固体物理第六章输运现象

(
)
(
)
玻尔兹曼方程
2.玻尔兹曼方程
− f − f0
τ
− ( r i∇r f ) − k i∇k f = 0
(
)
f 或： = f0 −τ r i∇r f −τ k i∇k f
第六章
本章主要内容： 第一节 第二节 第三节 第四节
输运现象
玻尔兹曼方程(Boltzmann equation) 电导率 热导率和热电势 霍尔系数和磁电阻
第六章 输运现象 6.0. 序言 介绍本章处理问题的方法和基本框架 一、问题的提出 在外力作用或密度梯度影响下的载流子运动 导致输运现象.载流子既输运电荷(因而有电流密 度、电导率),也输运能量(因而有热流密度、热 导率)。 这类的问题一般可以这样陈述：假定有一个 各向异性单晶体，沿着相对于晶轴的某些方向 有作用量E(电场)、B(磁感应强度)和 gradT (温 度梯度),试求净电流密度 Je 和净热流密度 JQ
温度梯度
r 变化
化学势变化
f 变化
电子分布函数f 与波矢 k 有关系，也就是与 能量有关系，从费米分布函数的表达式就可以 理解。 电子分布函数f 与时间t有关系，是因为外力的 作用使得波矢依赖于时间，即： 在外电场 E 和磁场 B中,电子的运动规律是：
dk F= = −e(E + v × B) dt
f1 为小量。
电子分布函数 f 是波矢 k 、空间坐标 r 和时 间t的函数。亦即，在t时刻，在单位体积晶体 内位置 r 附近找到一个波矢为 k 的电子的几率 是：
f = f (r , k , t )
电子分布函数 f 与位置
r 有关系，通常是由
于化学不均匀性引起的。其原因一方面是由于化 学成分不均匀引起的化学势(费米能)依赖于位置； 另一方面是由于有温度梯度引起的化学势(费米能) 依赖于位置。我们这里仅考虑后者,即：
第五章,我们讨论了晶格振动,得到了简谐近 似下晶格运动的一些规律,引入了准粒子—声子 的概念,由此很好的描述了晶格的集体运动.本章 将在上述基础上讨论电子—声子的相互作用.由 此讨论外场作用下固体的行为,亦即固体的输运 性质。 当电场对电子的加速和发射声子对电子造 成的减速相平衡时，就会出现所谓的非平衡稳 态(p15)，从而形成稳恒电流。去掉外场后，电 子系统又回到平衡态。
dk F= = −e(E + v × B) dt
E，B
k 变化
能量变化
f 变化
如果不存在碰撞，t时刻，在相空间(以波矢k 坐标 r为变量组成的空间) r、k 处的电子必来自 t-dt 时刻 r − rdt , k − kdt 处，即不存在碰撞时来 自于电子的漂移过程。所以：
f (r , k , t ) = f (r − rdt , k − kdt , t − dt )
如果不存在碰撞
f (r , k , t ) = f (r − rdt, k − kdt, t − dt )
实际上,由于存在碰撞,dt 时间内,从 r − rdt, k − kdt
k r k 出发的电子未必都能到达 r 、 处,自然， 、 处
的电子由于存在碰撞也并不全部来自 r − rdt, k − kdt 处。所以占据几率随时间的变化包括两部分： 一部分是迁移过程(粒子的漂移和扩散);另一部 分是与相互作用的对方相碰撞而出现的。所以：
⎛ ∂f ⎞ f (r , k , t ) = f (r − rdt, k − kdt, t − dt ) + ⎜ ⎟ dt ⎝ ∂t ⎠碰
所以，电子分布函数的变化可表示为：
∂f ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ = ⎜ ⎟ ＋⎜ ⎟ ∂t ⎝ ∂t ⎠碰 ⎝ ∂t ⎠漂
漂移作用引起的分布函数的变化
碰撞引起的分布函数的变化
设没有施加外场时,电子系统处于平衡状态, 在外场的作用下,由于漂移,电子系统进入非平衡 态,外场去掉后,由于碰撞将使得系统恢复平衡。 ∂f 显然系统恢复平衡的快慢( ∂t ) 将与系统偏 离平衡态的程度( f
− f0
)以及碰撞的频度(
1
τ
)有
关.在对平衡态的偏离较小时,我们假定系统恢复 平衡的快慢比例于系统偏离平衡态的程度以及碰 撞的频度,即： ∂f f − f0 =− ∂t τ
