排列组合练习试题和答案解析
排列组合练习题及答案解析
1．甲、乙、丙3名学生排成一排，其中甲、乙两人站在一起的概率是（）A.16B.13C.23D.122．小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈，包括他共7人，一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨，给家里每人一个.小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个，则梨子的不同分法共有（）A．96种B．120种 C.480种D．720种3．从10名高三年级优秀学生中挑选3人担任校长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）A.85B.56C.49D.284．用2种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形中相邻矩形颜色不同的概率是（）A．18B．14C．38D．125．从0,1,2,3,4,5这六个数字中选两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A．300B．216C．180D．1626．个大学生分配到三个不同的村庄当村官，每个村庄至少有一名大学生，其中甲村庄恰有一名大学生的分法种数为（）A．14B．35C．70D．1007．将甲、乙等名学生分配到三个不同学校实习，每个学校至少一人，且甲、乙在同一学校的分配方案共有（）A．18种B．24种C．36种D．72种8．大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在，某城市关系要好的,,,A B C D四个家庭各有两个小孩共8人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（）A.18种B.24种C.36种D.48种9．某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求体育不排在第一节课，数学不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为（ ）A.600B.288C.480D.50410．设集合}{1,2,3,4,5,6,7,8,9S =，集合}{123,,A a a a =，A S ⊆，123,,a a a 满足123a a a <<且326a a -≤，那么满足条件的集合A 的个数为（ ）A ．76B ．78C ．83D ．8411．有4位同学在同一天的上午、下午参加“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”“握力”“台阶”五个项目的测试，每位同学测试两个项目，分别在上午和下午，且每人上午和下午测试的项目不能相同．若上午不测“握力”，下午不测“台阶”，其余项目上午、下午都各测试一人，则不同的安排方式的种数为（ ）A.264B.72C.266D. 27412．三位女同学两位男同学站成一排，男同学不站两端的排法总数为__________．（用数字作答）13．某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为 .答案1、【答案】 C2、【答案】C【解析】梨子的不同分法共有1545C A 480=(种)，故选C.3、【答案】C【解析】分两种情况：第一种，甲、乙只有人入选，有1227C C 42=种；第二种，甲、乙都入选，有2127C C 7=种，所以共有42749+=种方法，故选C.4、【答案】B【解析】用种不同颜色给图中个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，由分步乘法原理可得共有涂色方法2228⨯⨯=种，其中相邻矩形颜色不同有2112⨯⨯=种，则所求概率为2184=，故选B. 5、【答案】C6、【答案】C【解析】甲村庄恰有一名大学生，有15C 5=种分法，另外四名大学生分为两组，共有21344322C C C 437A +=+=种，再分配到两个村庄，共有227A 14⨯=种不同的分法，所以每个村庄至少有一名，且甲村庄恰有一名大学生有51470⨯=种不同的分法，故选C.7.【答案】C8.【答案】B【解析】当A 户家庭的孪生姐妹乘坐甲车或乙车时，则另两个小孩是另外两个家庭的小孩，有2232C 224⨯⨯=种方法，故选B.9、【答案】D【解析】对六节课进行全排有66A 种方法，体育课排在第一节课有55A 种方法，数学课排在第四节课也有55A 种方法，体育课排在第一节课且数学课排在第四节课有44A 种方法，由排除法得这天课表的不同排法种数为654654A 2A A 504-+=. 10.【答案】C11、【答案】A【解析】先安排4位同学参加上午的“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”“台阶”测试，共有44A 种不同的安排方式；接下来安排下午的“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”“握力”测试，假设,,A B C 同学上午分别安排的是“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”测试，若D 同学选择“握力”测试，安排,,A B C 同学分别交叉测试，有2种；若D 同学选择“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”测试中的1种，有13A 种方式，安排,,A B C 同学进行测试有3 种，则共有不同安排方式的种数为()4143A 23A 264+=，故选A. 12、【答案】3613、【答案】36。
排列组合题目精选(附答案)
排列组合题目精选(附答案)1.A和B必须相邻且B在A的右边，剩下的C、D、E可以随意排列，因此排列方式为4.即24种。
选项D正确。
2.先计算所有可能的排列方式，即7.然后减去甲乙相邻的排列方式，即2×6.因此不同的排列方式为5×6.即3600种。
选项B正确。
3.第一个格子有4种选择，第二个格子有3种选择，第三个格子有2种选择，因此不同的填法有4×3×2=24种。
选项D 错误。
4.由于每封信可以投入5个信箱中的任意一个，因此总的投放方式为5的4次方，即625种。
5.对于每个路口，选择4名同学进行调查的方式有12选4种，因此总的分配方案为(12选4)的3次方，即154,440种。
6.第一排有6种选择，第二排有5种选择，第三排有4种选择，因此不同的排法有6×5×4=120种。
选项B正确。
7.首先从8个元素中选出2个排在前排，有8选2种选择方式。
然后从剩下的6个元素中选出1个排在后排，有6种选择方式。
最后将剩下的5个元素排在后排，有5!种排列方式。
因此不同的排法有8选2×6×5!=28×720=20,160种。
8.首先将甲、乙、丙三人排成一排，有3!种排列方式。
然后将其余4人插入到相邻的位置中，有4!种排列方式。
因此不同的排法有3!×4!=144种。
9.首先将10个名额排成一排，有10!种排列方式。
然后在9个间隔中插入6个分隔符，每个间隔至少插入一个分隔符，因此有8种插入方式。
因此不同的分配方案有10!÷(6×8)=21,000种。
10.首先将除了甲和乙的8个人排成一排，有8!种排列方式。
然后将甲和乙插入到相邻的位置中，有2种插入方式。
因此不同的派遣方案有8!×2=80,640种。
11.个位数字小于十位数字的六位数，可以从1、2、3、4、5中选出两个数字排列，有5选2种选择方式，即10种。
排列组合练习题及答案
排列组合习题精选一、纯排列与组合问题：1.从9人中选派2人参加某一活动，有多少种不同选法？2.从9人中选派2人参加文艺活动，1人下乡演出，1人在本地演出，有多少种不同选派方法？3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学的人数是（ ）A.男同学2人，女同学6人B.男同学3人，女同学5人C. 男同学5人，女同学3人D. 男同学6人，女同学2人4.一条铁路原有m个车站，为了适应客运需要新增加n个车站（n>1），则客运车票增加了58种（从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票），那么原有的车站有 （ ）A.12个B.13个C.14个D.15个、、设男生人，则有。
4、选C.二、相邻问题：1. A、B、C、D、E五个人并排站成一列，若A、B必相邻，则有多少种不同排法？2. 有8本不同的书， 其中3本不同的科技书，2本不同的文艺书，3本不同的体育书，将这些书竖排在书架上，则科技书连在一起，文艺书也连在一起的不同排法种数为( )A.720B.1440C.2880D.36001. (2) B三、不相邻问题：1.要排一个有4个歌唱节目和3个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目都不相邻，有多少种不同排法？2、1到7七个自然数组成一个没有重复数字的七位数，其中奇数不相邻的有多少个？3.4名男生和4名女生站成一排，若要求男女相间，则不同的排法数有（ ）A.2880B.1152C.48D.1444.排成一排的8个空位上，坐3人，使每人两边都有空位，有多少种不同坐法？5.8张椅子放成一排，4人就坐，恰有连续三个空位的坐法有多少种？6. 排成一排的9个空位上，坐3人，使三处有连续二个空位，有多少种不同坐法？7. 排成一排的9个空位上，坐3人，使三处空位中有一处一个空位、有一处连续二个空位、有一处连续三个空位，有多少种不同坐法？8. 在一次文艺演出中，需给舞台上方安装一排彩灯共15只，以不同的点灯方式增加舞台效果，要求设计者按照每次点亮时，必须有6只灯是熄灭的，且相邻的灯不能同时熄灭，两端的灯必须点亮的要求进行设计，那么不同的点亮方式是 （ ）A.28种B.84种C.180种D.360种1.） （ B （） （（） （） （ A四、定序问题：1. 有4名男生，3名女生。
（完整版）排列组合练习题3套（含答案）
（完整版）排列组合练习题3套（含答案）排列练习⼀、选择题1、将3个不同的⼩球放⼊4个盒⼦中，则不同放法种数有（）A、81B、64C、12D、142、n∈N且n<55，则乘积（55-n）（56-n）……（69-n）等于（）A、 B、 C、 D、3、⽤1，2，3，4四个数字可以组成数字不重复的⾃然数的个数（）A、64B、60C、24D、2564、3张不同的电影票全部分给10个⼈，每⼈⾄多⼀张，则有不同分法的种数是（）A、2160B、120C、240D、7205、要排⼀张有5个独唱和3个合唱的节⽬表，如果合唱节⽬不能排在第⼀个，并且合唱节⽬不能相邻，则不同排法的种数是（）A、 B、 C、 D、6、5个⼈排成⼀排，其中甲、⼄两⼈⾄少有⼀⼈在两端的排法种数有（）A、 B、 C、 D、7、⽤数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中⼩于50000的偶数有（）A、24B、36C、46D、608、某班委会五⼈分⼯，分别担任正、副班长，学习委员，劳动委员，体育委员，其中甲不能担任正班长，⼄不能担任学习委员，则不同的分⼯⽅案的种数是（）A、B、C、D、⼆、填空题1、（1）（4P84+2P85）÷（P86-P95）×0！=___________（2）若P2n3=10Pn3，则n=___________2、从a、b、c、d这四个不同元素的排列中，取出三个不同元素的排列为__________________________________________________________________3、4名男⽣，4名⼥⽣排成⼀排，⼥⽣不排两端，则有_________种不同排法4、有⼀⾓的⼈民币3张，5⾓的⼈民币1张，1元的⼈民币4张，⽤这些⼈民币可以组成_________种不同币值。
三、解答题1、⽤0，1，2，3，4，5这六个数字，组成没有重复数字的五位数，（1）在下列情况，各有多少个？①奇数②能被5整除③能被15整除④⽐35142⼩⑤⽐50000⼩且不是5的倍数2、7个⼈排成⼀排，在下列情况下，各有多少种不同排法？（1）甲排头（2）甲不排头，也不排尾（3）甲、⼄、丙三⼈必须在⼀起（4）甲、⼄之间有且只有两⼈（5）甲、⼄、丙三⼈两两不相邻（6）甲在⼄的左边（不⼀定相邻）（7）甲、⼄、丙三⼈按从⾼到矮，⾃左向右的顺序（8）甲不排头，⼄不排当中3、从2，3，4，7，9这五个数字任取3个，组成没有重复数字的三位数（1）这样的三位数⼀共有多少个？（2）所有这些三位数的个位上的数字之和是多少？（3）所有这些三位数的和是多少？排列与组合练习（1）⼀、填空题1、若，则n的值为（）A、6B、7C、8D、92、某班有30名男⽣，20名⼥⽣，现要从中选出5⼈组成⼀个宣传⼩组，其中男、⼥学⽣均不少于2⼈的选法为（）A、 B、 C、 D、3、空间有10个点，其中5点在同⼀平⾯上，其余没有4点共⾯，则10个点可以确定不同平⾯的个数是（）A、206B、205C、111D、1104、6本不同的书分给甲、⼄、丙三⼈，每⼈两本，不同的分法种数是（）A、 B、 C、 D、5、由5个1，2个2排成含7项的数列，则构成不同的数列的个数是（）A、21B、25C、32D、426、设P1、P2…，P20是⽅程z20=1的20个复根在复平⾯上所对应的点，以这些点为顶点的直⾓三⾓形的个数为（）A、360B、180C、90D、457、若，则k的取值范围是（）A、[5，11]B、[4，11]C、[4，12]D、4，15]8、⼝袋⾥有4个不同的红球，6个不同的⽩球，每次取出4个球，取出⼀个线球记2分，取出⼀个⽩球记1分，则使总分不⼩于5分的取球⽅法种数是（）A、 B、 C、 D、1、计算：（1）=_______（2）=_______2、把7个相同的⼩球放到10个不同的盒⼦中，每个盒⼦中放球不超1个，则有_______种不同放法。
排列组合经典题型及解析
排列组合经典题型及解析1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（ ） A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.`例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法有（ ） A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B .4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种， … 选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ） A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种，答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计. 例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ） A 、210种 B 、300种 C 、464种 D 、600种 ]解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有55A 个，1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个，合并总计300个,选B. （2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100A =共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从A 中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种.（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种 解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
