2-8闭区间上连续函数的性质
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闭区间上连续函数的性质
F(a)F(b) [ f (a) C][ f (b) C] 0 ，由零点定理知，至少在一点 (a ，b) ，使点 F() 0 ，即 f () C ．
1.2 零点定理与介值定理
介值定理的几何意义是连续曲线 y f (x) 与水平直线 y C 在 (a ，b) 内至少有 一个交点，如图所示．
推论 若函数 f (x) 在闭区间[a ，b] 上连续， m 和 M 分别为 f (x) 在[a ，b] 上的最 小值与最大值，则对介于 m 和 M 之间的任一实数 C ，至少存在一点 (a ，b) ，使得 f () C ．
设 m f (x1) ， M f (x2 ) ， m M ，在闭区间[x1 ，x2 ]（或[x2 ，x1] ）上应用介值 定理，即得上述推论．
f (a) 与 f (b) 之间的任意一个常数 C ，至少存在一点 (a ，b) ，使得 f () C ．
定理 4 的证明，仅需设一个新的辅助函数 F(x) f (x) C ．由 f (x) 在[a ，b] 上连续， 且 C 介 于 f (a) 与 f (b) 之 间 ， 可 知 F(x) 在 [a ，b] 上 连 续 ，
x 1， 在闭区间[0，2] 上不连续
x 3， 1 x 2
（有跳跃间断点 x 1），虽有界但无最值，如图所示．
1.2 零点定理与介值定理
如果 f (x0 ) 0 ，则称 x0 点为函数 f (x) 的零点． 定理 3（零点定理） 设函数 f (x) 在闭区间[a ，b] 上连续，且 f (a) f (b) 0 ，则
至少存在一点 (a ，b) ，使得 f ( ) 0 ．
证明从略．从几何上看，定理 3 表示：如果连续曲线弧 y f (x) 的两个端点位于 x 轴的不同侧，那么这段曲线弧与 x 轴至少有一个交点，如图所示．
1.2 零点定理与介值定理
介值定理的几何意义是连续曲线 y f (x) 与水平直线 y C 在 (a ，b) 内至少有 一个交点，如图所示．
推论 若函数 f (x) 在闭区间[a ，b] 上连续， m 和 M 分别为 f (x) 在[a ，b] 上的最 小值与最大值，则对介于 m 和 M 之间的任一实数 C ，至少存在一点 (a ，b) ，使得 f () C ．
设 m f (x1) ， M f (x2 ) ， m M ，在闭区间[x1 ，x2 ]（或[x2 ，x1] ）上应用介值 定理，即得上述推论．
f (a) 与 f (b) 之间的任意一个常数 C ，至少存在一点 (a ，b) ，使得 f () C ．
定理 4 的证明，仅需设一个新的辅助函数 F(x) f (x) C ．由 f (x) 在[a ，b] 上连续， 且 C 介 于 f (a) 与 f (b) 之 间 ， 可 知 F(x) 在 [a ，b] 上 连 续 ，
x 1， 在闭区间[0，2] 上不连续
x 3， 1 x 2
（有跳跃间断点 x 1），虽有界但无最值，如图所示．
1.2 零点定理与介值定理
如果 f (x0 ) 0 ，则称 x0 点为函数 f (x) 的零点． 定理 3（零点定理） 设函数 f (x) 在闭区间[a ，b] 上连续，且 f (a) f (b) 0 ，则
至少存在一点 (a ，b) ，使得 f ( ) 0 ．
证明从略．从几何上看，定理 3 表示：如果连续曲线弧 y f (x) 的两个端点位于 x 轴的不同侧，那么这段曲线弧与 x 轴至少有一个交点，如图所示．
2.8 闭区间上连续函数的性质
(0,a b), 使 F( ) 0, 即 f ( ) .
例3 设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续, 且f (a) a,
f (b) b. 证明 (a, b), 使得 f ( ) .
证 令 F( x) f ( x) x, 则F( x)在[a, b]上连续, 而 F (a) f (a) a 0, F (b) f (b) b 0, 由零点定理,
其他(如振荡间断点)
例8
f
(
x)
1 x2
x
x2 4 x
x2
1且x 1且x
0 ,求间断点及类型。
2
解 函数的图形如图
y
-1 0 1 2
x
图2-19
在x 0处，f ( x)无定义，且lim f ( x) x0
所以x 0是第二类无穷间断点；
在x 1处，f ( x) 1，但f (1 ) f (1 ) lim x1
(1)可去间断点：f ( x0 ) f ( x0 )
例3 讨论函数 y x2 1 在x 1处的连续性 .
x1
y
解 y x2 1 在 x 1无意义，
2
x1
x 1为间断点。但是 lim x2 1 2， 1
x1 x 1
y x2 1 x1
即 lim f ( x) 2，极限存在 x1
若 f ( x) C[a, b],
则 1 ,2 [a, b],
使得 x [a, b],
有 f (1 ) f ( x), f (2 ) f ( x).
y
y f (x)
oa
2
1 b x
注意:
(1)把“闭区间”换成“开区间”，定理不真。如: f ( x)在(0,1)内无最值，f ( x) 1 在(0,1)无界。
例3 设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续, 且f (a) a,
f (b) b. 证明 (a, b), 使得 f ( ) .
证 令 F( x) f ( x) x, 则F( x)在[a, b]上连续, 而 F (a) f (a) a 0, F (b) f (b) b 0, 由零点定理,
其他(如振荡间断点)
例8
f
(
x)
1 x2
x
x2 4 x
x2
1且x 1且x
0 ,求间断点及类型。
2
解 函数的图形如图
y
-1 0 1 2
x
图2-19
在x 0处，f ( x)无定义，且lim f ( x) x0
所以x 0是第二类无穷间断点；
在x 1处，f ( x) 1，但f (1 ) f (1 ) lim x1
(1)可去间断点：f ( x0 ) f ( x0 )
例3 讨论函数 y x2 1 在x 1处的连续性 .
x1
y
解 y x2 1 在 x 1无意义，
2
x1
x 1为间断点。但是 lim x2 1 2， 1
x1 x 1
y x2 1 x1
即 lim f ( x) 2，极限存在 x1
若 f ( x) C[a, b],
则 1 ,2 [a, b],
使得 x [a, b],
有 f (1 ) f ( x), f (2 ) f ( x).
y
y f (x)
oa
2
1 b x
注意:
(1)把“闭区间”换成“开区间”，定理不真。如: f ( x)在(0,1)内无最值，f ( x) 1 在(0,1)无界。
微积分2-8闭区间上连续函数的性质
微
积
分
推论: 在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最
大值之间的任何值 .