本章重点： 一、玻尔兹曼方程； 二、电阻率随温度的变化；剩余电阻率；近藤 效应(Kondo effect)； 三、维德曼-弗兰兹定律及其成立的条件；热电 势； 四、磁电阻及其产生的原因；
第一节 玻尔兹曼方程
本节主要内容： 玻尔兹曼方程和弛豫时间近似
§6.1
玻尔兹曼方程
玻尔兹曼方程 在第一章我们讨论金属自由电子气体的热性 质时，已经知道在热平衡状态下，即温度均匀且 无外场作用时，电子系统的分布函数为费米分布 函数，为了和非平衡分布函数区分，把费米分布 函数表示为： 1 f0 (εk ) = (εk −µ) kBT e +1
(
)
∂f ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ = ⎜ ⎟ ＋⎜ ⎟ ∂t ⎝ ∂t ⎠碰 ⎝ ∂t ⎠漂
由于研究输运行为时，讨论的都是定态过程,
∂f 即假定： = 0 这样我们就得到了稳态条件： ∂t
−
f − f0
τ
− ( r i∇r f ) − k i∇k f = 0
(
)
f 或： = f0 −τ r i∇r f −τ k i∇k f
f (t + dt)dΩ
= f (x −vxdt, y −vydt, z −vzdt; kx − kxdt, ky − kydt, kz − kzdt;t)dΩ
也就是这部分电子是漂移过来的，所以： ⎛ ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ kx + ky + kz ⎟ ⎜ ⎟ = − ⎜ vx + vy + vz + ⎜ ∂x ∂y ∂z ∂kx ∂ky ∂kz ⎟ ⎝ ∂t ⎠漂 ⎝ ⎠
得到：
f − f0 f1 ⎛ ∂f ⎞ =− ⎜ ⎟ =− τ τ ⎝ ∂t ⎠碰
⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ⎜ ⎟ = − ⎜ r i ⎟ − ⎜ k i ⎟ = − ( r i∇r f ) − k i∇k f ⎝ ∂t ⎠漂 ⎝ ∂r ⎠ ⎝ ∂k ⎠
f − f0 f1 ⎛ ∂f ⎞ =− ⎜ ⎟ =− τ τ ⎝ ∂t ⎠碰
⎛ ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ kx + ky + kz ⎟ ⎜ ⎟ = − ⎜ vx + vy + vz + ⎜ ∂x ∂y ∂z ∂kx ∂ky ∂kz ⎟ ⎝ ∂t ⎠漂 ⎝ ⎠
或：
⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ⎜ ⎟ = −⎜ r i ⎟ − ⎜ k i ⎟ ⎝ ∂t ⎠漂 ⎝ ∂r ⎠ ⎝ ∂k ⎠
对固体中电子等载流子输运的了解，除载流 子所受的散射外，还需要知道在外场作用下载流 子的运动规律，以及外场和碰撞散射同时作用对 输运性质产生的影响。 对外场作用下布洛赫电子的运动规律这一 问题，我们在第四章已有讨论； 外场和碰撞散射同时作用对输运性质产生 的影响这一问题，需要考虑载流子分布函数的 变化。引入非平衡分布函数。
= − ( r i∇r f ) − k i∇k f
(
)
漂移项=外场作用力引起的电子波矢的漂移 +速度引起的电子位置的漂移
2).相互作用项(碰撞项或散射项)： 只有知道了各碰撞机制，才能够精确地计
⎛ ∂f ⎞ 算 ⎜ ∂t ⎟ 。但是，如果仿照1.4节的做法，引入碰 ⎝ ⎠碰
撞几率 w(k ) 或弛豫时间τ(k) = 1w(k) 作为表征各个相 互作用的唯象量，则可使得问题简化。 1.4节弛豫时间是作为碰撞的几率，或相继两 次碰撞间的平均时间引进的。 现在我们从分布函ຫໍສະໝຸດ Baidu的角度来看弛豫时间这 一假定的意义。
个能带，也就是导带中的情况。因而可以去掉带 指标n. 借助于分布函数，电流密度(单位时间内垂 直通过单位面积的载流子(电子或空穴)数)可以 表示为更普遍的一种形式。
则电流密度借助于分布函数的表达式：
Je =
−2e ∫
+∞
−∞
f
1
3
8π dt
drdk
= −2e ∫
+∞
−∞
dr 1 f dk 3 dt 8π
f (t )d Ω = f (r , k , t )d Ω = f ( x, y, z; k x , k y , k z ; t )d Ω d Ω = drdk = dxdydzdkx dk y dkz
