谱线加宽与线型函数
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谱线加宽与线型函数
李 成 11108104
主要内容
1.基本概念 2.加宽机制之一：均匀加宽 3.加宽机制之二：非均匀加宽
1.基本概念
1.1谱线加宽 原子能级跃迁产生的光子能量为
h E2 - E1
E2 - E1 光波频率 h
为单一频率谱线（单
色光） 由于各种因素的影响（发光粒子处在上能级的寿 命是有限的），自发辐射并不是单色的，即光谱 不是单一频率的光波，而包含有一个频率范围， 称为谱线加宽
D
c m g D 0 , 0 当ν=ν0时有最大值： 0 2 KT
1
2
2KT D 2 0 ln 2 其半宽度为： 2 mc
1
2
也称为多普勒线宽。
则线型函数：
1 4 ln 2 0 2 2 ln 2 2 gD e D D 2 1 1 2 2 KT T 2 7 ln 2 7.16 10 0 D 2 0 2 mc M
2.2 碰撞加宽
气体：气体分子或原子作无规则热运动，当两原 子或分子相遇而处于足够接近的位置，其间的相 互作用会使其改变原来的运动状态。
晶体：相邻原子间的偶极相互作用，通过原子晶 格热驰豫无辐射跃迁或者晶格热运动，使运动状 态发生改变。
•
弹性碰撞: 自发辐射波列相位发生突变,相位突变
引起的波列时间的缩短等效于原子寿命的缩短； 非弹性碰撞: 内能转移,等效激发态寿命缩短。
）发的光对谱线内的任一频率都有贡献。
非均匀加宽：每一个发光粒子所发的光只对谱线
内的某些确定的频率才有贡献。在非均匀加宽中 ~ ，各种不同的粒子对 g 中的不同频率有贡献。
n2、n1 按中心频 率的分布
令
n2 0 ' n1 0 ' g D 0 ', 0 n2 n1
则：
n2 0 ' n2 g D 0 ', 0 n1 0 ' n1 g D 0 ', 0
mc 2 1 0 ' 0 2 2 2 dn2 0 ' n2 0 ' d 0 ' n2 c m e 2 KT 0 d 0 ' 0 2 KT mc 2 1 0 ' 0 2 2 2 c m 2 KT 0 e d 0 ' dn1 0 ' n1 0 ' d 0 ' n1 0 2 KT n 0 '
对x(t)作傅立叶变换，可求得它的频谱
i 2t 0
x( ) x(t )e
dt x0 e e
2 0
t
i 2 ( 0 ) t
dt
2
x0 i( 0 )2
辐射功率正比于电子振动振幅的平方，频率在 ~+d区间内的自发辐射功率为
P( )d x( ) d
3.1.2 原子数按中心频率的分布 根据分子运动论，其热运动速度服从麦克斯韦统 计分布规律，即在温度T的热平衡状态下，单位体 积内Z方向速度Vz~Vz+dVz内的原子数：
m dn Vz n Vz dVz n e 2 KT
2
1
mVz 2 2 KT
dVz
下面对自然加宽的线型函数以及自然线宽进行简略 推导。
在经典模型中，原子中作简谐运动的电子由于自发 辐射而不断消耗能量，因而电子振动的振幅服从阻 尼振动规律：
x(t ) x0 exp( t 2 ) exp(i 2 0t )
其中，0是原子作无阻尼简谐振动的频率，即原子 发光的中心频率，为阻尼系数。
=? 设在初始时刻t=0时能级E2上有n20个原子，则自发辐 射功率随时间的变化规律可写为：
P(t ) n20 x(t ) n20x(t ) x* (t )
2
P(t ) n x e
2 t 20 0
P (t ) P0 e t
另一方面， E2能级上原子数随时间的变化规律为
0 ' 0 1 Vz / c
