非线性系统模型参数估计的算法模型
非线性参数估计的数值方法
二、遗传算法原理
遗传算法（Genetic Algorithm，GA）：起源于应用计算机模拟生 物进化系统。
基本原理：
1）将优化问题离散后的各个可行解“编码”成“个体”（或染色 体），一群个体组成“种群”； 2）将参数编码个体（如二进制字符串），各个字符（二进制码0 或1）称为“基因”； 3）父代初始种群随机产生； 4）模拟生物进化，选择“适应度”（如优化问题的目标函数）高 的个体，进行“交叉”和“变异”操作，生成子代种群。“选 择”、“交叉”和“变异”是遗传算法的三个基本操作算子； 5）对子代种群，再进行选择、交叉和变异操作，直至收敛； 6）收敛的最优个体，对应于问题的最优或次优解。
按变异概率005实施变异操作序号交叉生成种群的个体位串随机变量y的计算结果变异生成种群的个体位串实参数适应值201129999683201677998967201194999839201355999949总和平均值最大值新一代的种群3998438999610999949在此基础上再用排序选择结合精英选择确定进入交配池的种群再实施交叉和变异操作直到适应值指标或最大进化代数达到设定的要求
从输入层通过隐层到输出层的传播为： ~ R 1 ~ ~ y y R f R ( z R ) f R (W R ~ y ) f R [W R F R 1 (W R 1 ~ y R 2 )] ~ ~ f R {W R f R 1[ f 1 (W 1 x )]}
， ， ，
( yk d k ) ~ ) E E yk ( y d ) yk E ( w k k k ~ ~ ~ w y w w k k k k f ( zk ) zk f ( zk ) ~ ~ ( y d ) x δ x k k k ~ zk wk zk
hammerstein-wiener 模型原理
hammerstein-wiener 模型原理【Hammerstein-Wiener模型原理】Hammerstein-Wiener模型是一种非线性系统的数学模型，其原理基于对输入和输出信号的分析和建模。
本文将从模型的基本原理开始，逐步介绍Hammerstein-Wiener模型的构建过程和应用领域。
第一步：基本原理Hammerstein-Wiener模型是由两部分组成的级联结构。
第一部分是非线性系统，通常用一些非线性函数表示。
第二部分是线性系统，用传递函数或差分方程来描述。
整个系统的输入信号首先通过非线性系统，然后再经过线性系统，最终输出一个响应信号。
非线性系统通常由一系列非线性函数组成，可以是多项式函数、指数函数、对数函数等。
线性系统可以用传递函数或差分方程来表示，这些函数描述了输入信号和输出响应之间的线性关系。
Hammerstein-Wiener模型的核心思想是将非线性系统和线性系统进行分离，通过分别建模这两部分来获得系统的整体动态行为。
这种分离的好处在于，非线性系统和线性系统可以用不同的方法进行建模，使得整个模型更加灵活和可靠。
第二步：模型的构建构建Hammerstein-Wiener模型的第一步是确定非线性函数和线性系统的结构。
非线性函数的选择可以根据系统的特性和需求来决定，需要考虑系统的非线性程度、响应速度等因素。
线性系统的结构可以根据系统的动态特性选择合适的传递函数或差分方程。
确定了非线性函数和线性系统的结构后，下一步是参数的估计和确定。
参数的估计可以采用多种方法，如最小二乘法、最大似然估计等。
通过将输入输出数据带入模型中，可得到一组参数，使得模型的输出和实际输出之间的误差最小。
第三步：应用领域Hammerstein-Wiener模型在许多领域都有广泛的应用。
例如，工业自动化领域可以利用该模型对复杂的非线性系统进行建模和控制。
医学工程领域可以利用该模型来分析人体的生物信号，如心电图、脑电图等。
非线性系统参数识别及其应用研究
非线性系统参数识别及其应用研究
非线性系统是指其输出与输入不成比例的系统，这类系统广泛存在于各个领域中，如电力、机械、工业自动化等。
非线性系统的复杂性给系统参数识别带来了挑战。
因此，非线性系统参数识别一直是研究者们关注的问题之一。
非线性系统参数识别的目的是根据给定的数据序列，得到系统的参数估计值。
目前，常用的非线性系统参数识别方法包括最小二乘法、遗传算法等。
其中最小二乘法是一种广泛应用的参数估计方法，可以有效地解决非线性系统参数识别问题。
最小二乘法是基于误差平方和最小化的思想，通过求解目标函数的极值，得到系统参数估计值。
然而，最小二乘法在应用中存在一些问题，例如无法应对系统输出噪声、难以处理周期性信号等。
为了解决这些问题，近年来出现了一系列改进的非线性系统参数识别方法，如粒子群算法、RNA与ANN网络及其混合模型等。
这些方法在准确性与鲁棒性方面均有所提升，并逐渐得到广泛应用。
以机械领域为例，非线性系统参数识别的应用也广泛。
例如，通过参数识别，可以得到机械臂的动力学模型，从而实现精确控制。
另外，在机械设备维护领域，参数识别也可以通过监测信号变化，及时判断设备的健康状况，并进行相应的维护与修复。
总之，非线性系统参数识别是一个重要的研究方向，它有着广泛的应用前景。
随着相关算法的发展和改进，非线性系统参数识别的准确度和鲁棒性将会进一步提高，为各个领域的应用提供更好的技术支持。
非线性动力系统数学建模与分析
非线性动力系统数学建模与分析非线性动力系统数学建模与分析是一项复杂但重要的研究领域，其在许多科学和工程领域中都具有广泛的应用。
本文将对非线性动力系统的数学建模方法和分析技术进行介绍和探讨。
首先，我们来了解什么是非线性动力系统。
非线性动力系统是一类与时间相关的演化方程，其特点是其行为无法简单地由线性方程描述。
这类系统在物理、化学、生物等领域中经常出现，例如混沌系统、生态系统、自然振动等。
与线性系统不同，非线性动力系统的演化过程更加复杂和多样化，需要采用不同的数学方法进行建模和分析。
数学建模是理解和揭示非线性动力系统行为的重要方法。
在数学建模过程中，我们需要从实际问题中提取关键因素和变量，并根据物理规律和经验进行适当的假设和简化。
然后，我们可以利用微分方程、差分方程、离散映射等数学工具对系统进行描述，并得到一组模型方程。
这些方程可以是一阶或高阶的，可以是确定性的或随机的，取决于具体的系统。
