湘潭县一中自主招生模拟试题(定)

自主招生模拟试题一、选择题：

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二、填空题

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A、B、C、D、

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A、B、C、D、

二、填空题：

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1、在平面直角坐标系xOy 中，拋物线y = -

41-m x 2+4

5m

x +m 2-3m +2 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2，n )在这条拋物线上。 (1) 求点B 的坐标；

(2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的 垂线，与直线OB 交于点E 。延长PE 到点D 。使得ED =PE 。 以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD (当P 点运动 时，C 点、D 点也随之运动)

当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此拋物线上时，求 OP 的长；

若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动)。过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F 。延长QF 到点M ，使得FM =QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN (当Q

点运动时，M 点，N 点也随之运动)。若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分 别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值。

2、某楼盘一楼是车库（暂不出售），二楼至二十三楼均为商品房（对外销售）．商品房售价方案如下：

第八层售价为3000元/米2

，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元．已知商品房每套面积均为120平方米．开发商为购买者制定了两种购房方案：

方案一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的30%），再办理分期付款（即贷款）．

方案二：购买者若一次付清所有房款，则享受8%的优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管理费为a 元）

(1)请写出每平方米售价y （元/米2

）与楼层x （2≤x ≤23，x 是正整数）之间的函数解析式． (2)小张已筹到120000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？

(3)有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9%的优惠划算．你认为老王的说法一定正确吗？请用具体数据阐明你的看法．

3、阅读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化．例如：由抛物线y=x 2-2mx+m 2+2m-1...（1） 得：y=（x-m ）2+2m-1 (2)

∴抛物线的顶点坐标为（m ，2m-1），设顶点为P （x 0，y 0），则：x 0=m ...(3) y 0=2m-1 (4)

当m 的值变化时，顶点横、纵坐标x 0，y 0的值也随之变化，将（3）代入（4） 得：y 0=2x 0-1． (5)

可见，不论m 取任何实数时，抛物线的顶点坐标都满足y=2x-1． 解答问题：

①在上述过程中，由（1）到（2）所用的数学方法是配方法 ，其中运用的公式是完全平方公式 ．由（3）、（4）得到（5）所用的数学方法是消元法 ．

②根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y=x 2-2mx+2m 2-4m+3的顶点纵坐标y 与横坐标x 之间的函数关系式．

③是否存在实数m ，使抛物线y=x 2-2mx+2m 2-4m+3与x 轴两交点A （x 1，0）、B （x 2，0）之间的距离为AB=4，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由（提示：|x 1-x 2|2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2）．

4、求使关于x 的方程（a+1）x 2

-(a 2

+1)x+2a 3

-6=0的根为整数的所有整数a.

5、⊙O 1与⊙O 2相交于点A 、B ，动点P 在⊙O 2上，且在⊙O 1外，直线PA 、PB 分别 交⊙O 1于点C 、D ．问：⊙O 1的弦CD 的长是否随点P 的运动而发生变化？如果发生 变化，请你确定CD 最长或最短时点P 的位置；如果不发生变化，请给出你的证明．

C B A

··P D O O 21