一题几何题的多种解法

E

D

P

C

B

A

E

D

P

C

B

A

一题几何题的多种解法

易永彪 浙江省苍南县新星学校 325800

从不同的角度、不同的思路去探寻题目时，往往会得到多种精妙的解法，精彩纷呈，殊途同归。这种一题多解的做法能充分调动学生思维的积极性，提高他们综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧，锻炼学生思维的灵活性，开阔学生的思路，引导学生灵活地掌握知识的纵横联系，培养和发挥学生的创造性。现在笔者从一道几何题出发探究解法的多样性，一同体验数学的乐趣。

题目：如图，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB=80°，点P 在AB 上， 且∠BPC=30°，求证：AP=BC 。

1、巧用“三线合一”性质

等腰三角形“三线合一”定理，在几何计算和论证过程中有着很重要的

作用。这个定理虽然很普通，但平凡的背后却有奇妙的作用，若能巧妙地利用这个性质解题，将起到事半功倍的效果。

分析：这道题的条件中有∠ABC=∠ACB=80°，可得AB=AC ，就可以利用“三线合一”性质，故联想到过A 作BC 边上的垂线AD 。根据“三线合一”性质，BD=CD 。本题要让我

们证AP=BC ，所以就要构造出一条边的长度为1

2AP 。又知∠BPC=30°，

容易想到过A 作CP 延长线的垂线AE 。利用30°所对边的直角边 为斜边的一半，可得AE=

1

2

AP 。易证△AEC ≌△CDA ，∴AE=CD 。 AP=2AE ，BC=2CD ，∴AP=BC 。 2、巧作等边三角形

作等边三角形可以使一些与等腰三角形有关的几何问题 变简单，给人以柳暗花明之感。

分析： AB=AC ，∴可以以AB 为边向外做等边△ABD ， 可多制造一些相等条件，利于证明结论。

AD=AB=AC 。我们较易想到作辅助圆：

以A 为圆心、AB 为半径的⊙A 。

∵ BC

BC ，∴∠BDC=12∠BAC=10°，同理∠BCD=12

∠BAD=30°， P

C

B

A

F

E

D

P

C

B

A

D

P

C

B

A ∴∠DBC=140°。按照现有条件较难证出结论。我们接着想构造全等三角形，所以即可做∠CAE=10°，∠ACE=140°，两线相交于点E 。

易证△DBC ≌△ACE ，∴BC=CE 。∵∠ACP=∠CAE=10°，∴AE ∥PC ， ∵∠PAE=∠E=30°，∴易证四边形APCE 为等腰梯形。∴AP=CE ，∴BC=AP 。 也可以AC 为边向△ABC 右侧作等边三角形，这样做与上述做法有异曲同工之妙。

3、构造全等三角形

在许多情况下，当条件与图形不具有很明显的全等条件时，我们必须根据图形的结构特征，挖掘潜在因素，去巧妙构造全等三角形，借助全等三角形的有关性质去解决问题。这样会迅速地找到证题途径，直观易懂，简捷明快。

分析：首先可以通过A 点做BC 的垂线，接着我们就可得出一些的度数。 AP 与BC 相隔较远，应想到构造全等三角形去把AP 转换过来。

于是就可构造∠ECP=10°。这样，可借由已知条件及作垂线而 得到的条件，易证△APC ≌△CEA ，∴就得到AP=EC 。

较易证明∠DEC=30°，∴可得CD=

1

2

CE 。 CD=1

2

BC ，∴BC=CE=AP 。

4、利用锐角三角形函数

谈到三角函数，大家可能会想到代数方面三角函数起的作用，往往在几何方面忽略了锐角三角函数，三角函数可借由相同的角的函数值相同，求出线段与线段的比值，从而进行转化，有时会起到神奇的效果。常见的锐角三角函数定理为余弦、正弦定理。

分析：要利用三角函数，应构造直角三角形。考虑△ABC 为等腰三角形，∴可过A 作AD ⊥BC 交BC 于D 。∵∠BAD=∠CAD=12

∠BAC=10°，∴BD=0

sin10AB ， ∵

sin sin AC AP

APC ACP

=∠∠(正弦定理)，∠APC=150°，∠ACP=10°，

∴sin ∠APC=1

2

AP=

00sin102sin1012

AC AC ⋅=⋅， ∴00

2sin102sin10AP AC

BD AB

⋅==⋅。 BC=2BD ，∴AP=BC 。 5、巧添辅助圆

巧添辅助圆能使角与角发生转换，能构造出相等的角，从而发现一些很难发现的结论，

使这道题变得简单。

分析：作△PBC 的外接圆， PQ PQ ，∴∠POQ=2∠ACP=20°， ∴∠POQ=∠A=20°。

∠APQ=∠ACB ，∠AQP=∠ABC ，∴∠APQ=∠AQP 。 OP=OQ

∴∠OPQ=∠OQP=∠APQ=∠AQP=80°。

PQ=PQ ，∴△APQ ≌△OPQ ，∴AP=OP=OB 。 ∠BOC=2∠BPC=60°，∴△OBC 为等边三角形，

∴OB=BC ，∴AP=BC 。