优化作业

盛年不重来，一日难再晨。及时宜自勉，岁月不待人。

第1章

思考题

1. 何为约束优化设计问题？什么是无约束优化设计问题？试各举一例说明。机械优化设计问题多属哪一类？

2. 一般优化问题的数学模型包括哪些部分？写出一般形式的数学模型。

3. 试简述优化算法的迭代过程。

习题

1. 画出满足下列约束的可行域。

g1(X )= 3x1+2x1-48≤0

g2(X )= x1–18+x2≤0

g3(X )=–x1≤0

g4(X )=–x2≤0

2. 试将优化问题

min F (X)=x12+x22-4x2+4

X∈D⊂R2

D：g1(X )= 1-x1+x22≤0

g2(X )= x1-3≤0

g3(X )= -x2≤0

的目标函数等值线和约束边界曲线勾画出来，并回答下列问题：

(a) X=[1，1]T是不是可行点？

(b)

T

X⎥

⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

2

1

2

5

是不是可行点？

(c) 可行域D是否为凸集，用阴影线描绘出可行域的范围。

3. 已知某约束优化问题的数学模型为

min F (X)=(x1-3)2+(x2-4)2

X∈D⊂R2

D：g1(X )= x1-5+x2≤0

g2(X )= 2.5 -x1+x2≤0

g3(X )= -x1≤0

g4(X )= -x2≤0

(1) 该问题是线性规划问题还是非线性规划问题？

(2) 按一定比例画出目标函数F(X )的值分别等于1、2、3时的三条等值线，并在图上划出可行域。

(3) 在图上确定无约束最优解和约束最优解。

(4) 若在该问题中又加入等式约束h(x)= x1-x2=0，其约束最优解X*、F(x*)又为多少？

第2章

思考题

1. 试说明函数的方向导数与梯度之间的关系？研究函数的梯度对求函数的极值有什么意义？为什么说梯度方向是函数值上升最快的方向只是函数的一种局部性质？

2. 怎样判断多元函数有无极值？

习题

1. 试将函数F (X ) = x 12-x 1x 2+x 22写成矩阵向量式，并判断其二次型的系数矩阵是否为正定。

2. 试用矩阵形式表示函数F (X ) = x 12 +x 22-x 1x 2-4x 2+60，并写出其海森矩阵。

3. 求函数121222122

123)(x x x x x X F --+=在点X (0) =[-2，4]T 处的梯度。 4. 计算二元函数F (X ) = x 13 - x 1x 22+5x 1 -6在点X (0) =[1，1]T 处沿方向L =[-1，2]T 的方向导数F L ' (X (0) )和沿梯度方向∇F (X (0) )的方向导数F ∇F ' (X (0) )。

5. 已知目标函数

F(X)=(x 1－2)2+x 22

X =[x 1，x 2]T ∈＆⊂R 2

在不等式约束

g 1(X)=x 12+x 2－1≤0

g 2(X)= －x 2≤0

g 3(X)= －x 1≤0

条件下求得最优点为X *=[1，0]T ，用库恩-塔克条件检验该点是否为条件极值 。

第3章

思考题

1. 为什么说一维优化方法是优化方法中最简单、最基本的方法？

2. 何为初始单峰区间，它在一维优化方法中有何意义？

3. 利用0.618法和二次插值法求解一维优化问题的基本思想各是什么？

4. 0.618法和二次插值法各有什么优缺点？

5. 对二次函数用二次插值法求优时，为什么从理论上说只需进行一次迭代就可求得最优点？

习题

1. 试用进退法确定函数F (x )=3x 3-8x +92的初始单峰区间，给定初始点x 0=0，初始步长h =0.1。

2. 试用黄金分割法求函数F (x )=(x -3)2的最优解(最小值)。已知初始单峰区间为[1，7]，迭代精度为ε=0.4。

3. 试用二次插值法求函数F (x ) =8x 3-2x 2-7x +3的最优解。给定初始区间[0，2]，迭代精度为ε =0.01。

4. 分别利用黄金分割法和二次插值法的程序求函数F (x ) =x 4-4x 3-6x 2-16x +4的最小值，给定单峰区间为[-1，6]，精度要求ε =0.05。

5. 已知某汽车行驶速度x (km/min)与百公里油耗Q ( l )的函数关系为)(20)(l x

x x Q +=，试用

黄金分割法求当速度x 在0.2~1(km/min)时的最经济的车速x *，并计算此时汽车每行驶100km 的油耗量是多少？

第4章

思考题

1. 一般无约束优化方法包括哪几个步骤?各种不同的方法主要区别在何处?

2. 何为直接法?何为间接法?它们各有什么优缺点?什么情况下选用它们比较适宜，为什么?

3. 为什么称梯度法为最速下降法？既然梯度法的搜索方向是最速下敢方向，为什么又说该法收敛速度慢？

4. 何为牛顿方向？为什么用原始牛顿法求一个二次目标函数的最优解，从任一初始点出发，一定可以一次成功？

5. 变尺度法的基本思想是什么？为什么变尺度法能得到广泛应用？

6. 为什么说坐标轮换法的效能在很大程度上取决于目标函数的性质？

7. 坐标轮换法是一种降维方法，除目标函数的等值线出现“脊线”情况外，一般都能成功找到问题的最优点。为什么当初始鲍威尔出现“维数下降”的情况时，计算将归于失败？这两种算法中的降维有什么不同？

8. 何为共轭方向？共轭方向有哪些重要性质，这些性质在鲍威尔方法中有何体现？共轭方向与正交方向关系如何？

9. 请解释只要沿共轭方向搜索，两次就能找到二元二次正定函数的最优点。

10. 简述变尺度法和鲍威尔法的迭代过程。画出鲍威尔法的搜索路径图。

11. 何为二次收敛性？

习题

1. 试用梯度法求解min F (x )=x 12+2x 22，设初始点为X (0) =[4,4]T ，迭代三次，并验证相邻两次迭代的搜索方向互相正交。

2. 取初始点X (0) =[－1，－2]T ，用阻尼牛顿法求22214

121)(x x X F +=的极小点。 3. 用梯度法求min F (x )=2x 12+2x 22+2x 32，初始点(x )(0) =[1，1，1]T 。

4. 用DFP 变尺度法求目标函数F (x )=4(x 1－5)2+(x 2－6)2的最优解。已知初始点X (0) =[8，9]T ，迭代精度ε =0.01。

5. 试用坐标轮换法求目标函数F (x )=2x 12+3x 22－8x 1+10的无约束最优解，初始点⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=21)0(X ，迭代精度ε =0.001。

6. 试用鲍威尔法求目标函数F (x )=10(x 1+x 2－5)2+( x 1－x 2)2的最优解，已知X (0) =[0，0]T ，迭代精度ε =0.01。

第6章 约束优化 思考题

1. 在约束随机方向搜索法中，为什么有可能找到比最速下降方向还要更好的搜索方向？随机