例2. 证明方程 一个根 . 证: 显然
在区间 又 使
内至少有
故据零点定理, 至少存在一点
即
方程x 3 4 x 2 1 0在(0,1)内至少有一根 .
微
积
分
内容小结
作业：P66第1、2题 在 在 在 4. 当 注意 上有界; 上达到最大值与最小值; 上可取最大与最小值之间的任何值; 时, 必存在 1．闭区间； 2．连续函数． 使
证 令 F ( x ) f ( x ) x, 则F ( x )在[a, b]上连续,
而 F ( a ) f ( a ) a 0,
F ( b ) f ( b ) b 0,
由零点定理,
(a, b), 使 F ( ) f ( ) 0,
即 f ( ) .
不正确.
0 x1 x0 f (0) (1) 2e 0.
f ( x ) 在(0,1) 内连续,
但 f ( x ) 在(0,1) 内无零点.
微
积
分
例3 设函数 f ( Байду номын сангаас )在区间[a , b] 上连续, 且f (a ) a ,
f (b) b. 证明 (a , b), 使得 f ( ) .
a x b
f ( 2 ) max f ( x)
a x b
o a 1 2
b
x
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
微
积
分
例如, 无最大值和最小值 又如,
连续函数的性质
y
Oa
bx
定理（介值性定理） 设函数 f ( x)在闭区间 [a ,b]
上连续,且 f (a) f (b) . 若是介于 f (a) 与 f (b) 之 间的任一数( f (a) f (b) 或 f (b) f (a)),
则(至少)存在一点 x0 (a ,b) ,使得
f ( x0 ) .
证 由于 g(u) 在点 u0 连续 , 因此对于任意的 0 ,
存在1 0 , 当 | u u0 | 1 时, 有 | g(u) g(u0 ) | ,
又因为 f ( x) 在点 x0 连续, 故对上述 1 0 , 存在 0, 当 | x x0 | 时, 有
于是
| f ( x) f ( x0 ) || u u0 | 1,
x0 x0 x0
bx
②对应
③任给
对于任意的正数 , a x0 x0 b, 设
y1 f ( x0 ) , y2 f ( x0 ) , 令 min{ y2 y0 , y0 y1} 0, 当 ( y1 ) y0 y y0 ( y2 ) 时，
f 1( y1 ) f 1( y) f 1( y2 ),
二、闭区间上连续函数的性质
一、最大(小)值的定义 定义 设 f ( x)为定义在数集 D上的一个函数 . 若 存在 x0 D ,使得对一切 x D, 均有
f ( x) f ( x0 ) ( f ( x) f ( x0 ) ), 则称 f ( x) 在D上有最大(小)值, x0 称为最大(小)值 点, f ( x0 ) 称为 f ( x)在D上的最大(小)值.
解 因为 x 0 是 f ( x) 的定义区间上的点, 而
lim f ( x) 1 0 f (0),
x0
所以 f ( x) 在 x 0 处不连续. 因此函数 f ( x)不是初
Oa
bx
定理（介值性定理） 设函数 f ( x)在闭区间 [a ,b]
上连续,且 f (a) f (b) . 若是介于 f (a) 与 f (b) 之 间的任一数( f (a) f (b) 或 f (b) f (a)),
则(至少)存在一点 x0 (a ,b) ,使得
f ( x0 ) .
证 由于 g(u) 在点 u0 连续 , 因此对于任意的 0 ,
存在1 0 , 当 | u u0 | 1 时, 有 | g(u) g(u0 ) | ,
又因为 f ( x) 在点 x0 连续, 故对上述 1 0 , 存在 0, 当 | x x0 | 时, 有
于是
| f ( x) f ( x0 ) || u u0 | 1,
x0 x0 x0
bx
②对应
③任给
对于任意的正数 , a x0 x0 b, 设
y1 f ( x0 ) , y2 f ( x0 ) , 令 min{ y2 y0 , y0 y1} 0, 当 ( y1 ) y0 y y0 ( y2 ) 时，
f 1( y1 ) f 1( y) f 1( y2 ),
二、闭区间上连续函数的性质
一、最大(小)值的定义 定义 设 f ( x)为定义在数集 D上的一个函数 . 若 存在 x0 D ,使得对一切 x D, 均有
f ( x) f ( x0 ) ( f ( x) f ( x0 ) ), 则称 f ( x) 在D上有最大(小)值, x0 称为最大(小)值 点, f ( x0 ) 称为 f ( x)在D上的最大(小)值.
