正投影法与三视图

YA
ZA
XA
点的投影（a）
为了将空间三个投影面
上的投影画在同一平面
上，规定：V面不动，H 面绕OX轴向下旋转90°， 与V面重合；W面绕OZ轴 向后旋转90°，与V面重 合，去掉投影面的边框， 得到展开后点A的三面投 影图，如图。
图2-4 点的投影（b）
特别提示：Y轴随H面旋转时，以YH表示；随W面旋转时，以YW表示。
(b)已知 a" 、a ' 求 a
(c)已知 a 、a " 求 a'
作图：如图所示，过已知两面投影分别作相应轴的垂线，两 垂线的交点即为所求。 特别提示：为保证水平投影与侧面投影有相同y坐标，可过o 点作45°辅助线。
2.3.2 直线的投影
一、直线的投影 直线的投影，由直线上两点的同面投影连线来决定。如图
1、点的正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴，即 a′a⊥OX；
2、点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴，即 a′a″⊥OZ；
3、点的水平投影与侧面投影具有相同的y坐标。如图
三、两点间的相对位置
两点间的相对位置：空间两点之间上下、左右、前后的 位臵关系。 据两点的坐标，可判定空间两点间的相对位臵。两点中， x坐标值大的在左；y坐标值大的在前；z坐标值大的在上。 如图2-5，点A在点B之左、前、下方。
（1）因为AB⊥V面，所 以a′b′积聚成一点 （2）因为AB∥W面，
AB∥H面，AB上各点的
x坐标、z坐标分别相 等，所以，ab∥OYH a″b″∥OYW ，且ab= a″b″=AB
立体图
正垂线的投影特点： 1、a′(b′)积聚 成一点； 2、ab∥OYH， a″b″∥OYW，都
反映实长。
投影图
3)因为a′b′∥AB，ab∥OX，a″b″∥OZ。所以a′b′与 OX轴、OZ轴的夹角，即为AB对H面、W面的真实倾角α、γ。 ab=ABcosα<AB， a″b″=ABcosγ<AB
立体图
投影图
正平线投影特点：1、a′b′反映实长和实际倾角α、γ； 2、ab∥OX，a″b″∥OZ，长度缩短。
投影面平行线的投影特性，如下表所示。
3、掌握用换面法求作线段的真长、平面图形的真形，以 及它们对投影面的倾角。（不做要求）
2.1 投影法的基本知识
1、投影法：投射线通过物体向选定的面投射，并在该面 上得到图形的方法。
空间点表 示：用大 写字母， 如 A、B、 C， 投影点表 示：用小 写字母， 如 a、b、 c
2、投影法分类
（1）中心投影法：投射线相交。（图2-1） （2）平行投影法：投射线平行。 ①正投影法：投射线垂直于投影面（图2-2a） ②斜投影法：投射线倾斜于投影面（图2-2b）。
名称 立体图 投影图 投影特性
1．a′b′反映实长
正
平 线
和实际倾角α 、γ ；
2．ab∥OX， a″b″∥OZ，长度
缩短
名称
立体图
投影图
投影特性
1．cd反映实长和
水 平
实际倾角β 、γ ； 2．c′d′∥OX， c″d″∥OYW，长 度缩短 1．e″f″反映实
线
侧 平 线
长和实际倾角α 、 β； 2．e′f′∥OZ， ef∥OYH，长度缩 短
正面放着主视图， 俯视画在它下面， 右边画着左视图，
三图位臵不改变
特别提示：物体上下主、左见；物体左右主、俯现；
物体前后看左、俯，里是后边外是前。
4、视图中的图线及线框的含义
（1）视图中的图线（直线和曲线）表示含义：
①积聚性表面的投影。平面的积聚投影为直线，柱面的积 聚投影为曲线。
②表面和表面的交线投影。
图线与图框含义练习
关于转向轮廓线和物体三视图的一般画法在组合体的视图部分讲解
6、画物体三视图的步骤 形体分析物体确定主视图的投射方向，根据三视图的投影 规律绘制物体的三视图。 如图所示物体的画图步骤如下： （1）分析确定A向为主视的投射方向，如图（a）
（2）画基准线，如图（b）
（3）画底板三视图，如图（c） （4）画竖板三视图，如图（d） （5）画竖板上孔的三视图，如图（e） （6）整理完成全图，如图（f）
一、点的三面投影与直角坐标的关系
（1）空间点A的任一投影， 均反应了该点的某两个坐 标值，即a（XA，YA） a´ （XA，ZA），a″（YA， ZA）
（2）空间A点的直角坐 标 XA 、YA 、ZA 与点 的三面投影 a 、a′、 a″之间的关系如下：
点的三面投影