高中数学排列组合专项练习(后附答案)
排列组合一、知识点讲解1.排列与组合的概念2.排列数与组合数（1）排列数的定义：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的________的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用____表示.（2）组合数的定义：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的________的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用____表示.3.排列数、组合数的公式及性质)(!n m m −+）m n n n C C =二、课堂练习题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（1）所有元素完全相同的两个排列为相同排列. （ ） （2）一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序. （ ） （3）两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. （ ） （4）（n ＋1）！－n ！＝n ·n ！.（ ）（5）若组合式C x n ＝C mn ，则x ＝m 成立. （ ） （6）k C k n ＝n C k －1n －1.（ ）题组二 教材改编2.[P29习题T5]6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为________.3.[P16例7]用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为________.题组三易错自纠4.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有_______种.5.为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为________.6.寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有______种. （用数字作答）三、课中讲解题型一排列问题1.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了_______条毕业留言. （用数字作答）2.用1,2,3,4,5,6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1,3,5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为________.3.在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列种数为________.排列应用问题的分类与解法（1）对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.（2）对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.题型二组合问题例1.某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货. 现从35种商品中选取3种.（1）其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？（2）其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？（3）恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？（4）至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？（5）至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？组合问题常有以下两类题型变化：（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.（2）“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解. 用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.练1.在某校2017年举办的第32届秋季运动会上，甲、乙两位同学从四个不同的运动项目中各选两个项目报名，则甲、乙两位同学所选的项目中至少有1个不相同的选法种数为________.练2.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有________种.题型三排列与组合问题的综合应用命题点1相邻、相间及特殊元素（位置）问题例1.在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________.例2.大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在. 某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4个孩子不考虑位置），其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有________种.命题点2分组与分配问题例1.国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教. 现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有_____种不同的分派方法.例2.有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有________种.（1）解排列、组合问题要遵循的两个原则①按元素（位置）的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步. 具体地说，解排列、组合问题常以元素（位置）为主体，即先满足特殊元素（位置），再考虑其他元素（位置）.（2）分组、分配问题的求解策略①对不同元素的分配问题a.对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A n n（n为均分的组数），避免重复计数.b.对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数.c.对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数.②对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”.练1.（2017·全国Ⅱ改编）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有________种.练2.（2017·浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法. （用数字作答）练3.把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.四、课后练习1.从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是________.2.有5本不同的书，其中语文书3本，数学书2本，若将它们随机并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的摆放方法数为________.3.某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为________.4.方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同. 在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有________条.5.有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次. A，B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名. 请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为________.6.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为________.7.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种. （用数字作答）8. 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖. 将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种. （用数字作答）9. 某医院拟派2名内科医生，3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生，外科医生和护士，则不同的分配方案有______种.10. 用数字0,1,2,3,4组成的五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有_____个.11. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是________.12. 某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法. （用数字作答）13. 7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为________.14. 将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，则一共有________种放法.15. 在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现为其中的五个参会国的人员安排酒店，这五个参会国的人员要在a，b，c三家酒店中任选一家，且这三家都至少有一个参会国的人员入住，则这样的安排方法共有________种.16. 设三位数n＝abc，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有多少个？排列组合一、知识点讲解1.排列与组合的概念2.排列数与组合数（1）排列数的定义：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用.（2）组合数的定义：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用.3.排列数、组合数的公式及性质)(!n m m −+C m －1n__ 二、课堂练习题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（1）所有元素完全相同的两个排列为相同排列. （）（2）一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序. （ ） （3）两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. （ ）（4）（n ＋1）！－n ！＝n ·n ！.（ ）（5）若组合式C x n ＝C mn ，则x ＝m 成立. （ ） （6）k C k n ＝n C k －1n －1.（ ）【答案】×；×；√；√；×；√题组二教材改编2. [P29习题T5]6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为________.【答案】24“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.3. [P16例7]用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为________.【答案】48末位数字排法有A12种，其他位置排法有A34种，共有A12A34＝48（种）排法，所以偶数的个数为48.题组三易错自纠4. 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有_______种. 【答案】216第一类：甲在左端，有A55＝5×4×3×2×1＝120（种）排法；第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有4A44＝4×4×3×2×1＝96（种）排法.所以共有120＋96＝216（种）排法.5. 为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为________.【答案】540②一个国家派3名，一个国家派2名，一个国家派1名，有C36C23C11A33＝360（种）；③每个国家各派6. 寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有______种. （用数字作答）【答案】45设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有9×5＝45（种）.三、课中讲解题型一排列问题1. 某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了_______条毕业留言. （用数字作答）【答案】1 560由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40×39＝1 560（条）留言.2. 用1,2,3,4,5,6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1,3,5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为________.