通过数学建模，我们可以定量地研究系统的稳定性、周期性、混沌性等特征。
在分析非线性动力系统时，我们可以采用各种数学方法和技术。
其中一种常用的方法是定性分析，即通过对系统进行解析或数值计算，来确定系统的稳定点、周期点、极限环等。
这可以帮助我们理解系统的基本行为和动力学特性。
另一种常用的方法是定量分析，即通过计算和模拟，来得到系统的定性和定量的结果。
这包括利用数值方法解微分方程、差分方程或离散映射，以及使用计算机模拟混沌和复杂系统的行为。
同时，我们还可以使用各种动力学工具和指标，如李雅普诺夫指数、相图、分岔图等，来帮助分析和理解系统的演化过程。
除了数学工具和技术，非线性动力系统的建模和分析还需要考虑到系统的参数估计和模型验证。
这些过程可以通过实验数据的采集和处理来实现。
在参数估计中，我们可以利用系统观测数据和统计方法，通过最小二乘法等技术对模型中的参数进行估计。
然后，我们可以使用验证方法来检验模型的可靠性和适用性，如残差分析、模型比较等。
非线性模型参数估计的大洪水算法
滨江学院毕业论文题目非线性模型参数估计的大洪水算法院系大气与遥感系专业测绘工程学生姓名刘少东学号20092350012指导教师王永弟职称讲师二Ｏ一三年五月二十日目录１引言 ...................................................................................................................... - 1 -2 非线性模型参数估计.......................................................................................... - 1 -3 基本大洪水算法 .................................................................................................. - 2 -4 大洪水算法改进 .................................................................................................. - 3 -5 大洪水算法的应用实例...................................................................................... - 4 -6 结束语 .................................................................................................................. - 6 -参考文献 .................................................................................................................. -7 -致谢 .......................................................................................................................... -8 -Abstract ................................................................................................................. - 10 -非线性模型参数估计的大洪水算法刘少东南京信息工程大学滨江学院测绘工程专业，南京 210044摘要：经过两百多年的发展，线性模型参数估计理论已经非常成熟，成果丰硕。
非线性系统模型参数估计的差分进化算法
・
ｌ ７ ８・
价值 工程
非线性 系统模型参数估计 的差分进化算法
Ｄｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ Ｅｖ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ Ａｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ ｏ ｆ Ｎｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ Ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ Ｍｏ ｄ ｅ ｌ Ｐａ ｒ ａ ｍｅ ｔ ｅ ｒ Ｅｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ
ｏ ｐ ｔ ｉ ｍｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｒ ｅ ｓ ｕ ｈ ｓ ．Ｓ ｉ ｍｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｓ ｈ ｏ ｗ ｔ ｈ ａ ｔ ：ｔ ｈ ｅ ｄ ｉ ｆｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ｌ ａ ｅ ｖ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ ｐ ｒ ｏ ｖ ｉ ｄ ｅ ｓ ａ ｎ ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｉ ｖ ｅ ｗ ａ ｙ ｆ ｏ ｒ ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｐ ａ ｒ ａ ｍｅ ｔ ｅ ｒ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ，ｔ ｈ ｅ ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｐ ａ ｒ ａ ｍｅ ｔ ｅ ｒ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｃ ｃ ｕ ｒ ａ ｃ ｙ ｔ ｈ ａ ｎ ａ ｒ ｔ ｉ ｉ ｆ ｃ ｉ ｌ ａ ｎ ｅ ｕ ｒ ａ ｌ ｎ ｅ ｔ ｗｏ ｒ ｋ ｓ ，ｇ ｅ ｎ ｅ ｔ ｉ ｃ ｌｇ ａ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍｓ ｎｄ ａ