解 因为 x 0 是 f ( x) 的定义区间上的点, 而
lim f ( x) 1 0 f (0),
x0
所以 f ( x) 在 x 0 处不连续. 因此函数 f ( x)不是初
第08讲 闭区间上连续函数的性质
取
a
,则对于 x1 , x2 (,) ,
总有 f ( x1 ) f ( x 2 ) ， 故 f ( x) ax b在(,) 上一致连续．
1 例4 f ( x) 在(0,1]上连续 , 却不一致连续 x 1 证明 因为 f x 在 (0,1] 上为初等函数,故连续 x
从而二者矛盾 f ( x)在(0,1]上不一致 连续．
一致连续定理
a, b 上连续， 若 f x 在闭区间 则它在该区间上
必定一致连续．
证明(略)
小结：
理解应用最值定理,有界性定理
熟练应用介值定理,零点定理
了解一致连续的概念和有关定理
作业：
第91页习题1-11： 1，2，3，4
设 f ( x)在[a, b]上c.t.且f (a) f (b) 0 （即两端
点函数值异号）：则在(a, b) 内至少存在一点 ，
使得 f 0 （至少有一个零点）．
★注意：
条件为闭区间，结论为开区 间．
几何解释：
x 若曲线 y f ( x) 的两个端点位于 轴有两侧， x 轴至少有一交点 则该曲线与 （或者说方程f ( x) 0
结论： ●最值点不唯一 ●最大值与最小值可以相等 ●最值点可以是边界点，间断点等
如：
1． f ( x) 1 sin x 有最大值 2，最小值 0；
2． y sgn x 有最大值 1，最小值 1 ； （不唯一）
3 y x 3． 在区间 [0,2] 上有最大值 8，最小值 0；
（边界点） 1 sin 4． y x 2
则 F 0 f 0 f a ，
F a f a f 2a f a f 0
a
,则对于 x1 , x2 (,) ,
总有 f ( x1 ) f ( x 2 ) ， 故 f ( x) ax b在(,) 上一致连续．
1 例4 f ( x) 在(0,1]上连续 , 却不一致连续 x 1 证明 因为 f x 在 (0,1] 上为初等函数,故连续 x
从而二者矛盾 f ( x)在(0,1]上不一致 连续．
一致连续定理
a, b 上连续， 若 f x 在闭区间 则它在该区间上
必定一致连续．
证明(略)
小结：
理解应用最值定理,有界性定理
熟练应用介值定理,零点定理
了解一致连续的概念和有关定理
作业：
第91页习题1-11： 1，2，3，4
设 f ( x)在[a, b]上c.t.且f (a) f (b) 0 （即两端
点函数值异号）：则在(a, b) 内至少存在一点 ，
使得 f 0 （至少有一个零点）．
★注意：
条件为闭区间，结论为开区 间．
几何解释：
x 若曲线 y f ( x) 的两个端点位于 轴有两侧， x 轴至少有一交点 则该曲线与 （或者说方程f ( x) 0
结论： ●最值点不唯一 ●最大值与最小值可以相等 ●最值点可以是边界点，间断点等
如：
1． f ( x) 1 sin x 有最大值 2，最小值 0；
2． y sgn x 有最大值 1，最小值 1 ； （不唯一）
3 y x 3． 在区间 [0,2] 上有最大值 8，最小值 0；
（边界点） 1 sin 4． y x 2
则 F 0 f 0 f a ，
F a f a f 2a f a f 0
连续函数的性质
x x0
x x0
lim g ( f ( x )) g ( u0 ) g ( lim f ( x )).
x x0
(* )
事实上,只要补充定义（或者重新定义）f ( x0 ) u0
使得 f ( x ) 在点 x0 连续 . 应用定理4.5,就得到所
需要的结论. 若将 lim f ( x ) u0 改为
x x0
x
lim f ( x ) u0 , lim f ( x ) u0 或 lim f ( x ) u0 ,
x x
(*)式相应的结论仍旧是成立的.
上述(1)和(2)究竟有什么本质的区别呢? 请读者作 出进一步的讨论. 例1 求 lim sin(1 x 2 ).
质有着根本的区别.
设函数 f ( x )在闭区间 [a , b] 定理4.7（介值性定理）
上连续,且 f (a ) f (b) . 若是介于 f (a ) 与 f (b) 之
间的任一数 ( f (a ) f (b) 或 f (b) f (a )),
则(至少)存在一点 x0 (a , b) , 使得
函数极限的相关性质 1 . 局部有界性 若 lim f ( x ) 存在，则 f 在 x0 x x 的某空心邻域 U ( x0 ) 内有界。
0
2 .保不等式性 设 lim f ( x ) 与 lim g( x ) x x x x 都存在，且在某邻域 U ( x0 ; ) 内有 f ( x ) g( x )
存在 0, 当 | x x0 | 时, 有
| f ( x ) f ( x0 ) | | u u0 | 1 ,
于是
| g( f ( x )) g( f ( x0 )) | | g( u) g( u0 ) | ,
x x0
lim g ( f ( x )) g ( u0 ) g ( lim f ( x )).
x x0
(* )
事实上,只要补充定义（或者重新定义）f ( x0 ) u0
使得 f ( x ) 在点 x0 连续 . 应用定理4.5,就得到所
需要的结论. 若将 lim f ( x ) u0 改为
x x0
x
lim f ( x ) u0 , lim f ( x ) u0 或 lim f ( x ) u0 ,
x x
(*)式相应的结论仍旧是成立的.
上述(1)和(2)究竟有什么本质的区别呢? 请读者作 出进一步的讨论. 例1 求 lim sin(1 x 2 ).
质有着根本的区别.
设函数 f ( x )在闭区间 [a , b] 定理4.7（介值性定理）
上连续,且 f (a ) f (b) . 若是介于 f (a ) 与 f (b) 之
间的任一数 ( f (a ) f (b) 或 f (b) f (a )),
则(至少)存在一点 x0 (a , b) , 使得
函数极限的相关性质 1 . 局部有界性 若 lim f ( x ) 存在，则 f 在 x0 x x 的某空心邻域 U ( x0 ) 内有界。
0
2 .保不等式性 设 lim f ( x ) 与 lim g( x ) x x x x 都存在，且在某邻域 U ( x0 ; ) 内有 f ( x ) g( x )
存在 0, 当 | x x0 | 时, 有
| f ( x ) f ( x0 ) | | u u0 | 1 ,
于是
| g( f ( x )) g( f ( x0 )) | | g( u) g( u0 ) | ,
连续函数的性质
x
n
在[ 0
, )
上亦为连续且
y x 在 R内 续 取 连 ，
2
x x 0 1, x x 0 1
x0
( 2 x 0 1), 0 , 取 min(
2
2 x0 1
,1)，
得 当
x x0 , 有 x
x0
2
.
指 函 的 续 数 数 连 性
且严格增. 关于其它的反三角函数
sin( x tanx
2
) cos x 复 函 连 性 合 数 续 , cot x . cos x sin x , sec x
R上 续 . 连 1 cosx , csc x 1 sin x
sinx cosx
在 义 内 续 定 域 连
由 函 的 续 知 反 数 连 性 所 域 连 内 续 .
到, 具体过程请读者自行给出.
我们知道,常函数 y = c 与线性函数 y = x 都是 R 上 的连续函数, 故由四则运算性质, 易知多项式函数
P ( x ) a 0 a1 x a n x
n
也是连续函数.