【答案】432根据题意，分三步进行：第一步，先将1,3,5分成两组，共C23A22种排法；第二步，将2,4,6排成一排，共A33种排法；第三步，将两组奇数插入三个偶数形成的四个空位，共A24种排法. 综上，共有C23A22A33 A24＝3×2×6×12＝432（种）排法.3. 在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列种数为________. 【答案】864解析先把数字1,3,5,7作全排列，有A44＝24种排法，再排数字6，由于数字6不与3相邻，在排好的排列中，除去3的左、右2个空隙，还有3个空隙可排数字6，故数字6有3种排法，最后排数字2,4，又数字2,4不与6相邻，故在剩下的4个空隙中排上2,4，有A24种排法，故共有A44×3×A24＝864（种）排法.排列应用问题的分类与解法（1）对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.（2）对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.题型二组合问题例1.某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货. 现从35种商品中选取3种.（1）其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？（2）其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？（3）恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？（4）至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？（5）至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？【答案】（1）从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561种取法，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.（2）从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984种取法.∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.（3）从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有C120C215＝2 100种取法.∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.（4）选取2种假货有C120C215种，选取3种假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555（种）.∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.（5）方法一（间接法）选取3种的总数为C335，因此共有选取方式C335－C315＝6 545－455＝6 090（种）.∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.方法二（直接法）选取3种真货有C320种，选取2种真货有C220C115种，选取1种真货有C120C215种，因此共有选取方式C320＋C220C115＋C120C215＝6 090（种）.∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.组合问题常有以下两类题型变化：（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.（2）“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解. 用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.练1.在某校2017年举办的第32届秋季运动会上，甲、乙两位同学从四个不同的运动项目中各选两个项目报名，则甲、乙两位同学所选的项目中至少有1个不相同的选法种数为________.【答案】30因为甲、乙两位同学从四个不同的项目中各选两个项目的选法有C24C24种.其中甲、乙所选的项目完全相同的选法有C24种，所以甲、乙所选的项目中至少有1个不相同的选法共有C24C24－C24＝30（种）.练2.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有________种. 【答案】66共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故不同的取法有C45＋C44＋C25C24＝66（种）.题型三排列与组合问题的综合应用命题点1相邻、相间及特殊元素（位置）问题例1.在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________.【答案】602位男生不能连续出场的排法共有N1＝A33×A24＝72（种），女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N2＝A22×A23＝12（种），所以出场顺序的排法种数为N＝N1－N2＝60.例2.大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在. 某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4个孩子不考虑位置），其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有________种.【答案】24根据题意，分两种情况讨论：①A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C23×C12×C12＝12（种）乘坐方式；②A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C13×C12×C12＝12（种）乘坐方式，故共有12＋12＝24（种）乘坐方式.命题点2分组与分配问题例1.国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教. 现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法.【答案】90例2.有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有________种.【答案】36则共有6×6＝36（种）不同的保送方案.（1）解排列、组合问题要遵循的两个原则①按元素（位置）的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步. 具体地说，解排列、组合问题常以元素（位置）为主体，即先满足特殊元素（位置），再考虑其他元素（位置）.（2）分组、分配问题的求解策略①对不同元素的分配问题a. 对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A n n（n为均分的组数），避免重复计数.b. 对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数.c. 对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数.②对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”.练1.（2017·全国Ⅱ改编）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有________种.【答案】36由题意可知，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C13·C24·A22＝练2.（2017·浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法. （用数字作答）【答案】660方法一只有1名女生时，先选1名女生，有C12种方法；再选3名男生，有C36种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法. 由分步计数原理知，共有C12C36A24＝480（种）选法.有2名女生时，再选2名男生，有C26种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法. 由分步计数原理知，共有C26A24＝180（种）选法. 所以依据分类计数原理知，共有480＋180＝660（种）不同的选法.方法二不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种，故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660（种）.练3.把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.【答案】36将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有A22A44种方法，将产品A，B，C 捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有A22A33种方法. 于是符合题意的摆法共有A22A44－A22A33＝36（种）.四、课后练习1.从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是________.【答案】18为A25－2＝18.2. 有5本不同的书，其中语文书3本，数学书2本，若将它们随机并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的摆放方法数为________.【答案】12A33A22＝12.3. 某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为________.【答案】24将4个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在3个车位上任意排列，有A33＝6种排法，再将捆绑在一起的4个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有4×6＝24（种）方法.4. 方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同. 在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有________条.【答案】62a，b均不为0，且b取互为相反数的两数时抛物线相同，故分a取1与a不取1两类：①a取1时，b2取值为4,9两类，当b2＝4和b2＝9时，c都有5种情况，此时有2×5＝10（种）；②a不取1时有C14种，不妨设a取2，则b2取值有1,4,9三类，当b2＝1时，c有4种，当b2＝4时，c有4种，当b2＝9时，c有5种，此时有C14（4＋4＋5）＝52（条）不同的抛物线.故共有10＋52＝62（种）不同的抛物线.5. 有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次. A，B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名. 请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为________.【答案】18由题意知，名次排列的种数为C13A33＝18.6. 用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为________.【答案】72由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5.分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有C13种选法，再将剩下的4个数字排列有A44种排法，则满足条件的五位数有C13·A44＝72（个）.7. 若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种. （用数字作答）【答案】11把g，o，o，d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A24种排法；第二步：排两个o，共1种排法，所以总的排法种数为A24＝12.其中正确的有一种，所以错误的共有A24－1＝12－1＝11（种）.8. 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖. 将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种. （用数字作答）【答案】60分两类：第一类：3张中奖奖券分给3个人，共A34种分法；第二类：3张中奖奖券分给2个人相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人，共有C23A24种分法.总获奖情况共有A34＋C23A24＝60（种）.9. 某医院拟派2名内科医生，3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生，外科医生和护士，则不同的分配方案有______种.【答案】362名内科医生的分法为A22，3名外科医生与3名护士的分法为C23C13＋C13C23，共有A22（C23C13＋C13C23）＝36（种）不同的分法.10. 用数字0,1,2,3,4组成的五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有________个.【答案】240由题意，知本题是一个分步计数问题，从1,2,3,4四个数中选取一个有四种选法，接着从这五个数中选取3个在中间三个位置排列，共有A35＝60个，根据分步计数原理知，有60×4＝240（个）.11. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是________.【答案】120先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空. 安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”. 对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有A22C13A23＝36（种）安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有A22A34＝48（种）安排方法. 由分类计数原理知，共有36＋36＋48＝120（种）安排方法.12. 某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法. （用数字作答）【答案】1145个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有（3,1,1）和（2,2,1）两种，当为（3,1,1）时，有C35·A33＝90种，A，B住同一房间有C23·A33＝18种，故有90－18＝72（种），根据分类计数原理可知，共有42＋72＝114（种）.13. 7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为________.【答案】360前排3人有4个空，从甲、乙、丙3人中选1人插入，有C14C13种方法，对于后排，若插入的2人不相邻，有A25种方法；若相邻，有C15A22种，故共有C14C13（A25＋C15A22）＝360（种）.14. 将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，则一共有________种放法.【答案】150标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，故可分成（3,1,1）和（2,2,1）15. 在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现为其中的五个参会国的人员安排酒店，这五个参会国的人员要在a，b，c三家酒店中任选一家，且这三家都至少有一个参会国的人员入住，则这样的安排方法共有________种.【答案】150这三家酒店入住的参会国数目有以下两种可能：满足题意的安排方法共有90＋60＝150（种）.。
