1.1.1 正弦定理2
高中数学人教版必修5课件：1.1.1正弦定理(系列三)
典型例题 例1 已知一三角形中a＝2 3 ，b＝6，A＝30°，判断三角形是
否有解，若有解，解该三角形．
解 a＝2 3，b＝6，a<b，A＝30°<90°.
又因为bsinA＝6sin30°＝3，a>bsinA，
所以本题有两解，由正弦定理得，
sinB＝bsian
A＝6sin 2
30°＝ 3
23，故B＝60°或120°.
跟踪训练1 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、
c，已知A＝60°，a＝ 3，b＝1，则c等于
(B )
A．1 B．2 C. 3－1 D. 3
解析 由正弦定理sina A＝sinb B，可得sin 630°＝sin1 B，
∴sinB＝12，故∠B＝30°或150°.由a>b，
得∠A>∠B，∴∠B＝30°，故∠C＝90°，
由勾股定理得c＝2.
例2 在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，求△ABC 的面积．
解 如图，由正弦定理，
得sin
1720°＝sin5
， C
∴sinC＝5143，且∠C为锐角(∠A＝120°)．∴cosC＝1114. ∴sinB＝sin(180°－120°－∠C)＝sin(60°－∠C) ＝ 23cosC－12sinC＝ 23×1114－12×5143＝3143.
证明 作AD⊥BC，垂足为D， 则AD＝AB·sinB，又AD＝AC·sinC，
∴csinB＝bsinC.
∴S△ABC＝12BC·AD ＝12acsinB＝12absinC. 同理S△ABC＝12absinC＝12bcsinA.
∴S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.
高中数学《1.1.1 正弦定理》复习导学案2 新人教A版必修5
作业 布置 学习 小结 / 教 学 反思
课本 49 页练习 2 的 2，3，4 题
2
2 ,b 3 ,
A 450 ,求角 B .
小结:在 ABC 中,已知 a, b 和 A 时求角 B 的各种情况: （1）.角 A 为锐角: ①若 a b sin A ,则一解. ②若 b sin A a b ,则两解. ③若 a b ,则一解 (2).角 A 为直角 a b ,则一解. (3).角 A 为钝角 a b ,则一解. 例 2 在 ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知 A 300 , c 2 3, b 2 ,求
1
ABC 的面积.
达标训练： 1.判断下列各题角 B 的解的个数: 1. a 7, b 14, A 300 .
2. a 30, b 25, A 1500 . 3. a 72, b 50, A 1350 .
4. a 30, b 40, A 260 .
§1.1.2 正弦定理
授课 时间 学习 目标 重点 难理及其拓展. 2.已知两边和其中一边的对角,判断三角形时解的个数. 3.三角形面积公式. 重点:正弦定理的应用. 难点:正弦定理的应用. 自主学习： 正弦定理:_________________________. 正弦定理的变形公式：_________________________. 问题 1.在 ABC 中,已知 a 20, b 28, A 400 ,求 B (精确到 1 )和 c (保留两个有效数
0 问题 3.在 RtABC 中, C 90 ,则 ABC 的面积 S
学习 过程 与方 法
1 ab .对于任意 ABC ,已知 a, b 及 2
苏教版数学必修五同步讲义：1.1正弦定理(2)
1．1 正弦定理(2)1.了解正弦定理及其变式的结构特征和功能．2.理解三角形面积公式及解斜三角形．3．掌握把实际问题转化成解三角形问题．, [学生用书P3])1．三角形中常用的结论 (1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C2.(2)在三角形中，大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 2．三角形面积公式(1)S ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c (h a ，h b ，h c 分别表示a ，b ，c 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .1．在△ABC 中，A ＝30°，AB ＝2，BC ＝1，则△ABC 的面积为________． 解析：由BC sin A ＝ABsin C ，知sin C ＝1，则C ＝90°，所以B ＝60°，从而S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝32.★答案★：322．若△ABC 中，cos A ＝13，cos B ＝14，则cos C ＝________．解析：由cos A ＝13得sin A ＝223；由cos B ＝14得sin B ＝154.所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－()cos A cos B －sin A sin B＝－⎝⎛⎭⎫13×14－223×154＝230－112.★答案★：230－1123．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________． 解析：由于S △ABC ＝3，BC ＝2，C ＝60°， 所以3＝12×2·AC ·32，所以AC ＝2，所以△ABC 为正三角形， 所以AB ＝2. ★答案★：2三角形面积公式的应用[学生用书P4]在△ABC 中，已知B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2.求△ABC 的面积． 【解】 由正弦定理，得sin C ＝AB ·sin B AC ＝32，又AB ·sin B ＜AC ＜AB ，故该三角形有两解：C ＝60°或120°，所以当C ＝60°时，A ＝90°， S △ABC ＝12AB ·AC ＝23；当C ＝120°时，A ＝30°， S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝ 3.所以△ABC 的面积为23或 3.把本例中的B ＝30°改为B ＝45°，AB ＝2 3 改为AB ＝3，其他条件不变，求△ABC 的面积．解：由正弦定理c sin C ＝bsin B ，得AB sin C ＝AC sin B ，则sin C ＝64， 又AC ＞AB ，故该三角形有一解，且C 为锐角，cos C ＝104，由sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝22×104＋22×64＝5＋34，则S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×3×2×5＋34＝3＋154.