同理,有理函数
P(x) Q(x) a 0 a1 x a n x b 0 b1 x b m x
x 0的 离 于 距小
.
y 1 f ( x1 ) , y 2 f ( x 2 ) ,
令
min{ y 2 y 0 , y 0 y 1 } 0 ,
x f
1
1
当 y U ( y0 ; ) 时 对 ， 应
( y )的 都 在 值 落
x1与 x 2 之 ， 间
怎么理解函数在闭区间上连续
怎么理解函数在闭区间上连续一个函数在闭区间上连续，意味着该函数在这个区间上没有任何跳跃或间断，并且能够实现平滑的过渡。
具体而言，函数在闭区间上连续意味着函数在区间内的每个点都存在定义，在区间的任意两点之间，函数值之间的差异也十分微小。
一个函数的连续性可通过以下几个方面来理解。
首先，函数在闭区间上连续，要求函数在区间内没有任何断点。
即在闭区间内，函数可以在所有点上被定义。
这意味着函数不能有任何未定义的点，也就是说函数在闭区间内的每个点上都有意义。
其次，函数在闭区间上连续，要求函数在该区间内没有任何跳跃。
具体来说，对于任意给定的x值，在闭区间内对应着一个函数值，那么在其附近只要有足够小的x值，对应的函数值也会十分接近。
这意味着函数的图像在闭区间内是连续平滑的，没有任何明显的断点或突变。
如果函数在某个点上存在跳跃或突变，那么它就不是在该点上连续的。
此外，如果一个函数在闭区间上是连续的，那么在该区间内的变化是连贯的。
这意味着函数变化不会突然地从一个值跳到另一个值，而是通过一个平滑的过渡实现变化。
换句话说，函数值的变化是相对平稳的，没有剧烈的波动。
一个函数在闭区间上连续的概念可以通过实际例子来进一步理解。
例如，考虑一个线性函数f(x) = 2x，在闭区间[0, 5]上连续。
这意味着在闭区间的任何点上都能够计算该函数的值，并且在区间内的任何两点之间，函数值之间的差异也很小。
综上所述，一个函数在闭区间上连续意味着函数在该区间内没有断点或跳跃，并且函数值的变化是连贯的。
这种连续性的概念在数学和实际应用中都具有重要的意义，它使我们能够更好地理解和描述函数的性质和行为。
高中数学(人教版)第4章函数的连续性连续函数的性质课件
数学分析 第四章 函数的连续性
§1 连续函数的性质
一、连续函数的局部性质
二、闭区间上连续函数的 性质 三、反函数的连续性 四、一致连续性
*点击以上标题可直接前往对应内容
在本节中 , 我们将 介绍连续函数的局部 性质与整体性质 .熟练 地掌握和运用这些性 质是具有分析修养的 重要标志.
§1 连续函数的性质
证 因为 f 在 x0 连续, 所以对正数 0 f (x0 ) r , 存在 0, 当 x ( x0 , x0 ) 时, 有 | f ( x ) f ( x0 ) | 0 f ( x0 ) r , 于是证得 f ( x ) r 0.
连续函数的局部性质
所谓连续函数局部性质就是指: 若函数 f 在点x0 连续(左连续或右连续), 则可推知 f 在点 x0 的某 个局部邻域(左邻域或右邻域)内具有有界性、保 号性、四则运算的保连续性等性质.
连续函数的局部 性质
后退 前进 目录 退出
连续函数的局部 性质
定理4.2（局部有界性）
若函数 f 在点 x0 连续， 则f 在某邻域U ( x0 ) 上有界.
连续函数的局部 性质
(2) 若 g( u) 在 u0 连续 , lim f ( x ) u0 , 则有
x x0
x x0
lim g ( f ( x )) g ( u0 ) g ( lim f ( x )).
x x0
(* )
事实上,只要补充定义(或者重新定义) f ( x0 ) u0
定理4.6（最大、最小值定理）
若函数 f ( x ) 在闭区间[a, b]上连续， 则 f ( x ) 在[a, b]上有最大、最小值.
这个定理刻画了闭区间上连续函数的一个深刻的
§1 连续函数的性质
一、连续函数的局部性质
二、闭区间上连续函数的 性质 三、反函数的连续性 四、一致连续性
*点击以上标题可直接前往对应内容
在本节中 , 我们将 介绍连续函数的局部 性质与整体性质 .熟练 地掌握和运用这些性 质是具有分析修养的 重要标志.
§1 连续函数的性质
证 因为 f 在 x0 连续, 所以对正数 0 f (x0 ) r , 存在 0, 当 x ( x0 , x0 ) 时, 有 | f ( x ) f ( x0 ) | 0 f ( x0 ) r , 于是证得 f ( x ) r 0.
连续函数的局部性质
所谓连续函数局部性质就是指: 若函数 f 在点x0 连续(左连续或右连续), 则可推知 f 在点 x0 的某 个局部邻域(左邻域或右邻域)内具有有界性、保 号性、四则运算的保连续性等性质.
连续函数的局部 性质
后退 前进 目录 退出
连续函数的局部 性质
定理4.2（局部有界性）
若函数 f 在点 x0 连续， 则f 在某邻域U ( x0 ) 上有界.
连续函数的局部 性质
(2) 若 g( u) 在 u0 连续 , lim f ( x ) u0 , 则有
x x0
x x0
lim g ( f ( x )) g ( u0 ) g ( lim f ( x )).
x x0
(* )
事实上,只要补充定义(或者重新定义) f ( x0 ) u0
定理4.6（最大、最小值定理）
若函数 f ( x ) 在闭区间[a, b]上连续， 则 f ( x ) 在[a, b]上有最大、最小值.
这个定理刻画了闭区间上连续函数的一个深刻的
新函数连续性1-8函数的连续性教学讲义
f (x)存在 ,但
limf(x)f(x0) xx0
xx0
这样的点 x 0 称为函数的间断点 .
间断点分类:
,
若 f(x0)f(x0), 称 x 0 为可去间断点 . 若 f(x0)f(x0),称 x 0 为跳跃间断点 .