排列组合经典练习(带答案)
排列与组合习题1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为() A．40B．50C．60D．70[解析]先分组再排列，一组2人一组4人有C26＝15种不同的分法；两组各3人共有C36A22＝10种不同的分法，所以乘车方法数为25×2＝50，故选B.2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A．36种B．48种C．72种D．96种[解析]恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A33A24＝72种排法，故选C.3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A．6个B．9个C．18个D．36个[解析]注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C13＝3(种)选法，即1231,1232,1233，而每种选择有A22×C23＝6(种)排法，所以共有3×6＝18(种)情况，即这样的四位数有18个．4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有() A．2人或3人B．3人或4人C．3人D．4人[解析]设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2n C18－n＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有()A．45种B．36种C．28种D．25种[解析]因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C28＝28种走法．6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有()A．24种B．36种C．38种D．108种[解析]本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C13种分法，然后再分到两部门去共有C13A22种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C13种方法，由分步乘法计数原理共有2C13A22C13＝36(种)．7．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为()A．33 B．34 C．35 D．36[解析]①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12·A33＝12个；②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12·A33＋A33＝18个；③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13＝3个．故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A.8．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是() A．72 B．96 C．108 D．144[解析]分两类：若1与3相邻，有A22·C13A22A23＝72(个)，若1与3不相邻有A33·A33＝36(个)故共有72＋36＝108个．9．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有()A．50种B．60种C．120种D．210种[解析]先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为C16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A25种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16·A25＝120种，故选C.10．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)[解析]先安排甲、乙两人在后5天值班，有A25＝20(种)排法，其余5人再进行排列，有A55＝120(种)排法，所以共有20×120＝2400(种)安排方法．11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)[解析]由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C49·C25·C33＝1260(种)排法．12．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．[解析]先将6名志愿者分为4组，共有C26C24A22种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共有A 44种分法，故所有分配方案有：C 26·C 24A 22·A 44＝1 080种． 13．要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．[解析] 5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，∴有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种．14. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1108种 解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有4414222A A A ⨯种方法甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有)(43313134422A A A A A +种方法故共有1008种不同的排法16. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 （A ）72 （B ）96 （C ） 108 （D ）144 解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，32232A A ＝24个②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共32222A A ＝12个算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个 答案：C17. 在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A.10 B.11 C.12 D.1518. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。
排列组合典型例题(带详细答案)
例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数例2三个女生和五个男生排成一排（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。
（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法．例 5 现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员．问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表．如果有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择．若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法例7 7名同学排队照相．(1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法 (4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法例8计算下列各题：(1) 215A ； (2) 66A ； (3) 1111------⋅n n m n mn m n A A A ；例9 f e d c b a ,,,,,六人排一列纵队，限定a 要排在b 的前面（a 与b 可以相邻，也可以不相邻），求共有几种排法．例10 八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法例11 计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且不彩画不放在两端，那么不同陈列方式有例12 由数字5,4,3,2,1,0组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数的个数共有（ ）．例13 用5,4,3,2,1，这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）．例14 用543210、、、、、共六个数字，组成无重复数字的自然数，(1)可以组成多少个无重复数字的3位偶数(2)可以组成多少个无重复数字且被3整除的三位数1、解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有39A 个；当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有281814A A A ⋅⋅（个）．∴ 没有重复数字的四位偶数有2296179250428181439=+=⋅⋅+A A A A2、解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有66A 种不同排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有33A 对种不同的排法，因此共有43203366=⋅A A 种不同的排法．（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档．这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有55A 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有36A 种方法，因此共有144003655=⋅A A 种不同的排法．（3）解法1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有25A 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有66A 种排法，所以共有144006625=⋅A A 种不同的排法． （4）3个女生和5个男生排成一排有88A 种排法，从中扣去两端都是女生排法6623A A ⋅种，就能得到两端不都是女生的排法种数．因此共有36000662388=⋅-A A A 种不同的排法．3、解：（1）先排歌唱节目有55A 种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有46A 中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：55A 46A ＝43200.（2）先排舞蹈节目有44A 中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入。
高中排列组合试题及答案
高中排列组合试题及答案一、选择题1. 从5个人中选出3个人参加比赛，不同的选法有（）种。
A. 10B. 15C. 20D. 60答案：B2. 有3个不同的球和3个不同的盒子，每个盒子只能放一个球，不同的放法有（）种。
A. 3B. 6C. 9D. 27答案：D3. 从6本不同的书中选3本送给3个不同的人，每人一本，不同的送法有（）种。
A. 20B. 60C. 120D. 720答案：B二、填空题4. 一个班级有20名学生，需要选出5名学生组成一个小组，那么不同的选法有______种。
答案：15,5045. 从10个人中选出3个人担任班长、副班长和学习委员，不同的选法有______种。
答案：720三、解答题6. 某学校有5个不同学科的竞赛，每个学生可以选择参加1个或多个竞赛，求至少参加一个竞赛的学生的选法总数。
答案：首先，每个学生有6种选择：不参加任何竞赛，只参加一个竞赛，参加两个竞赛，参加三个竞赛，参加四个竞赛，参加所有五个竞赛。
对于每个学科，学生有两种选择：参加或不参加，所以总共有2^5=32种可能的组合。
但是，我们需要排除不参加任何竞赛的情况，所以选法总数为32-1=31种。
7. 一个班级有30名学生，需要选出一个5人的篮球队，其中必须包括1名队长和4名队员。
如果队长和队员可以是同一个人，那么不同的选法有多少种？答案：首先，选择队长有30种可能，然后从剩下的29人中选择4名队员，有C(29,4)种可能。
但是，由于队长和队员可以是同一个人，我们需要减去只选了4名队员的情况，即C(30,4)种。
所以，总的选法为30*C(29,4) - C(30,4) = 30*1911 - 27,405 = 57,330种。
四、计算题8. 一个数字密码由5个不同的数字组成，每位数字可以是0-9中的任意一个，求这个密码的所有可能组合。