三角形的面积公式是在解三角形中经常用到的一个公式，其应用关键是根据题目条件选择合适的两边及其夹角．1.在△ABC 中，a ＝2，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积S △ABC 等于________．解析：b ＝a sin B sin A ＝2×sin 105°sin 30°＝6＋2，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝(6＋2)×22＝3＋1.★答案★：3＋1正弦定理在几何图形中的运用[学生用书P4]如图所示，D 是直角三角形ABC 的斜边BC 上的一点，且AB ＝AD ，记∠CAD＝α，∠ABC ＝β.(1)求证：sin α＋cos 2β＝0； (2)若AC ＝3DC ，求β的值．【解】 (1)证明：因为AB ＝AD ，所以∠ADB ＝∠ABD ＝β.又因为α＝π2－∠BAD ＝π2－(π－2β)＝2β－π2，所以sin α＝sin ⎝⎛⎭⎫2β－π2＝－cos 2β， 即sin α＋cos 2β＝0.(2)在△ADC 中，由正弦定理得DC sin α＝ACsin ∠ADC， 即DC sin α＝ACsin （π－β）， 即DC sin α＝3DCsin β，所以sin β＝3sin α. 由(1)知sin α＝－cos 2β，所以sin β＝－3cos 2β＝－3(1－2sin 2β)， 即23sin 2β－sin β－3＝0. 解得sin β＝32或－33.因为0＜β＜π2，所以sin β＝32，所以β＝π3.(1)先找出α与β之间的关系，再取正弦即得要证明的结论．(2)利用正弦定理先找出三角函数之间的关系，再利用(1)的结论将其化简，最后求得sin β的值，从而求出角β.2.如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC ，ED ，则sin ∠CED ＝________．解析：由题意得EB ＝EA ＋AB ＝2，则在Rt △EBC 中，EC ＝EB 2＋BC 2＝4＋1＝ 5.在△EDC 中，∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝π4＋π2＝3π4，由正弦定理得sin ∠CED sin ∠EDC ＝DC EC ＝15＝55， 所以sin ∠CED ＝55·sin ∠EDC ＝55·sin 3π4＝1010. ★答案★：1010正弦定理的实际应用[学生用书P5]为了求底部不能到达的水塔AB 的高，如图，在地面上引一条基线CD ＝a ，这条基线延长后不过塔底，若测得∠ACB ＝α，∠BCD ＝β，∠BDC ＝γ，求水塔AB 的高．【解】 在△BCD 中，BC sin γ＝a sin ∠CBD ＝asin （β＋γ），所以BC ＝a sin γsin （β＋γ），在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan α＝a sin γ·tan αsin （β＋γ）.根据具体问题画出符合题意的示意图，把角、距离在示意图中表示出来，借助图形审题．在三角形中，利用正弦定理解决问题．3.在埃及，有许多金字塔，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了．考古人员在研究中测得一座金字塔的三角形横截面如图所示(顶部已经坍塌了)，A ＝50°，B ＝55°，AB ＝120 m ，则此金字塔的高约为________米．(sin 50°≈0.766，sin 55°≈0.819，精确到1米)解析：先分别从A ，B 出发延长断边，确定交点C ， 则C ＝180°－A －B ＝75°，AC ＝AB sin C ·sin B ＝120sin 75°×sin 55°≈101.7.设高为h ，则h ＝AC ·sin A ＝101.7×sin 50°≈78米．★答案★：781．三角形中的诱导公式sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ， tan(A ＋B )＝－tan C ，sin A ＋B 2＝cos C2，cos A ＋B 2＝sin C2.2．三角形中边角转化的等价关系 a >b >c ⇔A >B >C ⇔sin A >sin B >sin C . 3．三角形面积公式S ＝12(a ＋b ＋c )r (r 为三角形内切圆半径)．在△ABC 中，若C ＝3B ，求cb 的取值范围．[解] 由正弦定理可知c b ＝sin 3B sin B ＝sin B cos 2B ＋cos B sin 2B sin B ＝cos 2B ＋2cos 2B ＝4cos 2B －1.又因为A ＋B ＋C ＝180°，C ＝3B ， 所以0°<B <45°，22<cos B <1， 所以1<4cos 2B －1<3， 故1<c b<3.即cb的取值范围是(1，3)．(1)错因：在解决有关三角形问题时，经常因忽视三角形中的隐含条件而出现解题错误．本题隐含条件0°<4B<180°，即0°<B<45°.(2)防范：①注意隐含条件，记住三角形中的常用结论，理清三角形中基本量的关系，②将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为求函数的值域或最值的问题．1．在△ABC中，B＝60°，b＝76，a＝14，则A＝________．解析：由正弦定理得sin A＝2 2，所以A＝45°或135°，又B＝60°，b＞a，所以B＞A，即A＜60°，故A＝45°.★答案★：45°2．如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的面积等于________．解析：因为2R＝4sin 45°＝42，所以R＝2 2.所以S＝πR2＝8π.★答案★：8π3．在△ABC中，a＝2b cos C，则△ABC的形状为________三角形．解析：由已知，可得2R sin A＝2·2R sin B·cos C，即sin(B＋C)＝2sin B cos C，所以sin B cos C－cos B sin C＝0，sin(B－C)＝0，所以B＝C，即△ABC为等腰三角形．★答案★：等腰,[学生用书P71(单独成册)])[A 基础达标]1．在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝4∶1∶1，则a ∶b ∶c 等于________． 解析：由条件知A ＝2π3，B ＝C ＝π6，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶1∶1.★答案★：3∶1∶12．在△ABC 中，已知B ＝45°，c ＝22，b ＝433，则A 的值是________．解析：由正弦定理，得sin C ＝32，从而C ＝60°或120°，故A ＝15°或75°. ★答案★：15°或75°3．在△ABC 中，c b ＝cos Ccos B ，则此三角形为________三角形．解析：由正弦定理得c b ＝sin Csin B ，所以sin C sin B ＝cos C cos B.