XA =aay = a′az = ax0 = A点到W面的距离；
倾斜，则可判定该直线为一般位臵直线。 2、投影面平行线 投影面平行线：平行于一个投影面而与另外两个投影面倾 斜的直线。
‴投影面平行线有三种情况：
①平行于H面而与V、W面倾斜的直线称为水平线。 ②平行于V面而与H、W面倾斜的直线称为正平线。 ③平行于W面而与H、V面倾斜的直线称为侧平线。 ‴以正平线为例：分析其投影特点，如图所示 1)因为ABb′a′是矩形，所以：a′b′∥AB，a′b′= AB 2)因为AB上各点到V面等距，即Y坐标相等，所以：ab∥OX a″b″∥OZ ；
③曲面转向轮廓线的投影。 （2）视图中的线框表示的含义： ①表示平面、曲面、孔的投影。 ②空间封闭曲线（如相贯线）的投影。
特别提示：任何相邻的两个封闭线框，应是物体上相交的 两个面的投影，或是同向错位的两个面的投影。
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孔的投影
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相贯线投影
正交两圆柱的相贯线
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相交面投影
相错面投影
物体三视图的画图步骤
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2.3 物体上点、直线、平面的投影
任何立体都是由点、直线、面等几何元素所组成。显然画 三棱锥的三视图，实质上是画这些点、线、面的投影。
三棱锥表面上点、线、面的投影
2.3.1 点的三面投影
如图所示，由空 间点A分别引垂直 于三个投影面H、 V、W 的投射线， 与投影面相交， 得到A点的三个投 影a、a´、a″。 空间点的每一个 坐标值，反映了 该点到某投影面 的距离。
一个分角，分别称为Ⅰ 分角、Ⅱ分角„„ Ⅷ分
角，如图所示。我们把
这个体系叫三投影面体 系，国家标准《机械制
图》(GB4458.1–84)规
定“采用第一角投影法”
如下图是第一分角的三投影面体系。
正对着我们的正立投影面 称为正面，用 V 标记 ( 也称 V 面 ) ；水平位 置的投影面称为水平面， 用 H 标记 ( 也称 H 面 ) ；右边的侧立投影面 称为侧面，用 W 标记 ( 也称 W 面 ) 。投影面 与投影面的交线称为投影 轴，分别以OX 、OY 、OZ 标记。三根投影轴的交点 O 叫原点。
例1：已知A点的坐标值 A(12 ，10 ，15) ，求作A点的三 面投影图。
作图：先在三个轴上量取相应的坐标值，得 aX、aYH、a YW 、 aZ 等点，然后过这些点作所在轴的垂线，其交点便是 a 、 a′和 a″，如图所示。
例2：已知点的两面投影，求作第三面投影。
(a)知 a 、a ' 求 a"
2
2
正投影的基本投影特性
2.2 三视图的基本原理 视图：据制图标准规定，用正投影法所绘制的物体图形。 1、三投影面体系
一般只用一个方向的投影来表达形体是不确定的，通常须将形体
Байду номын сангаас
向几个方向投影，才能完整清晰地表达出形体的形状和结构。
设立三个互相垂直的平 面，叫做三投影面。这 三个平面将空间分为八
个部分，每一部分叫做
投影面垂直线的投影特性如下表所示。
名称 立体图 投影图 投影特性
1．a′(b′)积聚 正 垂 线
成一点；
2．ab∥OYH， a″b″∥OYW，都
反映实长
名称
立体图
投影图
投影特性
1、c(d)积聚成一点； 2、c′d′∥OZ， c″d″∥OZ，都反 映实长
铅
垂
线
侧 垂 线
1、e″(f ″)积聚 成一点； 2、ef∥OX，e′f ′∥OX，都反映实 长
YA =aax = a″az = ay0 = A点到V面的距离；
ZA = a′ax = a″ay =azO = A点到H面的距离。 空间点的每一个坐标值，反映了该点到某投影面的距离。 结论：（1）点的任意两个投影反映了点的三个坐标值。 （2）有了点的三个坐标值，就能唯一确定点的三面投影。
二、点的三面投影规律
规定：①空间点用大写字母 Α，B ，C „„标记 ②H面上的投影用同名小写 字母 a ，b ，c „„标记 ③V面上的投影用同名小写 字母加一撇 a′，b′， c′„„标记 ④W面上的投影用同名小写 字母加二撇a″，b″， c″ „„标记
