异面直线及其夹角ppt课件
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高二数学异面直线及其夹角课件
平行、相交、异面.
（1）从公共点的数目来看，可分为： ①有且只有一个公共点则两直线相交 两直线平行 ②没有公共点则
两直线为异面直线 （2）从是否共面来讲，可分为： 两直线相交 ①在同一平面内 两直线平行 ②不在同一平面内则两直线为异面直线
在空间四边形ABCD中，点E、F分别为CD、
异面直线 BC的中点，则直线AB和EF是两条________
2
].
4、如果两条异面直线a、b所成角是直角，那么 我们就说两条直线互相垂直，仍记作a⊥b.
六、求解异面直线所成角的思维方法 以及步骤：
1、作（找）角：平移相交，体现了空间 到平面的化归思想. 2、求角：灵活构建角所在三角形，求 解三角形.
七、小结：
1. 异面直线的概念. 2. 空间两直线的位置关系. 3. 异面直线的判定定理. 4. 异面直线所成的角. 5. 求解异面直线所成角的思维方法以及步骤.
八、课后作业： 1、做好复习；
2、查阅书籍或上网查找关于异面直线的判 定定理的证明，参考网址：
F
B
则∠FB1C(或其补角)即为异面直线 C AE与B1C所成的角. 连接FC， 在Δ FB1C中, FB1=FC= 22 12 5, B1C= 22 22 2 2, 由余弦定理得
10 即异面直线AE与B1C所成角的余弦值为 5
FB12 +B1C2 -FC 2 10 cos FB1C= 2FB1 B1C 5
直线A1C1和BD1的位置关系是什么？
D1
C1
A1
B1
D
A
C
B
四、异面直线的画法
b
b
b a
a
异面直线及夹角PPT教学课件
(2)定义法：判断两直线永不在同一平面内 常用反证法
练习１、判断：
(1)没有公共点的两直线叫异面直线
(2)分别在两个平面内的直线叫异面直线
练习２、说出正方体中各对线段的位置关系
1) AB,CC1 ; 2) A1C,BD1
D1
C1
A1
3) AA1,CB1; 4) A1C1,CB1
B1
5) A1B1,DC; 6) BD1,DC
法
作业
P15 4, 7 P80 4
1.下列结论正确的是（ C ）
A.没有公共点的两条直线是平行直线
B.两条直线不相交就平行
C.两条直线有既不相交又不平行的情况
D.一条直线和两条相交直线中的一条平 行，它也可能和另一条平行
O是空间中的任意一点 所成的锐角是否相等？
b2
点O常取在两 条异面直线中 的一条上
b
a2
.
o1
b1
a1
.
o
a M
(三)异面直线a与b所成的角
空间中过点Ｏ,作直线a1∥a, b1∥b,
则直1.直线线a和ab和所b成所的成角的。锐角(或直角)叫做.异面 1 1
bbbb11b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1ba1b1b1a1b1b1a1b1b1a1baa1b11b1a1ba1b011b01a1b,9a1b10aa1b101b11a1b1b1a111a1ao1a1a1 a1aa1a11
一、空间中两直线的位置关系
a
a
b
b
平行
相交
平行直线 相交直线
共面直线 异面直线
a b 异面 空间两条直线
高中数学《异面直线所成的角》PPT教学课件
A
M
B ND
C
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 那么这两个角 相等或互补
D1 A1
C1 B1
D A
C B
哪些棱所在直线与直线AA1是异面直线?