朱 晓琳 Ｚ ＨＵ Ｘ ｉ ａ ｏ － ｌ ｉ ｎ； 王志刚 ＷＡ ＮＧ Ｚ ｈ ｉ － ｇ ａ ｎ ｇ ； 夏慧 明 Ｘ Ｉ Ａ Ｈｕ ｉ — ｍｉ ｎ ｇ
一种新型的非线性系统模型参数辨识方法
种新 型 的非 线性 系统 模 型 参数 辨识 方 法
耿 永 刚
（ 州 机 电职 业 技 术 学 院 ， 苏 常 Ｊ ２３ ６ ） 常 江 ， １１４ ｉ 、 Ｉ
摘 要 ：针 对传 统 模 型 参数 辨 识 方 法 和遗 传 算 法 用 于模 型参 数 辨 识 时 的缺 点 。提 出 了一 种 基 于 微 粒群 优 化（Ｓ ） 法 的模 型 参数 辨 识 方 法 ， 用 Ｐ Ｏ算 法 强 大 的优 化 能 力 ， 过 对 算 法的 改 进 ， 过 ＰＯ算 利 Ｓ 通 将
ａ ｏ ｔｍ，ｔ ａｔ ｌ ｓ ａ ｐｉ ｉ ｔ ｎ Ｓ ）ａｇｒｈ ｓｐ ｔ ｏｗ ｒ ｏ ｉｅｔｙ ｐｒｍ ｔｒ ｏ ｈ ｏｅ ｉ ｔｉ ｐｐ ｒ Ｂ ｋｎ ｌ ｒｈ ｇｉ ｈ ｐｒｃ ｗ ｒ ｏ ｔ ｚ ｉ （ Ｏ ｌｏ ｔｍ ｉ ｕ ｒａｄ ｔ ｄ ｎｉ ａａ ｅｅｓ ｆｔｅ ｍ ｄ ｌ ｎ ｈｓ ａ ｅ． ｙｍａｉｇ ｅ ｉｅ ｍ ｍ ａｏ Ｐ ｉ ｆ ｆ
ห้องสมุดไป่ตู้
二 乘 法 ［、 大 似 然 估 计 法 ＿、 经 网络 用 于 参 数 辨 识 法 ｝、 １极 】 ２神 １ ３ ．
遗 传 算 法 【 ｓ 。 但 是 最 小 二 乘 法 和 极 大 似 然 估 计 法 都 ４１ ＿等 是 基 于 过 程 梯 度 信 息 的 辨 识 方 法 ， 前 提 是 可 微 的 代 价 其 函数 、 能 指 标 和 平 滑 的 搜 索 空 问 。 在 实 际 应 用 中 ， 性 但 由 于 获 得 的数 据 含 有 噪 声 或 所 辨 识 的 系 统 非 连 续 ， 得 这 使
ｕ ｅ ｏ ｖ ｒ ａａ ｔ ｒ ｏ ｒ ｃ ｓ ｍｏ ｅ ｓ ａ ｐ ｒ ｃｅ ｎ ｔ ｅ ｗａｍ ， ａ ｄ ｓｎ ａ ｉｌ ｗ ￣ ｓ ｔ ｓ ａ ｃ ｈ ｏ ｔ ｌ ｐ ｒ ｍｅｅ ｓ ｏ ｓ ｆ ｅ ｅ ｙ ｐ ｒ ｍｅｅ ｆ ｐ ｏ ｅ ｓ ｄ ｌ ａｔ ｌ ａ ｉ ｉ ｈ ｓ ｒ ｎ ｕ ｉ ｇ ｐ ｒ ｃ ｅ ｓ ａ ｏ ｅ ｒ ｈ ｔ ｅ ｐ ｉ ａ ａ ｔｒ ｆ ｔ ｍａ
模型参数辨识方法
模型参数辨识方法1.最小二乘法（Least Squares Method）最小二乘法是一种常用的参数辨识方法，它通过最小化观测数据与模型预测值之间的平方误差来确定模型的参数值。
最小二乘法可以用于线性和非线性模型。
对于线性模型，最小二乘法可以直接求解闭式解；对于非线性模型，可以使用数值优化算法进行迭代计算。
2.极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）极大似然估计是一种常用的统计推断方法，也可以用于模型参数辨识。
该方法假设观测数据满足一些统计分布，通过最大化观测数据出现的概率来估计参数值。
具体方法是构造似然函数，即给定观测数据下的参数条件下的概率密度函数，并最大化该函数。
3.贝叶斯推断（Bayesian Inference）贝叶斯推断是一种基于贝叶斯定理的统计推断方法，它通过先验分布和观测数据的条件概率来更新参数的后验分布。
贝叶斯推断可以通过采样方法如马尔科夫链蒙特卡洛（MCMC）来计算参数的后验分布，进而得到参数的估计值和置信区间。
4.参数辨识的频域方法频域方法在信号处理和系统辨识中应用广泛。
它基于信号的频谱特性和一些假设，通过谱估计方法如传递函数辨识和系统辨识，来推断模型的参数。
典型的频域方法有最小相位辨识、系统辨识的频域特性估计等。
5.信息矩阵（Information matrix）和似然比检验（Likelihoodratio test）信息矩阵和似然比检验是统计推断中的基本工具，也可以用于模型参数辨识。
信息矩阵衡量了参数估计的方差和协方差，可以通过信息矩阵来进行参数辨识的有效性检验。
似然比检验则是比较两个模型的似然函数值，用于判断哪个模型更好地解释观测数据。
总之，模型参数辨识是通过观测数据，推断出模型的参数值。
常用的方法包括最小二乘法、极大似然估计、贝叶斯推断、频域方法和信息矩阵等。
在实际应用中，选择合适的参数辨识方法需要考虑模型的特点、数据的性质以及求解的复杂度等因素。
基于粒子群优化算法的非线性系统模型参数估计
、
，
从 而 直接对 解 群进 行 操作
，
。
可看出 是
，
，
一
个 惯 性 环 节加纯 时滞模 型 待估 计 的参数是
，
基于粒子群优 化 算法 的 非线性 系统 模 型 参数 估
出
，0
，
比例系数 K 惯性 系数 T 和 时滞系数
T
。
计 方法
1 问题 的提
．
一
例
般非 线性 系统模 型 可 用 下 式表示 ： 定 适 应 函 数 ：在 已 知 各 参 数 值 的 基 础 上 基 于 式 f 1 )
v
则需 确定
一
些采样点
，
，
以 采样 点 的输 出数值 为根 据进 行 参数
，
可 通 过 仿 真 实 验求 得 各个 时 间 的 系 统 输 出数 值
(t1
。
而 辨识
估计
2= 2
。
如 系 统 离 散 则 只需 确 定 时 间 采 样 范 围 即 可 如 例 2 在
。
，
的 目 的 就 是 要 使 求 得 的 系 统 输 出数 值 y (t ) 尽 量 接 近 已 知 的 系
仿真 实验 中 参数设 置 如 下
e
。
：
这 个 实例取 学 习 因 子
c
l
=
l
：5
，
统 输 出 数 值 y O(t ) 越 接 近 说 明 仿 真 的 效 果 越 好 也 就 证 明仿 真所 用 的 组 参数 更 接 近 实 际 参 数 值 因此 应使 这 组 参数对
能够在
80
一
定 空 间 探 索 更 好 的解