mc 2 1 0 ' 0 2 2 2 dn2 0 ' n2 0 ' d 0 ' n2 c m e 2 KT 0 d 0 ' 0 2 KT mc 2 1 0 ' 0 2 2 2 c m 2 KT 0 e d 0 ' dn1 0 ' n1 0 ' d 0 ' n1 0 2 KT
c m 2 g D , 0 e 0 2 KT
1 mc2 0 2 2 2 KT 0
g D , 0
g D 0 , 0
g D 0 , 0 / 2
该线型函数具有高斯函数的形式。
0
1 mc2 0 ' 0 2 2 2 KT 0
g D 0 ', 0
c m e 0 2 KT
2
dn 0 '
这是原子数按照中心频率的分布规律。
0 d 0 '
0 '
3.1.3、多普勒加宽线型函数及线宽 自发辐射的光功率为： P n2 A21h 0
当=0时， g N ( 0 , 0 ) 4 s
自然线宽N=1/(2s)，唯一地由原子在能级E2的 自发辐射寿命s决定。 自然加宽线型函数表示为
g N ( , 0 ) N 2
2
N 2 ( 0 ) ( ) 2
原子谱线的宽度以及辐射持续时间都反映了原子能 级的性质。
1.2 线型函数 ~ , P ， （s） 定义光谱线的线型函数：g 0
P
单色辐射功率 P ：发光粒子在频率v处、单位 频率间隔内的自发辐射功率。P：总自发辐射功 率。 总自发辐射功率： P P d 线型函数满足归一化条件：
由于晶格原子的热振动，镶嵌在晶体里的激活离 子处在随时间变化的晶格场中,导致其能级的能量 值在一定范围内发生变化从而引起谱线加宽 晶格热振动对所有发光离子的影响是相同的,属均 匀加宽。晶格振动加宽是固体工作物质主要均匀 加宽因素。
•
3.加宽机制之二：非均匀加宽
特点： 原子体系中不同原子向谱线的不同频率发射， 或者说，每个原子只对谱线内与它的表观中心频 率相应的部分有贡献，因而可以区分谱线上的某 一频率范围是由哪一部分原子发射的。
2Baidu Nhomakorabea
~( , ) P( ) g 0 P
x( )
2 2
x( ) d
~ g N ( , 0 )
1
1 2 2 2 ( ) 4 ( 0 ) d 2 2 ( ) 4 2 ( )2 0 2
( )2 4 2 ( 0 )2 2
•
由于任何原子都是以相同的机率发生碰撞，因此 由碰撞引发的高能级原子寿命减少与自然加宽中 的机制是相同的，因而碰撞加宽的线型函数与自 然加宽的线型函数一样。 碰撞加宽线型函数：
碰撞线宽：
L
平均碰撞时间（发生碰撞的平均时间间隔）
均匀加宽－引起加宽的物理因素对每个原子都等 同,每个发光原子都按整个线型发光。
如果不考虑均匀加宽，每个原子自发辐射的频率ν精确等 于原子的中心频率ν0’。频率处在ν~ν+dν范围内的自发辐 射光功率为：
P d h 0 n2 A21d h 0 A21n2 g D , 0 d
从线型函数的定义 g D , 0 P / P 可知多普勒加宽的线 型函数就是原子数按中心频率的分布函数：
M为分子量
3.2固体工作物质中的非均匀加宽 在固体工作物质中，不存在多普勒加宽，但存在 一系列引起非均匀加宽的其它物理因素（如位错、 空位等晶格缺陷）。 固体工作物质的非均匀加宽的线型函数一般很难 从理论上求出，只能由试验测定它的谱线宽度。
小结
均匀加宽：每一个发光粒子（原子、离子、分子
~ g , 0 d 1
1~ g 1 , 0 g 2 , 0 g , 0 2
~ ~
光谱线的宽度（线宽）：
2 - 1
图1 线型函数曲线
1.3 谱线加宽的原因 量子解释：测不准原理
E t h
某一时刻，粒子所处的能级有一定的宽度
H 2 0 2 H 22
均匀加宽线型函数：
