小学四年级下册奥数题-第一讲高斯求和

练一练：
⑴计算3＋7＋11 ＋ …＋43＋47的和 解：（47－3)÷4＋1
＝44÷4＋1 ＝11＋1 ＝12
3＋7＋11 ＋ …＋43＋47 ＝(3＋47)×12÷2 ＝50×12÷2 ＝600÷2 ＝300
练一练：
⑵计算5＋10＋15 ＋ …＋90＋95＋100的和 解：（100－5)÷5＋1
小学四年级奥数教程
高斯求和
高斯的故事
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人。大约10岁时，老师在 算术课上出了一道难题：“把1到100的整数写下来，然后把它们加 起来！”每当有考试时他们班有如下的习惯：第一个做完的就把石 板（当时通常用于写字）面朝下地放在老师的桌子上，第二个做完 的就把石板摆在第一张石板上，就这样一个个落起来。这道难题当 然难不倒学过算术级数的人，但对于刚学算术不久的孩子来说，难 度较大。老师心想：终于可以休息一下了！但他错了，因为还不到 几秒钟，高斯已经把石板放在讲桌上了。同时说道：“答案在这 儿”。而其他学生还在埋头苦干，把数字一个个加起来，有的额头 都出汗了。但高斯却静静地坐着，对老师投来的怀疑眼光毫不在意。 考完后，老师一张张地检查着石板，大部分都做错了，当然也免不 了吃一顿鞭打。最后，高斯的石板被翻了过来，只见上面只有一个 数字：5050。这正是正确的答案。老师吃了一惊！
＝10＋7 ×79 ＝10＋553 ＝563 （10＋563）×80÷2 ＝573×80÷2 ＝22920
练一练：
⑴有一列数按如下规律排列：5、9、13、17……这列 数中前24个数的和是多少？ 5＋4×（24－1） ＝5＋4 ×23 ＝5＋92 ＝97 （5＋97）×24÷2 ＝102×24÷2 ＝1224
（1）1，2，3，4，5，…，100； （2）1，3，5，7，9，…，99； （3）8，15，22，29，36，…，71。 其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列； （2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是 首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。 由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和= （首项+末项）×项数÷2。 根据等差数列的求和公式，可以变形得到如下的数量关 系：项数=（末项-首项）÷公差+1 末项=首项+公差×（项数-1） 首项=末项-公差×（项数-1）
练一练：
⑴计算1＋2＋3＋4＋5 ＋ …＋49＋50的和 解：原式＝（1＋50）×50÷2 ＝51×50÷2 ＝1275
⑵计算1＋3＋5＋7＋ …＋97＋99的和 解：原式＝（1＋99）×50÷2 ＝100×50÷2 ＝2500
⑶第一行放了1颗糖，第二行放了2颗糖，第三行放了3颗糖，依 此类推，第四十行放了40颗糖，第一～四十行一共放了多少颗 糖？ 1＋2＋3＋4＋5 ＋ …＋40 ＝（1＋40）×40÷2 ＝41×40÷2 ＝820（颗）
＝95÷5＋1 ＝19＋1 ＝20
5＋10＋15 ＋ …＋90＋95＋100 ＝(5＋பைடு நூலகம்00)×20÷2 ＝105×20÷2 ＝2100÷2 ＝1050
练一练：
⑶美羊羊学做蛋糕，第一天做了5个蛋糕，以后每天都比前一 天多做2个，最后一天做了25个蛋糕，美羊羊这些天中一共 做了多少个蛋糕？ （25－5)÷2＋1 ＝20÷2＋1 ＝10＋1 ＝11
例2：求5＋8＋11＋14＋…＋29＋32的和
分析：这是一个公差为3、首项为5、末项为32 的等差数列。如果按等差数列求和的公式计算，还 必须先找出项数。根据项数＝（末项－首项）÷公
差＋1，这个等差数列的项数是（32－5）÷3＋1
＝10。
解：（32－5）÷3＋1 ＝27÷3＋1 ＝9＋1 ＝ 10 5＋8＋11＋14＋…＋29＋32 ＝（5＋32）×10÷2 ＝37×10÷2 ＝185
(5＋25)×11÷2 ＝30×11÷2 ＝330÷2 ＝165
例3：有一列数按如下规律排列：10、17、24、31…
这列数中前80个数的和是多少？
分析：这是一个公差为7、首项为10、项数为80的等差 数列，末项未知。如果按等差数列求和的公式计算，还必须 先找出末项。根据末项=首项+公差×（项数-1），这个等差 数列的末项是10＋7 ×（ 80－1）＝563。 解： 10＋7 ×（80－1）
例1 ：⑴ 1＋2＋3＋4＋5 ＋ …＋19＋20＝？
⑵ 2＋4＋6＋8＋ …＋48＋50＝？ 分析：观察上面两道题，不难发现它们都是等差数列。第⑴ 题的首项是1，末项是20，共有20个数。而第⑵题的首项是2，末 项是50，共有25个数。由等差数列求和公式可得： ⑴ 1＋2＋3＋4＋5 ＋ …＋19＋20 ＝（1＋20）×20÷2 ＝21×20÷2 ＝210 ⑵2＋4＋6＋8＋ …＋48＋50 ＝（2＋50）×25÷2 ＝52×25÷2 ＝650 注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个 加数是否构成等差数列。
33＋1×（15－1） ＝33＋1×14 ＝33＋14 ＝47
（33＋47）×15÷2 ＝80×15÷2 ＝600
例4：（2＋4＋6＋ …＋2012）－（ 1＋3＋5＋ …＋2011）
练一练：
⑵小明练习写毛笔字，第一天写了8个大字，以后每 一天都比前一天多写3个，小明30天一共写了多少 个毛笔字？ 8＋3×（30－1） ＝8＋3 ×29 ＝8＋87 ＝95 （8＋95）×30÷2 ＝103×30÷2 ＝1545
练一练：
⑶有一堆粗细均匀的圆木，最上面有33根，每一层 都比上一层多1根，一共堆了15层，这堆圆木一共 有多少根？
1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的 和都相等。于是，高斯把这道题巧算为：
（1+100）×100÷2＝5050。
高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简 单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问 题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一 项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项 之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。 例如：