线A B ',与l 交点即
为P .
三角形任意两边之差小
于第三
边.PB PA -≤AB '.
PB PA -最年夜值=
AB '.
【问题12】“费马点” 作法
图形
原理
△ABC 中每一内角都小于120°,在△ABC 内求一点P ,使PA+PB+PC 值最小.
所求点为“费马点”,即满足∠APB =∠BPC =∠APC =120°.以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ,连CD 、BE 相交于P ,点P 即为
所求.
两点之间线段最短. PA+PB+PC 最小值=
CD .
一、基础过关
1.如图所示,是一个圆柱体,底面周长为10,高为6,一只蚂蚁要从外壁的A 处到内壁的B 处吃一食物,求蚂蚁所走的最短程.
2.如右图是一个长方体木块,已知3,4,2AB BC CD ===,假设一只蚂蚁在点A 处,它要沿着木块正面爬到点D 处,则蚂蚁爬行的最短路径是。
3.正方形ABCD 的边长为8,M 在DC 上,且2DM =,N 是AC 上的一动点,DN MN +的最小值为。
4.在菱形ABCD 中,2AB =,060BAD ∠=,点E 是AB 的中点,P 是对角线AC 上的一个动点,则PE PB +的最小值为
5.如图,在ABC ∆中,2AC BC ==,090ACB ∠=,D 是BC 边的中点,E 是
AB 边上一动点,则EC ED +的最小值为
l B
A l
P
A
B
l A B
l
B
P
A
B'
A
B C P
E
D
C
B
A
B
A
第1题
第2题 第3题 第4题
*欧阳光明*创编 2021.03.07
6.AB 是⊙O 的直径,2AB =,OC 是⊙O 的半径,OC AB ⊥,点D 在AC 上,D 为AC 的三等分点,点P 是半径OC 上的一个动点,则AP PD +的
最小值为
7.如图,点P 关于OA 、OB 的对称点辨别为C 、D ,连接CD ,交OA 于M ,交OB 于N ,若CD =18cm ,则△PMN 的周长为
8.如图,∠AOB =30°,点M 、N 辨别在边OA 、OB 上,且OM =1,ON =3,点P 、Q 辨别在边OB 、OA 上,则MP +PQ +QN 的最小值是.
9.如图,在锐角△ABC 中,AB =4
2
,∠BAC =45°,∠BAC 的平分
线交BC 于点D ,M 、N 辨别是AD 和AB
最小值是.
例1:已知:直线112
y x =+与y 轴交于A ,与x 轴交于D
,抛物线
2
12
y x bx c =
++与直线交于A 、E 两点,与x 轴交于B 、C 两点,且B
点坐标为 (1,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)动点P 在x 轴上移动,当△PAE 是直角三角形且以P 为直角极点时,求点P 的坐标.
(3)在抛物线的对称轴上找一点M ,使||AM MC -的值最年夜,求出点M 的坐标.
例2:如图,抛物线2y ax bx c =++的极点P 轴于A 、B 两点,交y 轴于点(0C ,
. (1)求抛物线的表达式.
(2)把△ABC 绕AB 的中点E 旋转180°判断四边形ADBC (3)试问在线段AC 上是否存在一点F 若存在,请写出点F 例3:如图,在平面直角坐标系中,矩形