所以sin B cos C －sin C cos B ＝0. 所以sin(B －C )＝0. 所以B ＝C .所以△ABC 为等腰三角形． ★答案★：等腰4．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于________．解析：由题意得cos 2B －3cos B ＋2＝0， 即2cos 2B －3cos B ＋1＝0，解得cos B ＝12或cos B ＝1(舍去)，所以sin B ＝32，由正弦定理得c sin C ＝b sin B ＝332＝2. ★答案★：25．如图，△ABC 是半径为R 的⊙O 的内接正三角形，则△ABC 的边长为________，△OBC 的外接圆半径为________．解析：因为ABsin 60°＝2R ，所以AB ＝3R .设△OBC 外接圆半径为x ，BC sin 120°＝2x ，x ＝3R2·32＝R .★答案★：3R R6．在△ABC 中，若a ＝c sin A ，sin C ＝2sin A sin B ，则△ABC 的形状为________三角形． 解析：由已知，2R sin A ＝2R sin C sin A ， 因为sin A ≠0，所以sin C ＝1，C ＝90°，又sin C ＝2sin A sin B ＝2sin A cos A ， 所以sin 2A ＝1，2A ＝90°，A ＝45°， 即△ABC 为等腰直角三角形． ★答案★：等腰直角7．海上A ，B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是________．解析：如图，在△ABC 中，C ＝180°－(B ＋A )＝45°，由正弦定理，可得BC sin 60°＝ABsin 45°，所以BC ＝32×10＝56(海里)． ★答案★：5 6 海里8．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是________．解析：因为c sin C ＝a sin A ＝403，所以c ＝403sin C .所以0<c ≤403.★答案★：⎝⎛⎦⎤0，403 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b c ＝233，A ＋3C ＝π.(1)求cos C 的值；(2)若b ＝33，求△ABC 的面积．解：(1)因为A ＋B ＋C ＝π，A ＋3C ＝π， 所以B ＝2C .又由正弦定理b sin B ＝csin C ，得b c ＝sin B sin C ，233＝2sin C cos C sin C，化简得，cos C ＝33. (2)由(1)知B ＝2C ，所以cos B ＝cos 2C ＝2cos 2C －1＝2×13－1＝－13.又因为C ∈(0，π)， 所以sin C ＝1－cos 2C ＝1－13＝63. 所以sin B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ＝2×63×33＝223. 因为A ＋B ＋C ＝π.所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×33＋⎝⎛⎭⎫－13×63＝69. 因为b c ＝233，b ＝33，所以c ＝92.所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×33×92×69＝924.10．在△ABC 中，已知2B ＝A ＋C ，b ＝1，求a ＋c 的范围．解：由已知，B ＝60°，b ＝1， 所以△ABC 外接圆半径R ＝12sin 60°＝33.a ＋c ＝2R (sin A ＋sin C ) ＝2R [sin A ＋sin(120°－A )] ＝2×33×3sin(A ＋30°) ＝2sin(A ＋30°)． 因为0°<A <120°，所以a ＋c 的取值范围为(1，2]．[B 能力提升]1．已知锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A 、B 满足2sin(A ＋B )－3＝0，则△ABC 的面积＝______．解析：因为a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，根据根与系数的关系得ab ＝2，由2sin(A ＋B )－3＝0得sin(A ＋B )＝32.因为△ABC 为锐角三角形，所以A ＋B ＝120°，C ＝60°.所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2sin 60°＝32.★答案★：322．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解析：由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC ＝300 2 m.在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m)． ★答案★：100 63．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，c cos A ＝b ，则△ABC 的形状为________．解析：因为c cos A ＝b ， 所以sin C cos A ＝sin B .而sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 所以sin A cos C ＝0.因为0°<A <180°，所以sin A >0， 所以cos C ＝0，且0°<C <180°.所以C ＝90°，即△ABC 是角C 为直角的直角三角形． ★答案★：直角三角形4. (选做题)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km 处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约 3 km 有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12 km 的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟，检查员开始收不到信号，并至少持续多少时间该考点才算合格？解：如图，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C 、D 两点到考点的距离为1 km.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠ABC ＝30°， 由正弦定理，得sin ∠ACB ＝sin 30°AC ·AB ＝32， 所以∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)，所以∠BAC ＝30°，所以BC ＝AC ＝1， 在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， 所以△ACD 为等边三角形，所以CD ＝1. 因为BC12×60＝5(min)，所以在BC 上需5 min ，CD 上需5 min.最长需要5 min 检查员开始收不到信号，并至少持续5 min 才算合格．。