BC , DC , B1C1 , D1C1
异面直线及其夹角
异面直线所成角:
如图所示，异面直线a、b，在空间中任取一点O, 过点O分别引
a’∥a，b’∥b 则a’，b’所成的 锐角(或直角)叫做两条异面直线
所成的角(夹角) 当两异面直线所成角为直角时，两直线互相垂直
b
b
o b’
O a’
a
a
q a’
a
a
思考:1.如何求异面直线所成的角? 范围呢? 2.两垂直直线可确定一个平面吗？
例1：右图表示一个正方体
D’
(1) 求直线BA’和CC’ 的夹角的度数．
A’
解: 由CC′∥BB′
可知∠B’BA’等于异面直线BA’与CC’的夹角
§2.1.2 异面直线及其夹角
复习
1.空间两直线的位置关系：
从有无公共点可分为： ①有且只有一个公共点 —相交直线 平行直线 ②没有公共点 异面直线
从是否共面可分为： ①在同一平面内
相交直线 平行直线
②不在同一平面内 —异面直线
2.平行线的传递性（公理4 ）
a∥b , a ∥c b∥c
3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边 分别平行并且方向相同，那么这两个 角 相等
D’
C’
A’
D3
B’
1
C
A B
(2) 已知 AB 3 ，AA’=1，求异面直线BA’与CC’所成角的度数
异面直线及其夹角课件
（1）AB与CC1；
D1
C1
（2）AB1与CD1；A1
B1
D
A D1
异面直线及其夹角
C B
直线所成的角：
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
（1）AB与CC1；
D1
C1
（2）AB1与CD1；A1
B1
（3）AB1与CD；
D
C
A
B
异面直线及其夹角
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
M
A1
B1
D
C
A
B 异面直线及其夹角
例3 如图，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中 点，求：
（1）异面直线AM与CN所成角的大小；
（2）异面直线AM与BD所成角的大小；
（3）异面直线AM与BD1所成角的大小。
D1
C1
A1
M
S
B1
D
C
A
B 异面直线及其夹角
例4：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2
D1
C1
（2）AB1与CD1；A1
B1
D
A D1
异面直线及其夹角
C B
直线所成的角：
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
（1）AB与CC1；
D1
C1
（2）AB1与CD1；A1
B1
D
A D1
异面直线及其夹角
C B
直线所成的角：
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
直线所成的角：
《异面直线及其夹角》课件
异面直线的性质研究
目前，对于异面直线的性质研究已经取得了一定的成果，但还有很多未知领域等待探索。例如，异面直线之间的夹角 性质、异面直线的对称性等都是值得深入研究的问题。
异面直线的计算方法
随着计算机技术的发展，计算几何逐渐成为数学领域的一个重要分支。对于异面直线的计算方法研究， 可以进一步促进计算几何的发展，为解决实际问题提供更有效的工具。
的。
不变性
无论两条异面直线的位置如何变 化，它们在同一平面内的射影之
间的夹角保持不变。
异面直线夹角的计算方法
01
投影法
将两条异面直线投影到同一平面内，然后计算它们在该平面内的射影之
间的夹角。
02 03
向量法
利用向量的数量积和向量的模长来计算两条异面直线的夹角。首先求出 两条异面直线的方向向量，然后计算这两个方向向量的数量积和模长， 最后利用公式计算夹角。
异面直线的夹角
异面直线之间的夹角是指这两条直线所夹的锐角或直角。这个夹角的大小范围是$0^circ$ 到$90^circ$，其中$90^circ$表示两直线垂直。
异面直线的未来发展方向
异面直线在几何学中的应用
随着几何学的发展，异面直线在解决实际问题中的应用越来越广泛。例如，在建筑设计、工程制图和计算机图形学等 领域，异面直线都发挥着重要的作用。
05
总结与展望
异面直线的总结
异面直线的基本概念
异面直线是指不在同一个平面上且互不相交的两条直线。在三维空间中，异面直线是相对 常见的几何对象，它们在平面几何中也有类似的概念。
异面直线的判定方法
判定两条直线为异面直线的方法有多种，其中最常用的是通过平行平面来判定。如果两个 平行平面分别包含两条直线，且这两条直线不重合，则它们为异面直线。
目前，对于异面直线的性质研究已经取得了一定的成果，但还有很多未知领域等待探索。例如，异面直线之间的夹角 性质、异面直线的对称性等都是值得深入研究的问题。