~ g H , 0
•自然加宽 & 碰撞加宽同时存在 ，仍为洛仑兹函数 均匀加宽线宽
1 1 2 H N L 2 s L
•
2.3 晶格振动加宽
3.1多普勒加宽 3.1.1受激辐射的多普勒效应（一维情况）
单色光波 运动原子 假想光源 感受光波的接收器
若Vz=0
沿z向运动
原子感受频率
0 时, 共振相互作用最大
’0时, 共振相互作用最大
’ =1v /c)
z
0
vz 1 c
vz 0 1 c
dn2 dn n 21 A21n2 2 dt dt s
n2 (t ) n2 0e
t
s
求得自发辐射功率为
dn21 dn2 (t ) P(t ) h h n20hA21e dt dt
t
s
P0e
t
s
比较两式可得：
1
s
洛仑兹线型（Lorentzian lineshape）
K为波尔兹曼常数，T为绝对温度，n为单位体积 内原子数，m为原子质量，n(Vz)为原子数分布。
考虑E2和E1能级上的原子数n2和n1：
2 1 2 mVz m 2 KT dn2 Vz n2 Vz dVz n2 dVz e 2 KT 2 1 2 mVz m 2 KT dn1 Vz n1 Vz dVz n1 dVz e 2 KT
E2 E1 1 - 2 h
E
导致谱线加宽（自然加宽）
2.加宽机制之一：均匀加宽
Homogenous Broadening
自然加宽 碰撞加宽 晶格振动加宽
2.1 自然加宽（ Natural Broadening ） 在不受外界影响时，受激原子并非永远处于激发态， 会自发地向低能级跃迁，因而受激原子在激发态上 具有有限的寿命。这一因素造成原子跃迁谱线的自 然加宽。
0
vz 1 c
• 速度为vz的运动原子与z向传播的光波相互作用时，原子表现
出来的中心频率（表观中心频率）为
0
vz 0 0 1 c
Vz>0 运动原子与光传播方向相同；
Vz<0 运动原子与光传播方向反向
李 成 11108104
主要内容
1.基本概念 2.加宽机制之一：均匀加宽 3.加宽机制之二：非均匀加宽
1.基本概念
1.1谱线加宽 原子能级跃迁产生的光子能量为
h E2 - E1
E2 - E1 光波频率 h
为单一频率谱线（单
色光） 由于各种因素的影响（发光粒子处在上能级的寿 命是有限的），自发辐射并不是单色的，即光谱 不是单一频率的光波，而包含有一个频率范围， 称为谱线加宽
D
c m g D 0 , 0 当ν=ν0时有最大值： 0 2 KT
1
2
2KT D 2 0 ln 2 其半宽度为： 2 mc
1
2
也称为多普勒线宽。
则线型函数：
1 4 ln 2 0 2 2 ln 2 2 gD e D D 2 1 1 2 2 KT T 2 7 ln 2 7.16 10 0 D 2 0 2 mc M
2.2 碰撞加宽
气体：气体分子或原子作无规则热运动，当两原 子或分子相遇而处于足够接近的位置，其间的相 互作用会使其改变原来的运动状态。
晶体：相邻原子间的偶极相互作用，通过原子晶 格热驰豫无辐射跃迁或者晶格热运动，使运动状 态发生改变。
•
弹性碰撞: 自发辐射波列相位发生突变,相位突变
引起的波列时间的缩短等效于原子寿命的缩短； 非弹性碰撞: 内能转移,等效激发态寿命缩短。
）发的光对谱线内的任一频率都有贡献。
非均匀加宽：每一个发光粒子所发的光只对谱线
内的某些确定的频率才有贡献。在非均匀加宽中 ~ ，各种不同的粒子对 g 中的不同频率有贡献。
n2、n1 按中心频 率的分布
令
n2 0 ' n1 0 ' g D 0 ', 0 n2 n1
则：
n2 0 ' n2 g D 0 ', 0 n1 0 ' n1 g D 0 ', 0