§1.1.1-2 正弦定理(二)
§1.1.1-2 正弦定理(二)
课堂练习 <<教材>> P.4
练习1.2
书面作业
<<教材>> P.10 习题1.1 A组1(1).2(1.3) B组2
2013-1-16
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
12
（３）正弦定理的变形：
①
a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C
边角 互化
③ a : b : c sin A : sin B : sin C
2013-1-16
a b c , sin B , sin C wzzxzgr@ 11
①
a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C
边角 互化
a b c , sin B , sin C ② sin A 2R 2R 2R
③ a : b : c sin A : sin B : sin C
2013-1-16
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
解法二：由正弦定理 a b c 2 R 得：
sin A sin B sin C
sin A
a b c , sin B , sin C 2R 2R 2R
b c a 2 b2 c2 所以 b c , 2 2 2 2R 2R 4R 4R 4R 即 b2 c2 , a 2 b2 c2，则 b c, a2 b2 c2 ,
4
§1.1.1-2 正弦定理(二)
已知边a,b和角Ａ，求其他边和角．
Ａ为锐角
Ｃ b Ａ a<bsinA 无解 Ｃ b a Ａ Ｃ b a b Ｃ a Ｃ
1.1.1正弦定理 (2)
1．1．1正弦定理（一）教学目标1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形中的一类简单问题2. 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
（二）教学重、难点重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。
难点：正弦定理的推导即理解（三）教学过程1[创设情景]如图1．1-1，固定∆ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动。
A思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B2[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在Rt∆ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义,你有什么发现？AB a C思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：Cb aA c B结论：类似可推出，当∆ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。
讨论探究：对于上面的性质，你能给出证明么？正弦定理：[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sina k A=，sinb k B=，sinc k C=；（2）sin sina bA B=sincC=等价于sin sina bA B=，sin sinc bC B=，sinaA=sincC从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sinsinb AaB=；β②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sinaA Bb=。
1.1.1正弦定理2
a b a sin B 1 sin A 解：由 sin A sin B 得 b 2
∵ 在 ABC 中 a b ∴ A 为锐角
A 30
变式：在例 2 中，将已知条件改为以下 几种情况，角B的结果有几种？
1 2
b 20, A 60 , a 20 3 ;
S ABC
∴
S ABC
1 ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
1 1 S ABC ac sin B ab sin C 2 2 1 bc sin A 2 1 1
正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.
即
变式:
a b c sin A sin B sin C
j AB j AC j CB
B A
j
csin A asinC
同理，过点C作 j BC
a c sin A sin C
则
j AB j (AC CB )
变式训练：
（1） 在△ABC中，已知b= ， 3 A=
45 ， B=
，求 60 a。
b sin A a b 3 sin 45 = = 2 解： ∵ ∴ a sin B sin A sin B sin 60
（2） 在△ABC中，已知c= ， 3A=
， 75B =
60b。 ，求
a b c 3 2 R（R为△ABC外接圆半径） sin A sin B sin C
a b b c c a 1 ; ; sin A sin B sin B sin C sin C sin A 2sin A : sin B : sin C a : b : c
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变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B 在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多 少？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（按角A分类）
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
垂
坡面距离
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A
1.1.1正弦定理2解的个数
1.1.1正弦定理 ----解的个数
复习回顾：
1. 正弦定理
a
b
c
sin A sin B sinC
是解斜三角形的工具之一.
注：每个等式可视为一 个方程：知三求一
2. 正弦定理可解以下两种类型的三角形： （1）已知两角及一边； （2）已知两边及其中一边的对角.
则B＝_3_0_°_，
（3）已知c＝2，A＝45°，a＝ 2√6 ，则
B＝_7_5_°__或__1_5_°____.