，
数学模型种类
数学模型种类常见的数学模型种类有线性模型、非线性模型、离散模型、连续模型、随机模型等。
下面将分别对这些数学模型进行介绍。
一、线性模型线性模型是一类广泛应用于各个领域的数学模型。
它的特点是模型的输出是输入变量的线性组合。
线性模型可以通过最小二乘法等方法拟合数据，求解模型的参数。
线性回归是线性模型的一个典型应用，它可以用于预测因变量和自变量之间的线性关系。
二、非线性模型与线性模型不同，非线性模型的输出不是输入变量的线性组合。
非线性模型在描述实际问题时更加准确，可以模拟更为复杂的现象。
常见的非线性模型有指数模型、幂函数模型、对数模型等。
非线性模型的求解通常需要使用数值方法，如牛顿法、拟牛顿法等。
三、离散模型离散模型是指模型中的自变量和因变量都是离散的情况。
离散模型常用于描述离散事件的发展规律，如排队论、图论等。
排队论可以分析队列长度、等待时间等指标，用于优化服务系统的设计。
图论可以描述节点和边之间的关系，用于解决网络优化问题。
四、连续模型与离散模型相反，连续模型中的自变量和因变量都是连续的情况。
连续模型常用于描述连续变量之间的关系，如物理学中的运动模型、经济学中的供需模型等。
运动模型可以描述物体在空间中的运动轨迹和速度变化规律，供需模型可以描述商品价格和需求量之间的关系。
五、随机模型随机模型是考虑随机因素的数学模型。
随机模型的输出具有一定的随机性，可以用概率分布来描述。
随机模型常用于风险评估、金融建模等领域。
蒙特卡洛方法是随机模型求解的一种常用方法，通过随机抽样来估计模型的输出。
线性模型、非线性模型、离散模型、连续模型和随机模型是常见的数学模型种类。
每种模型在不同领域和问题中都有其独特的应用价值。
在实际问题中，根据问题的特点选择合适的数学模型，可以更好地解决问题并得到准确的结果。
非线性回归模型参数估计方法研究——以C-D生产函数为例
线性 回归模 型 ， 些 可 以采用 变量 代 换 将 其 化为 线 有
性 回归模 型进 行 参数 估 计 ， 些 则 不 能通 过 变 量 代 有
其 化为标 准 的线性 模型
ｌ ＝ Ｉ ＋ ａｎ ＋ｆｎ ＋ ｎ ｎ Ａ ＩＫｔ ｌ Ｌ￡ ｌ （） ２
换 化为 线性模 型 。 不论 哪 一 类 非 线性 回归 模 型 ， 根 据 现在 的计算技 术 ， 很 容 易 用 非 线性 最 小 二 乘 法 都
（ Ｓ 进行参 数估 计 。对 可线性 化 的非线 性 回归 模 ＮＬ ）
由于 Ｕ 满 足经典 假设 ， 根据 高斯 一 马 尔可夫 定理 ， 用线 性 最 小 二 乘 法 （ Ｌ ）估 计 式 （）时 ， 计 量 ＬＳ ２ 估 ｌＡ、 服 从 正 态 分 布 ，是 最 优 线 性 无 偏 估 计 ｎ 占、 （Ｌ Ｂ ＵＥ）然 而 ， 的估 计为Ａ ＝ ｅＡ， 服从正 态分 。 Ａ ｌ 不 ｂ
Ａ Ｔｆ即ｆ／Ａ Ｔｆ接近０所以式（） ＫＬ ， Ａ （ ＫＬ ） ｔ ， ６ 中的误差
项展 开推导 如下 ：
１ ／）赢 ～ ＋Ａ ＝ ｔ ＋ ｔ １ ） ｕ
… ≈
ｕ ｔ
（） ７
参数估计量不同， 认为 由式（） １ 到式（ ） ２ 的线性化过 程不成 立 。 际 上 ， 献 ［］４ 实 文 ３ ［ ］的结 论 都基 于 以下
回归分 析 是计 量 经 济学 的基 本 内容 之 一 ， 在各
种实 际问题 中有 广泛应 用 。计 量经 济学对 线性 回归 模型参 数估计 量 的 性 质 已经 进 行 了系统 、 整 的论 完
述， 而对 非 线性 回归模 型 ， 一些 文献 仅对估 计量 的渐 近性质 有些 论述 ｕ ， 它性 质 的论 述很 少 。对 于非 其 Ｊ
非线性系统模型参数估计的算法模型
ｕｏ ） ～ （１ （１， ｕｏ ） ， ，为两个相互独立的随机函数。为了减小
收稿 日期 ：０ 卜１— ５ ２１ ２０ 作者简介 ： 魏振方（９ ３） 男， １ ７一 ， 硕士， 主要研 究方 向： 人工智能及应用 。
计算机 时代 ２ １ 年 第 ４期 ０２
在进化过 程 中粒子离开搜 索空间的可能性 ， ｖ通常限定于一定
到满 意解或达 到最 大的迭代次数 为止（ 的位置 即是要 寻找 粒子 基本相 同 ， 应值很难进一步提高为止 。 适 的解） 。因此 ， 粒子 群优 化算 法具 有多 点 寻优 、 行处 理 等特 并
点。而且粒子群优化算法 的搜 索过程是从初始解群开始 ， 以模 ２ 仿 真研 究 型对 应 的适 应 函数 作为寻优 判据 ， 从而直 接对解群进 行操作 ，
０ 引言
踪两个” 极值” 来更新 自己 ， 第一个就是粒 子本身所找到 的最优
这个解 叫做个体极值 ｐ ｅｔ另一个 极值是整个种群 目前找 Ｂ ｓ， 非线性 系统 广泛地 存在于人 们的生产生 活 中 ， 但是 ， 前 解 ， 目 到的最优 解 ， 这个 极值是全 局极值 ｇ ｅｔ Ｂ ｓ。另外也可 以不 用整 我们对非 线性系统 的认识还不够 深入 ， 不能像 线性系统那 样 ， 那么在所 有邻居 把 所涉及的模型全部规范化 ， 从而使辩识方法也规范化 。非线 个 种群而只是用其 中一部分作 为粒 子的邻居 ， 是模拟 自然 界生物的群 性模型的表达方式相对 比较复杂 ， 前还很少有人研究 各种表 中的极值就是局部极值 。其基本思想 目 即从一 组初 始解 群开始 迭 达方式是 否存在等效 关系 ， 因此 ， 时还 没有找到 对所有非 线 体行 为来构 造解 的随机 优化 算法 ， 暂 代， 逐步 淘汰 较差 的解 ， 生更好 的解 ， 产 直到满 足某 种收敛 指 性模型都适用的参数模型估计方法ｕ 。如果能 找到 一种不依赖 即得到了 问题 的最优 解 。假设在 一个 ｎ 维的 目标搜 索空间 于非线性 模型 的表 达方式 的参数估计方 法 ， 那么 ， 也就找到 了 标 ， 中， ｍ个粒子组 成一个 群落 ， 中第 ｉ 有 其 个粒子在 ｎ 维搜 索空 间 对一般非线性模 型系统进行参数估计的方法 。 粒子群优化算 法 Ｐ ｒｃ ｗ ｒ Ｏ ｔ ｚｔｎ 简称 Ｐ Ｏ） （ａｔ ｌ Ｓ ａｍ ｐｉ ｉ ， ｉｅ ｍａ ｏ Ｓ 中的位置表 示为一个 ｎ 向量 ， 维 每个粒 子的位置代表一个 潜在 是由 Ｋ ｎ ｅ ｙ ｅ ｎｄ 博士和 Ｅ ｅｈｒ博士于 １９ 年提出的一种基于群 的 解 。 