陀螺仪实验 (3)

实验报告

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数学系07级 姓名：宗艾俐 日期：08.11.15 学号：PB07025015

实验原理用自己的语言总结

实验题目：陀螺仪实验 实验目的：

1、通过测量角加速度确定陀螺仪的转动惯量；

2、通过测量陀螺仪的回转频率和进动频率确定陀螺仪的转动惯量；

3、观察和研究陀螺仪的进动频率与回转频率与外力矩的关系；

4、观察和研究陀螺仪的章动频率与回转频率的关系。 实验原理：

1、如图2用重物（砝码）落下的方法来使陀螺仪盘转动，这时陀螺仪盘的角加速度α为：α=d ωR /dt=M/I P (1)

式中ωR 为陀螺仪盘的角速度，I P 为陀螺仪盘的转动惯量。M=F .r 为使陀螺仪盘转动的力矩。由作用和反作用定律，作用力为：

F=m(g-a) (2) 式中g 为重力加速度，a 为轨道加速度（或线加速度） 轨道加速度与角加速度的关系为：

a=2h/t F 2； α=a/r (3) 式中h 为砝码下降的高度，r 如图1所示为转轴的半径，t F 为下落的时间。将(2)(3)

代入(1)可得：h mgr

mr I t P F

2

2222+= (4) 测量多组t F 和h 的值用作图法或最小二乘法拟合数据求出陀螺仪盘的转动惯量。 2、如图3所示安装好陀螺仪，移动平衡物W 使陀螺仪AB 轴（X 轴）在水平位置平衡，用拉线的方法使陀螺仪盘绕X 轴转动（尽可能提高转速），此时陀螺仪具有常数的角动量L ：

L =I P .ωR (5)

当在陀螺仪的另一端挂上砝码m （50g ）时就会产生一个附加的力矩M *，这将使原来的角动量发生改变：

dL/dt =M *=m *gr * (6)

由于附加的力矩M *的方向垂直于原来的角动量的方向，将使角动量L 变化dL ，由图1可见： dL=Ld ϕ

图1 陀螺仪进动的矢量图

P

P R P P I gr m dt dL I dt dL L dt d ωωϕω*

*11====P P

R t I gr m t 2*

*41π=这时陀螺仪不会倾倒，在附加的力矩M *的作用下将会发生进动。进动的角速度.ωP 为(ωP =2π/t P ，ωR =2π/t R )：

(7)

所以可以得到以下关系式：

(8)

因此1/t R 与t P 是线性关系,由作图法或最小二乘法拟合数据求出陀螺仪盘的转动惯量。

实验仪器：

①三轴回转仪； ②计数光电门； ③光电门用直流稳压电源（5伏）； ④陀螺仪平衡物； ⑤数字秒表（1/100秒）； ⑥底座（2个）； ⑦支杆（2个）；⑧砝码50克+10克（4个）； ⑨卷尺或直尺。 实验内容：

1根据实验装置图一组装好陀螺仪，用砝码落下的方法来使陀螺仪盘转动，用米尺测出砝码距地面的高度h ，并用秒表记下砝码落下 所用的时间t f ；重复实验五次，并将每次所得数据记录下来。

2根据实验装置图二组装好陀螺仪，移动平衡物w 使陀螺仪的AB 轴（x 轴）平衡，用拉线的方法使陀螺仪盘绕x 轴转动，并且尽可能的提高转速，用光电门测出自转周期T R ；然后在陀螺仪的另一端挂上砝码m （30g ），此时陀螺仪在附加力矩的作用下，将会发生进动，用秒表测出此时的进动周期T P ；重复实验五次，并将每组实验数据记录下来。 数据处理: 1、已知参数：

轴半径r=22.5mm ， 半径R=122.5mm ， 厚度d=28mm ， 密度， 进

动半径=270mm ， 合肥的重力加速度g=9.795. m=60g m*=30g

由以上参数可得陀螺仪的质量

m =·（

-）d

=0.9

=1.147356 kg

距地高度h/（cm ） 90.0 80.0 70.0

60.0 50.0 40.0 下落时间T F /（s ） 7.02 6.63

6.16 5.76 4.99 4.52

设陀螺仪盘角加速度为，/R 角速度, I P 为转动惯量,M=F ·r 为陀螺仪盘转

动的力矩，则有=……………………………………①

根据作用和反作用律可知F=m（g-a）………………………………②

其中g为合肥的重力加速度，a为轨道加速度；

又落体法时陀螺仪与砝码具有相同的轨道加速度，故a=………③

h为砝码下降的高度，为下落的时间；

又知轨道加速度和角加速度的关系为=，将此式连同②③代入①式可得

=·h ………………………………④

可以发现与h呈线性关系，以h为横轴，为纵轴，描出以下各点，

h/m 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40

49.28 43.96 37.95 33.18 24.90 20.43

/s2

随h的变化曲线

P

P R P P I gr m dt

dL I dt dL L dt d ωωϕω*

*11====P P

R t I gr m t 2*

*41π=Linear Regression for Data1_B: Y = A + B * X Parameter Value Error

------------------------------------------------------------ A -3.34429 1.41168 B 58.91429 2.10052

------------------------------------------------------------ R SD N P

------------------------------------------------------------ 0.99747 0.87871 6 <0.0001

------------------------------------------------------------ 由此可知直线斜率k=58.91

由 k =

可得 I P =（mgkr 2-2mr 2）代入数据即

I P =（0.06*9.795*58.91*0.02252-2*0.06*0.02252）=8.73*

kg/m 2

3、进动法测转动惯量: 自转周期T R /s 0.311 0.289 0.398 0.355 0.325 0.31 进动周期T P /s 16.3 18.11 14.33 14.79 15.64 16.44 P R 在其另一端挂上砝码m （30g ）后,产生的附加力矩会使角动量发生改变 dL/dt =M *=m *gr * 由图1可见： dL=Ld ϕ ……………………⑥

这时陀螺仪发生进动,进动的角速度.ωP 为(ωP =2π/t P ，ωR =2π/t R )：

所以可以得到以下关系式： 可见1/t R 与t P 是线性关系。

根据实验中测得的自转周期，可得如下数据：

图1 陀螺仪进动的矢量图