3
小结
1. 正弦定理 解三角形时，注意大边对大角
a＝ b ＝c sinA sinB sinC
＝2R
是解斜三角形的工具之一.
2. 正弦定理可解以下两种类型的三角形： （1）已知两角及一边；(只有一解) （2）已知两边及其中一边的对角→↓.
C
b
a
A
H
B
ab
仅有一个解
⑵若A为直角或钝角时:
a ≤ b 无解 a b 一解(锐角)
C a
b
A
C
b
a
A
已知两边和其中一边的对角”的三角形的解
的个数的表格
A 90o
A 90o
a b 一解
一解
a b 无解
一解
a bsin A 二解
a b 无解 a bsin A 一解
C
b
A 60°
B
（1） b＝20，A＝60°，a＝20√3
sinB＝
b
sinA a
正弦定理1.1.1(二)
1.1.1正弦定理(二)学习目标 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题(重点)；2.能根据条件，判断三角形解的个数(难点)；3.能利用正弦定理、三角恒等变换解决较为复杂的三角形问题(难点).知识点1对三角形解的个数的判断已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知a，b和A解三角形为例，从两个角度予以说明：(1)代数角度由正弦定理得sin B ＝b sin A a，①若b sin Aa＞1，则满足条件的三角形个数为0，即无解.②若b sin Aa＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解.③若b sin Aa＜1，则满足条件的三角形个数为1或2.(2)几何角度图形关系式解的个数A为锐角①a＝b sin A；②a≥b一解b sin A＜a＜b 两解a＜b sin A 无解A 为 钝角 或直 角a ＞b 一解a ≤b 无解【预习评价】1.已知三角形的两边及其中一边的对角往往得出不同情形的解，有时需舍去一解，有时又不能舍.那么我们怎么把握舍不舍的问题？提示 例如在△ABC 中，已知a ，b 及A 的值.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可求得sin B ＝b sin Aa .在由sin B 求B 时，如果a ＞b ，则有A ＞B ，所以B 为锐角，此时B的值唯一；如果a ＜b ，则有A ＜B ，所以B 为锐角或钝角，此时B 的值有两个. 2.已知三角形的两边及其夹角，为什么不必考虑解的个数？提示 如果两个三角形有两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等.即三角形的两边及其夹角确定时，三角形的六个元素即可完全确定，故不必考虑解的个数的问题.知识点2 三角形面积公式 任意三角形的面积公式为：(1)S △ABC ＝12bc sin__A ＝12ac sin__B ＝12ab sin__C ，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半.(2)S △ABC ＝12ah ，其中a 为△ABC 的一边长，而h 为该边上的高的长.(3)S △ABC ＝12r (a ＋b ＋c )＝12rl ，其中r ，l 分别为△ABC 的内切圆半径及△ABC 的周长.(4)S △ABC ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫其中p ＝a ＋b ＋c 2. 【预习评价】1.在△ABC 中，若B ＝30°，a ＝2，c ＝4，则△ABC 的面积为________.2.在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________.题型一 三角形解的个数的判断【例1】 已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答.(1)a ＝10，b ＝20，A ＝80°； (2)a ＝23，b ＝6，A ＝30°.规律方法 判断三角形解的情况：先判断角，若有一个为钝角，则有一解或无解；若无钝角，则有一解、两解或无解，然后再由大边对大角来具体判断解的情况.【训练1】 根据下列条件，判断三角形是否有解，若有解，有几个解： (1)a ＝3，b ＝2，A ＝120°； (2)a ＝60，b ＝48，B ＝60°； (3)a ＝7，b ＝5，A ＝80°； (4)a ＝14，b ＝16，A ＝45°.题型二 判断三角形形状问题【例2】 在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状.规律方法 判断三角形形状的常用方法有：(1)化边为角.将题目中的条件，利用正弦定理化边为角⎝ ⎛⎭⎪⎫若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状；(2)化角为边.将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系(如a ＝b ，a 2＋b 2＝c 2)，进而确定三角形的形状.【训练2】在△ABC中，已知3b＝23a sin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形方向1 三角函数式的化简、证明及求值【例3－1】如图所示，D是Rt△ABC的斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC ＝β.(1)求证：sin α＋cos 2β＝0；(2)若AC＝3DC，求β的值.规律方法在三角形中，进行三角函数式的化简、证明或求值时，一要注意边角互化，二要注意三角函数公式的灵活应用，特别是三角恒等式变形的技巧.方向2 与三角形面积有关的问题【例3－2】在△ABC中，∠A＝60°，c＝3 7a.(1)求sin C的值；(2)若a＝7，求△ABC的面积．方向3 求范围或最值【例3－3】在锐角△ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，且a＝2b sin A，求cos A＋sin C的取值范围.规律方法 三角函数、三角恒等变换与解三角形的综合问题是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理，能够对边角关系进行互相转化.