mc 2 1 0 ' 0 2 2 2 dn2 0 ' n2 0 ' d 0 ' n2 c m e 2 KT 0 d 0 ' 0 2 KT mc 2 1 0 ' 0 2 2 2 c m 2 KT 0 e d 0 ' dn1 0 ' n1 0 ' d 0 ' n1 0 2 KT n 0 '
对x(t)作傅立叶变换，可求得它的频谱
i 2t 0
x( ) x(t )e
dt x0 e e
2 0
t
i 2 ( 0 ) t
dt
2
x0 i( 0 )2
辐射功率正比于电子振动振幅的平方，频率在 ~+d区间内的自发辐射功率为
P( )d x( ) d
3.1.2 原子数按中心频率的分布 根据分子运动论，其热运动速度服从麦克斯韦统 计分布规律，即在温度T的热平衡状态下，单位体 积内Z方向速度Vz~Vz+dVz内的原子数：
m dn Vz n Vz dVz n e 2 KT
2
1
mVz 2 2 KT
dVz
下面对自然加宽的线型函数以及自然线宽进行简略 推导。
在经典模型中，原子中作简谐运动的电子由于自发 辐射而不断消耗能量，因而电子振动的振幅服从阻 尼振动规律：
x(t ) x0 exp( t 2 ) exp(i 2 0t )
其中，0是原子作无阻尼简谐振动的频率，即原子 发光的中心频率，为阻尼系数。
=? 设在初始时刻t=0时能级E2上有n20个原子，则自发辐 射功率随时间的变化规律可写为：
P(t ) n20 x(t ) n20x(t ) x* (t )
2
P(t ) n x e
2 t 20 0
P (t ) P0 e t
另一方面， E2能级上原子数随时间的变化规律为
0 ' 0 1 Vz / c
mc 2 1 0 ' 0 2 2 2 dn2 0 ' n2 0 ' d 0 ' n2 c m e 2 KT 0 d 0 ' 0 2 KT mc 2 1 0 ' 0 2 2 2 c m 2 KT 0 e d 0 ' dn1 0 ' n1 0 ' d 0 ' n1 0 2 KT
c m 2 g D , 0 e 0 2 KT
1 mc2 0 2 2 2 KT 0
g D , 0
g D 0 , 0
g D 0 , 0 / 2
该线型函数具有高斯函数的形式。
0
1 mc2 0 ' 0 2 2 2 KT 0
g D 0 ', 0
c m e 0 2 KT
2
dn 0 '
这是原子数按照中心频率的分布规律。
0 d 0 '
0 '
3.1.3、多普勒加宽线型函数及线宽 自发辐射的光功率为： P n2 A21h 0
当=0时， g N ( 0 , 0 ) 4 s
自然线宽N=1/(2s)，唯一地由原子在能级E2的 自发辐射寿命s决定。 自然加宽线型函数表示为
g N ( , 0 ) N 2
2
N 2 ( 0 ) ( ) 2
原子谱线的宽度以及辐射持续时间都反映了原子能 级的性质。
1.2 线型函数 ~ , P ， （s） 定义光谱线的线型函数：g 0
P
单色辐射功率 P ：发光粒子在频率v处、单位 频率间隔内的自发辐射功率。P：总自发辐射功 率。 总自发辐射功率： P P d 线型函数满足归一化条件：
由于晶格原子的热振动，镶嵌在晶体里的激活离 子处在随时间变化的晶格场中,导致其能级的能量 值在一定范围内发生变化从而引起谱线加宽 晶格热振动对所有发光离子的影响是相同的,属均 匀加宽。晶格振动加宽是固体工作物质主要均匀 加宽因素。
•
3.加宽机制之二：非均匀加宽
特点： 原子体系中不同原子向谱线的不同频率发射， 或者说，每个原子只对谱线内与它的表观中心频 率相应的部分有贡献，因而可以区分谱线上的某 一频率范围是由哪一部分原子发射的。