异面直线的计算方法
随着计算机技术的发展，计算几何逐渐成为数学领域的一个重要分支。对于异面直线的计算方法研究， 可以进一步促进计算几何的发展，为解决实际问题提供更有效的工具。
的。
不变性
无论两条异面直线的位置如何变 化，它们在同一平面内的射影之
间的夹角保持不变。
异面直线夹角的计算方法
01
投影法
将两条异面直线投影到同一平面内，然后计算它们在该平面内的射影之
间的夹角。
02 03
向量法
利用向量的数量积和向量的模长来计算两条异面直线的夹角。首先求出 两条异面直线的方向向量，然后计算这两个方向向量的数量积和模长， 最后利用公式计算夹角。
异面直线的夹角
异面直线之间的夹角是指这两条直线所夹的锐角或直角。这个夹角的大小范围是$0^circ$ 到$90^circ$，其中$90^circ$表示两直线垂直。
异面直线的未来发展方向
异面直线在几何学中的应用
随着几何学的发展，异面直线在解决实际问题中的应用越来越广泛。例如，在建筑设计、工程制图和计算机图形学等 领域，异面直线都发挥着重要的作用。
05
总结与展望
异面直线的总结
异面直线的基本概念
异面直线是指不在同一个平面上且互不相交的两条直线。在三维空间中，异面直线是相对 常见的几何对象，它们在平面几何中也有类似的概念。
异面直线的判定方法
判定两条直线为异面直线的方法有多种，其中最常用的是通过平行平面来判定。如果两个 平行平面分别包含两条直线，且这两条直线不重合，则它们为异面直线。
异面直线及其夹角ppt 北师大版
D A
C
B
练习5:已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为 a.O为底面中心，F为DD1中点E在A1B1上,求 AF与OE所成的角
D1
E A1 F B1 C1
D C N A O
B
练习6、空间四边形 P-ABC中，M，N分 别是PB，AC的中点， PA=BC=4，MN=3， 求PA与BC所成的角？
P
M
A
E B
N
C
练习7、是BCD平面外一点，E、F分别是BC、 AD的中点，
(1)求证：EF与BD是异面直线； (2)若ACBD，AC＝BD，求EF与BD所成角。
A F B E C G D
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
读一本好书，就是和许多高尚的人谈话。 ---歌德 书籍是人类知识的总结。书籍是全世界的营养品。 ---莎士比亚 书籍是巨大的力量。 ---列宁 好的书籍是最贵重的珍宝。 ---别林斯基 任何时候我也不会满足，越是多读书，就越是深刻地感到不满足，越感到自己知识贫乏。 ---马克思 书籍便是这种改造灵魂的工具。人类所需要的，是富有启发性的养料。而阅读，则正是这种养料。 ---雨果 喜欢读书，就等于把生活中寂寞的辰光换成巨大享受的时刻。 ---孟德斯鸠 如果我阅读得和别人一样多，我就知道得和别人一样少。 ---霍伯斯[英国作家] 读书有三种方法：一种是读而不懂，另一种是既读也懂，还有一种是读而懂得书上所没有的东西。 ---克尼雅日宁[俄国剧作家・诗人] 要学会读书，必须首先读的非常慢，直到最后值得你精读的一本书，还是应该很慢地读。 ---法奇(法国科学家) 了解一页书，胜于匆促地阅读一卷书。 ---麦考利[英国作家] 读书而不回想，犹如食物而不消化。 ---伯克[美国想思家] 读书而不能运用，则所读书等于废纸。 ---华盛顿(美国政治家) 书籍使一些人博学多识，但也使一些食而不化的人疯疯颠颠。 ---彼特拉克[意大利诗人] 生活在我们这个世界里，不读书就完全不可能了解人。 ---高尔基 读书越多，越感到腹中空虚。 ---雪莱(英国诗人) 读书是我唯一的娱乐。我不把时间浪费于酒店、赌博或任何一种恶劣的游戏；而我对于事业的勤劳，仍是按照必要，不倦不厌。 ---富兰克林 书读的越多而不加思索，你就会觉得你知道得很多；但当你读书而思考越多的时候，你就会清楚地看到你知道得很少。 ---伏尔泰(法国哲学家、文学家) 读书破万卷，下笔如有神。---杜甫 读万卷书，行万里路。 ---顾炎武 读书之法无他，惟是笃志虚心，反复详玩，为有功耳。 ---朱熹 读书无嗜好，就能尽其多。不先泛览群书，则会无所适从或失之偏好，广然后深，博然后专。 ---鲁迅 读书之法，在循序渐进，熟读而精思。 ---朱煮 读书务在循序渐进；一书已熟，方读一书，勿得卤莽躐等，虽多无益。 ---胡居仁[明] 读书是学习，摘抄是整理，写作是创造。 ---吴晗 看书不能信仰而无思考，要大胆地提出问题，勤于摘录资料，分析资料，找出其中的相互关系，是做学问的一种方法。---顾颉刚 书犹药也，善读之可以医愚。 ---刘向 读书破万卷，胸中无适主，便如暴富儿，颇为用钱苦。 ---郑板桥 知古不知今，谓之落沉。知今不知古，谓之盲瞽。 ---王充 举一纲而万目张，解一卷而众篇明。 ---郑玄