设 ｘ （ｉ Ｘ２…， ）为 粒 子 ｉ的 当 前 位 置 ； ｂｒａ ｔ ９５ ｉ Ｘｌ ｉ ， ， ｘ 体智能 的优化算法 ， 源于对 鸟群 群体运动 行为的研究 ， 它 即粒 ｖ （ ｌＶ。… ， ｉ 为 粒 子 ｉ 当 前 飞 行 的 速 度 ； ｉ ｖ ｉ Ｖ ， ， ） 子群优化算法模拟 鸟群 的捕 食行 为。设想这样一个场景 ： 一群 ｐ ， ｐ 为粒 子 ｉ 所经历 的最好位置 ， 也就 是粒子 ｉ 鸟在随机 搜索食物 ， 这个 区域 里只有一块 食物 ， 在 所有 的鸟都 ｐ （ ｐｚ… ， ） 不知 道食 物在 那里 ， 是他们 知道 当前 的位置离 食物 还有 多 所 经 历 过 的 具 有 最 好 适 应 值 的 位 置 ， 为个 体 最优 位 置 ； 但 称 远， 那么找到食物的最优策略是什么呢 ？最简单有效 的方法就 是搜 寻 目前离 食物最近 的鸟的周 围区域 。粒子群 优化算 法从 这种模 型 中得 到启示并 用于解决一些优 化 问题 。粒子群优 化 优位置 ， 为全局最优位置 。将 ， 称 带入 目标 函数计算 出其适应 算法 中 ， 每个 优化 问题 的解都是搜 索空 间中的一只 鸟 ， 我们称 值 ， 据适应值 的大小可 以衡量 ， 根 的优 劣。每个粒子 的位置和 之 为 “ 子” 粒 。所有 的粒 子都有一个 由被优化 的函数决 定的适 速度按下文 中式（） ４两个公式迭代求得 。用ｊ ３和（） 表示粒子 的第 应值（ｔ ｓ ｖｌ ） ｉ ｆ ｅｓ ａ ｅ， ｎ ｕ 每个粒 子还 有一个速度决定他 们飞翔的方 Ｊ ０ １ ２ … ，）ｉ 维 ＝ ， ， ｎ ，表示 第 ｉ 个粒 子（ ｌ ， ， ，表 示第 ｔ ， ｉ ， … ｍ）ｔ ＿２ 代
非线性控制系统的参数辨识方法研究
非线性控制系统的参数辨识方法研究概述非线性控制系统的参数辨识是实现系统准确控制的重要步骤之一。
参数辨识方法通过对系统进行实验观测，识别出系统的参数，从而建立准确的控制模型。
在非线性控制系统中，系统的动态行为和稳态特性通常由一系列非线性参数来描述，这使得系统辨识变得更加具有挑战性。
本文将介绍几种常见的非线性控制系统参数辨识方法。
1. 系统辨识的基本原理系统辨识旨在通过观测系统的输入和输出数据来估计系统的模型参数。
一个非线性控制系统通常由状态方程、输出方程和非线性函数构成，其中非线性函数描述系统的非线性特性。
参数辨识的目标是确定非线性函数中的参数，从而实现对非线性控制系统的准确控制。
2. 非线性系统的参数辨识方法2.1 线性化方法线性化方法是一种常见且有效的非线性系统参数辨识方法。
该方法基于系统的局部线性化模型，通过将非线性系统近似为线性系统来进行参数辨识。
线性化方法的核心思想是在每个工作点处对非线性系统进行线性化，然后利用线性系统参数辨识的方法进行求解。
但是，这种方法要求系统在工作点附近具有较小的变化范围，对于具有大幅度非线性的系统可能会导致辨识结果的不准确。
2.2 非线性最小二乘法非线性最小二乘法是一种广泛使用的非线性系统参数辨识方法。
该方法通过最小化测量数据与非线性模型方程之间的误差平方和，来确定最优参数值。
非线性最小二乘法可以通过迭代优化算法进行求解，例如Levenberg-Marquardt算法。
这种方法对于具有各种非线性特性的系统辨识较为适用，但计算复杂度较高。
2.3 支持向量机方法支持向量机（SVM）方法是一种基于统计学习理论的非线性系统参数辨识方法。
该方法通过构建分类决策函数，将参数辨识问题转化为一个最优化问题。
支持向量机方法通过构建核函数将非线性系统映射到高维空间，从而实现对非线性系统的参数辨识。
SVM方法具有较好的辨识性能和鲁棒性，适用于复杂的非线性系统。
2.4 非线性滤波方法非线性滤波方法是一种将滤波技术与参数辨识相结合的方法。
基于改进差分进化算法的非线性系统模型参数辨识
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｅ ｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｒ ｅ ｇ ｒ ｅ ｓ ｓ ｉ ｏ ｎ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｐ ａ ｒ ａ ｍｅ ｔ ｅ ｒ ｓ ｉ ｓ ａ ｔ ｏ ｕ ｇ ｈ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ， ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｐ ｒ ｏ ｐ ｏ ｅ ｓ ｄ ａ ｎ ｉ ｍｐ ｒ ｏ ｖ ｅ ｄ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｅ ｖ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ ｆ ｏ ｒ ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｐ ａ ｒ ａ ｍｅ ｔ ｅ ｒ ｉ ｄ ｅ ｎ ｔ ｉ ｉ ｆ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ． Ｉ ｔ ｉ ｎ ｔ ｒ ｏ ｄ ｕ ｃ ｅ ｄ ａ ｎ ａ ｄ ａ ｐ ｔ ｉ ｖ ｅ ｍｕ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
关 键词 ：差分进 化算 法 ；非线性 系统 ；参数辨 识 ；发 酵过程 中图分类 号 ：Ｔ Ｐ １ ８ 文献标 志码 ：Ａ 文章编 号 ：１ ０ ０ １ ・ ３ ６ ９ ５ （ ２ ０ １ ４） ０ １ — ０ １ ２ ４ — ０ ４
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ＠ ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ １ — ３ ６ ９ ５ ． ２ ０ １ ４ ． ０ １ ． ０ ２ ９
熊 伟 丽 ，陈敏 芳 ，张 乾 ，徐 保 国