第二类间断点:
f (x0 ) 及 f (x0 ) 中至少一个不存在 ,
定义2 设函数 f (x)在U (x0)内有定义, 如果当自变量的
增量 x趋向于零时, 对应的函数的增量 y也趋向于零,
即
limy
x0
0,
那么就称 f(x函 )在数 点 x0连续 x0称， 为
函数f (x)的连续点 .
lim y0
x0
lx ixm 0 f(x)f(x0)
yf(x0 x)f(x0)
二、连续函数的运算及初等函数的连续性
定理1 若函f(数 x),g(x)在点 x0处连, 续
则f(x)g(x),
f(x)g(x),
f(x) g(x)
(g(x0)0)
在点 x0处也.连续
例如, six,n co x 在 s(, )内 ,连续
即 函y 数 six 对 n x 任 (,意 )都 是 . 连
由2可 例得 f(x函 )x在 数 区(,0 间 )内 连 . 续
3.函数的间断点及其分类
函数 f(x)在点 x0处连续必须满条 足件 :的三 (1)f(x)在x 点 0处有;定义
(2)limf(x)存在 ; (3)xx l ixx00m f(x)f(x0).
x, x0,
y
解 f(00)0, f(00),
x1为函数的第二类间. 断点 o x
且为无穷间 断点.
例8 讨论f(函 x)s数 i1 n在 x0处的连 . 续 x
limf(x)f(x0) xx0
xx0
这样的点 x 0 称为函数的间断点 .
间断点分类:
,
若 f(x0)f(x0), 称 x 0 为可去间断点 . 若 f(x0)f(x0),称 x 0 为跳跃间断点 .
第二类间断点:
f (x0 ) 及 f (x0 ) 中至少一个不存在 ,
定义2 设函数 f (x)在U (x0)内有定义, 如果当自变量的
增量 x趋向于零时, 对应的函数的增量 y也趋向于零,
即
limy
x0
0,
那么就称 f(x函 )在数 点 x0连续 x0称， 为
函数f (x)的连续点 .
lim y0
x0
lx ixm 0 f(x)f(x0)
yf(x0 x)f(x0)
二、连续函数的运算及初等函数的连续性
定理1 若函f(数 x),g(x)在点 x0处连, 续
则f(x)g(x),
f(x)g(x),
f(x) g(x)
(g(x0)0)
在点 x0处也.连续
例如, six,n co x 在 s(, )内 ,连续
即 函y 数 six 对 n x 任 (,意 )都 是 . 连
由2可 例得 f(x函 )x在 数 区(,0 间 )内 连 . 续
3.函数的间断点及其分类
函数 f(x)在点 x0处连续必须满条 足件 :的三 (1)f(x)在x 点 0处有;定义
(2)limf(x)存在 ; (3)xx l ixx00m f(x)f(x0).
x, x0,
y
解 f(00)0, f(00),
x1为函数的第二类间. 断点 o x
且为无穷间 断点.
例8 讨论f(函 x)s数 i1 n在 x0处的连 . 续 x
连续函数的性质
f ( b ) b，证明 ( a, b ), 使得 f ( )
证： 令 F ( x ) f ( x ) x, 则F ( x )在[a, b]上连续，
而 F (a ) f (a ) a 0
F (b) f (b) b 0
由零点定理, ( a, b) 使
ymax 2
ymin 0
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上的连 续函数一定有最大值和最小值。
若 f ( x ) C[a, b], 则 1 , 2 [a, b], 使得 x [a, b], 有 f ( 1 ) f ( x ),
Байду номын сангаас
y
y f ( x)
f ( 2 ) f ( x )
(均在其定义域内连续 ) 定理5 基本初等函数在定义域内是连续的。 定理6 一切初等函数在其定义区间内都是
连续的。
定义区间是指包含在定义域内的区间。
注意 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续。
例如,
y cos x 1,
D : x 0,2,4,
这些孤立点的邻域内没有定义。
又 f (0) 1 0, f (1) 2 0, 由零点定理,
(0,1), 使 f ( ) 0, 即 3 4 2 1 0,
方程x 3 4 x 2 1 0在( 0,1)内至少有一根
例7 设函数 f ( x )在区间[a, b]上连续 , 且f ( a ) a,
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) f ( ) n
分界点为 x 1
lim f ( x ) lim x 1
《连续函数性质》PPT课件
大值之间的任何值 .
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例1. 证明方程 一个根 .
证: 显然
在区间
内至少有
又
故据零点定理, 至少存在一点
使
即
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例2. 设 f ( x) 在
对任意的
使
上连续 , 且恒为正 , 证明: 必存在一点
证: 令 当
,则
f(x1)f(x2)[f(x1)f(x2)2] 0
时, 必存在
使
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作业 P74 题 1; 2.
定理1.在闭区间上连续的函数 在该区间上一定有最大
值和最小值.
即: 设 f(x) C [a ,b ],则 1 ,2 [a ,b ],使
f(1)am xbifn(x)
f(2)am xbaf(xx)
(证明略)
y y f(x)
oa 1 2 b x
注意: 若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有间断
点 , 结论不一定成立 .
f(b ) B ,A B ,则对 A 与 B 之间的任一数 C , 至少有
一点
使
证: 作辅助函数
(x)f(x) C
则(x ) C [a ,b ],且
(a)(b) (A C )B ( C )
y yf(x) B C A
oa bx
故由零点定理知, 至少有一点
使
即
推论: 在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最
Properties of Continuous Functions on a Closed Interval
第十节
第一章
闭区间上连续函数的性质
一、最值定理 二、介值定理 *三、一致连续性
高数闭区间上连续函数的性质
反证法
总结词
通过假设与已知条件矛盾的结论，推 导出矛盾，从而证明原命题。
详细描述
首先假设与已知条件矛盾的结论，即 假设函数在某点不连续。然后根据连 续函数的性质和已知条件，推导出与 假设矛盾的结论。最后得出原命题的 正确性。
归纳法
总结词
通过归纳推理的方法，将无限个特殊情 况归结为一个一般性的结论。
04
闭区间上连续函数的证明方法
定义证明法
总结词
通过直接使用连续函数的定义，对函数在闭区间上的 任意两点进行证明。
详细描述
首先明确连续函数的定义，即在闭区间上，对于任意一 点$x_0$，如果$x_0$是闭区间的内点，则对于任意小的 正数$epsilon$，存在相应的正数$delta$，使得当$|x x_0| < delta$时，有$|f(x) - f(x_0)| < epsilon$。然后 根据这个定义，选取闭区间内的任意两点$x_1$和$x_2$， 证明$f(x)$在$x_1$和$x_2$之间的连续性。
解方程的根时非常有用。
03
闭区间上连续函数的应用
利用连续函数求解微分方程
微分方程是描述函数随时间变化的数学模型，而连续函数是微分方程的解的必要条件。通过利用闭区 间上连续函数的性质，我们可以求解各种微分方程，如线性微分方程、非线性微分方程和常微分方程 等。
例如，对于一阶线性微分方程，我们可以利用连续函数的积分性质和微分性质，通过求解方程的积分 形式来找到其解。
利用连续函数研究函数的极值问题
极值问题是数学中的一个重要问题，它涉及到函数在某一点 或某个区间上的最大值和最小值。利用闭区间上连续函数的 性质，我们可以研究函数的极值问题，并找到函数的最值。
例如，利用连续函数的极值定理，我们知道如果函数在某点的 导数为0，则该点可能是函数的极值点。然后，我们可以进一步 利用二阶导数性质来判断该点是否为极大值或极小值点，并求 出该点的函数值。
闭区间连续函数的性质
f (0) e3 1 0
4 3 3e 0 f (4) 4 e 1
根据零点定理 , 在开区间 ( 0 , 4 ) 内至少存在一点
( 0,4 ), 使 f( ) 0 , 原命题得证 .