课堂达标1.△ABC 满足下列条件：①b ＝3，c ＝4，B ＝30°；②a ＝5，b ＝8，A ＝30°；③c ＝6，b ＝33，B ＝60°；④c ＝9，b ＝12，C ＝60°.其中有两个解的是( ) A.①② B.①④ C.①②③ D.③④2.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a ＝1，b ＝3，B ＝60°，则△ABC 的面积为( ) A.12 B.32 C.1 D. 33．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( ) A ．a ＝2b B ．b ＝2a C ．A ＝2BD ．B ＝2A4.在△ABC 中，lg(sin A ＋sin C )＝2lg sin B －lg(sin C －sin A )，则此三角形的形状是________.5.在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.课堂小结1.已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况：可能无解，也可能一解或两解.首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知的两边的大小情况来确定该角有一个值或者两个值.2.判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是不是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式.3.结合正弦定理，同时注意三角形内角和定理及三角形面积公式、三角恒等变换等知识进行综合应用.基础过关1.在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π32.在△ABC 中，A ＝60°，a ＝6，b ＝4，则满足条件的△ABC ( ) A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定3.在△ABC 中，a cos B ＝bcos A，则△ABC 一定是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形4.已知c＝50，b＝72，C＝135°，则三角形解的个数为________.5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a cos A＝b sin B，则sin A cos A＋cos2B＝________.6.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若tan A＝3，cos C＝5 5，(1)求角B的大小；(2)若c＝4，求△ABC的面积.7.在△ABC中，求证：a2－b2c2＝sin（A－B）sin C.能力提升8.已知方程x2－(b cos A)x＋a cos B＝0的两根之积等于两根之和，且A，B为△ABC 的两内角，a，b为角A，B的对边，则此三角形为()A.等腰直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.直角三角形9.在△ABC中，∠BAC＝120°，AD为角A的平分线，AC＝3，AB＝6，则AD等于()A.2B.2或4C.1或2D.510.在△ABC中，A＝π3，BC＝3，则△ABC的周长为________(用B表示).11.在△ABC中，C＝90°，M是BC的中点，若sin∠BAM＝13，则sin∠BAC＝________.12.在△ABC中，已知c＝10，cos Acos B＝ba＝43，求a、b及△ABC的内切圆半径.创新突破13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝(2b－3c，cosC)，n＝(3a，cos A)，且m∥n.(1)求角A的大小；(2)求2cos2B＋sin(A－2B)的最小值.。
正弦定理和余弦定理2
思考2：设△ABC的外接圆半径为R,则其
面积公式 S
S = 1 4R
= 1 2 ab sin C
可以作哪些变形？
abc = 2R sin A sin B sin C
2
探究：正弦定理的变式拓展
思考3：在△ABC中,设∠A的平分线
交BC边Hale Waihona Puke 点D,则AB AC=
BD CD
(内角平
分线定理),你能证明这个结论吗？
作业布置
P10习题1.1A组：2. B组：2.
A
1 2
B
D
C
理论迁移
例1 在钝角△ABC中,已知AB= AC=1,B=300,求△ABC的面积. C
1
3,
A
300
3
B
理论迁移
例2 在△ABC中,已知 ab 60 sinB=sinC,且△ABC面积是 15 求c边的长.
3， 3，
A
c b 300
B
a
C
理论迁移
例3 在△ABC中,已知A>B,试比 较sinA与sinB的大小. 解法一:利用大角对大边及正弦 定理比较.
已知“角角边”或“角边角”解三角 形；已知“边边角”解三角形. 3.利用正弦定理可以得到哪些相关结 论？有哪些重要应用？这需要我们作 进一步了解和探究,加深对正弦定理 的理性认识.
探究：正弦定理的变式拓展
思考1：利用正弦定理如何求三角形的 周长？
a + b + c = 2R sin A + sin B + sin C ） （
解法二:利用正弦函数的单调性.
理论迁移
例4 在△ABC中,已知acosB=bcosA,
1.1.1正弦定理课件(PPT)
sin C
同理 a 2R, b 2R
sin A
sin B
C/ 能否运用向量的方法
a b c 2R 来证明正弦定理呢? sin A sin B sin C
向量法
利用向量的数量积，产生边的长与内角 的三角函数的关系来证明.
在直角三角形中
A
c
b
B
a DC
在锐角三角形中
B
jc
a
A
b
C
证 明 ： 过 点A作 单 位 向 量j垂 直
1.在ABC中 (1)已知b 12, A 300 , B 120 , 求a; (2)已知c 10, A 45 ,C 30 , 求b, SABC .
(3)已知A 300 , B C 600 , a 2,求c.