异面直线及其夹角课件
03
题目：已知直线$a，b$ 为异面直线，过直线 $a$与直线$b$平行的平 面( )
04
A.有一个 B.至多有一个 C.不存在 D.至多有一个 或不存在
提高习题
题目：在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，E为棱CD的中点，有下列四个结论： ${①A}_{1}E perp BD；{②A}_{1}E perp AC；{③A}_{1}E perp BD_{1}；{④A}_{1}E perp BC_{1}$．其中正确的结论序号是____．(写出所有正确结论的编号)
题目：已知直线$a，b$为异面直线，过直线$a$与直线$b$平行的平面( )
A.至多有一个 B.不存在 C.有且只有两个 D.有且只有1个
综合习题
• 题目：已知空间中不共面的四点$O，A，B，C$，若$\overset{\longrightarrow}{OA} \cdot \overset{\longrightarrow}{OB} = \overset{\longrightarrow}{OB} \cdot \overset{\longrightarrow}{OC} = \overset{\longrightarrow}{OC} \cdot \overset{\longrightarrow}{OA} = - 1$，则$\bigtriangleup ABC$的形状是( )
02
异面直线夹角的范围是$0^circ$ 到$90^circ$，且夹角的大小不依 赖于直线的选取。
异面直线夹角的性质
异面直线夹角具有对 称性，即交换两条直 线的位置不会改变夹 角的大小。
异面直线夹角的大小 与两条直线的方向向 量或方向向量的模有 关。
异面直线夹角不会超 过$90^circ$，且不 会小于$0^circ$。
异面直线及其夹角ppt课件
2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围：
（1） 当 cosθ ＞ 0 时，所成角为 θ （2） 当 cosθ ＜ 0 时，所成角为π－ θ （3） 当 cosθ = 0 时，所成角为 90o
3、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有 关知识 解决。
28
说明：异面直线所成角的范围是（0，
D1
C1
M
A1
B1
N
D
C
A
B
18
例3 如图，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中 点，求： （1）异面直线AM与CN所成角的大小；
D1
C1
M
A1
B1
N
D
C
A
QB
19
例3 如图，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中 点，求： （1）异面直线AM与CN所成角的大小；
D1
C1
异面直线所成的角
1
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
（1）AB与CC1；
D1
C1
A1
B1
D
C
A
B
2
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
（1）AB与CC1；
D1
C1
A1
B1
D
C
A
B
3
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
C1
（2）AB1与CD1；A1
B1
（3）AB1与CD；
D
C
（4）AB1与BC1。A
B
12
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
（1） 当 cosθ ＞ 0 时，所成角为 θ （2） 当 cosθ ＜ 0 时，所成角为π－ θ （3） 当 cosθ = 0 时，所成角为 90o
3、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有 关知识 解决。
28
说明：异面直线所成角的范围是（0，
D1
C1
M
A1
B1
N
D
C
A
B
18
例3 如图，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中 点，求： （1）异面直线AM与CN所成角的大小；
D1
C1
M
A1
B1
N
D
C
A
QB
19
例3 如图，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中 点，求： （1）异面直线AM与CN所成角的大小；
D1
C1
异面直线所成的角
1
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
（1）AB与CC1；
D1
C1
A1
B1
D
C
