2009年数学三考研试题与答案

⎜ ⎝
2B*
O
⎟. ⎠
⎛ O 2 A* ⎞
(D)
⎜ ⎝
3B*
O
⎟. ⎠
⎛1 0 0⎞
（6）设
A,
P 均为
3
阶矩阵，
PT
为
P
的转置矩阵，且
PT
AP
=
⎜ ⎜
0
1
0
⎟ ⎟
，
⎜⎝ 0 0 2 ⎟⎠
若 P = (α1,α 2 ,α3 ),Q = (α1 + α2, α2, α3) ，则 QT AQ 为
⎛2 1 0⎞
（9） lim e − ecos x =
.
x→0 3 1+ x2 −1
（10）设 z = (x +e y )x ，则 ∂z =
.
∂x (1,0)
∑ （11）幂级数 ∞ en − (−1)n xn 的收敛半径为
n=1
n2
.
（12）设某产品的需求函数为 Q = Q(P) ,其对应价格 P 的弹性 ξ p = 0.2 ，则当需求量为
x)
=
x
∫0
f
(t)
dt
的图形为
f (x)
f (x)
1
1
-2
O 123
x
-1 (A)
-2
O1 2 3 x
-1 (B)
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f (x)
f (x)
1
1
-1 O 1 2 3
x
(C)
-2
O 123
x
形面积值的π t 倍，求该曲线的方程.
（20）（本题满分 11 分）
⎛ 1 −1 −1⎞ ⎛ −1⎞
设
A=
⎜ ⎜
−1
1
1
⎟ ⎟
,
ξ1
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
.
⎜⎝ 0 −4 −2⎟⎠
⎜⎝ −2⎟⎠
（Ⅰ）求满足 Aξ2 = ξ1， A 2ξ3 = ξ1 的所有向量ξ2 ，ξ3 .
10000 件时，价格增加 1 元会使产品收益增加
元.
⎛3 0 0⎞
（13）设 α
=
(1,1,1)T
,
β
=
(1,0,
k)T
，若矩阵αβ T
相似于
⎜ ⎜
0
0
0
⎟ ⎟
，则
k
=
.
⎜⎝ 0 0 0⎟⎠
(14)设
X1，
X2
,… ,
Xn
为来自二项分布 总体
B(n,
p) 的简单随机样本 ，
X
和
2
S
分别为样
本均值和样本方差，记统计量T = X − S 2 ，则 ET =
(C)3. (D)无穷多个.
（2）当 x → 0 时， f (x) = x − sinax 与 g( x) = x2 ln(1− bx) 是等价无穷小，则
(A) a = 1， b = − 1 . 6
（B） a =1， b = 1 . 6
(C) a = −1 ， b = − 1 . 6
（D） a = −1 ， b = 1 . 6
( x > 0) .
x
（17）（本题满分 10 分）
∫∫ 计算二重积分 (x − y )dxdy ，其中 D = {( x, y) ( x −1)2 + ( y −1)2 ≤ 2, y ≥ x}. D
（18）（本题满分 11 分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数 f (x) 在 [a, b] 上连续，在 ( a, b) 上可导，则
-1 (D)
（5）设 A, B均为 2 阶矩阵， A∗, B* 分别为 A, B的伴随矩阵，若 | A|= 2,| B|= 3 ，则分块矩
阵
⎛ ⎜ ⎝
O B
A O
⎞ ⎟ ⎠
的伴随矩阵为
⎛ O 3B* ⎞
(A)
⎜ ⎝
2
A*
O
⎟. ⎠
⎛ O 2B* ⎞
(B)
⎜ ⎝
3
A*
O
⎟. ⎠
⎛ O 3A* ⎞
(C)
∫ （3）使不等式 x sin t dt > ln x 成立的 x 的范围是
1t
(A) (0,1) .
π (B) (1, ) .
2
π (C) ( ,π ) .
2
(D) (π , +∞) .
（4）设函数 y = f ( x) 在区间[ −1, 3] 上的图形为
f (x)
1
O
-2 -1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
123
x
则函数
F
(
（19）（本题满分 10 分）
设 曲 线 y = f ( x) ， 其 中 f (x) 是 可 导 函 数 ， 且 f (x) > 0 .已 知 曲 线 y = f ( x) 与 直 线
y = 0, x = 1及 x = t(t > 1)所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯
2009 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .
（1）函数 f (x) = x − x3 的可去间断点的个数为 sin π x
(A)1.
(B)2.
(B) P( AB) = P( A) P( B) .
(C) P(A) =1− P(B) .
(D) P( A ∪ B) = 1.
（8）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 N (0,1) ， Y 的概率分布为
P{Y
=
0} =
P{Y
= 1}
=
1 2
，记 Fz (Z ) 为随机变量
Z
(A)
⎜ ⎜
1
1
0⎟⎟ .
⎜⎝ 0 0 2⎟⎠
⎛1 1 0⎞
(B)
⎜ ⎜
1
2
0
⎟ ⎟
.
⎜⎝ 0 0 2⎟⎠
⎛2 0 0⎞
(C)
⎜ ⎜
0
1
0
⎟ ⎟
.
⎜⎝ 0 0 2 ⎟⎠
⎛1 0 0⎞
(D)
⎜ ⎜
0
2
0⎟⎟ .
⎜⎝ 0 0 2⎟⎠
（7）设事件 A 与事件 B 互不相容，则
(A) P( AB) = 0.
=
XY 的分布函数，则函数
Fz (Z)
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的间断点个数为
(A) 0.
(B)1. (C)2 . (D)3.
二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.
.
三、解答题：15～23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤 . （15）（本题满分 9 分）
( ) 求二元函数 f (x, y) = x2 2 + y2 + y ln y 的极值.
（16）（本题满分 10 分）
∫ 计算不定积分
ln(1 +
1+ x )dx
ξ ∈(a, b)，得证 f (b) − f (a) = f ' (ξ )(b − a ) .
（Ⅱ）证明：若函数 f (x) 在 x = 0 处连续，在 (0, σ ) , (σ > 0) 内可导，且 lim f '( x) = A ， x→ 0+
则
f+' (0)存在，且
f
' +
(0)
=
A
.
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