12
三、小结 四个定理
有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理. 注意 1．闭区间； 2．连续函数．
0 ; 2 , y 1 sin x ,在 [ 0 , 2 ] 上 ,y 例如, y min max
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.
2
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
y
y f( x )
y
y f( x )
1 证明 令 F ( x ) f ( x ) f ( x ), 2
1 证明必有一点 [ 0 , 1 ] 使得 f ( ) f ( ). 2
1 则 F (x ) 在 [ 0 , ] 上连续 . 2 1 1 1 F ( )f( 1 ) f( ), F ( 0 ) f( ) f( 0 ), 2 2 2 1 0 ) f( 0 ); F ( 0 ) 0 , 则 0 , f( 讨论: 若 2 1 1 1 1 1 若 F( ) 0, 则 , f( )f( ); 2 2 2 2 2
( x ) ,使 F ( )0, 即 故由零点定理知 , 存在 1,x 2
f () f ( x ) f ( x ) . 1 2
11
x 3 x e 1 证明 例5 至少有一个不超过 4 的
正根 .
x 3 f ( x ) x e 1 证： 令
显然 f ( x ) 在 闭 区 间 0 , 4 上 连 续 , 且
4 3 3e 0 f (4) 4 e 1
根据零点定理 , 在开区间 ( 0 , 4 ) 内至少存在一点
( 0,4 ), 使 f( ) 0 , 原命题得证 .
12
三、小结 四个定理
有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理. 注意 1．闭区间； 2．连续函数．
0 ; 2 , y 1 sin x ,在 [ 0 , 2 ] 上 ,y 例如, y min max
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.
2
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
y
y f( x )
y
y f( x )
1 证明 令 F ( x ) f ( x ) f ( x ), 2
1 证明必有一点 [ 0 , 1 ] 使得 f ( ) f ( ). 2
1 则 F (x ) 在 [ 0 , ] 上连续 . 2 1 1 1 F ( )f( 1 ) f( ), F ( 0 ) f( ) f( 0 ), 2 2 2 1 0 ) f( 0 ); F ( 0 ) 0 , 则 0 , f( 讨论: 若 2 1 1 1 1 1 若 F( ) 0, 则 , f( )f( ); 2 2 2 2 2
( x ) ,使 F ( )0, 即 故由零点定理知 , 存在 1,x 2
f () f ( x ) f ( x ) . 1 2
11
x 3 x e 1 证明 例5 至少有一个不超过 4 的
正根 .
x 3 f ( x ) x e 1 证： 令
显然 f ( x ) 在 闭 区 间 0 , 4 上 连 续 , 且
连续函数的性质
的最大值就是函数的线部分从几何上看连续的根据保号性存在特别是使得这就与则有同样根据保号性从而也导致矛盾同时由排除了上面两种情形后就推得上连续那么它的最大值m存在并且因为为正整数所以由极限的保号这个我们记为读作r为正整数则存在唯一的正数设正数使得则有小结本次课上我们结合函数极限的性质学习了连续函数的一些性质有连续函数的局部保号性局部有界性四则运算法则复合函数的连续性
使得
x
n 0
?
r.
证 先证存在性：
因为 n 为正整数 , 所以 lim x n ? ?? . 由极限的保号 x ???
性知,存在
x1 ,
使
x
n 1
?
r . 又因为函数
f
(x) ?
xn在
[0, x1]上连续，且 f (0) ? r ? f ( x1 ) , 所以存在
x0 ?
(0, x1 ) ,
使得
x
n 0
f (x) ? f (x0) ( f (x) ? f (x0) ),
则称 f ( x ) 在D上有最大 (小)值, x0 称为最大 (小)值 点, f ( x0 ) 称为 f ( x )在D上的最大 (小)值.
例如,符号函数 y ? sgn x 的最大值为 1,最小值为-1; 正弦函数 y ? sin x的最大值为 1,最小值为 -1;函数 y ? sin x 在(? π , π )上 既无最大值 ,又无最小值 .
x 在 (0, 1)上无界 .
这说明定义在开区间和闭区间上的连续函数的性 质有着根本的区别 .
定理4.7（介值性定理）设函数 f ( x )在闭区间 [a ,b]
上连续,且 f (a) ? f (b) . 若? 是介于 f (a) 与 f (b) 之 间的任一数 ( f (a) ? ? ? f (b) 或 f (b) ? ? ? f (a)),
使得
x
n 0
?
r.
证 先证存在性：
因为 n 为正整数 , 所以 lim x n ? ?? . 由极限的保号 x ???
性知,存在
x1 ,
使
x
n 1
?
r . 又因为函数
f
(x) ?
xn在
[0, x1]上连续，且 f (0) ? r ? f ( x1 ) , 所以存在
x0 ?
(0, x1 ) ,
使得
x
n 0
f (x) ? f (x0) ( f (x) ? f (x0) ),
则称 f ( x ) 在D上有最大 (小)值, x0 称为最大 (小)值 点, f ( x0 ) 称为 f ( x )在D上的最大 (小)值.