答案：每位数字有10种可能，所以总的组合数为10^5 = 100,000种。
9. 一个班级有15名学生，需要选出一个7人的足球队，不同的选法有多少种？答案：从15名学生中选出7人，不同的选法有C(15,7) = 6,435种。
(完整版)排列组合概率练习题(含答案)
排列与组合练习题1．如图，三行三列的方阵中有9个数(1,2,3;1,2,3)ij a i j ==，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（A ）37 （B ）47 （C ）114 （D ）1314 答案：D解析：若取出3个数，任意两个不同行也不同列，则只有6种取法；而从9个数中任意取3个的方法是39C ．所以39613114C -=． 2．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（A ）6种 （B ）9种 （C ）11种 （D ）13种答案：B解析：设四人分别是甲、乙、丙、丁，他们写的卡片分别为,,,a b c d ，则甲有三种拿卡片的方法，甲可以拿,,b c d 之一．当甲拿b 卡片时，其余三人有三种拿法，分别为,,badc bcda bdac ．类似地，当甲拿c 或d 时，其余三人各有三种拿法．故共有9种拿法．3．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点，y 轴正半轴上有3个点，将x 轴正半轴上这5个点和y 轴正半轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有（A ）30个 （B ）20个 （C ）35个 （D ）15个答案：A解析：设想x 轴上任意两个点和y 轴上任意两个点可以构成一个四边形，则这个四边形唯一的对角线交点，即在第一象限，适合题意．而这样的四边形共有302325=⋅C C 个，于是最多有30个交点．推广1：．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有m 个点，y 轴正半轴上有n 个点，将x 轴正半轴上这m 个点和y 轴正半轴上这n 个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有22m n C C ⋅个变式题：一个圆周上共有12个点，由这些点所连的弦最多有＿＿个交点．答案：412C4．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（A ）15 （B ）25 （C ）35 （D ） 45答案：B111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解析：由古典概型的概率公式得522155222233232222=+-=A A A A A A A P ． 5．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34答案：A解析：每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=3193=． 6．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到的2个数均为偶数”，则(|)P B A =A ．18B ．14C ．25D ．12答案：B 解析：2()5P A =，1()10P AB =，()1(|)()4P AB P B A P A ==． 7．甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A ．12 B ．35 C ．23 D ．34 答案：D解析：由题得甲队获得冠军有两种情况，第一局胜或第一局输第二局胜，所以甲队获得冠军的概率11132224P =+⋅=．所以选D ． 8．如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为KA 2A 1A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576答案：B解析：系统正常工作概率为120.90.8(10.8)0.90.80.80.864C ⨯⨯⨯-+⨯⨯=，所以选B.9．甲乙两人一起去“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（A ）136 （B ）19 （C ）536 （D ）16 答案：D解析：各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览有1111111166554433C C C C C C C C 种，且等可能，最后一小时他们同在一个景点有11111116554433C C C C C C C 种，则最后一小时他们同在一个景点的概率是11111116554433111111116655443316C C C C C C C p C C C C C C C C ==，故选D ． 10．在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b α=．从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形．记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则m n =( ) （A ）415 （B ）13 （C ）25 （D ）23答案：B解析：基本事件：26(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3)23515n C ==⨯=从选取个，.其中面积为2的平行四边形的个数(2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1)；其中面积为4的平行四边形的为(2,3)(2,5);(2,1)(2,3)； m=3+2=5故51153m n ==. 11．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于A ．14B ．13C ．12D ．23答案：C解析：显然ABE ∆面积为矩形ABCD 面积的一半，故选C ．12．在204(3)x y +展开式中，系数为有理数的项共有 项．答案：6解析：二项式展开式的通项公式为20204412020(3)(3)(020)r r r r r r r r T C x y C x y r --+==≤≤要使系数为有理数，则r 必为4的倍数，所以r 可为0.、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项.13．集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}M =，从集合M 中取出4个元素构成集合P ，并且集合P 中任意两个元素,x y 满足||2x y -≥，则这样的集合P 的个数为＿＿＿＿．答案：35解析：其实就是从1到10这十个自然数中取出不相邻的四个数，共有多少方法的问题．因此这样的集合P 共有4735C =个．14．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物，如右图所示，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有4种不同的植物可供选择，则有＿＿＿种栽种方案．答案：732解析：共分三类：（1）A 、C 、E 三块种同一种植物；（2）A 、B 、C 三块种两种植物（三块中有两块种相同植物，而与另一块所种植物不同）；（3）A 、B 、C 三块种三种不同的植物．将三类相加得732．15．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(Ⅱ)X 表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X 的期望()E X ．解：（I ）设A 表示事件“购买甲种保险”，B 表示购买乙种保险． ()A B A A B =并且A 与A B 是互斥事件，所以()()()0.50.30.8P A B P A P A B =+=+=答：该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8． （II ）由（I ）得任意1位车主两种保险都不购买的概率为()10.80.2p p A B ==-=． 又(3,0.2)XB ，所以()20E X =．所以X 的期望()20E X =．。
高考数学经典题库-排列组合练习题及答案解析
经典题库-排列组合练习题注：排列数公式m n P 亦可记为mn A 。
一、选择题1．从0，1，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（ ）A 、24个B 、36个C 、48个D 、54个【答案】C【解析】若包括0，则还需要两个奇数，且0不能排在最高位，有C 32A 21A 22＝3×2×2＝12个若不包括0，则有C 21C 32A 33＝3×2×6＝36个共计12＋36＝48个考点：排列组合2．某学生制定了数学问题解决方案: 星期一和星期日分别解决4个数学问题, 且从星期二开始, 每天所解决问题的个数与前一天相比, 要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”.在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（ ）A.50种B.51种C.140种D.141种【答案】D【解析】试题分析：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，所以共有01122336656463141C C C C C C C +++=种考点：排列组合问题3．有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定。
技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（ ）A ．16B ．24C ．32D ．48【答案】C【解析】试题分析：前两次测试的是一件稳定的，一件不稳定的，第三件是不稳定的，共有21122832A C C = 种方法．考点：排列与组合公式．4．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1、2、3、4、5、6，现从中随机取出3个球，以X 表示取出球的最大号码. 则X 所有可能取值的个数是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C【解析】试题分析：随机变量X 的可能取值为6,5,4,3取值个数为4.考点：离散型随机变量的取值.5．在1,2,3,4,5,6这六个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有( )A ．60个B ．36个C ．24个D ．18个【答案】A【解析】依题意，所选的三位数字有两种情况：(1)3个数字都是偶数，有33P 种方法；(2)3个数字中有2个是奇数，1个是偶数，有23C 13C 33P 种方法，故共有33P ＋23C 13C 33P ＝60种方法，故选A ．6．将A ，B ，C ，D ，E 排成一列，要求A ，B ，C 在排列中顺序为“A，B ，C”或“C，B ，A”(可以不相邻)，这样的排列数有( )A ．12种B ．20种C ．40种D ．60种【答案】C【解析】五个元素没有限制全排列数为55P ，由于要求A ，B ，C 的次序一定(按A ，B ，C 或C ，B ，A)故除以这三个元素的全排列33P ，可得5533P P ×2＝40． 7．将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放2支，则不同的放法有( )A ．56种B ．84种C ．112种D ．28种【答案】C【解析】根据题意先将7支不同的笔分成两组，若一组2支，另一组5支，有27C 种分组方法；若一组3支，另一组4支，有37C 种分组方法．然后分配到2个不同的笔筒中，故共有(27C ＋37C )22P ＝112种放法．8．两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为( )A ．48种B ．36种C ．24种D ．12种【答案】C【解析】爸爸排法为22A 种，两个小孩排在一起故看成一体有22P 种排法．妈妈和孩子共有33P 种排法，∴排法种数共有22A 22A 33A ＝24种．故选C ．9．运动会举行．某运动队有男运动员6名，女运动员4名，选派5人参加比赛，则至少有1名女运动员的选派方法有( )A ．128种B ．196种C ．246种D ．720种【答案】C【解析】“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”．从10人中任选5人，有510C 种选法，其中全是男运动员的选法有56C 种．所以“至少有1名女运动员”的选法有510C －56C ＝246种．10．三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6，若将三张卡片并列，可得到不同的三位数(6不能作9用)的个数为( )A ．8B ．6C ．14D ．48【答案】D【解析】先排首位6种可能，十位数从剩下2张卡中任取一数有4种可能，个位数1张卡片有2种可能，∴一共有6×4×2＝48(种)．11．某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有( )A ．8种B ．10种C ．12种D ．32种【答案】B【解析】从A 到B 若路程最短，需要走三段横线段和两段竖线段，可转化为三个a 和两个b 的不同排法，第一步：先排a 有35C 种排法，第二步：再排b 有1种排法，共有10种排法，选B 项．12．某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有（ ）A ．35种B ．16种C ．20种D ．25种【答案】D【解析】试题分析：学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，有三种方法，一是不选甲乙共有45C 种方法，二是选甲，共有35C 种方法，三是选乙，共有35C 种方法，把这3个数相加可得结果为25 考点：排列组合公式13．用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）A ．324B ．648C ．328D ．360【答案】C【解析】试题分析：首先应考虑“0”是特殊元素,当0排在个位时,有=9×8=72（个）,当0不排在个位时,有=4×8×8=256（个）,于是由分类加法计数原理,得符合题意的偶数共有72+256=328（个）．考点：排列组合知识14．学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有 （ ）A.36种B.30种C.24种D.6种【答案】B【解析】试题分析：先将语文、数学、英语、理综4科分成3组，每组至少1科，则不同的分法种数为24C ，其中数学、理综安排在同一节的分法种数为1，故数学、理综不安排在同一节的分法种数为24C -1，再将这3组分给3节课有33A 种不同的分配方法，根据分步计数原理知，不同的安排方法共有(24C -1)33A =30，故选B.