在扩散的影响和外力的作用下，坐标空间和 动量空间中的占据几率发生变化。 在 t+dt 时刻,空间体积元 dΩ 含有这样一些 电子,这些电子在t 时刻的坐标是 x − vxdt, y − vy dt, z − vz dt, 其波矢分量为 k x − k x dt , k y − k y dt , k z − k z dt , 亦即在 t+dt 时刻有：
由于玻尔兹曼方程比较复杂，我们只限于讨 论电子的等能面是球面，且电子所经历的碰撞为 弹性散射(散射前后能量相等，仅波矢的方向有 所改变)以及弱场的情况(亦即可将外场的作用当 成微扰，从而非平衡的稳态分布相对于平衡分布 偏离甚少)。 1.分布函数的变化 在上述假定下,非平衡的稳态分布可以表示为：
f = f 0 + f1 ,
−t
τ
即电子的分布函数偏离了平衡分布后,系统依 赖碰撞恢复平衡分布的弛豫过程随时间以指数形 式变化,弛豫时间τ 为这一过程的时间常数. f0 是 平衡时的费米－狄拉克分布函数。
由于上述过程是在无外场，无温度梯度下完 全由碰撞引起的，即：
( ∂t )
∂f
=0
漂
所以由： ∂f
⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ = ⎜ ⎟ ＋⎜ ⎟ ∂t ⎝ ∂t ⎠碰 ⎝ ∂t ⎠漂
二、背景知识 在第一章自由电子气体模型的学习中，我们已 经讨论了金属的一些输运性质—在外场(电场、 磁场、温度场)作用下固体的行为(电、热、磁、 光等性质)。 第三、四两章我们讨论了周期性势场作用下布 洛赫电子的行为,布洛赫电子占据能带中用布洛 赫波函数描述的单电子态.由于采用了绝热近似, 所以把晶格看成是固定不动的。
非平衡分布函数 fn (r, k,t) 的定义是在t时刻， 在单位体积晶体内位置 r 附近找到一个波矢为 k 为时刻t, r , k , t )drdk / 8π 3 f n ( 在第n个能带中，在 相空间体
的电子的几率。也就是说， 对于单位体积的样品，
r , k 处 drdk 积内一种自旋的平均电子数。在本章中仅考虑一
负号源于偏离随时间的增加而减小。
∂( f − f0 ) ∂t f − f0 ∂f ⇒ f − f =−τ =− 0 ∂t τ
t ∂t ∂( f − f0 ) 所以： ∫ f1 (t =0) f − f0 = − ∫0 τ f1 ( t )
f = f0 + f1
⇒
f − f 0 = f1 (t ) = f1 (t = 0)e
f0 (ε k ) 表示N—电子体系在热平衡态(温度为T) 时，能量为εk的单电子本征态被一个电子占据的 概率，亦即该电子态的平均电子数。
f0 (εk ) =
1 e
(εk −µ ) kBT
+1
显然，对于均匀体系， f0 (ε k )与电子所在晶体 内位置r无关。 要想讨论输运问题，必须知道微扰状态下 的分布函数，如何确定非平衡状态下电子的分 布函数呢？ 玻尔兹曼方程是用来研究非平衡状态下电子 的分布函数的方程。
∂f 过程，即假定： ∂ t = 0
通常我们研究输运行为时，讨论的都是定态
∂f 注意，这里提到的稳态情形 ∂ t = 0 和费
米—狄拉克函数 f0 (εk )所定义的平衡态之间是有 区别的。
∂f ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ = ⎜ ⎟ ＋⎜ ⎟ ∂t ⎝ ∂t ⎠碰 ⎝ ∂t ⎠漂 从上面的讨论可以看出，要研究输运行为， 必须对漂移项(drift term)和碰撞项(collision term)(或散射项(scattering term)也叫相互作用项) 有所了解。 1).漂移项 按照分布函数的定义，在t时刻，总电子数中 存在于相空间体积元 dΩ 内的电子数为：
1 +∞ = − 3 ∫ ev (k ) fdk ; 4π −∞
其中v(k )相当于群速度。
三、内容安排 外场和碰撞所引起的分布函数的变化，遵从玻 尔兹曼方程，所以本章第一节即给出玻尔兹曼方 程(Boltzmann equation);第二节讨论电导率随温 度的变化；第三节讨论热导率和热电效应,最后 讨论磁场下的行为—霍尔效应和磁电阻。