专题：椭圆的焦点三角形

椭圆的焦点三角形

一 知识梳理

定义：椭圆（双曲线）上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形；有一个角为直角的焦点

三角形叫焦点直角三角形。

性质一：该三角形一边长为焦距，另两边的和为定值。所以周长为定值2a+2c

性质二：已知椭圆方程为),0(122

22>>=+b a b

y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan

221θb S PF F =∆. 证明：记2211||,||r PF r PF ==， 由椭圆的第一定义得.4)(,22

22121a r r a r r =+∴=+

在△21PF F 中，由余弦定理得：

2(cos 2212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(2

2121221c r r r r r r =--+θ

即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ .cos 12cos 1)(22

2221θ

θ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得：

2tan 2cos 22cos 2sin 2cos 1sin sin 2122

222121θθθ

θθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F . .2tan 221θ

b S PF F =∴∆ 性质三：已知椭圆方程为),0(122

22>>=+b a b

y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.2112cos 222

e a

b -=-≥θ并且点P 在y 轴上是张角最大。 证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：

1244242)(2cos 212

221221221212

212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ

.21121)2

(2222

2212e a b r r b -=-=-+≥当切仅当21r r =，即点P 在y 轴是θcos 取的最小值，而角θ取得最大值。

二 典型例题

例1 如图把椭圆22

12516

x y +=的长轴AB 分成8分，过每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分于1P ,2P ,……7P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1

27......PF P F P F +++=_____ 解：只需取椭圆的另一焦点与1P ,2P ,……7P 七个点分

别连接，由结论1和对称性可知

()1271 (145352)

PF P F P F +++=⨯⨯= 例2若P 是椭圆164

1002

2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，1）求△21PF F 的面积2）求点P 的坐标

例3已知1F 、2F 是椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使︒=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围。

由焦点三角形性质二， .2190cos 20e -≥

⇒ 2

2≤e ＜1 三 练习题

1. 椭圆124

492

2=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）

A. 20

B. 22

C. 28

D. 24

2. 椭圆14

22

=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）

A. 0

B. 1

C. 3

D. 6

3. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积 最大时，21PF PF ⋅的值为（ ）

A. 0

B. 2

C. 4

D. 2-

4．已知椭圆1222

=+y a

x （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点， 且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ）

A ．1

B ．31

C ．34

D ．3

2 5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上， 直线1PF 与2PF 倾斜角的差为︒90，△21PF F 的面积是20，离心率为3

5， 求椭圆的标准方程.

6 22

12,:1,84x y F F C +=是椭圆的焦点的个数为？的点上满足在P PF PF C 21⊥ A. 0 B. 1 C. 3 D. 4

7 椭圆22

194

x y +=的焦点为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 。

8已知椭圆的两个焦点为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）

A 22

B 212

- C 22- D 21- 9已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆24

x +y 2=1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则△ABC 的周长是 .

10设F 1,F 2是椭圆+=1的左、右焦点,点M 在椭圆上,若△MF 1F 2是直角三角形,则