秦九韶算法》教学设计

《秦九韶算法》教学设计

一、教学目标 （一）知识与技能

1、理解秦九韶算法的计算过程及其程序；

2、会用秦九韶算法计算高次多项式的值． （二）过程与方法

1、体验用秦九韶算法计算高次多项式的值的过程；

2、体验写秦九韶算法的程序的过程． （三）情感态度与价值观

1、通过对秦九韶算法的理解和运用，体会我国古代数学家对数学的贡献，激发学生的民族自豪感和爱国热情,增强他们学习数学的积极性；

2、培养学生理解、运用知识的能力． 二、教学重、难点

重点：用秦九韶算法计算高次多项式的值．

难点：用循环结构表示“秦九韶算法”的算法步骤．

三、教学方法：情景教学法、启发式教学法、练习法和讲授法． 四、教学用具：电脑、投影仪、计算器． 五、教学设计

（一）提出问题，引出新课 当x=5时，求多项式f(x)=x 5+x 4+x 3+x 2+x+1的值？

让学生填空:

一个自然的做法：把5代入多项式f(x)，计算各项的值，然后把它们加起来，这时你一共做了 10 次乘法运算， 5次加法运算.

另一种做法：先计算x 2的值，然后一次计算x 2﹒x,( x 2﹒x)﹒x,( (x 2﹒x)﹒x)﹒x 的值，这样每次都可以用上一次的结果，这时你用了 4 次乘法运算， 5 次加法运算.

显然，第二种做法少了6次乘法运算。这第二种算法就叫秦九韶算法(秦九韶，我国南宋时期的数学家，其着作有《数书九章》). 秦九韶算法就来自于秦九韶的《数书九章》.

（二）探究新知 1、秦九韶算法

把一个n 次多项式()0111a x a x a x a x f n n n n ++++=--Λ改写成如下形式: 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即

这样，求n 次多项式()x f 的值就转化为求n 个一次多项式的值．

上述方法称为秦九韶算法. 直到今天,这种算法仍是多项式求值比较先进的算法. 2、用秦九韶算法计算高次多项式的值

例1 已知一个5次多项式为(),8.07.16.25.3242345-+-++=x x x x x x f 用秦九韶算法求这个多项式当5=x 时的值. 解：将多项式变形为：

按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x = 5时的值： 所以，当x = 5时，多项式的值等于14130.2 另解：（秦九韶算法的另一种直观算法）

4 2 3.

5 -2.

6 1.

7 -0.8

+ 0 20 110 567.5 2824.5 14131 ×5 4 22 113.5 564.9 2826.2 14130.2

所以，当x = 5时，多项式的值等于14130.2．

(在教师的启发下,让学生在课堂上写出例1的程序框图)

程序框图:

(在教师进一步的启发下,让学生在课堂上写出秦九韶算法的程序)

(1)算法步骤：

第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数a

n

和x的值.

第二步：将v的值初始化为a

n

，将i的值初始化为n-1.

第三步：输入i次项的系数a

n

.

第四步：v=vx+a

i , i=i-1.

第五步：判断i是否大于或等于0，若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v．

（3）程序：

INPUT “n=”；n

=“;a

INPUT “a

n

INPUT “x=“;x

v=a

i=n-1

WHILE i>=0

PRINT “i=“;i

=“;a

INPUT “a

i

v=v*x+a

i=i-1

WEND

PRINT v

END

3、课堂练习：

已知多项式f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1,用秦九韶算法求这个多项式当x=-2时的值．４、课堂小结：

(１)本节课学习了秦九韶算法，课堂上理解、运用了秦九韶算法计算高次多项式的值；(２)本节课还写了秦九韶算法的算法步骤、程序框图和程序．

A组第２题．

５、课外作业：P

４8