A
B
2
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
（1）AB与CC1；
D1
C1
A1
B1
D
C
A
B
3
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
C1
（2）AB1与CD1；A1
B1
（3）AB1与CD；
D
C
（4）AB1与BC1。A
B
12
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
异面直线的夹角精品PPT教学课件
A ´
在的直线中与直线 BA´是异面
直线有哪些直线？
D
C ´ B ´
C
A
B
2020/12/6
4
如图，已知两条异面直线 a、b ，经过空间任 一点O 作直线 a´∥a，b´∥ b, 我们把a´与b´所
成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成 的角（或夹角）
若两异面直线所成的角为90o，我们就说这两直线垂直。
异面直线及所成角
瑞四中 林光明
2020/12/6
1
异面直线的概念： 把不同在任何一个平面内的两条
直线叫做异面直线
问题：图中与直线AA´异面的直线有 _直__线__B__C___、__B_´_C__´_、__D_C___、__D_´_C_´ D ´ A ´
C ´
B ´
D
C
2020/12/6
A
B
2
异面直线的判定方法：
记做a ⊥ b
b
a .o
´
α
a
.o a
´
b´
2020/12/6
5
例2 ：如图，正方形ABCD-A´B´C´D´中
(1)哪些棱所在直线与直线AA´垂直； (2)求直线BA´和CC´的夹角的度数；
(3)求直线BA´和AD´的夹角的度数；D
´ A ´
C ´
B ´
D A
C B
2020/12/6
6
例2 ：如图，正方形ABCD-A´B´C´D´中
(4)E、 F分别是A´B´、BB´的中点，求 BE 与C´F所成角的余弦
2020/12/6
D
C
´
´
A
EG B
´
´
D
异面直线及其夹角 PPT课件 2 人教课标版
(2)定义法：判断两直线永不在同一平面内 常用反证法
练习１、判断：
(1)没有公共点的两直线叫异面直线 (2)分别在两个平面内的直线叫异面直线 练习２、说出正方体中各对线段的位置关系 1) AB,CC1 ; 2) A1C,BD1
A1 D1 B1 C1
3) AA1,CB1; 4) A1C1,CB1
5) A1B1,DC; 6) BD1,DC
①图中哪些棱所在的直线 与BA1成异面直线
D1
A1 B1 D
C1
②求异面直线A1B与C1C的夹 角的度数 A
C
B
③图中哪些棱所在的直线与直线AA1垂直
练习３、Ｐ14 ４
例2.
E,F分别是 练习４、空间四边形ABCD中，
对角线BD,AC的中点，若BC=AD=2EF， 求直线EF与直线AD所成的角
A
A
D
B
C
(三)异面直线a与b 所成的角
空间中过点Ｏ,作直线a1∥a, b1∥b, 则直线a1和b1所成的锐角(或直角)叫做异面 直线a和b所成的角 b1 a 1 b
1.平移法
a2
a
O
2.范围: 3.两直线所成角为900时, 称两直线垂直
0 0 （0 ，90 ]
记为:
a b
例1. 设图中的正方体的棱长为a，
§9.2异面直线及其 夹角(1)
一、空间中两直线的位置关系
a
b
平行
b
a
b
a
异面
相交
共面直线 异面直线
平行直线 相交直线
空间两条直线
(一)异面直线: 不同在任何一个平面内的 两条直线 1、注意：既不平行且不相交 2、画法： 平面衬托法
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解：如图，取AB的中点E, 连BE, 有BE∥ A1M
取CC1的中点G,连BG. 有BG∥ C1N D1
C1
则∠EBG即为所求角。 在△EBG中
BG=BE= 5
2
a, F C1 =
6 2
a
A1
由余弦定理， cos∠EBG=2/5
EF
B1 G
想一想： 还有其它定角的方法吗？
取EB1的中点F，连NF,有BE∥NF
D1
C1
（2）AB1与CD1；A1
B1
D
A
.
D1
C B
8
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
（1）AB与CC1；
D1
C1
（2）AB1与CD1；A1
B1
D
A
.
D1
C B
9
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
（1）AB与CC1；
角。
A
G
D B
F
.
15
C
例2 已知空间四边形ABCD中， F、
G分别是BC,AD的中点，AC=BD=2，
FG= 3 ，求异面直线AC,BD所成的
角。
A
M
G
D B
F
.