考点：分步计数原理，排列组合知识15．现有4名教师参加说课比赛，共有4道备选题目，若每位教师从中有放回地随机选出一道题目进行说课，其中恰有一道题目没有被这4位教师选中的情况有( )A ．288种B ．144种C ．72种D ．36种【答案】B【解析】试题分析：从4题种选一道作为不被选中的题有4种，从4位教师中选2位，这两位是选同样题目的有2 46C=种，被选中两次的题目有3种方案，剩下的两位教师分别选走剩下的2题，共4632=144⨯⨯⨯种.考点：排列组合.16．用红、黄、蓝等6种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为（）A．610 B．630 C．950 D．1280【答案】B【解析】试题分析：采用分类原理：第一类：涂两个红色圆，共有1111111111 4554555544605A A A A A A A A A A++=种；第二类：涂三个红色圆，共有115525A A=种；故共有630种.17．如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（??? ）A．288种B．264种C．240种D．168种【答案】B【解析】先分步再排列先涂点E，有4种涂法，再涂点B，有两种可能：(1)B与E相同时，依次涂点F，C，D，A，涂法分别有3，2，2，2种；(2)B与E不相同时有3种涂法，再依次涂F、C、D、A点，涂F有2种涂法，涂C点时又有两种可能：（2.1）C与E相同，有1种涂法，再涂点D，有两种可能：①D与B相同，有1种涂法，最后涂A有2种涂法；②D与B不相同，有2种涂法，最后涂A有1种涂法．（2.2）C与E不相同，有1种涂法，再涂点D，有两种可能：①D与B相同，有1种涂法，最后涂A有2种涂法；②D与B不相同，有2种涂法，最后涂A有1种涂法．所以不同的涂色方法有4×{3×2×2×2+3×2×[1×(1×2+1×2)+1×(1×2+1×1)]}=4×(24+42)=264．18．将6名男生、4名女生分成两组，每组5人，参加两项不同的活动，每组3名男生和2名女生，则不同的分配方法有（）A．240种 B．120种 C．60种 D．180种【答案】B【解析】试题分析：从6名男生中选3人，从4名女生中选2人组成一组，剩下的组成一组，则3264120C C=.19．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙、丙不会开车但能从事其他三项工作，丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是（）A．240 B．126 C．78 D．72【答案】C试题分析：根据题意，分情况讨论，①甲、乙、丙三人中有两人在一起参加除了开车的三项工作之一，有2112332236C C C A ⨯=种；②甲、乙、丙三人各自1人参加除了开车的三项工作之一即丁、戌两人一起参加开车工作时，有336A =种；③甲、乙、丙三人中有一1人与丁、戌中的一人一起参加除开车的三项工作之一，有11123232136C C C A ⨯=种，由分类计数原理，可得共有3663678++=种，故选C.20．六名大四学生(其中4名男生、2名女生)被安排到A ，B ，C 三所学校实习，每所学校2人，且2名女生不能到同一学校，也不能到C 学校，男生甲不能到A 学校，则不同的安排方法为( )A ．24B ．36C ．16D ．18【答案】D【解析】女生的安排方法有22A ＝2种．若男生甲到B 学校，则只需再选一名男生到A 学校，方法数是13C ＝3；若男生甲到C 学校，则剩余男生在三个学校进行全排列，方法数是33A ＝6.根据两个基本原理，总的安排方法数是2×(3＋6)＝18.21．某班班会准备从含甲、乙的7人中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有( )．A ．720种B ．520种C ．600种D ．360种【答案】C【解析】分两类：第一类，甲、乙两人只有一人参加，则不同的发言顺序有134254C C A 种；第二类：甲、乙同时参加，则不同的发言顺序有22222523C C A A 种．共有：134254C C A ＋22222523C C A A ＝600(种)．二、填空题（题型注释）22．设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一。
排列组合经典练习(带答案)
排列与组合习题1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为( ) A．40 B．50 C．60 D．70[解析] 先分组再排列，一组2人一组4人有C26＝15种不同的分法；两组各3人共有C36A22＝10种不同的分法，所以乘车方法数为25×2＝50，故选B.2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( ) A．36种B．48种 C．72种D．96种[解析] 恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A33A24＝72种排法，故选C.3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )A．6个B．9个 C．18个D．36个[解析] 注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C13＝3(种)选法，即1231,1232,1233，而每种选择有A22×C23＝6(种)排法，所以共有3×6＝18(种)情况，即这样的四位数有18个．4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( )A．2人或3人 B．3人或4人 C．3人 D．4人[解析] 设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2n C18－n＝30，解得n＝5或n ＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有( )A．45种B．36种 C．28种D．25种[解析] 因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C28＝28种走法．6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有( )A．24种B．36种 C．38种D．108种[解析] 本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C13种分法，然后再分到两部门去共有C13A22种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C13种方法，由分步乘法计数原理共有2C13A22C13＝36(种)．7．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )A．33 B．34 C．35 D．36[解析] ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12·A33＝12个；②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12·A33＋A33＝18个；③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13＝3个．故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A.8．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )A．72 B．96 C．108 D．144[解析] 分两类：若1与3相邻，有A22·C13A22A23＝72(个)，若1与3不相邻有A33·A33＝36(个)故共有72＋36＝108个．9．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有( )A．50种B．60种 C．120种D．210种[解析] 先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为C16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A25种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16·A25＝120种，故选C.10．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)[解析] 先安排甲、乙两人在后5天值班，有A25＝20(种)排法，其余5人再进行排列，有A55＝120(种)排法，所以共有20×120＝2400(种)安排方法．11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)[解析] 由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C49·C25·C33＝1260(种)排法．12．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．[解析] 先将6名志愿者分为4组，共有C26C 24A22种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共有A44种分法，故所有分配方案有：C26·C24A22·A44＝1 080种．13．要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．[解析] 5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，∴有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种．14. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A）12种（B）18种（C）36种（D）54种【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1108种解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有4414222A A A ⨯种方法 甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有)(43313134422A A A A A +种方法 故共有1008种不同的排法16. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 （A ）72 （B ）96 （C ） 108 （D ）144 *s 5* o*m 解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法*s 5* o*m①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，32232A A ＝24个②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共32222A A ＝12个 算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个答案：C17. 在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为18. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。
排列组合典型题大全含答案
排列组合典型题大全一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法【解析】：（1）43（2）34（3）34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38 B、83 C、38A D、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。
所以选A1、4封信投到3个信箱当中，有多少种投法2、4个人争夺3项冠军，要求冠军不能并列，每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还，问最后有多少种情况3、4个同学参加3项不同的比赛（1）每位同学必须参加一项比赛，有多少种不同的结果（2）每项竞赛只许一名同学参加，有多少种不同的结果4、5名学生报名参加4项比赛，每人限报1项，报名方法的种数有多少又他们争夺这4项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种6、（全国II 文）5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共(A)10种(B) 20种(C) 25种 (D) 32种7、5位同学报名参加并负责两个课外活动小组，每个兴趣小组只能有一个人来负责，负责人可以兼职，则不同的负责方法有多少种8、4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，不同的分法有多少种思考：4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，每班至少一个人的不同的分法有多少种二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
(完整版)排列组合练习试题和答案解析
一、排列与组合
1.从9人中选派2人参加某一活动，有多少种不同选法？
2.从9人中选派2人参加文艺活动，1人下乡演出，1人在本地演出，有多少种不同选派方法？
3.现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学的人数是
4.有编号为1、2、3的3个盒子和10个相同的小球，现把10个小球全部装入3个盒子中，使得每个盒子所装球数不小于盒子的编号数，这种装法共有
A.9种B.12种C.15种D.18种
5.将7只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒至少1球的方法有多少种？
6.某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队，参加市中学数学应用题竞赛活动，使代表中每班至少有1人参加的选法有多少种？
由分类计数原理得,不同的三角形共有5+20+10=35个.
12.从5部不同的影片中选出4部，在3个影院放映，每个影院至少放映一部，每部影片只放映一场，共有种不同的放映方法（用数字作答）。
五、元素与位置——位置分析
1.7人争夺5项冠军，结果有多少种情况？
2. 75600有多少个正约数?有多少个奇约数?
