第7章 非线性规划讲解

本章节内容
第7章 非线性规划
7.1 非线性规划基本概念 7.2 二次规划
7.3 可分离规划
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本章主要内容框架图
第7章 非线性规划
基本概念：非线性函数 非线性营销成本问题 非线性规划 二次规划 有价证券投资组合问题 可分离规划
2 1
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x1 4 2 x 12 2 s.t. 3x1 2 x2 18 x1 , x2 0
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第7章 非线性规划
实用运筹学 －运用Excel建模和求解
第7章
非线性规划
Nonlinear Programming
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第7章 非线性规划
本章内容要点
非线性规划基本概念 二次规划建模与应用
可分离规划建模与应用
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7.2.1 非线性营销成本问题
第7章 非线性规划
解：新的模型考虑了非线性的营销成本，所以在原来模型 的基础上，需要修改目标函数。 (1) 决策变量 设x1为门的每周产量，x2为窗的每周产量。 (2) 目标函数 ①每周门的销售毛利润为 375x1 ，门的每周营销成本 为25x12 ，因此，每周门的净利润为375x1－25x12 ； ②每周窗的销售毛利润为 700x2 ，窗的每周营销成本 为60x22 ，因此，每周窗的净利润为700x2－60x22 。 本题的目标是总的净利润最大，因此
(1) 决策变量 设矩形菜地的长为 x1 米，宽为x2米。 (2) 目标函数 本题的目标是使菜地 的面积最大。 (3) 约束条件 ①绳子长度为400米 ②非负约束
第7章 非线性规划
Max z x1 x2 2(x1 x2 ) 400 s.t. x1 , x2 0
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7.2 二次规划
第7章 非线性规划
若某非线性规划的目标函数为决策变量的 二次函数，约束条件又都是线性的，就称这 种规划为二次规划。二次规划是非线性规划 中比较简单的一类，它较容易求解。 决策变量在有限域内变动的边际收益递减 的二次规划问题存在最优解，且此最优解与 初值无关，即局部最优解为全局最优解。 实际上，二次规划是非线性规划中比较简 单的一种，只要问题不是太大，利用 Excel“规划求解”工具就能求解。
7.1 非线性规划基本概念
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第7章 非线性规划
7.1 非线性规划基本概念
第7章 非线性规划
非线性规划问题存在着局部最优解和全局最优解 。通常，非线性规划的解是局部极大点或极小点（ 即局部最优解），它使得目标函数在一部分可行域 上达到极大值或极小值（局部极值），具体的解与 给定的决策变量初值有关，最后只能从这些局部最 优解中挑选出一个最优解作为最后的答案。 正是由于局部最优解的存在，使得非线性规划问 题的求解要比线性规划问题的求解复杂得多。当求 得一个最优解时，常常无法确定该解是否为全局最 优解。但是在某些情况下，可以保证所求得的解就 是全局最优解。下面 7.2 节、 7.3 节所介绍的边际收 益递减的二次规划和可分离规划就属于这种情况。
（提示:第1次和第2次印刷书上有错，第3次及 以后印刷的就改为如下）
在例1.1的问题中，增加考虑新产品（门和窗）的营销成 本。原来估计每扇门的营销成本是 75元、每扇窗的营销 成本是 200 元。因此当时估计的门和窗的单位利润为 300 元和500元。也就是，如果不考虑营销成本，每扇门的毛 利润为375元，每扇窗的毛利润为700元。 由于门和窗的营销成本随着销量的增加而呈现非线性增 长，设x1为门的每周产量， x2为窗的每周产量，而门的 每周营销成本为25x12，窗的每周营销成本为60x22。
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7.2.1 非线性营销成本问题
第7章 非线性规划
在营销过程中，营销成本往往是非线性的，而且随着 销量的增加，单位营销成本也增加，也就是说，单位利 润随着销量的增加而减少（边际收益递减）。 例7.2 考虑非线性营销成本的例1.1。
Max z 375x1 25x 700x2 60x
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7.2.1 非线性营销成本问题
第7章 非线性规划
(3) 约束条件，还是原有的三个车间每周 可用工时限制和非负约束。 因此，该问题的数学模型为：
Max z 375 x1 25 x 700 x2 60 x
7.1 非线性规划基本概念
第7章 非线性规划
例 7.1 给定一根长度为 400 米
的绳子，用来围成一块矩形菜 地，问长和宽各为多少，使菜 地的面积最大？ 解：这是一个小学数学问题， 现在把它当作一个规划问题来 求解。
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7.1 非线性规划基本概念
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7.1 非线性规划基本概念
第7章 非线性规划
在前面几章中，所涉及规划问题的目标函数 和约束条件都是线性的。但在许多实际问题 中，往往会遇到目标函数或约束条件是非线 性的情况，这类规划问题就是非线性规划问 题。 在规划问题中，如果目标函数或约束条件中 有一个是决策变量的非线性函数，则这类规 划问题称为非线性规划问题。本章要讨论的 是其中一类比较简单的情形，即目标函数是 决策变量的非线性函数，而约束条件全是线 性的情况。 RUC, Information School, Ye Xiang