2Baidu Nhomakorabea
~( , ) P( ) g 0 P
x( )
2 2
x( ) d
~ g N ( , 0 )
1
1 2 2 2 ( ) 4 ( 0 ) d 2 2 ( ) 4 2 ( )2 0 2
( )2 4 2 ( 0 )2 2
•
由于任何原子都是以相同的机率发生碰撞，因此 由碰撞引发的高能级原子寿命减少与自然加宽中 的机制是相同的，因而碰撞加宽的线型函数与自 然加宽的线型函数一样。 碰撞加宽线型函数：
碰撞线宽：
L
平均碰撞时间（发生碰撞的平均时间间隔）
均匀加宽－引起加宽的物理因素对每个原子都等 同,每个发光原子都按整个线型发光。
如果不考虑均匀加宽，每个原子自发辐射的频率ν精确等 于原子的中心频率ν0’。频率处在ν~ν+dν范围内的自发辐 射光功率为：
P d h 0 n2 A21d h 0 A21n2 g D , 0 d
从线型函数的定义 g D , 0 P / P 可知多普勒加宽的线 型函数就是原子数按中心频率的分布函数：
M为分子量
3.2固体工作物质中的非均匀加宽 在固体工作物质中，不存在多普勒加宽，但存在 一系列引起非均匀加宽的其它物理因素（如位错、 空位等晶格缺陷）。 固体工作物质的非均匀加宽的线型函数一般很难 从理论上求出，只能由试验测定它的谱线宽度。
小结
均匀加宽：每一个发光粒子（原子、离子、分子
~ g , 0 d 1
1~ g 1 , 0 g 2 , 0 g , 0 2
~ ~
光谱线的宽度（线宽）：
2 - 1
图1 线型函数曲线
1.3 谱线加宽的原因 量子解释：测不准原理
E t h
某一时刻，粒子所处的能级有一定的宽度
H 2 0 2 H 22
均匀加宽线型函数：
~ g H , 0
•自然加宽 & 碰撞加宽同时存在 ，仍为洛仑兹函数 均匀加宽线宽
1 1 2 H N L 2 s L
•
2.3 晶格振动加宽
3.1多普勒加宽 3.1.1受激辐射的多普勒效应（一维情况）
单色光波 运动原子 假想光源 感受光波的接收器
若Vz=0
沿z向运动
原子感受频率
0 时, 共振相互作用最大
’0时, 共振相互作用最大
’ =1v /c)
z
0
vz 1 c
vz 0 1 c
dn2 dn n 21 A21n2 2 dt dt s
n2 (t ) n2 0e
t
s
求得自发辐射功率为
dn21 dn2 (t ) P(t ) h h n20hA21e dt dt
t
s
P0e
t
s
比较两式可得：
1
s
洛仑兹线型（Lorentzian lineshape）
K为波尔兹曼常数，T为绝对温度，n为单位体积 内原子数，m为原子质量，n(Vz)为原子数分布。
考虑E2和E1能级上的原子数n2和n1：
2 1 2 mVz m 2 KT dn2 Vz n2 Vz dVz n2 dVz e 2 KT 2 1 2 mVz m 2 KT dn1 Vz n1 Vz dVz n1 dVz e 2 KT
E2 E1 1 - 2 h
E
导致谱线加宽（自然加宽）
2.加宽机制之一：均匀加宽
Homogenous Broadening
自然加宽 碰撞加宽 晶格振动加宽
2.1 自然加宽（ Natural Broadening ） 在不受外界影响时，受激原子并非永远处于激发态， 会自发地向低能级跃迁，因而受激原子在激发态上 具有有限的寿命。这一因素造成原子跃迁谱线的自 然加宽。
0
vz 1 c
• 速度为vz的运动原子与z向传播的光波相互作用时，原子表现
出来的中心频率（表观中心频率）为
0
vz 0 0 1 c
Vz>0 运动原子与光传播方向相同；
Vz<0 运动原子与光传播方向反向