1.在ABC中 (1)已知b 12, A 300 , B 120 , 求a; (2)已知c 10, A 45 ,C 30 , 求b, SABC .
b c, sin B sinC
图1 D
C
同理可得 a c ,
sin A sinC
即： a b c sin A sin B sinC
3.若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 过点A作AD⊥BC，交BC延长线于D,
此时也有
sin B
AD c
且
sin（
C）
AD b
sinC
仿(2)可得 a b c
一解
ｂa
作三角形
案例小结！
C
（1）A为锐角 C
b
a
ba a
A
B
a = bsinA (一解）
C
b
A B2
B1
bsinA<a<b
§1 1.1 正弦定理
已破损.现测得如下数据：BC=2.57cm，CE=3.57cm，
BD=4.38cm, C 120 , B 45 .为了复原,请计算原 玉佩两边的长（结果精确到0.01cm）. 分析：将BD,CE分别延长相交于一点A，在
D
A
△ABC中，已知BC的长及角B与C，可以通过
正弦定理求AB，AC的长.
1 中， AB ( x, y), AC (u, v) .求证 ABC 的面积为
1 | xv yu | . 2 1 证明： S | AB | | AC | sin A 2 S
1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 | AB | | AC | sin 2 A 2 2 | AB | | AC | (1 cos 2 A) 2 2 | AB | | AC | (| AB | | AC | cos A) 2 2 2 (| AB | | AC |) ( AB AC )
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的
a b c sin A sin B sin C
变式:
a b b c c a ; ; 1 sin A sin B sin B sin C sin C sin A
2 sin A :sin B :sin C a : b : c
例1 某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩，其一角
t 2 t1 8.6 2.0 6.6(h)
答：约 2h 后将要遭受台风影响，持续约 6.6h.
问题1 由例2我们发现，已知两边和其中一边的对角，解三角形 时会出现两解的情况.还会出现其他情况吗？你能从代数或 几何角度给出解释吗？
问题2 如图，在Rt △ABC中，斜边AB是△ABC外接圆的直径（设 Ｒt△ABC外接圆的半径为R），因此
1.1.1正弦定理课件人教新课标2
此时也有
sin B
AD c
且
sin（
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）
AD b
sinC
可得
abc sin A sin B sin C
B
A c
b
图2 C D
正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.
即 abc sin A sin B sinC
思考：你能否找到其他证明正弦定理的方法？
另证1:
a b c 2R sin A sin B sinC
3 sin30
3
a
16
2
16 3 16
16
A 300
所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°
B
B
当Ｂ＝60°时 C=90° c 32.
当Ｂ＝120°时 C=30°
c asinC 16. sin A
变式: a=30, b=26, A=30°，解三角形
解：由正弦定理 a b
sin A sin B
C
26
30
得 sin B bsin A 26sin30 13 A 300
B
a
30 30
所以Ｂ＝25.70, 或Ｂ＝1800－25.70=154.30
由于154.30 +300>1800 故B只有一解 （如图）
C=124.30, c asinC 49.57
sin A
sin 25.7 13 30
变式: a=30, b=26, A=30°，解三角形
1 ac sin B 2
剖析定理、加深理解 正弦定理： a b c 2R
sin A sin B sinC
1、正弦定理可以解决三角形中的问题：
人教版必修五1.1.1正弦、余弦定理课件
B. acos A bcos B
C. asin B bsin A
D. acos B bcos A
（2）若A,B,C是⊿ABC的三个内角，则
sinA+sinB__>__sinC.
(3)在ABC中，C 2B,则sin 3B 等于(B) sin B
A.b/a
B.a/b
C.a/c
D.c/a
正弦定理、余弦定理
正弦定理、余弦定理
例题讲授
例1，在ABC中，已知A 32.0, B 81.8, a 42.9cm,解三角形 解：根据三角形内角和定理， C 180 ( A B) 180 (32.0 81.8 ) 66.2 根据正弦定理，b asin B 42.9sin 81.8 80.1(cm)
c a sin C 20sin 24 13(cm). sin A sin 40
正弦定理、余弦定理
例题讲授
例3 在 ABC 中，B 45,C 60,a 2( 3 1) ，求
ABC的面积S．
解： A 180 (B C ) 75
A
∴由正弦定理得 b a sin B 2(
3
1)(
练习：
（1）在 ABC 中，一定成立的等式是（ C ）
A. asin A bsinB
B. acos A bcos B
C. asin B bsin A
D. acos B bcos A
（2）在 ABC中，若
a cos
A
b cos B
c cos C
，则 ABC 是(
D)
2
2
2
A．等腰三角形
B．等腰直角三角形
sin A sin 32.0 根据正弦定理，c asin C 42.9sin 66.2 74.1(cm)
第1章1.1.1第2课时 正弦定理课件人教新课标
1．满足 B＝60°，AC＝12，BC＝k 的△ABC 恰有一个，则 k 的
取值范围是( )
A．k＝8 3
B．0＜k≤12
C．k≥12
D．0＜k≤12 或 k＝8 3
D [已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的 对角的正弦值，由正弦值求角时，需对角的情况进行讨论：当 AC＜ BCsin B，即 12＜ksin 60°，即 k＞8 3时，三角形无解；当 AC＝BCsin B，即 12＝ksin 60°，即 k＝8 3时，三角形有一解；当 BCsin B＜AC ＜BC，即 23k＜12＜k，即 12＜k＜8 3时，三角形有两解；当 0＜ BC≤AC，即 0＜k≤12 时，三角形有一解．综上，0＜k≤12 或 k＝8 3 时，三角形有一解．]
＋B>2π⇔A>π2－B⇔sin A>cos B，cos A<sin B.