⑤在图中用细实线将点的两面投影连接起来，称为投影连线， 如a a′，a′a″。a与a″不能直接相连，需借助于 45°斜 线来实现这个联系。
点在前，B点在后，a´可见 ；c″与a″在W面上重影且空 间C点在左，A点在右，c″可见。
因此，判断重影点的可见性，是根据它们不等的那个坐 标值来确定，即坐标值大的可见，坐标值小的不可见。 特别提示： 点的不可见投影加括号表示。
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（b)
(b)
重 影 点
图2-6 重影点和可见性
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辅导与讨论：重影点及其可见性判别
点在三面投影体系中得到投影图的过程及投影规律
辅导与讨论:已知点A的正面投影a′和水平投影a，求作点A的侧面投影a〞
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两点间的相对位臵
四、重影点及其可见性 1、重影点：属于同一条投射线上的点，在该投射线所垂 直的投影面上的投影重合为一点。空间的这些点，称为
该投影面的重影点。如图
特别提示：重影点有两对同名坐标值对应相等。 2、可见性：如图2-6所示，a´与b´在V面上重影且空间A
特别提示：画图、读图时都应严格遵循和应用。
（3）位置关系：如图 （4）方位关系 任何形体在空间都具有上、下、左、右、前、后六个方位， 形体在空间的六个方位和三视图所反映形体的方位
主视图—反映了形体的上、下和左、右方位关系；
俯视图—反映了形体的左、右和前、后方位关系； 左视图—反映了形体的上、下和前、后位置关系。
直线投影
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图2-7 一般位臵直线的投影
投影特点：
（1）直线的三面投影都是直线且倾斜于投影轴，与投影 轴的夹角，均不反映直线对投影面的倾角； （2）直线的三面投影的长度都短于实长，其投影长度： ab=ABcosα ，a′b′= ABcosβ ，a″b″= ABcosγ 。
特别提示：在投影图上，如果直线的两个投影均与投影轴
2、三视图的形成
将物体放在三面投影体系内，分别向三个投影面投射，V 面保持不动，H面向下绕OX轴旋转90˚，W面向右绕OZ轴旋 转90˚。得到物体的三视图：主视图（V面上）、俯视图 （H面上）、左视图（W面上），如图所示。
图2-3 三视图的形成
三视图画图要求： 1、投影面边框及投影轴不画。
2、三个视图相对位臵不能变动。
机械制图与计算机绘图
主讲：宋绍华
2012年2月
第二章
学习目的
正投影法与三视图
1、学习用正投影法表达空间几何形体和图解简单空间几 何问题的基本原理和方法。
2、掌握点、直线、平面在第一角中各种位置的投影特性 和作图方法。 知识要点 1、了解投影的一般知识，掌握正投影的基本概念。
2、掌握点、直线、平面在第一角中各种位置的投影特性 和作图方法。
二、各种位置直线的投影
根据直线在投影面体系中对三个投影面所处的位置不同， 可将直线分为一般位臵直线、投影面平行线和投影面垂直 线三类。其中，后两类统称为特殊位置直线。如表 1、一般位置直线 一般位置直线：与三个投影面都成倾斜状态的直线。该直 线与其投影之间的夹角为直线对该投影面的倾角。直线对 H 、V 、W 面的倾角分别用 a、β 、γ 表示。如图
投影面的平行线的投影特点：
（1）在所平行的投影面上的投影反映实长（实形性）， 与投影轴的夹角分别反映直线对另两投影面的真实倾角。 （2）在另两投影面上的投影，分别平行于相应的投影轴， 且长度缩短。 3、投影面垂直线 投影面垂直线：垂直于一个投影面，平行另外两个投影面 的直线。 三种情况：垂直于H面的直线，称为铅垂线；垂直于V面的 直线，称为正垂线；垂直于W面的直线，称为侧垂线。 以正垂线为例：分析其投影特点，如图所示
3、三个视图名称不必标。 三视图配置
3、三视图的投影关系
（1）每个视图所反映的形体尺寸情况
主视图 —— 反映了形体的高度尺寸和的长度尺寸。
俯视图 —— 反映了形体的长度尺寸和的宽度尺寸。
左视图 —— 反映了形体的高度尺寸和的宽度尺寸。
（2）投影规律（尺寸关系）
投影规律：主、俯视图长对正，主、左视图高平齐，俯、 左视图宽相等，即“长对正，高平齐，宽相等”。