（ 江南大 学 ａ ． 教 育部轻 工过程先 进控 制重点 实验 室 ；ｂ ． 物联 网工程 学 院 ，江 苏 无锡 ２ １ ４ １ ２ ２ ）
matlab系统辨识工具箱使用的算法
matlab系统辨识工具箱使用的算法MATLAB的系统辨识工具箱使用多种算法来进行系统辨识。
这些算法通常包括以下几种：
1. 最小二乘法（Least Squares）：这是最常用的系统辨识方法。
最小二乘法试图找到一组参数，使得实际数据和模型预测之间的误差平方和最小。
2. 极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）：这种方法基于数据生成的模型概率密度函数，通过最大化似然函数来估计模型参数。
3. 递归最小二乘法（Recursive Least Squares）：这是一种在线算法，可以在数据流中实时更新模型参数。
4. 扩展最小二乘法（Extended Least Squares）：这种方法可以处理包含噪声和异常值的数据，通过引入权重来调整误差平方和。
5. 非线性最小二乘法（Nonlinear Least Squares）：对于非线性系统，需要使用非线性最小二乘法来估计参数。
6. 遗传算法（Genetic Algorithms）：这是一种启发式搜索算法，通过模拟自然选择和遗传过程来寻找最优解。
7. 粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization）：这是一种基于群体智能的优化算法，通过模拟鸟群、鱼群等生物群体的行为来寻找最优解。
以上这些算法都是MATLAB系统辨识工具箱中常用的算法，根据具体的问题和数据，可以选择最适合的算法来进行系统辨识。
rls算法和ekf算法
RLS算法（Recursive Least Squares Algorithm）RLS算法是一种自适应滤波算法，用于系统辨识和信号处理中的参数估计。
它通过递归更新的方式，根据当前观测到的输入和输出数据，以最小化均方误差的准则来估计系统的参数。
具体来说，RLS算法使用最小二乘法的思想，在每个时间步骤上根据当前的输入和输出数据计算一个权重向量，该权重向量表示了系统参数的估计。
然后，通过更新这个权重向量，使得下一时间步骤的估计结果更加准确。
RLS算法的主要特点是具有快速收敛速度和良好的稳定性。
它能够在动态环境中进行在线估计，并且对非线性和时变系统也有一定的适应能力。
然而，由于需要存储和更新协方差矩阵，RLS算法的计算复杂度较高。
EKF算法（Extended Kalman Filter Algorithm）EKF算法是一种非线性滤波算法，是基于卡尔曼滤波算法（Kalman Filter）的扩展版本。
它通过线性化非线性系统模型，将卡尔曼滤波算法应用于非线性系统的状态估计问题。
具体来说，EKF算法使用一个线性化的状态转移函数和观测函数来近似非线性系统的动态过程和测量方程。
然后，通过卡尔曼滤波算法中的预测和更新步骤，以最小化预测与观测之间的误差来估计系统的状态。
EKF算法的主要特点是能够对非线性系统进行较好的估计，同时具有一定的适应能力。
它被广泛应用于机器人导航、目标跟踪、传感器融合等领域。
然而，由于需要进行系统模型的线性化，EKF算法对于高度非线性的系统可能存在精度损失的问题。
此外，它还对初始状态的选择和噪声统计特性的准确性要求较高。
综上所述，RLS算法和EKF算法都是常用的参数估计算法，分别适用于线性和非线性系统。
选择哪种算法取决于系统模型的特性以及实际应用的需求。
1。
基于改进微粒群算法的非线性系统模型参数估计
力 与局部搜 索能 力 两 者之 间 取 得 平衡 ， 准 确有 效 在
寻找最 优解 中是非 常重要 的 。
数值试验 表 明 ， 行之 有 效 的方 法 是在 初 始 化 时， 取较大 的值 以加 快全 局搜索 ， 随后将 逐 代减小 以获得更精 细 的结 果 。但 是 ， 时取 得较 大之 间的平衡 ， 使之较快 并 地 达到最优解 ， Ｐ Ｏ的文献 中并 没有说明。现提 出 在 Ｓ
神 经 网络 进行 系统 参数 辨识 虽 然具 有 以任 意 精度 逼 近非 线性 函数 的能力 ， 但是 在实 际应 用 中 ， 有选 择 只
典型 的非 线性 系统模 型参数 估计 中 ， 真结果 表 明该 仿 优化算法 优化 效 率高 、 数估 计 精 度优 ， 参 是一 种 有 效
的非线性 系统模型 参数估计方法 。
验结果表 明： 改进微粒群优化算法参数估计 精度 高 ， 一种 有效 的参数估 计方法。 是 关键词 微粒群优 化 非线性系统 参数估 计
中图法分类号
Ｔ１； Ｐ ８
文献 标志码
Ａ
非线 性模 型参 数估 计一 直 是控 制 领域 研 究 的重 要 问题 。 目前 常用 的控制 系统 参数 优 化方 法 有最 小 二 乘法 、 大似然 法 、 极 神经 网络法 、 传 算 法 等 遗 。
洁、 具有深刻的智能背景等特点 ， 既适合科学研究 ， 又
特别适合 工程应用 ， 陆克 中等人 把 Ｐ Ｏ算 法用 于非 故 Ｓ 线性控制 系统 参 数估 计 ， 到 了较好 的结果 ， 误差 得 但
还是偏 大。 因此 本 文 提 出非 线性 控 制 系统 参数 估 计 的改进 微粒群算法 （Ｐ Ｏ 。文 中将 ＩＳ ￣Ｓ ） Ｐ Ｏ用 于 ３个
参数模型 近似算法
参数模型近似算法
参数模型是一种使用数学函数来描述系统或过程的方法，其中函数的参数通常是通过数据进行估计或拟合得到的。
近似算法是一种用于计算参数模型的方法，它可以在不需要精确计算的情况下提供模型的近似结果。
以下是一些常见的参数模型近似算法：
1. 线性回归：线性回归是一种常用的参数模型，用于建立自变量和因变量之间的线性关系。
它通过最小化误差平方和来估计模型的参数。
2. 最小二乘法：最小二乘法是一种用于拟合参数模型的常用方法。
它通过最小化模型预测值与实际值之间的平方差来确定模型的参数。
3. 梯度下降法：梯度下降法是一种迭代算法，用于寻找函数的最小值。
在参数模型的情况下，可以使用梯度下降法来更新模型的参数，以最小化模型的损失函数。
4. 牛顿法：牛顿法是一种基于导数的迭代算法，用于寻找函数的根或最小值。
在参数模型的情况下，可以使用牛顿法来更新模型的参数，以最小化模型的损失函数。