（2）甲乙必须站两端，丙站中间，有多少种不同排法？
2.由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复数字且是6的倍数的五位数？
3.由数字1，2，3，4，5，6，7所组成的没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排列起来，第379个数是
A.3761 B.4175 C.5132 D.6157
4.设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有
排列组合试题及答案
排列组合试题及答案一、选择题1. 从5个不同的元素中取出3个元素进行排列，共有多少种不同的排列方式？A. 10B. 20C. 30D. 60答案：D2. 有8个人排成一排，其中甲乙两人必须相邻，共有多少种不同的排列方式？A. 5760B. 5040C. 720D. 1440答案：D3. 从10个不同的元素中取出3个元素进行组合，共有多少种不同的组合方式？A. 120B. 210C. 100D. 1000答案：B二、填空题4. 从8个不同的元素中取出4个元素进行排列，共有______种不同的排列方式。
答案：16805. 从10个不同的元素中取出5个元素进行组合，共有______种不同的组合方式。
答案：252三、解答题6. 有5个不同的球和3个不同的盒子，要求每个盒子至少有一个球，有多少种不同的放法？答案：首先，将5个球分成3组，有C(5,2)种分法。
然后，将分好的3组球放入3个盒子中，有A(3,3)种放法。
所以总共有C(5,2) *A(3,3) = 60种不同的放法。
7. 一个班级有30个学生，现在要选出5个学生组成一个委员会，其中必须包括班长和团支书，共有多少种不同的选法？答案：首先，从28个非班长、团支书的学生中选出3个，有C(28,3)种选法。
然后，将选出的3个学生与班长和团支书一起组成委员会，共有C(28,3)种不同的选法。
8. 有4个不同的苹果和3个相同的盘子，要求每个盘子至少放一个苹果，有多少种不同的放法？答案：首先，将4个苹果分成3组，有C(4,1) + C(4,2) = 7种分法。
然后，将分好的3组苹果放入3个相同的盘子中，有A(3,3) / A(3,3) = 1种放法。
所以总共有7种不同的放法。
四、计算题9. 计算从10个不同的元素中取出4个元素进行排列的总排列数。
答案：A(10,4) = 10 * 9 * 8 * 7 = 504010. 计算从10个不同的元素中取出4个元素进行组合的总组合数。
(完整版)排列组合经典练习(带答案)
排列与组合习题1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为() A．40B．50C．60D．70[解析]先分组再排列，一组2人一组4人有C26＝15种不同的分法；两组各3人共有C36A22＝10种不同的分法，所以乘车方法数为25×2＝50，故选B.2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A．36种B．48种C．72种D．96种[解析]恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A33A24＝72种排法，故选C.3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A．6个B．9个C．18个D．36个[解析]注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C13＝3(种)选法，即1231,1232,1233，而每种选择有A22×C23＝6(种)排法，所以共有3×6＝18(种)情况，即这样的四位数有18个．4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有() A．2人或3人B．3人或4人C．3人D．4人[解析]设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2n C18－n＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有()A．45种B．36种C．28种D．25种[解析]因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C28＝28种走法．6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有()A．24种B．36种C．38种D．108种[解析]本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C13种分法，然后再分到两部门去共有C13A22种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C13种方法，由分步乘法计数原理共有2C13A22C13＝36(种)．7．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为()A．33 B．34 C．35 D．36[解析]①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12·A33＝12个；②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12·A33＋A33＝18个；③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13＝3个．故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A.8．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是() A．72 B．96 C．108 D．144[解析]分两类：若1与3相邻，有A22·C13A22A23＝72(个)，若1与3不相邻有A33·A33＝36(个)故共有72＋36＝108个．9．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有()A．50种B．60种C．120种D．210种[解析]先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为C16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A25种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16·A25＝120种，故选C.10．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)[解析]先安排甲、乙两人在后5天值班，有A25＝20(种)排法，其余5人再进行排列，有A55＝120(种)排法，所以共有20×120＝2400(种)安排方法．11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)[解析]由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C49·C25·C33＝1260(种)排法．12．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．[解析]先将6名志愿者分为4组，共有C26C24A22种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共有A 44种分法，故所有分配方案有：C 26·C 24A 22·A 44＝1 080种． 13．要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．[解析] 5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，∴有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种．14. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1108种 解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有4414222A A A ⨯种方法甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有)(43313134422A A A A A +种方法故共有1008种不同的排法16. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 （A ）72 （B ）96 （C ） 108 （D ）144 解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，32232A A ＝24个②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共32222A A ＝12个算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个 答案：C17. 在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A.10 B.11 C.12 D.1518. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。
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排列组合问题经典题型与通用方法1. 相邻问题捆绑法 : 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列 .例 1.A,B,C, D, E五人并排站成一排，如果A, B必须相邻且 B 在 A 的右边，则不同的排法有（）A 、 60 种B 、 48 种 C、 36 种D、 24 种2. 相离问题插空排 : 元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例 2. 七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）A 、 1440 种B 、 3600 种C 、 4820 种D 、 4800 种3. 定序问题缩倍法 : 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法 .例 3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排， 如果 B 必须站在 A 的右边（ A, B可以不相邻）那么不同的排法有 （）A 、 24 种B 、 60 种C 、 90 种 D、 120 种4. 标号排位问题分步法 : 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成 .例 4. 将数字 1，2，3，4 填入标号为 1， 2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填 数字均不相同的填法有（ ） A 、 6 种 B 、 9 种 C 、 11 种 D 、 23 种5. 有序分配问题逐分法 : 有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法 . 例 5. （ 1）有甲乙丙三项任务，甲需 2 人承担，乙丙各需一人承担，从 10 人中选出 4 人承担这三项任务， 不同的选法种数是（ ） A 、 1260 种 B 、 2025 种 C、 2520 种 D、 5040 种（ 2） 12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4 人，则不同的分配方案有（ ）A 、 C 124C 84C 44 种B 、 3C 124C 84 C 44 种 C 、 C 124C 84 A 33 种 DC 124 C 84C 44、A 33种6. 全员分配问题分组法 :例 6. （ 1）4 名优秀学生全部保送到3 所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（ 2）5 本不同的书，全部分给4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A 、 480 种B、 240 种C、120 种D、 96 种第 1 页 共 9 页7.名分配隔板法 :例 7： 10 个三好学生名分到7 个班，每个班至少一个名，有多少种不同分配方案？8. 限制条件的分配分法:例8. 某高校从某系的 10 名秀生中 4 人分到西部四城市参加中国西部开建，其中甲同学不到川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元分法：元素多，取出的情况也多种，可按果要求分成不相容的几情况分数再相加。
(完整版)排列组合习题_[含详细答案解析]
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圆梦教育中心排列组合专项训练1.题 1 （方法对比，二星）题面：（1）有 5 个插班生要分配给 3 所学校，每校至少分到一个，有多少种不同的分配方法？（2）有5个数学竞赛名额要分配给3所学校，每校至少分到一个名额，有多少种不同的名额分配方法？解析：“名额无差别”——相同元素问题（法1）每所学校各分一个名额后，还有 2 个名额待分配，21 可将名额分给 2 所学校、1 所学校，共两类：C32C31（种）（法 2 ——挡板法）2 相邻名额间共 4 个空隙，插入 2 个挡板，共：C426（种）注意：“挡板法”可用于解决待分配的元素无差别，且每个位置至少分配一个元素的问题.（位置有差别，元素无差别）题面：有10 个运动员名额，分给7 个班，每班至少一个, 有多少种分配方案？答案：C96详解：因为10 个名额没有差别，把它们排成一排。
相邻名额之间形成9 个空隙。
在9 个空档中选 6 个位置插个隔板，可把名额分成7 份，对应地分给7 个班级，每一种插板6方法对应一种分法共有C96种分法。
题面：完美WORD 格式由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、y、z 之值, 故解的个数为 C 9 2=36 （个）。