16
C
例2 已知空间四边形ABCD中， F、
G分别是BC,AD的中点，AC=BD=2，
FG= 3 ，求异面直线AC,BD所成的
角。
A
D1
C1
（2）AB1与CD1；A1
B1
（3）AB1与CD；
D
C
A
B
.
10
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
（1）AB与CC1；
D1
（2）AB1与CD1；A1
（3）AB1与CD；
D
（4）AB1与BC1。A
.
C1 B1
C B
11
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
由余弦定理得
cosA1C1E=
5 5
C B
F E
A1C1与BD1所成角的余弦值为
5 5
把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，
方法归纳： 补形法 如正方体、长方体等，其目的在于易于发
现两条异面. 直线的关系。
26
例5、解答题
已知正方体的棱长为 a , M 为 AB 的中点, N
为 BB1的中点，求 A1M 与 C1 N 所成角的余弦值。
D1
C1
A1
M
S
B1
D
C
A
.
B
24
例4：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2
cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成 角的余解弦：值如。图，连B1D1与A1C1 交于O1，
取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B， 为什么？
于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补
D1
C1
（2）AB1与CD1；A1
B1
D
A
.
D1
C B
6
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
（1）AB与CC1；
D1
C1
（2）AB1与CD1；A1
B1
D
A
.
D1
C B
7
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
（1）AB与CC1；
D1
C1
M
A1
B1
D
C
A
.
B
ห้องสมุดไป่ตู้
21
例3 如图，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中 点，求：
（1）异面直线AM与CN所成角的大小；
（2）异面直线AM与BD所成角的大小；
D1
C1
M
A1
B1
D
C
A
.
R
B
22
例3 如图，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中 点，求：
（1）异面直线AM与CN所成角的大小；
C
A
.
QB
19
例3 如图，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中 点，求：
（1）异面直线AM与CN所成角的大小；
D1
C1
M
A1
B1
N
D
C
A
.
P
B
20
例3 如图，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中 点，求：
（1）异面直线AM与CN所成角的大小；
（2）异面直线AM与BD所成角的大小；
（1）AB与CC1；
D1
（2）AB1与CD1；A1
（3）AB1与CD；
D
（4）AB1与BC1。A
.
C1 B1
C B
12
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
（1）AB与CC1；
D1
（2）AB1与CD1；A1
（3）AB1与CD；
D
（4）AB1与BC1。A
.
C1 B1
（2）异面直线AM与BD所成角的大小；
（3）异面直线AM与BD1所成角的大小。
D1
C1
M
A1
B1
D
C
A
.
B
23
例3 如图，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中 点，求：
（1）异面直线AM与CN所成角的大小；
（2）异面直线AM与BD所成角的大小；
（3）异面直线AM与BD1所成角的大小。
异面直线所成的角
.
1
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
（1）AB与CC1；
D1
C1
A1
B1
D A
.
C B
2
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
（1）AB与CC1；
D1
C1
A1
B1
D A
.
C B
3
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
（1）AB与CC1；
D1
C1
A1
B1
D A
.
C B
4
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
（1）AB与CC1；
D1
C1
（2）AB1与CD1；A1
B1
D
A
.
D1
C B
5
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
（1）AB与CC1；
G
D B
F
M
.
17
C
例3 如图，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中 点，求：
（1）异面直线AM与CN所成角的大小；
D1
C1
M
A1
B1
N
D
C
A
.
B
18
例3 如图，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中 点，求：
（1）异面直线AM与CN所成角的大小；
D1
C1
M
A1
B1
N
D
C B
13
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
（1）AB与CC1；
D1
（2）AB1与CD1；A1
（3）AB1与CD；
D
（4）AB1与BC1。A
.
C1 B1
C B
14
例2 已知空间四边形ABCD中， F、
G分别是BC,AD的中点，AC=BD=2，
FG= 3 ，求异面直线AC,BD所成的
角）
A 1
D 1 O1
C 1
B 1
M
D
C
A
.B
25
解法二：
如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面
BC1的方体B1F，
连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1 D1
C1
F1
所成的角(或补角)，
A1
B1
E1
在A1C1E中，
D
A 1 C 1=5 ,A 1 E = 25 ,C 1 E = 3 A