5. 随机梯度下降法：随机梯度下降法是一种基于随机抽样的梯度下降法，用于处理大规模数据集。
它通过随机选择数据样本进行梯
度计算和参数更新，以提高计算效率。
这些近似算法可以用于不同类型的参数模型，如线性模型、非线性模型、分类模型等。
选择合适的近似算法取决于模型的特性、数据的大小和计算资源的限制等因素。
第四节 非线性回归模型的参数估计 (赵)
（2）利用NLS命令也可以估计可线性化的非线性回归 模型；例如，对于倒数变换模型和对数函数模型，可 以直接键入： NLS NLS Y＝C(1)＋C(2)／X Y＝C(1)＋C(2)*log(X)
但迭代估计是一种近似估计，并且参数初始值和误差 精度的设定不当还会直接影响模型的估计结果。因此， 对于可线性化的非线性模型，最好还是将其转化成线 性模型进行估计。
我国国有工业企业生产函数（ ）。例 例6 我国国有工业企业生产函数（例4续）。例4中曾估计 出我国国有独立核算工业企业的线性生产函数， 出我国国有独立核算工业企业的线性生产函数，现建立 Cobb-Dauglas）生产函数： C-D（Cobb-Dauglas）生产函数： 转化成线性模型进行估计： （1）转化成线性模型进行估计： 在模型两端同时取对数， 在模型两端同时取对数，得： lny=lnA+αlnL+βlnK+ε 因此， Eviews软件的命令窗口中依次键入以下命令 软件的命令窗口中依次键入以下命令： 因此，在Eviews软件的命令窗口中依次键入以下命令： GENR LNY = log(Y) GENR LNL = log(L) GENR LNK = log(K) LS LNY C LNL LNK
例6 我国国有工业企业生产函数（例4续）。例4中曾 估计出我国国有独立核算工业企业的线性生产函数， 现建立C-D（Cobb-Dauglas）生产函数：
Y = ALα K β eε
（方法1）转化成线性模型进行估计： 在模型两端同时取对数，得：
ln y = ln a + α ln 窗口中点击Procs\ Make Equation； （2）在弹出的方程描述对话框中输入非线性回归 模型的具体形式： Y= C(1)*(X-C(2))/(X-C(3)) （3）选择估计方法为最小二乘法后点击OK。 说明： （1）在方程描述窗口中点击按纽Options，可以设置迭 代估计的最大迭代次数（Max Iterations）和误差精度 （Convergence），以便控制迭代估计的收敛过程。
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非线性系统模型参数估计的算法模型摘要：针对非线性系统模型的多样性，提出了适用于多种非线性模型的基于粒子群优化算法的参数估计方法。
计算结果表明，粒子群优化算法是非线性系统模型参数估计的有效工具。
关键词：粒子群优化算法；非线性系统；参数估计；优化abstract： aiming at the diversity of nonlinear system model, it is proposed in this article a parameter estimation method based on particle group optimization algorithm that is applicable to a variety of nonlinear models. the result shows that the particle group optimization algorithm for parameter estimation of nonlinear system model is an effective tool. key words： particle group optimization algorithm；nonlinear system； parameter estimation； optimization0 引言非线性系统广泛地存在于人们的生产生活中，但是，目前我们对非线性系统的认识还不够深入，不能像线性系统那样，把所涉及的模型全部规范化，从而使辩识方法也规范化。
非线性模型的表达方式相对比较复杂，目前还很少有人研究各种表达方式是否存在等效关系，因此，暂时还没有找到对所有非线性模型都适用的参数模型估计方法[1]。
如果能找到一种不依赖于非线性模型的表达方式的参数估计方法，那么，也就找到了对一般非线性模型系统进行参数估计的方法[2]。
粒子群优化算法[3](particle swarm optimaziton，简称pso)是由kennedy博士和eberhart博士于1995年提出的一种基于群体智能的优化算法，它源于对鸟群群体运动行为的研究，即粒子群优化算法模拟鸟群的捕食行为。
设想这样一个场景：一群鸟在随机搜索食物，在这个区域里只有一块食物，所有的鸟都不知道食物在那里，但是他们知道当前的位置离食物还有多远，那么找到食物的最优策略是什么呢？最简单有效的方法就是搜寻目前离食物最近的鸟的周围区域。
粒子群优化算法从这种模型中得到启示并用于解决一些优化问题。
粒子群优化算法中，每个优化问题的解都是搜索空间中的一只鸟，我们称之为“粒子”。
所有的粒子都有一个由被优化的函数决定的适应值(fitness value)，每个粒子还有一个速度决定他们飞翔的方向和距离。
然后粒子们就追随当前的最优粒子在解空间中搜索。
粒子群优化算法将粒子解初始化为一群随机粒子(随机解)，然后通过迭代找到最优解。
在每一次迭代中，粒子通过跟踪两个”极值”来更新自己，第一个就是粒子本身所找到的最优解，这个解叫做个体极值pbest，另一个极值是整个种群目前找到的最优解，这个极值是全局极值gbest。
另外也可以不用整个种群而只是用其中一部分作为粒子的邻居，那么在所有邻居中的极值就是局部极值。
其基本思想[4]是模拟自然界生物的群体行为来构造解的随机优化算法，即从一组初始解群开始迭代，逐步淘汰较差的解，产生更好的解，直到满足某种收敛指标，即得到了问题的最优解。
假设在一个n维的目标搜索空间中，有m个粒子组成一个群落，其中第i个粒子在n维搜索空间中的位置表示为一个n维向量，每个粒子的位置代表一个潜在的解。