2.题 2 （插空法，三星）题面：某展室有9 个展台，现有3 件展品需要展出，要求每件展品独自占用1 个展台，并且3 件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有 ______________________________ 种；如果进一步要求3 件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有____ 种.答案：60，48 同类题一题面：6 男 4 女站成一排，任何 2 名女生都不相邻有多少种排法？答案：A66·A47种.详解：任何 2 名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A66·A47种不同排法．题面：有 6 个座位连成一排，现有 3 人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A．36 种B．48 种C．72 种D．96 种答案： C. 详解：恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A 33A24＝72 种排法，故选 C.求方程X+Y+Z=10 的正整数解的个数。
排列组合典型题大全含答案
排列组合典型题大全一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34（3）34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38 B、83 C、38A D、3C8【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。
所以选A1、4封信投到3个信箱当中，有多少种投法？2、4个人争夺3项冠军，要求冠军不能并列，每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还，问最后有多少种情况？3、4个同学参加3项不同的比赛（1）每位同学必须参加一项比赛，有多少种不同的结果？（2）每项竞赛只许一名同学参加，有多少种不同的结果？4、5名学生报名参加4项比赛，每人限报1项，报名方法的种数有多少？又他们争夺这4项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少？ 5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种？6、（全国II 文）5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共 (A)10种(B) 20种(C) 25种(D) 32种7、5位同学报名参加并负责两个课外活动小组，每个兴趣小组只能有一个人来负责，负责人可以兼职，则不同的负责方法有多少种？8、4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，不同的分法有多少种？思考：4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，每班至少一个人的不同的分法有多少种？二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
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《排列组合》一、排列与组合1.从9人中选派2人参加某一活动，有多少种不同选法？2.从9人中选派2人参加文艺活动，1人下乡演出，1人在本地演出，有多少种不同选派方法？3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学的人数是A.男同学2人，女同学6人B.男同学3人，女同学5人C. 男同学5人，女同学3人D. 男同学6人，女同学2人4.一条铁路原有m个车站，为了适应客运需要新增加n个车站（n>1），则客运车票增加了58种（从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票），那么原有的车站有A.12个B.13个C.14个D.15个5．用0，1，2，3，4，5这六个数字，（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？（3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？（5）可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数？二、注意附加条件1.6人排成一列（1）甲乙必须站两端，有多少种不同排法？（2）甲乙必须站两端，丙站中间，有多少种不同排法？2.由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复数字且是6的倍数的五位数？3.由数字1，2，3，4，5，6，7所组成的没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排列起来，第379个数是A.3761B.4175C.5132D.61574. 设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有A.30种B.31种C.32种D.36种5.从编号为1，2，…，10,11的11个球中取5个，使这5个球中既有编号为偶数的球又有编号为奇数的球，且它们的编号之和为奇数，其取法总数是A.230种B.236种C.455种D.2640种6.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有1双同色的取法有A.240种B.180种C.120种D.60种7. 用0，1，2，3，4，5这六个数组成没有重复数字的四位偶数，将这些四位数从小到大排列起来，第71个数是 。
三、间接与直接1.有4名女同学，6名男同学，现选3名同学参加某一比赛，至少有1名女同学，由多少种不同选法？2. 6名男生4名女生排成一行，女生不全相邻的排法有多少种？3.已知集合A 和B 各12个元素，A B 含有4个元素，试求同时满足下列两个条件的集合C 的个数：（1）()C A B ⊂且C 中含有三个元素；（2）C A ≠∅,∅表示空集。
4. 从5门不同的文科学科和4门不同的理科学科中任选4门，组成一个综合高考科目组，若要求这组科目中文理科都有，则不同的选法的种数A.60种B.80种C.120种D.140种5.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点不同取法有多少种？6. 以正方体的8个顶点为顶点的四棱锥有多少个？7. 对正方体的8个顶点两两连线，其中能成异面直线的有多少对？四、分类与分步1.求下列集合的元素个数．（1）{(,)|,,6}M x y x y N x y =∈+≤；（2）{(,)|,,14,15}H x y x y N x y =∈≤≤≤≤．2.一个文艺团队有9名成员，有7人会唱歌，5人会跳舞，现派2人参加演出，其中1名会唱歌，1名会跳舞，有多少种不同选派方法？3.已知直线12//l l ，在1l 上取3个点，在2l 上取4个点，每两个点连成直线，那么这些直线在1l 和2l 之间的交点（不包括1l 、2l 上的点）最多有A. 18个B.20个C.24个D.36个4. 9名翻译人员中，6人懂英语，4人懂日语，从中选拔5人参加外事活动，要求其中3人担任英语翻译，2人担任日语翻译，选拔的方法有 种（用数字作答）。
5.某博物馆要在20天内接待8所学校的学生参观，每天只安排一所学校，其中一所人数较多的学校要连续参观3天，其余学校只参观1天，则在这20天内不同的安排方法为A.372017C A 种 B.820A 种 C.171817C A 种 D.1818A 种6. 从10种不同的作物种子选出6种放入6个不同的瓶子展出，如果甲乙两种种子不许放第一号瓶内，那么不同的放法共有A.24108C A 种B.1599C A 种 C.1589C A 种 D.1598C A 种7. 在画廊要展出1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，要求排成一排，并且同一种的画摆放在一起，还要求水彩画不能摆两端，那么不同的陈列方式有A.1545A A 种 B.245345A A A 种 C.145445A A A 种 D.245245A A A 种8. 把一个圆周24等分，过其中任意3个分点，可以连成圆的内接三角形，其中直角三角形的个数是A.122B.132C.2649. 有三张纸片，正、反面分别写着数字1、2、3和4、5、6 ，将这三张纸片上的数字排成三位数，共能组不同三位数的个数是A. 24B.36C.48D.6410.在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?11. 如下图,共有多少个不同的三角形?解:所有不同的三角形可分为三类：第一类:其中有两条边是原五边形的边,这样的三角形共有5个第二类:其中有且只有一条边是原五边形的边,这样的三角形共有5×4=20个第三类:没有一条边是原五边形的边,即由五条对角线围成的三角形,共有5+5=10个由分类计数原理得,不同的三角形共有5+20+10=35个.12.从5部不同的影片中选出4部，在3个影院放映，每个影院至少放映一部，每部影片只放映一场，共有 种不同的放映方法（用数字作答）。
五、元素与位置——位置分析1.7人争夺5项冠军，结果有多少种情况？2. 75600有多少个正约数?有多少个奇约数?解:75600的约数就是能整除75600的整数,所以本题就是分别求能整除75600的整数和奇约数的个数.由于 75600=24×33×52×7(1) 75600的每个约数都可以写成l k j l 7532⋅⋅⋅的形式,其中40≤≤i ,30≤≤j ,20≤≤k ,10≤≤l于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即l k j i ,,,分别在各自的范围内任取一个值,这样i 有5种取法,j 有4种取法,k 有3种取法,l 有2种取法,根据分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2=120个.(2)奇约数中步不含有2的因数,因此75600的每个奇约数都可以写成l k j 753⋅⋅的形式,同上奇约数的个数为4×3×2=24个.3. 2名医生和4名护士被分配到两所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同分配方法有多少种？4．有四位同学参加三项不同的比赛，（1）每位同学必须参加一项竞赛，有多少种不同的结果？（2）每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同的结果？解：（1）每位学生有三种选择，四位学生共有参赛方法：333381⨯⨯⨯=种；（2）每项竞赛被选择的方法有四种，三项竞赛共有参赛方法：44464⨯⨯=种.六、染色问题1.如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为() A. 180 B. 160 C. 96 D. 60若变为图二,图三呢?(240种,5×4×4×4=320种)2. 某班宣传小组一期国庆专刊，现有红、黄、白、绿、蓝五种颜色的粉笔供选用，要求在黑板中A 、B 、C 、D （如图）每一 部分只写一种颜色，相邻两块颜色不同，则不同颜色粉笔书写的方法共有 种（用具体数字作答）。
七、消序 1. 有4名男生，3名女生。
现将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法？2. 书架上有6本书，现再放入3本书，要求不改变原来6本书前后的相对顺序，有多少种不同排法？八、分组分配1.某校高中一年级有6个班，分派3名教师任教，每名教师任教二个班，不同的安排方法有多少种？2. 高三级8个班，分派4名数学老师任教，每位教师任教2个班，则不同安排方法有多少种？3. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人一本、二本、三本的不同分法有多少种？4.8项工程，甲承包三项，乙承包一项，丙、丁各承包二项，不同的承包方案有 种图一 图二 图三5..六人住A、B、C三间房，每房最多住三人，（1）每间住两人，有种不同的住法，（2）一间住三人，一间住二人，一间住一人，有种不同的住宿方案。
6. 8人住ABC三个房间，每间最多住3人，有多少种不同住宿方案？7.有4个不同小球放入四个不同盒子，其中有且只有一个盒子留空，有多少种不同放法？7. 把标有a，b，c，d，…的8件不同纪念品平均赠给甲、乙两位同学，其中a、b不赠给同一个人，则不同的赠送方法有种（用数字作答）。
九、捆绑1. A、B、C、D、E五个人并排站成一列，若A、B必相邻，则有多少种不同排法？2. 有8本不同的书，其中科技书3本，文艺书2本，其它书3本，将这些书竖排在书架上，则科技书连在一起，文艺书也连在一起的不同排法种数与这8本书的不同排法之比为A.1:14B.1:28C.1:140D.1:336十、插空1.要排一个有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目都不相邻，有多少种不同排法？2、4名男生和4名女生站成一排，若要求男女相间，则不同的排法数有（）A.2880B.1152C.48D.1443. 要排一个有5个歌唱节目和3个舞蹈节目的演出节目单，如果舞蹈节目不相邻，则有多少种不同排法？4. 5人排成一排，要求甲、乙之间至少有1人，共有多少种不同排法？5..把5本不同的书排列在书架的同一层上，其中某3本书要排在中间位置，有多少种不同排法？6.1到7七个自然数组成一个没有重复数字的七位数，其中偶数不相邻的个数有个.7.排成一排的8个空位上，坐3人，使每人两边都有空位，有多少种不同坐法？8.8张椅子放成一排，4人就坐，恰有连续三个空位的坐法有多少种？9. 排成一排的9个空位上，坐3人，使三处有连续二个空位，有多少种不同坐法？10. 排成一排的9个空位上，坐3人，使三处空位中有一处一个空位、有一处连续二个空位、有一处连续三个空位，有多少种不同坐法？11. 某城市修建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中三只灯，但不能熄灭两端的灯，也不能熄灭相邻的两只灯，那么熄灯的方法共有种A.38C B.38A C.39C D.39A12. 在一次文艺演出中，需给舞台上方安装一排彩灯共15只，以不同的点灯方式增加舞台效果，要求设计者按照每次点亮时，必需有6只灯是关的，且相邻的灯不能同时被关掉，两端的灯必需点亮的要求进行设计，那么不同的点亮方式是A.28种B.84种C.180种D.360种13. 一排长椅上共有10个座位，现有4人就座，恰有五个连续空位的坐法种数为。