例如,符号函数 y ? sgn x 的最大值为 1,最小值为-1; 正弦函数 y ? sin x的最大值为 1,最小值为 -1;函数 y ? sin x 在(? π , π )上 既无最大值 ,又无最小值 .
x 在 (0, 1)上无界 .
这说明定义在开区间和闭区间上的连续函数的性 质有着根本的区别 .
定理4.7（介值性定理）设函数 f ( x )在闭区间 [a ,b]
上连续,且 f (a) ? f (b) . 若? 是介于 f (a) 与 f (b) 之 间的任一数 ( f (a) ? ? ? f (b) 或 f (b) ? ? ? f (a)),
闭区间上连续函数基本性质——最值定理和有界性定理(老黄学高数第125讲)
. f在[a,+∞)上有界. 又问f在[a,+∞)必有最大值或最小值吗？
若M<A+ε0且m>A-ε0，则M>A-ε0且m<A+ε0， 取εM =M-(A-ε0)=M-A+ε0>0，有正数c，使x>c时，有 |f(x)-A|<εM，即A-(M-A+ε0)<f(x)<A+(M-A+ε0)=M+ε0. 由ε0的任意性可知f(x)≤M，又f在[b,c]上有最大值N， 取xM=max(M,N)，则xM为f在[a,+∞)上的最大值；
A+ε0
A
A-ε0
ab
且f在[a,+∞)一定有最大值或最小值。
1、设f在[a,+∞)上连续，且
f(x)存在. 证明：
. f在[a,+∞)上有界. 又问f在[a,+∞)必有最大值或最小值吗？
f在闭区间[a,b]⊂[a,+∞)上连续,
∴f在[a,b]上有最大值M和最小值m.
若M≥A+ε0，则M为f在[a,+∞)上的最大值；
M
A+ε0
a
b
1、设f在[a,+∞)上连续，且
f(x)存在. 证明：
. f在[a,+∞)上有界. 又问f在[a,+∞)必有最大值或最小值吗？
f在闭区间[a,b]⊂[a,+∞)上连续,
∴f在[a,b]上有最大值M和最小值m.
若m≤A-ε0，则m为f在[a,+∞)上的最小值；
A
A-ε0
m
a
b
1、设f在[a,+∞)上连续，且
证：定义函数F(x)=
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(a, b), 使 F( ) f ( ) 0, 即 f ( ) .
注意 构造辅助函数F( x)的一种方法
(1)从结论中将改写为x后，将它变为方程；
(2)则方程的一边即为F (x).
9
例4 设f ( x)在[0,2a]上连续，且f (0) f (2a)
证明 [0,a)使f ( ) f ( a)
2-8 闭区间上连续函数的性质
1
复习
1.函数在一点连续必须满足的三个条件;
f
( x)在x0处连续
lim
x x0
f (x)
f
(
x0
)
lim
x0
y
0
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )
2.间断点的分类与判别;
间断点 第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型.
x[ x1 , xn ]
则m f ( x) M , i 1,2,, n
从而 m f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) M n
12
由介值定理的推论,至少存在一点x0∈[x1,xn],使
2
第九节 闭区间上连续函数的性质 一、最大值和最小值定理
最大(小)值定义: 对于在区间I上有定义的函数 f(x)
如果有 x0 I， 使得对于任一x I， 都有 f (x) f (x0) (或
f (x) f (x0)),则称f (x0) 是函数f (x)在区间I上的最大 (小) 值.
例如, y 1 sin x, 在[0,2]上,
，3 2
无最大值有最小值0
又如： x 1, x 0,1
f ( x) 1 , x 1
x 3, x 1,2
无最大值也无最小值.
y
y f(x)
1
o
12
x
5
定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.
证 设函数f ( x)在[a, b]上连续, x [a, b],
有 m f ( x) M , 取 K max{ m , M }, 则有 f ( x) K . 函数f ( x)在[a, b]上有界. 二、介值定理
y
ymax 2, ymin 0;
y sgn x, 在(,)上 )上，ymax ymin 1.
3
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.
说明：从图形上看成立. y
即 1,2 [a, b],
y f (x)
对于 x [a,b],
证 记F ( x) f ( x) f ( x a)则 F ( x)在[0,a]上连续([0,a]即F ( x)的定义域) 且F (0) f (0) f (a) F(a) f (a) f (2a) f (a) f (0)
若f (0) f (a) 则 0即为所求
若f (0) f (a) 则F (0) F (a) 0
8
例3 设函数 f (x) 在闭区间 a,b上连续，且 f (a) a,
f (b) b. 证明 (a,b), 使得 f ( ) .
证 令 F(x) f (x) x, 则F(x)在[a, b]上连续, 而 F (a) f (a) a 0, F(b) f (b) b 0, 由零点定理,
零点定义:如果 x0满足 f (x0 ) 0，则x0称为函数 f (x) 的零点.
定理3(零点定理)设函数 f ( x)在闭区间a,b 上连续，
且 f (a)，f (b) 异号，则在开区间(a,b)内，至少存在一
点 (a b)， 使得 f ( ) 0. (又叫根的存在定理).
即:方程 f (x) 0 在(a,b) 内至少存在一个实根.
有 f (1 ) f ( x), o a
2 1 b x
f (2 ) f ( x).
注意 1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
4
y
2 1
o 12 x
如：y x 在(0,2)内
无最大值无最小值.
又如： f ( x) x x
y
1
o 12 345x
在
1 2
由零点定理知 (0,a)使F ( ) 0
即f ( ) f ( a) 总之 [0,a)使f ( ) f ( a)
10
定理4(介值定理)
设函数 f (x)在闭区间a,b 上连续，且在该区间的
端点取不同的函数值f (a) A 及 f (b) B，那么，
对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a, b)内，
至少有一点，使得 f ( ) C (a b). （证略）
几何解释:
y
M
连续曲线弧 y f (x)与 B y f ( x)
C
水平直线 y=C 至少有
a
一个交点.
o
A
x1 1 2 3 x2 b x
m
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大
值M与最小值m 之间的任何值.
11
例5 设f ( x) C([a, b]),a x1 x2 xn b,
6
几何解释:
y
连续曲线弧 y f (x) 的两
个端点位于x轴的不同侧， a o
y f(x)
b 1 2 3
x
则曲线弧与x轴至少有一个
交点.