设为粒子i的当前位置；为粒子i当前飞行的速度；为粒子i所经历的最好位置，也就是粒子i所经历过的具有最好适应值的位置，称为个体最优位置；为整个粒子群直至当前时刻搜索到的最优位置，称为全局最优位置。
将带入目标函数计算出其适应值，根据适应值的大小可以衡量的优劣。
每个粒子的位置和速度按下文中式⑶和⑷两个公式迭代求得。
用j表示粒子的第j维(j=1，2，…，n)，i表示第i个粒子(i=1,2，…，m)，t表示第t代，c1、c2为加速度常数，通常在0～2间取值，c1调节粒子向自身最优位置飞行的步长，c2调节粒子向全局最优位置飞行的步长。
，为两个相互独立的随机函数。
为了减小在进化过程中粒子离开搜索空间的可能性，vij通常限定于一定范围内，即。
如果问题的搜索空间限定在内，则可设定。
迭代中若粒子的位置和速度超出了限定范围，则取边界值。
代表第i个粒子在t时刻位置到直至t时刻搜索到的最优位置的距离，代表第i个粒子在t时刻位置到整个粒子群直至t时刻搜索到的最优位置的距离。
公式⑵用于计算粒子的速度，如当前是t时刻，则粒子在t+1时刻速度是由当前时刻的速度、当前位置与该粒子的局部最优位置的距离、当前位置与全局最优位置的距离共同决定的；公式⑶用于计算粒子速度更新后的位置，它由粒子当前位置和粒子更新后的速度决定。
所有粒子的初始位置和速度随机产生，然后根据上述两个公式进行迭代，不断变化它们的速度和位置，直到找到满意解或达到最大的迭代次数为止(粒子的位置即是要寻找的解)。
因此，粒子群优化算法具有多点寻优、并行处理等特点。
而且粒子群优化算法的搜索过程是从初始解群开始，以模型对应的适应函数作为寻优判据，从而直接对解群进行操作，而与模型的具体表达方式无关。
这就决定了粒子群优化算法可适用于一般非线性系统模型的参数估计。
1 基于粒子群优化算法的非线性系统模型参数估计方法1.1 问题的提出一般非线性系统模型可用式⑴表示。
⑴式中，y(t)为系统输出向量；u(t’)为系统输入向量，0≤t’≤t；，θ为待定参数向量。
f的形式已知，且u(t’)已知。
现已知y(t)的一组实际测量的离散数据y0(t)，t=1,2，…，n。
要求根据已知的y0(t)的值估计出θ的值。
为了能够进行辩识，式⑴所代表的非线性系统模型还必须满足以下假设：①y必须可测；②每个参数必须与输出y有关，即参数可估计；③系统的信噪比足够大，以至噪声可忽略不计；④只要参数确定，通过系统仿真可得到确定的输出值；⑤系统在有限时间t 内不发散，即y值不趋于无穷大。
1.2 基于粒子群优化算法的参数估计方法本文用一种改进粒子群优化算法自动寻找θ。
具体步骤如下。
⑴确定适应函数：在已知各参数值的基础上，基于式⑴，可通过仿真实验求得各个时间的系统输出数值y(t)。
辨识的目的是要使求得的系统输出数值y(t)尽量接近已知的系统输出数值，越接近说明仿真的效果越好，也就证明仿真所用的一组参数更接近实际参数值，因此应使这组参数对应的粒子群个体具有更小的适应值。
所以，我们取y(t)曲线与y0(t)曲线之间距离的为适应值，即：⑵⑵随机产生n个θ。
⑶计算适应值fi，再根据式⑵中确定的适应函数计算出各个θ对应的适应值fi。
⑷计算每个粒子的适应值。
⑸对于每个粒子，将其适应值与所经历过的最优位置的适应值进行比较，若较好，则将其作为当前的最优位置。
⑹对于每个粒子，将其适应值与全局所经历的最优位置的适应值进行比较，若较好，则将其作为当前的全局最优位置。
⑺根据下面2个公式对粒子的速度和位置进行更新；⑶⑷⑻如未达到结束条件（通常为足够好的适应值）或达到一个预设最大代数gmax，则返回步骤2 直至算法收敛，即所有个体基本相同，适应值很难进一步提高为止。
2 仿真研究为了体现粒子群算法能适用于多种非线性系统模型的优点，我们分别以非线性系统的传递函数模型[5]，非线性系统的状态空间模型及在非线性系统研究中应用较为广泛的hammerstein 模型[6]为例进行仿真研究。
传递函数模型的形式如下：可以看出，这是一个惯性环节加纯时滞模型，待估计的参数是比例系数k，惯性系数t 和时滞系数τ。
在仿真实验中，参数设置如下：学习因子c1=1.5，c2=2.5，惯性权重,t为最大代数,t为当前进化代数，在这里w将随着迭代次数的增加而逐渐减小，当w小于0.4时，将令w=0.4，即不再减小，以保证迭代后期粒子能够在一定空间探索更好的解。
它们的群体规模是100，其他参数不变。
在搜索过程中，以100代为上限(实际上，迭代50～80次即可得到满意结果)。
仿真结果如表1所示。
表1 例1 参数估计结果[[\&k\&t\&τ\&真实值\&10\&5\&9\&估计值\&10\&511\&9\&]] 在例1的仿真实验中，因为模型结构简单，待定参数较少，应用粒子群算法搜索较为容易，所以为了提高运算速度，参数精度定得较底，仅为小数点后一位，但从搜索结果来看，参数估计是令人满意的。
实验说明了以下几点：①用粒子群优化算法进行参数估计是有效的；②在模型较简单，需要估计的参数较少时，用粒子群优化算法进行参数估计可达到比较满意的精度。
3 结束语本文在利用粒子群优化算法对非线性系统模型参数估计方面作了一些尝试，得到了比较满意的结果。
仿真实验结果表明，粒子群优化算法切实可行，对非线性系统模型参数估计具有一定的实际价值和理论意义。
参考文献：[1] 徐南荣,宋文忠, 夏安邦. 系统辨识[m].1991.[2] goldberg d e genetic algorithms in search ,optimization [m] and machine learning[m] .reading ,ma :addison2wesley,1989.[3] kennedy j, eberhart r c.particle swarmoptimization[c].in: ieeeinternational conference on neural networks.perth, piscataway, nj, australia:ieee service center, 1995; iv: 1942～1948[4] 张鸿宾,郭建军, 遗传算法在曲线多边形近似中的应用[j].计算机学报,1999.10:1100~1104[5] 方菲等.基于测试执行的失效数据建模研究[j].软件学报,1999.12:1233~1237[6] 郑人杰.计算机软件测试技术[m].清华大学出版社,1992.。