【例 3】 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c， m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，m·n＝－sin 2C.
(1)求 C 的大小； (2)若 c＝2 3，A＝6π，求△ABC 的面积． 思路探究：(1)由 m·n＝－sin 2C，利用三角恒等变换求出 C 的大 小； (2)由正弦定理可得 b 的大小，利用三角形的面积公式求解．
bsin A<a<b
两__解__
A为
___a_<_b_s_i_n_A_
无解
锐角
思考：在△ABC 中，a＝9，b＝10，A＝60°，判断三角形解的
个数．
[提示] sin B＝basin A＝190× 23＝5 93，
而
35 2<
9
南京六中高一数学《正弦定理(2)》学案
1.1 正弦定理(2)【教学目标】1、掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形；2、正弦定理的应用；3、 正弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标． 【重点难点】重点：正弦定理的应用． 难点：正弦定理的应用． 【课前预习】请阅读并思考课本P11页：习题1.1第6题和第9题内容． 1、三角形的面积公式：已知△ABC ，则面积ABC S ∆=_______ =_______ =_______2、在△ABC 中，， 2=a ，3=b 030=C ，则ABC S ∆=．3、在△ABC 中，===CcB b A a sin sin sin ， R 为ABC ∆ ______________． 变形：（1）A R a sin 2=， ，（2）RaA 2sin =， ， 【例题精讲】1、如图，某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1000 m 后到达D 处，又测得山顶的仰角为65°，求山的高度BC （精确到1 m ）．2、在△ABC 中，已知A a cos ＝B b cos ＝Cccos ，试判断△ABC 的形状．3、在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，用正弦定理证明AC AB ＝DCBD ．【课堂反馈】1、在△ABC 中，已知10=c ，045=A ，030=C ，求b 和ABC S ∆．2、在△ABC 中，若060=A ，3=a ，则CB A cb a sin sin sin ++++的值等于 ．3、在埃及，有许多金字塔形的王陵，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了，考古人员在研究中测得一座金字塔的横截面如图（顶部已经坍塌了），∠A=050，∠B=055，AB=120m ，如何求得它的高？ （819.055sin ,766.050sin 00≈≈）4、根据下列条件，判断△ABC 的形状： （1）C B A 222sin sin sin =+；【课后作业】1、在△ABC 中，已知26=a ，135sin =C ，215=∆ABC S ，则b = ．2、如图，从A 点和B 点测得某电视塔顶C 的仰角分别为030和075（点A ，B 亮点与塔底D 点在同一条直线上），AB=m 200，求该电视塔的高度．C DB A 30753、一艘船以40 n mile/h 的速度向正北航行（从A 向B ），在A 处看灯塔S 在船的北偏东030，30 min 后航行到B 处，在B 处看灯塔S 在船的北偏东045．求灯塔S 与B 之间的距离．4、根据下列条件，判断△ABC 的形状： （1）A b B a cos cos =．5、 在△ABC 中，∠A 的外角平分线交BC 的延长线于D ，用正弦定理证明：AC AB ＝DCBD ．A SB 030045βDCBAEααγ。
1.1.1公开课正弦定理ppt
3
2（三角形中大边对大角）
a b, A B,且00 A 1800 A 600 或A 1200
(1)当A 600,C 1800 ( A B) 750
c bsin C 2 6 2 6 2
sin B 2 4
2
2 (2)当A 1200,C 1800 ( A B) 150
变式: 1 a b ; b c ; c a
sin A sin B sin B sin C sin C sin A
2sin A : sin B : sin C a : b : c
定理的应用举例
例1
在ABC中，已知A 32.00 , B 81.80 , a 42.9cm, 解三角形
从表达式的结构看，正弦定理所表达的边与对角 正弦的比是严格的对边与对角的正弦比。
正 弦 定
abc sin A sin B sin C
理
bsin C csin B b sin B c sin C
正弦定理可以解什么类型的三角形问题？
1、已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形 的其他的边和角。
2.已知三角形 ABC 中，a=50,B=450,C=1050,求 S ABC.
62（5 3 1）
3.在ABC中, a 3,b 1, B 30, 则其面积等于 __3_或___3____
24
1.在△ABC中，A 750, B 300, AC 10, 求AB, BC。
2 1
2
a
10
C
2
sin B sin C
∴ b c sin B 10sin 105
sin C sin 30