例1 证明方程x3 4x2 1 0在(0,1)内至少有一个实根.
证 令 f (x) x3 4x2 1, 则f ( x)在闭区间[0,1]上连续, 又f (0) 1 0, 又f (1) 2 0, 由零点定理知,
证 明 至 少 存 在 一 点x0 [ x1, xn ]使 得
f ( x0 )
f ( x1 )
f (x2) n
f (xn ) .
证 因为f(x)∈C([x1,xn])，所以f(x)在[x1,xn]上有最大
值和最小值存在．
设M max f ( x), m min f ( x),
x[ x1 , xn ]
(0,1),使得 f ( ) 0, 即 3 4 2 1 0,
所以方程x3 4x2 1 0在(0,1)内至少有一个实根.
7
例2 证明方程x5 3x 1在x 1与x 2之间至少有一根. 证 令f(x)=x5-3x-1, x∈[1,2],则f(x)∈C([1,2]),
且f(1)=-3,f(2)=25, 故由零点存在定理,至少存在一点x0∈(1,2), 使得f(x0)=0, 即方程x5-3x=1在x=1与x=2之间至少有一根．
注意 构造辅助函数F( x)的一种方法
(1)从结论中将改写为x后，将它变为方程；
(2)则方程的一边即为F (x).
9
例4 设f ( x)在[0,2a]上连续，且f (0) f (2a)
证明 [0,a)使f ( ) f ( a)
2-8 闭区间上连续函数的性质
1
复习
1.函数在一点连续必须满足的三个条件;
f
( x)在x0处连续
lim
x x0
f (x)
f
(
x0
)
lim
x0
y
0
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )
2.间断点的分类与判别;
间断点 第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型.
x[ x1 , xn ]
则m f ( x) M , i 1,2,, n
从而 m f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) M n
12
由介值定理的推论,至少存在一点x0∈[x1,xn],使
2
第九节 闭区间上连续函数的性质 一、最大值和最小值定理
最大(小)值定义: 对于在区间I上有定义的函数 f(x)
如果有 x0 I， 使得对于任一x I， 都有 f (x) f (x0) (或
f (x) f (x0)),则称f (x0) 是函数f (x)在区间I上的最大 (小) 值.
例如, y 1 sin x, 在[0,2]上,
，3 2
无最大值有最小值0
又如： x 1, x 0,1
f ( x) 1 , x 1
x 3, x 1,2
无最大值也无最小值.
y
y f(x)
1
o
12
x
5
定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.
证 设函数f ( x)在[a, b]上连续, x [a, b],
有 m f ( x) M , 取 K max{ m , M }, 则有 f ( x) K . 函数f ( x)在[a, b]上有界. 二、介值定理
y
ymax 2, ymin 0;
y sgn x, 在(,)上 )上，ymax ymin 1.
3
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.
说明：从图形上看成立. y
即 1,2 [a, b],
y f (x)
对于 x [a,b],
证 记F ( x) f ( x) f ( x a)则 F ( x)在[0,a]上连续([0,a]即F ( x)的定义域) 且F (0) f (0) f (a) F(a) f (a) f (2a) f (a) f (0)
若f (0) f (a) 则 0即为所求
若f (0) f (a) 则F (0) F (a) 0
8
例3 设函数 f (x) 在闭区间 a,b上连续，且 f (a) a,
f (b) b. 证明 (a,b), 使得 f ( ) .
证 令 F(x) f (x) x, 则F(x)在[a, b]上连续, 而 F (a) f (a) a 0, F(b) f (b) b 0, 由零点定理,
零点定义:如果 x0满足 f (x0 ) 0，则x0称为函数 f (x) 的零点.
定理3(零点定理)设函数 f ( x)在闭区间a,b 上连续，
且 f (a)，f (b) 异号，则在开区间(a,b)内，至少存在一
点 (a b)， 使得 f ( ) 0. (又叫根的存在定理).
即:方程 f (x) 0 在(a,b) 内至少存在一个实根.
有 f (1 ) f ( x), o a
2 1 b x
f (2 ) f ( x).
注意 1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
4
y
2 1
o 12 x
如：y x 在(0,2)内
无最大值无最小值.
又如： f ( x) x x
y
1
o 12 345x
在
1 2
由零点定理知 (0,a)使F ( ) 0
即f ( ) f ( a) 总之 [0,a)使f ( ) f ( a)
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定理4(介值定理)
设函数 f (x)在闭区间a,b 上连续，且在该区间的
端点取不同的函数值f (a) A 及 f (b) B，那么，
对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a, b)内，
至少有一点，使得 f ( ) C (a b). （证略）
几何解释:
y
M
连续曲线弧 y f (x)与 B y f ( x)
C
水平直线 y=C 至少有
a
一个交点.
o
A
x1 1 2 3 x2 b x
m
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大
值M与最小值m 之间的任何值.
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例5 设f ( x) C([a, b]),a x1 x2 xn b,
6
几何解释:
y
连续曲线弧 y f (x) 的两
个端点位于x轴的不同侧， a o
y f(x)
b 1 2 3
x
则曲线弧与x轴至少有一个
交点.
例1 证明方程x3 4x2 1 0在(0,1)内至少有一个实根.
证 令 f (x) x3 4x2 1, 则f ( x)在闭区间[0,1]上连续, 又f (0) 1 0, 又f (1) 2 0, 由零点定理知,
证 明 至 少 存 在 一 点x0 [ x1, xn ]使 得
f ( x0 )
f ( x1 )
f (x2) n
f (xn ) .
证 因为f(x)∈C([x1,xn])，所以f(x)在[x1,xn]上有最大
值和最小值存在．
设M max f ( x), m min f ( x),
x[ x1 , xn ]
(0,1),使得 f ( ) 0, 即 3 4 2 1 0,
所以方程x3 4x2 1 0在(0,1)内至少有一个实根.
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例2 证明方程x5 3x 1在x 1与x 2之间至少有一根. 证 令f(x)=x5-3x-1, x∈[1,2],则f(x)∈C([1,2]),
且f(1)=-3,f(2)=25, 故由零点存在定理,至少存在一点x0∈(1,2), 使得f(x0)=0, 即方程x5-3x=1在x=1与x=2之间至少有一根．